基于模糊區(qū)間Minimax規(guī)則的證券投資組合模型創(chuàng)新與實(shí)證研究一、引言1.1研究背景與意義在金融市場中，證券投資組合模型一直占據(jù)著至關(guān)重要的地位，它是投資者進(jìn)行資產(chǎn)配置、實(shí)現(xiàn)收益目標(biāo)與控制風(fēng)險(xiǎn)的核心工具。隨著全球金融市場的快速發(fā)展，金融產(chǎn)品日益豐富，投資環(huán)境變得愈發(fā)復(fù)雜，投資者面臨著前所未有的挑戰(zhàn)和機(jī)遇，這使得對高效、精準(zhǔn)的證券投資組合模型的需求更為迫切。傳統(tǒng)的證券投資組合模型，如馬科維茨的均值-方差模型以及資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）等，為現(xiàn)代投資理論奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。馬科維茨的均值-方差模型通過量化資產(chǎn)的預(yù)期收益率和風(fēng)險(xiǎn)（方差），幫助投資者在風(fēng)險(xiǎn)和收益之間進(jìn)行權(quán)衡，構(gòu)建最優(yōu)投資組合，該模型在理論上為投資決策提供了科學(xué)的框架，使得投資者能夠根據(jù)自身的風(fēng)險(xiǎn)偏好，在眾多證券中選擇合適的組合，以實(shí)現(xiàn)收益最大化或風(fēng)險(xiǎn)最小化。資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）則進(jìn)一步揭示了資產(chǎn)的預(yù)期收益率與系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)（β系數(shù)）之間的線性關(guān)系，為資產(chǎn)定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)評估提供了重要的依據(jù)，投資者可以利用CAPM模型來評估某一證券的預(yù)期收益率是否合理，從而決定是否進(jìn)行投資。然而，這些經(jīng)典模型存在著明顯的局限性，它們主要建立在確定性假設(shè)的基礎(chǔ)之上，在處理現(xiàn)實(shí)金融市場中的不確定性和模糊性問題時(shí)顯得力不從心。在實(shí)際投資中，證券市場受到眾多復(fù)雜因素的影響，如宏觀經(jīng)濟(jì)形勢的變化、政策的調(diào)整、企業(yè)經(jīng)營狀況的波動(dòng)以及投資者情緒的起伏等，這些因素相互交織，使得證券的收益率、風(fēng)險(xiǎn)等關(guān)鍵參數(shù)難以精確預(yù)測，具有很強(qiáng)的不確定性和模糊性。以宏觀經(jīng)濟(jì)形勢為例，經(jīng)濟(jì)增長的不確定性、通貨膨脹率的波動(dòng)以及利率的調(diào)整等，都會(huì)對證券市場產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響，使得證券的價(jià)格和收益率難以準(zhǔn)確預(yù)測。政策的調(diào)整，如貨幣政策、財(cái)政政策的變化，也會(huì)對不同行業(yè)和企業(yè)的發(fā)展產(chǎn)生不同程度的影響，進(jìn)而影響證券的投資價(jià)值。企業(yè)經(jīng)營狀況的波動(dòng)，如業(yè)績的好壞、管理層的變動(dòng)等，也會(huì)導(dǎo)致證券價(jià)格的波動(dòng)，增加投資的風(fēng)險(xiǎn)。投資者情緒的起伏，如恐懼、貪婪等，也會(huì)影響市場的供求關(guān)系，導(dǎo)致證券價(jià)格的非理性波動(dòng)。傳統(tǒng)模型在面對這些復(fù)雜情況時(shí)，往往無法準(zhǔn)確地描述和處理，容易導(dǎo)致投資決策的偏差。為了更好地應(yīng)對金融市場的不確定性和模糊性，近年來，模糊理論在證券投資組合模型中的應(yīng)用逐漸受到廣泛關(guān)注。模糊理論通過引入模糊集合和隸屬度函數(shù)等概念，能夠有效地處理那些邊界不清晰、難以精確量化的信息，為解決證券投資中的不確定性問題提供了新的思路和方法?；谀：齾^(qū)間的Minimax規(guī)則構(gòu)建的證券投資組合模型，正是在這一背景下應(yīng)運(yùn)而生。Minimax規(guī)則強(qiáng)調(diào)在最不利的情況下尋求最優(yōu)解，通過考慮投資組合在各種極端情況下的表現(xiàn)，能夠更好地平衡風(fēng)險(xiǎn)和收益，提高投資組合的穩(wěn)健性。這種模型能夠更準(zhǔn)確地刻畫證券市場的不確定性，使投資者在面對復(fù)雜多變的市場環(huán)境時(shí)，能夠做出更加合理、科學(xué)的投資決策。本研究基于模糊區(qū)間的Minimax規(guī)則構(gòu)建證券投資組合模型，具有重要的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義。從理論層面來看，該研究將模糊理論與Minimax規(guī)則相結(jié)合，拓展了證券投資組合模型的研究視角和方法，豐富了投資組合理論的內(nèi)涵，為進(jìn)一步深入研究金融市場的不確定性和投資決策提供了新的理論基礎(chǔ)。從現(xiàn)實(shí)意義上講，該模型能夠幫助投資者更好地應(yīng)對市場的不確定性，降低投資風(fēng)險(xiǎn)，提高投資收益。在實(shí)際投資中，投資者可以根據(jù)自身的風(fēng)險(xiǎn)偏好和投資目標(biāo)，運(yùn)用該模型進(jìn)行資產(chǎn)配置，制定合理的投資策略，從而在復(fù)雜的金融市場中實(shí)現(xiàn)資產(chǎn)的保值增值。1.2研究目標(biāo)與創(chuàng)新點(diǎn)本研究旨在構(gòu)建一種基于模糊區(qū)間的Minimax規(guī)則下的證券投資組合模型，以有效應(yīng)對金融市場的不確定性和模糊性，實(shí)現(xiàn)投資組合在風(fēng)險(xiǎn)控制與收益最大化之間的優(yōu)化平衡。具體而言，通過深入研究模糊理論和Minimax規(guī)則在證券投資領(lǐng)域的應(yīng)用，利用模糊區(qū)間來更準(zhǔn)確地刻畫證券收益率、風(fēng)險(xiǎn)等關(guān)鍵參數(shù)的不確定性，基于Minimax規(guī)則構(gòu)建投資組合模型，并通過實(shí)證分析驗(yàn)證模型的有效性和優(yōu)越性，為投資者提供更加科學(xué)、合理的投資決策依據(jù)。本研究在以下幾個(gè)方面具有創(chuàng)新性：在模型構(gòu)建方面，創(chuàng)新性地將模糊區(qū)間與Minimax規(guī)則相結(jié)合，突破了傳統(tǒng)模型基于確定性假設(shè)的局限，能夠更全面、準(zhǔn)確地反映證券市場的復(fù)雜特性，為投資組合模型的構(gòu)建提供了新的思路和方法。在參數(shù)處理上，運(yùn)用模糊區(qū)間表示證券投資中的不確定性因素，相較于傳統(tǒng)模型中對參數(shù)的精確假設(shè)，能夠更好地處理現(xiàn)實(shí)金融市場中難以精確量化的信息，提高了模型對市場變化的適應(yīng)性和敏感性。在應(yīng)用分析中，通過實(shí)證研究，全面驗(yàn)證基于模糊區(qū)間的Minimax規(guī)則下的證券投資組合模型在不同市場環(huán)境下的表現(xiàn)，并與傳統(tǒng)投資組合模型進(jìn)行對比分析，為模型的實(shí)際應(yīng)用提供了有力的支持和參考，拓展了投資組合模型在實(shí)際投資中的應(yīng)用場景和實(shí)踐價(jià)值。二、理論基礎(chǔ)與文獻(xiàn)綜述2.1證券投資組合理論基礎(chǔ)2.1.1馬科維茨投資組合理論馬科維茨投資組合理論由美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家哈里?馬科維茨（HarryMarkowitz）于1952年提出，他在《金融雜志》上發(fā)表的《資產(chǎn)組合的選擇》一文，開創(chuàng)了現(xiàn)代投資組合理論的先河，并憑借此研究在1990年獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。該理論的核心是均值-方差模型，其通過量化風(fēng)險(xiǎn)和收益，為投資者提供了一種科學(xué)的投資決策方法，指導(dǎo)投資者在給定風(fēng)險(xiǎn)水平下追求最大預(yù)期收益，或在給定期望收益下最小化風(fēng)險(xiǎn)。均值-方差模型的基本假設(shè)包括：投資者在考慮投資選擇時(shí)，依據(jù)某一持倉時(shí)間內(nèi)證券收益的概率分布；投資者通過證券的期望收益率的方差或標(biāo)準(zhǔn)差來估測證券組合的風(fēng)險(xiǎn)；投資者的決策僅依據(jù)證券的風(fēng)險(xiǎn)和收益；在一定風(fēng)險(xiǎn)水平上，投資者期望收益最大，在一定收益水平上，投資者希望風(fēng)險(xiǎn)最小?；谶@些假設(shè)，馬科維茨確立了證券組合預(yù)期收益、風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算方法和有效邊界理論。在均值-方差模型中，投資組合的預(yù)期收益率是組合中各證券預(yù)期收益率的加權(quán)平均值，權(quán)重為各證券在投資組合中的投資比例，通過這種方式可以反映投資組合的平均收益水平。而投資組合的風(fēng)險(xiǎn)則用收益率的方差或標(biāo)準(zhǔn)差來度量，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，說明投資組合的收益率波動(dòng)越大，風(fēng)險(xiǎn)也就越高。具體而言，若投資組合由n種證券組成，第i種證券的預(yù)期收益率為E(R_i)，投資比例為x_i，則投資組合的預(yù)期收益率E(R_p)計(jì)算公式為E(R_p)=\sum_{i=1}^{n}x_iE(R_i)；投資組合收益率的方差\sigma_p^2計(jì)算公式為\sigma_p^2=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_ix_jCov(R_i,R_j)，其中Cov(R_i,R_j)表示證券i和證券j收益率的協(xié)方差，用于衡量兩種證券收益率之間的相互關(guān)系，若協(xié)方差為正，說明兩種證券的收益率變動(dòng)方向相同，若協(xié)方差為負(fù)，則說明收益率變動(dòng)方向相反。在實(shí)際投資中，投資者可以通過構(gòu)建不同的投資組合，在風(fēng)險(xiǎn)和收益之間進(jìn)行權(quán)衡。有效邊界理論是均值-方差模型的重要組成部分，它是由所有在給定風(fēng)險(xiǎn)水平下期望收益最大化，或在給定期望收益下風(fēng)險(xiǎn)最小化的投資組合所構(gòu)成的集合。投資者可以根據(jù)自身的風(fēng)險(xiǎn)偏好，在有效邊界上選擇合適的投資組合，以實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)和收益的最優(yōu)平衡。例如，風(fēng)險(xiǎn)偏好較低的投資者可能會(huì)選擇位于有效邊界左下方的投資組合，這些組合的風(fēng)險(xiǎn)相對較低，但預(yù)期收益也相對較低；而風(fēng)險(xiǎn)偏好較高的投資者則可能會(huì)選擇位于有效邊界右上方的投資組合，這些組合的預(yù)期收益較高，但同時(shí)也伴隨著較高的風(fēng)險(xiǎn)。馬科維茨的均值-方差模型首次將數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法應(yīng)用到投資組合選擇的研究中，使收益與風(fēng)險(xiǎn)的多目標(biāo)優(yōu)化達(dá)到最佳的平衡效果，為現(xiàn)代證券投資理論奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。然而，該模型也存在一定的局限性，它對市場環(huán)境的假設(shè)較為理想化，在實(shí)際應(yīng)用中，證券市場的不確定性和復(fù)雜性往往超出了模型的假設(shè)范圍，導(dǎo)致模型的準(zhǔn)確性和實(shí)用性受到一定影響。例如，模型假設(shè)證券收益率服從正態(tài)分布，但在實(shí)際市場中，證券收益率的分布往往呈現(xiàn)出非正態(tài)的特征，存在尖峰厚尾等現(xiàn)象，這使得基于正態(tài)分布假設(shè)的均值-方差模型難以準(zhǔn)確描述證券收益率的真實(shí)情況。此外，模型對輸入?yún)?shù)的準(zhǔn)確性要求較高，如證券的預(yù)期收益率、方差和協(xié)方差等參數(shù)的估計(jì)誤差，可能會(huì)導(dǎo)致投資組合的優(yōu)化結(jié)果出現(xiàn)較大偏差。在實(shí)際市場中，這些參數(shù)往往難以準(zhǔn)確估計(jì)，受到宏觀經(jīng)濟(jì)形勢、政策變化、企業(yè)經(jīng)營狀況等多種因素的影響，參數(shù)的不確定性較大。2.1.2資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CapitalAssetPricingModel，簡稱CAPM）由美國學(xué)者威廉?夏普（WilliamSharpe）、林特爾（JohnLintner）、特里諾（JackTreynor）和莫辛（JanMossin）等人于1964年在資產(chǎn)組合理論和資本市場理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來。該模型主要研究證券市場中資產(chǎn)的預(yù)期收益率與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的關(guān)系，以及均衡價(jià)格是如何形成的，試圖解釋為什么某些資產(chǎn)的價(jià)格會(huì)比其他資產(chǎn)高，以及投資者應(yīng)該如何為承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)獲得合理的補(bǔ)償。CAPM模型基于一系列嚴(yán)格的假設(shè)條件，主要包括：投資者都是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者，即在面臨相同預(yù)期收益的情況下，會(huì)選擇風(fēng)險(xiǎn)較小的投資；投資者遵循均值-方差原則，即在選擇投資組合時(shí)，會(huì)考慮預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)（用方差或標(biāo)準(zhǔn)差來衡量）之間的權(quán)衡；投資者僅進(jìn)行單期決策，不考慮跨期消費(fèi)和投資機(jī)會(huì)的變化；投資者可以按無風(fēng)險(xiǎn)利率借貸，且借貸數(shù)量不受限制；所有的投資者有相同的預(yù)期，即對所有資產(chǎn)報(bào)酬的均值、方差和協(xié)方差等具有完全相同的主觀估計(jì)；買賣資產(chǎn)時(shí)不存在稅收或交易成本。在這些假設(shè)基礎(chǔ)上，CAPM模型通過建立資產(chǎn)收益和市場風(fēng)險(xiǎn)的線性關(guān)系，給出了資產(chǎn)預(yù)期收益率的計(jì)算公式：E(R_i)=R_f+\beta_i[E(R_m)-R_f]。其中，E(R_i)表示資產(chǎn)i的期望收益率；R_f表示無風(fēng)險(xiǎn)收益率，通常使用短期國庫券的收益率作為代表，它是投資者在不承擔(dān)任何風(fēng)險(xiǎn)的情況下可以獲得的收益率；\beta_i表示資產(chǎn)i相對于市場組合的貝塔系數(shù)（Betacoefficient），用于衡量資產(chǎn)的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，反映了資產(chǎn)收益率對市場收益率變動(dòng)的敏感性，若\beta_i大于1，說明資產(chǎn)i的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)高于市場平均水平，其收益率的波動(dòng)幅度大于市場組合；若\beta_i小于1，則說明資產(chǎn)i的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)低于市場平均水平，收益率波動(dòng)幅度小于市場組合；E(R_m)表示市場組合的期望收益率，市場組合是包含了市場上所有可投資資產(chǎn)的投資組合，被認(rèn)為代表了整個(gè)市場的風(fēng)險(xiǎn)和收益水平；(E(R_m)-R_f)表示市場風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，即市場組合相對于無風(fēng)險(xiǎn)收益率的額外收益，它反映了投資者因承擔(dān)市場風(fēng)險(xiǎn)而要求獲得的補(bǔ)償。CAPM模型在金融領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在證券選擇和組合構(gòu)建方面，投資者可以根據(jù)資產(chǎn)的貝塔系數(shù)來選擇合適的證券進(jìn)行投資，以實(shí)現(xiàn)資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益的最優(yōu)平衡。通過構(gòu)建高貝塔股票和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合，可以獲得超過市場平均水平的回報(bào)，但同時(shí)也伴隨著較高的風(fēng)險(xiǎn)。例如，對于追求高收益且能夠承受較高風(fēng)險(xiǎn)的投資者，可以適當(dāng)增加高貝塔股票的投資比例，以期望獲得更高的收益；而對于風(fēng)險(xiǎn)偏好較低的投資者，則可以選擇更多的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和低貝塔股票，以降低投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。在項(xiàng)目評估和投資決策中，CAPM模型可以作為評估新項(xiàng)目或投資機(jī)會(huì)的參考工具。通過比較項(xiàng)目預(yù)期回報(bào)率（根據(jù)預(yù)期市場風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)計(jì)算）與項(xiàng)目所具有的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)（貝塔）之間的差異，投資者可以判斷該項(xiàng)目的收益是否與風(fēng)險(xiǎn)相匹配。如果項(xiàng)目的預(yù)期回報(bào)率高于根據(jù)CAPM模型計(jì)算出的回報(bào)率，說明該項(xiàng)目可能具有投資價(jià)值；反之，則需要謹(jǐn)慎考慮。在估算資本成本方面，企業(yè)可以使用CAPM模型來估算自身的資本成本，為企業(yè)的融資決策和投資決策提供重要依據(jù)。企業(yè)通過估算權(quán)益資本成本和債務(wù)資本成本，結(jié)合自身的資本結(jié)構(gòu)，可以計(jì)算出加權(quán)平均資本成本，從而評估企業(yè)的投資項(xiàng)目是否能夠滿足資本成本的要求。然而，CAPM模型也存在一些局限性。其假設(shè)條件過于理想化，在現(xiàn)實(shí)中很難完全滿足。例如，完全競爭市場、無風(fēng)險(xiǎn)利率的普遍存在以及投資者具有相同預(yù)期等假設(shè)與實(shí)際市場情況存在較大差距。在現(xiàn)實(shí)市場中，存在著信息不對稱、交易成本、稅收等因素，這些都會(huì)影響投資者的決策和資產(chǎn)的定價(jià)。此外，貝塔系數(shù)的計(jì)算需要使用歷史數(shù)據(jù)，但歷史數(shù)據(jù)并不能完全反映未來情況，因此貝塔系數(shù)的計(jì)算可能存在誤差。市場環(huán)境是不斷變化的，資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)特征也可能發(fā)生改變，僅僅依靠歷史數(shù)據(jù)計(jì)算出的貝塔系數(shù)可能無法準(zhǔn)確預(yù)測資產(chǎn)未來的風(fēng)險(xiǎn)和收益情況。2.2模糊理論相關(guān)基礎(chǔ)2.2.1模糊集合與模糊邏輯模糊集合的概念由美國計(jì)算機(jī)與控制論專家L.A.Zadeh于1965年首次提出，它是模糊理論的核心基礎(chǔ)。與傳統(tǒng)集合不同，模糊集合突破了元素對集合隸屬關(guān)系的二元限制，即元素不再是簡單的屬于或不屬于某個(gè)集合，而是以一定的隸屬度屬于該集合。在傳統(tǒng)集合中，對于一個(gè)給定的集合A和元素x，x與A的關(guān)系只有兩種：x\inA（屬于）或x\notinA（不屬于），這種關(guān)系可以用特征函數(shù)\chi_A(x)來表示，當(dāng)x\inA時(shí)，\chi_A(x)=1；當(dāng)x\notinA時(shí)，\chi_A(x)=0。而在模糊集合中，元素x對模糊集合F的隸屬關(guān)系由隸屬度函數(shù)\mu_F(x)來描述，\mu_F(x)的取值范圍是[0,1]，表示元素x屬于模糊集合F的程度。若\mu_F(x)=1，表示x完全屬于F；若\mu_F(x)=0，表示x完全不屬于F；若0\lt\mu_F(x)\lt1，則表示x部分屬于F。例如，對于“年輕人”這個(gè)模糊概念，如果將年齡作為論域，假設(shè)定義20歲到30歲的人屬于“年輕人”集合的隸屬度為1，15歲和35歲的人屬于“年輕人”集合的隸屬度分別為0.5，那么15歲和35歲的人就是部分屬于“年輕人”這個(gè)模糊集合。模糊邏輯則是建立在模糊集合基礎(chǔ)上的一種多值邏輯，它允許命題的真值可以是[0,1]區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，而不僅僅局限于傳統(tǒng)邏輯中的“真”（1）和“假”（0）。模糊邏輯的基本運(yùn)算包括合?。ˋND）、析?。∣R）、否定（NOT）等，這些運(yùn)算規(guī)則基于模糊集合的隸屬度函數(shù)進(jìn)行定義。對于兩個(gè)模糊命題P和Q，其合取運(yùn)算P\landQ的真值（隸屬度）為\mu_{P\landQ}(x)=\min(\mu_P(x),\mu_Q(x))，表示P和Q同時(shí)成立的程度；析取運(yùn)算P\lorQ的真值為\mu_{P\lorQ}(x)=\max(\mu_P(x),\mu_Q(x))，表示P或Q成立的程度；否定運(yùn)算\negP的真值為\mu_{\negP}(x)=1-\mu_P(x)。在判斷一個(gè)人是否既“年輕”又“健康”時(shí)，如果“年輕”的隸屬度為0.7，“健康”的隸屬度為0.8，那么根據(jù)合取運(yùn)算規(guī)則，這個(gè)人“既年輕又健康”的隸屬度為\min(0.7,0.8)=0.7。模糊邏輯的推理方法主要有基于模糊規(guī)則的推理，其基本形式為“如果……那么……”。“如果天氣炎熱，那么空調(diào)銷量可能增加”，這里“天氣炎熱”和“空調(diào)銷量可能增加”都是模糊命題。在推理過程中，首先將輸入的精確值通過模糊化處理轉(zhuǎn)化為模糊集合，然后根據(jù)預(yù)先設(shè)定的模糊規(guī)則進(jìn)行推理，最后通過去模糊化處理將推理結(jié)果從模糊集合轉(zhuǎn)化為精確值，以用于實(shí)際決策。在空調(diào)銷售預(yù)測中，如果輸入的當(dāng)天溫度是35攝氏度，通過模糊化處理確定其屬于“天氣炎熱”模糊集合的隸屬度，再根據(jù)上述模糊規(guī)則進(jìn)行推理，最后通過去模糊化得到一個(gè)具體的空調(diào)銷量增加的預(yù)測值。這些模糊集合與模糊邏輯的概念和運(yùn)算規(guī)則，為后續(xù)模糊區(qū)間在證券投資組合模型中的應(yīng)用提供了重要的理論鋪墊。2.2.2模糊區(qū)間表示與運(yùn)算模糊區(qū)間是模糊理論中的一個(gè)重要概念，它是對傳統(tǒng)區(qū)間的一種擴(kuò)展，用于表示具有不確定性的數(shù)值范圍。模糊區(qū)間可以用多種方式定義和表示，常見的一種方式是基于模糊數(shù)來定義。模糊數(shù)是一種特殊的模糊集合，它具有一些特定的性質(zhì)，如凸性、正規(guī)性等。一個(gè)模糊區(qū)間可以看作是由兩個(gè)模糊數(shù)分別作為其下界和上界所構(gòu)成的。假設(shè)A和B是兩個(gè)模糊數(shù)，且滿足A\leqB（這里的“\leq”是基于模糊數(shù)的序關(guān)系定義的），那么模糊區(qū)間[A,B]表示一個(gè)數(shù)值范圍，其中每個(gè)數(shù)值屬于該區(qū)間的程度由相應(yīng)的隸屬度函數(shù)來刻畫。對于一個(gè)具體的數(shù)值x，它屬于模糊區(qū)間[A,B]的隸屬度可以通過計(jì)算x對A和B的隸屬度，并根據(jù)一定的規(guī)則（如取兩者中的最小值等）來確定。在實(shí)際應(yīng)用中，模糊區(qū)間的表示方法有多種，其中一種常用的表示方法是采用區(qū)間套的形式。即對于一個(gè)模糊區(qū)間[A,B]，可以將其表示為一系列嵌套的普通區(qū)間[a_{\alpha},b_{\alpha}]，其中\(zhòng)alpha\in[0,1]，并且隨著\alpha的增大，區(qū)間[a_{\alpha},b_{\alpha}]逐漸縮小，趨近于模糊區(qū)間的“核心”部分。具體來說，當(dāng)\alpha=0時(shí)，[a_0,b_0]表示模糊區(qū)間的最寬泛范圍，包含了所有可能屬于該模糊區(qū)間的數(shù)值；當(dāng)\alpha=1時(shí)，[a_1,b_1]表示模糊區(qū)間的“核”，即隸屬度為1的部分，這部分是模糊區(qū)間中最確定的部分。這種表示方法能夠直觀地反映模糊區(qū)間的不確定性程度和變化情況。模糊區(qū)間的基本運(yùn)算包括加法、乘法等，這些運(yùn)算規(guī)則是基于模糊數(shù)的運(yùn)算規(guī)則擴(kuò)展而來的。對于兩個(gè)模糊區(qū)間[A_1,B_1]和[A_2,B_2]，它們的加法運(yùn)算[A_1,B_1]+[A_2,B_2]定義為[A_1+A_2,B_1+B_2]，這里的“+”是模糊數(shù)的加法運(yùn)算。模糊數(shù)A_1和A_2的加法運(yùn)算，是通過對它們的隸屬度函數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)的。對于任意的x，x屬于A_1+A_2的隸屬度\mu_{A_1+A_2}(x)等于\sup\{\min(\mu_{A_1}(y),\mu_{A_2}(z))|y+z=x\}，其中\(zhòng)sup表示上確界，\mu_{A_1}(y)和\mu_{A_2}(z)分別是y屬于A_1和z屬于A_2的隸屬度。模糊區(qū)間的乘法運(yùn)算[A_1,B_1]\times[A_2,B_2]定義為[A_1\timesA_2,B_1\timesB_2]，其模糊數(shù)的乘法運(yùn)算規(guī)則與加法運(yùn)算類似，也是基于隸屬度函數(shù)進(jìn)行定義。對于任意的x，x屬于A_1\timesA_2的隸屬度\mu_{A_1\timesA_2}(x)等于\sup\{\min(\mu_{A_1}(y),\mu_{A_2}(z))|y\timesz=x\}。在證券投資中，模糊區(qū)間的這些運(yùn)算規(guī)則有著重要的應(yīng)用。在預(yù)測證券的收益率時(shí)，由于受到多種不確定因素的影響，收益率往往難以精確預(yù)測，此時(shí)可以用模糊區(qū)間來表示。若已知兩種證券的收益率分別用模糊區(qū)間[r_1^1,r_1^2]和[r_2^1,r_2^2]表示，當(dāng)計(jì)算投資這兩種證券的投資組合的收益率時(shí)，就可以利用模糊區(qū)間的加法運(yùn)算規(guī)則來計(jì)算組合收益率的模糊區(qū)間。假設(shè)投資比例分別為w_1和w_2（w_1+w_2=1），則投資組合收益率的模糊區(qū)間為[w_1r_1^1+w_2r_2^1,w_1r_1^2+w_2r_2^2]。通過這種方式，能夠更準(zhǔn)確地處理證券投資中的模糊信息，為投資決策提供更合理的依據(jù)。2.3Minimax規(guī)則原理Minimax規(guī)則，又稱極小化極大規(guī)則，其核心思想是在決策過程中，決策者致力于最小化在最差情況下可能遭受的損失或風(fēng)險(xiǎn)，以此來尋求最優(yōu)的決策方案。該規(guī)則最初源于博弈論，在零和博弈場景中有著廣泛且經(jīng)典的應(yīng)用。在零和博弈里，一方的收益必然等于另一方的損失，雙方的利益完全對立。在國際象棋、圍棋等對弈類游戲中，每個(gè)參與者都期望通過自身的策略選擇，使自己的獲勝概率最大化，同時(shí)讓對手的獲勝概率最小化。假設(shè)玩家A和玩家B進(jìn)行一場圍棋比賽，玩家A在每一步落子時(shí)，都會(huì)考慮玩家B可能的應(yīng)對策略，以及這些應(yīng)對策略下自己的最壞局面，然后選擇在最壞局面下?lián)p失最小的那一步棋。玩家A會(huì)分析在玩家B的各種應(yīng)對下，自己的棋子可能面臨的被吃掉、被包圍等不利情況，從而選擇一種能夠最大程度減少這些不利影響的落子位置。玩家B同樣也會(huì)基于相同的思路，考慮玩家A的應(yīng)對來做出決策。這種在考慮對手最優(yōu)反應(yīng)的基礎(chǔ)上，選擇自身最優(yōu)策略的過程，就是Minimax規(guī)則在零和博弈中的具體體現(xiàn)。從決策過程來看，Minimax規(guī)則的實(shí)施通常涉及以下步驟：首先，需要明確所有可能的決策選項(xiàng)和與之對應(yīng)的各種可能結(jié)果。在證券投資中，決策選項(xiàng)可能包括投資不同種類的證券，如股票、債券、基金等，以及確定每種證券的投資比例。而可能的結(jié)果則包括不同市場環(huán)境下投資組合的收益率、風(fēng)險(xiǎn)水平等。其次，針對每個(gè)決策選項(xiàng)，要評估在最不利情況下的損失或風(fēng)險(xiǎn)程度。在評估股票投資的風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，需要考慮到市場暴跌、企業(yè)財(cái)務(wù)造假等極端不利情況對投資收益的影響。通過對各種不利情況的分析，計(jì)算出在這些情況下投資組合可能遭受的最大損失。最后，從所有決策選項(xiàng)中選擇那個(gè)在最不利情況下?lián)p失最小的選項(xiàng)作為最終決策。如果投資股票組合A在市場暴跌時(shí)可能損失30%，投資股票組合B在同樣情況下可能損失20%，那么根據(jù)Minimax規(guī)則，就會(huì)選擇投資股票組合B。在證券投資領(lǐng)域，市場環(huán)境復(fù)雜多變，充滿了各種不確定性因素，Minimax規(guī)則能夠幫助投資者在面對這些不確定性時(shí)，更加穩(wěn)健地做出投資決策，有效降低投資風(fēng)險(xiǎn)。2.4國內(nèi)外研究現(xiàn)狀綜述在證券投資組合模型的研究領(lǐng)域，國外學(xué)者的早期研究為該領(lǐng)域奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。馬科維茨于1952年提出的均值-方差模型，首次將數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用于投資組合選擇，開啟了現(xiàn)代投資組合理論的新篇章，該模型通過量化風(fēng)險(xiǎn)和收益，為投資者提供了一種科學(xué)的投資決策框架，使得投資者能夠在風(fēng)險(xiǎn)和收益之間進(jìn)行權(quán)衡，構(gòu)建最優(yōu)投資組合。此后，資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）由威廉?夏普、林特爾、特里諾和莫辛等人于1964年提出，進(jìn)一步揭示了資產(chǎn)的預(yù)期收益率與系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系，為資產(chǎn)定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)評估提供了重要依據(jù)，投資者可以利用CAPM模型來評估資產(chǎn)的預(yù)期收益率是否合理，從而決定是否進(jìn)行投資。這些經(jīng)典模型在很長一段時(shí)間內(nèi)主導(dǎo)著證券投資組合的研究和實(shí)踐。隨著金融市場的發(fā)展和研究的深入，學(xué)者們逐漸認(rèn)識(shí)到傳統(tǒng)模型在處理市場不確定性和模糊性方面的局限性，開始探索新的方法和理論。在模糊理論應(yīng)用于金融領(lǐng)域方面，國外學(xué)者取得了一系列具有開創(chuàng)性的研究成果。Buckley首次將模糊數(shù)學(xué)引入證券投資組合問題，開啟了模糊理論在該領(lǐng)域應(yīng)用的先河，他通過模糊數(shù)來表示證券收益率等參數(shù)，嘗試解決傳統(tǒng)模型中參數(shù)精確假設(shè)與實(shí)際市場不確定性之間的矛盾。在此基礎(chǔ)上，不少學(xué)者基于模糊集理論對證券投資組合模型進(jìn)行改進(jìn)和拓展。如Tanaka等學(xué)者運(yùn)用模糊線性規(guī)劃方法，考慮了證券收益率的模糊性，構(gòu)建了模糊證券投資組合模型，通過引入模糊約束和目標(biāo)函數(shù)，使模型能夠更好地處理不確定性信息。這些研究為模糊理論在證券投資領(lǐng)域的應(yīng)用提供了重要的理論支持和實(shí)踐指導(dǎo)。Minimax規(guī)則在投資組合中的應(yīng)用研究也不斷推進(jìn)。國外學(xué)者將Minimax規(guī)則與不同的風(fēng)險(xiǎn)度量方法相結(jié)合，以優(yōu)化投資組合的風(fēng)險(xiǎn)收益平衡。Ferguson等將Minimax規(guī)則應(yīng)用于投資組合選擇，通過考慮投資組合在最壞情況下的風(fēng)險(xiǎn)，構(gòu)建了基于Minimax規(guī)則的投資組合模型，該模型能夠有效降低投資組合在極端市場條件下的風(fēng)險(xiǎn)，提高投資組合的穩(wěn)健性。一些研究還將Minimax規(guī)則與模糊理論相結(jié)合，進(jìn)一步拓展了投資組合模型的應(yīng)用范圍和適應(yīng)性。如Ben-Tal和Nemirovski提出了基于模糊隨機(jī)變量的Minimax投資組合模型，利用模糊區(qū)間來表示隨機(jī)變量的不確定性，通過Minimax規(guī)則來優(yōu)化投資組合，使模型在處理市場不確定性方面具有更強(qiáng)的能力。國內(nèi)學(xué)者在證券投資組合模型的研究中，一方面對國外經(jīng)典理論進(jìn)行深入學(xué)習(xí)和應(yīng)用，另一方面結(jié)合國內(nèi)金融市場的特點(diǎn)，開展了具有針對性的研究。在傳統(tǒng)投資組合模型的改進(jìn)方面，國內(nèi)學(xué)者通過引入新的因素和方法，對均值-方差模型和CAPM模型進(jìn)行優(yōu)化。如一些學(xué)者考慮了交易成本、流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)等因素，對傳統(tǒng)模型進(jìn)行修正，使其更符合國內(nèi)市場實(shí)際情況。在模糊理論應(yīng)用于證券投資組合的研究中，國內(nèi)學(xué)者也做出了積極貢獻(xiàn)。劉金全等運(yùn)用模糊數(shù)學(xué)方法對證券投資風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行評估，通過構(gòu)建模糊綜合評價(jià)模型，綜合考慮多種風(fēng)險(xiǎn)因素，更準(zhǔn)確地評估了證券投資的風(fēng)險(xiǎn)水平。還有學(xué)者將模糊理論與遺傳算法、粒子群算法等智能算法相結(jié)合，用于求解模糊證券投資組合模型，提高了模型的求解效率和精度。在Minimax規(guī)則相關(guān)研究方面，國內(nèi)學(xué)者也進(jìn)行了有益的探索。如一些研究將Minimax規(guī)則應(yīng)用于不同類型的金融資產(chǎn)投資組合，研究其在不同市場環(huán)境下的表現(xiàn)和有效性。王春峰等將Minimax規(guī)則應(yīng)用于股指期貨套期保值策略的構(gòu)建，通過最小化套期保值組合在最壞情況下的風(fēng)險(xiǎn)，提高了套期保值的效果。此外，國內(nèi)學(xué)者還關(guān)注將Minimax規(guī)則與其他理論和方法相結(jié)合，以提升投資組合模型的性能。如將Minimax規(guī)則與模糊理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等相結(jié)合，構(gòu)建了更加復(fù)雜和有效的投資組合模型。盡管國內(nèi)外學(xué)者在證券投資組合模型、模糊理論在金融領(lǐng)域應(yīng)用以及Minimax規(guī)則相關(guān)研究方面取得了豐碩成果，但仍存在一些不足之處。部分研究對市場的假設(shè)條件過于理想化，與實(shí)際市場情況存在差距，導(dǎo)致模型的實(shí)用性受限。在處理模糊信息時(shí)，一些方法對模糊參數(shù)的確定缺乏足夠的理論依據(jù)和實(shí)際驗(yàn)證，可能影響模型的準(zhǔn)確性。對于Minimax規(guī)則在不同市場環(huán)境和投資場景下的適應(yīng)性研究還不夠深入，缺乏全面系統(tǒng)的實(shí)證分析。針對這些不足，本文基于模糊區(qū)間的Minimax規(guī)則構(gòu)建證券投資組合模型，旨在更準(zhǔn)確地刻畫市場不確定性，提高投資組合模型的實(shí)用性和有效性，為投資者提供更科學(xué)的投資決策依據(jù)。三、基于模糊區(qū)間Minimax規(guī)則的證券投資組合模型構(gòu)建3.1模型假設(shè)與前提條件為構(gòu)建基于模糊區(qū)間Minimax規(guī)則的證券投資組合模型，需明確一系列合理假設(shè)與前提條件，以確保模型的合理性和有效性。在市場環(huán)境方面，假設(shè)市場具有一定的有效性，盡管市場中存在各種信息不對稱和噪聲，但整體上證券價(jià)格能夠在一定程度上反映其內(nèi)在價(jià)值。這意味著投資者可以通過對市場信息的分析和研究，獲取有關(guān)證券價(jià)格走勢和投資價(jià)值的線索。市場有效性假設(shè)是現(xiàn)代金融理論的重要基礎(chǔ)之一，它為證券投資組合模型的構(gòu)建提供了前提條件。在有效市場中，投資者可以基于市場信息進(jìn)行理性的投資決策，通過分散投資等方式降低風(fēng)險(xiǎn)，實(shí)現(xiàn)投資收益的最大化。投資者行為假設(shè)方面，假定投資者是理性的，其投資決策基于對風(fēng)險(xiǎn)和收益的綜合考量，以實(shí)現(xiàn)自身效用最大化。理性投資者會(huì)在投資過程中充分考慮各種風(fēng)險(xiǎn)因素，如市場風(fēng)險(xiǎn)、信用風(fēng)險(xiǎn)、流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)等，并根據(jù)自身的風(fēng)險(xiǎn)承受能力和投資目標(biāo)，選擇合適的投資組合。投資者在面對不同的投資選擇時(shí)，會(huì)比較各個(gè)投資組合的預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)水平，選擇預(yù)期收益最高且風(fēng)險(xiǎn)在可承受范圍內(nèi)的投資組合。投資者還會(huì)根據(jù)市場情況的變化，及時(shí)調(diào)整投資組合，以適應(yīng)市場的變化。在數(shù)據(jù)可得性和準(zhǔn)確性上，假設(shè)能夠獲取足夠數(shù)量和質(zhì)量的證券歷史數(shù)據(jù)，包括收益率、價(jià)格、成交量等信息，且這些數(shù)據(jù)能夠合理反映證券的風(fēng)險(xiǎn)和收益特征。證券歷史數(shù)據(jù)是構(gòu)建投資組合模型的重要依據(jù)，通過對歷史數(shù)據(jù)的分析和研究，可以了解證券的價(jià)格走勢、收益波動(dòng)情況以及與其他證券之間的相關(guān)性等信息，從而為投資決策提供參考。在獲取歷史數(shù)據(jù)時(shí)，需要確保數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和完整性，避免數(shù)據(jù)誤差和缺失對模型結(jié)果產(chǎn)生影響。還需要對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的預(yù)處理和分析，如數(shù)據(jù)清洗、歸一化處理、相關(guān)性分析等，以提高數(shù)據(jù)的質(zhì)量和可用性。針對模糊區(qū)間的設(shè)定，假設(shè)證券的收益率、風(fēng)險(xiǎn)等關(guān)鍵參數(shù)可以用模糊區(qū)間來合理表示，模糊區(qū)間的確定基于歷史數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析以及對市場不確定性的主觀判斷。在金融市場中，由于受到多種因素的影響，證券的收益率和風(fēng)險(xiǎn)往往具有不確定性和模糊性。宏觀經(jīng)濟(jì)形勢的變化、政策的調(diào)整、企業(yè)經(jīng)營狀況的波動(dòng)以及投資者情緒的起伏等因素，都會(huì)導(dǎo)致證券收益率和風(fēng)險(xiǎn)的波動(dòng)。因此，用模糊區(qū)間來表示這些參數(shù)，可以更準(zhǔn)確地反映市場的不確定性。在確定模糊區(qū)間時(shí)，可以通過對歷史數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，如計(jì)算收益率的均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)量，來估計(jì)收益率的可能范圍。還可以結(jié)合投資者對市場不確定性的主觀判斷，如對市場走勢的預(yù)期、對風(fēng)險(xiǎn)的偏好等，來確定模糊區(qū)間的上下界。在Minimax規(guī)則的應(yīng)用前提上，假設(shè)投資者對風(fēng)險(xiǎn)具有較強(qiáng)的厭惡情緒，更關(guān)注投資組合在最不利情況下的表現(xiàn)，力求在最差的市場環(huán)境中也能將損失控制在可接受范圍內(nèi)。在市場波動(dòng)較大、不確定性較高的情況下，投資者往往會(huì)更加謹(jǐn)慎，優(yōu)先考慮風(fēng)險(xiǎn)控制。此時(shí)，Minimax規(guī)則能夠幫助投資者在面對各種不確定性時(shí)，做出更加穩(wěn)健的投資決策。在市場暴跌的情況下，采用Minimax規(guī)則的投資者會(huì)選擇那些在最壞情況下?lián)p失最小的投資組合，從而降低投資風(fēng)險(xiǎn)。3.2模糊區(qū)間的確定與表示3.2.1考慮的不確定性因素在證券投資領(lǐng)域，存在著諸多復(fù)雜且相互交織的不確定性因素，深刻影響著證券的收益率、風(fēng)險(xiǎn)等關(guān)鍵參數(shù)，進(jìn)而對投資決策產(chǎn)生重大影響。宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境的動(dòng)態(tài)變化是其中至關(guān)重要的因素之一。經(jīng)濟(jì)增長的波動(dòng)、通貨膨脹率的起伏以及利率和匯率的變動(dòng)等，都會(huì)對證券市場產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。在經(jīng)濟(jì)增長強(qiáng)勁時(shí)期，企業(yè)的盈利水平往往會(huì)提高，這將推動(dòng)證券價(jià)格上漲，從而增加證券的預(yù)期收益率。當(dāng)國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）增長率較高時(shí)，企業(yè)的銷售額和利潤通常會(huì)隨之增長，投資者對企業(yè)的未來發(fā)展充滿信心，愿意以更高的價(jià)格購買證券，導(dǎo)致證券價(jià)格上升。相反，經(jīng)濟(jì)衰退可能導(dǎo)致企業(yè)盈利下降，證券價(jià)格下跌，投資風(fēng)險(xiǎn)增加。在經(jīng)濟(jì)衰退期間，市場需求減少，企業(yè)面臨著銷售困難和成本上升的壓力，盈利水平下降，投資者對企業(yè)的信心受挫，紛紛拋售證券，導(dǎo)致證券價(jià)格下跌。通貨膨脹率的變化也會(huì)對證券投資產(chǎn)生重要影響。適度的通貨膨脹可能刺激企業(yè)的生產(chǎn)和投資，推動(dòng)證券價(jià)格上升。溫和的通貨膨脹會(huì)使企業(yè)的產(chǎn)品價(jià)格上漲，從而增加企業(yè)的收入和利潤，進(jìn)而推動(dòng)證券價(jià)格上升。過高的通貨膨脹則可能引發(fā)利率上升，增加企業(yè)的融資成本，壓縮企業(yè)的利潤空間，導(dǎo)致證券價(jià)格下跌。當(dāng)通貨膨脹率過高時(shí)，央行可能會(huì)采取加息等緊縮性貨幣政策來抑制通貨膨脹，這將導(dǎo)致企業(yè)的融資成本增加，利潤減少，證券價(jià)格下跌。利率作為資金的價(jià)格，其變動(dòng)會(huì)直接影響證券的收益率和價(jià)格。當(dāng)利率上升時(shí)，債券等固定收益證券的吸引力增加，投資者會(huì)將資金從股票等風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)轉(zhuǎn)移到債券上，導(dǎo)致股票價(jià)格下跌。利率上升還會(huì)增加企業(yè)的融資成本，影響企業(yè)的盈利能力，進(jìn)一步對股票價(jià)格產(chǎn)生負(fù)面影響。匯率的波動(dòng)對于跨國企業(yè)和涉及國際業(yè)務(wù)的證券投資具有重要影響。匯率的變化會(huì)影響企業(yè)的進(jìn)出口業(yè)務(wù)和海外投資收益，進(jìn)而影響企業(yè)的業(yè)績和證券價(jià)格。如果本國貨幣升值，對于出口型企業(yè)來說，其產(chǎn)品在國際市場上的價(jià)格會(huì)相對提高，競爭力下降，出口額減少，從而影響企業(yè)的盈利水平和證券價(jià)格。公司自身的財(cái)務(wù)狀況和經(jīng)營情況也是投資決策中需要重點(diǎn)關(guān)注的不確定性因素。企業(yè)的盈利能力、償債能力、營運(yùn)能力以及發(fā)展?jié)摿Φ蓉?cái)務(wù)指標(biāo)的波動(dòng)，都會(huì)影響投資者對企業(yè)價(jià)值的評估，進(jìn)而影響證券的投資價(jià)值。企業(yè)的盈利能力是衡量其經(jīng)營業(yè)績的重要指標(biāo)，盈利能力強(qiáng)的企業(yè)通常具有較高的投資價(jià)值。如果企業(yè)的凈利潤持續(xù)增長，說明企業(yè)的經(jīng)營狀況良好，投資者對其未來發(fā)展充滿信心，愿意以較高的價(jià)格購買其證券。相反，盈利能力下降可能導(dǎo)致證券價(jià)格下跌。償債能力反映了企業(yè)償還債務(wù)的能力，如果企業(yè)的償債能力較弱，面臨著較高的債務(wù)違約風(fēng)險(xiǎn)，投資者會(huì)對其證券的安全性產(chǎn)生擔(dān)憂，從而降低對其證券的需求，導(dǎo)致證券價(jià)格下跌。營運(yùn)能力體現(xiàn)了企業(yè)對資產(chǎn)的運(yùn)營效率，營運(yùn)能力強(qiáng)的企業(yè)能夠更有效地利用資產(chǎn)，提高生產(chǎn)效率，增加企業(yè)的競爭力和盈利能力。發(fā)展?jié)摿t是投資者關(guān)注企業(yè)未來發(fā)展的重要因素，具有良好發(fā)展?jié)摿Φ钠髽I(yè)通常能夠吸引更多的投資者，其證券價(jià)格也可能具有較大的上漲空間。市場情緒和投資者行為也是導(dǎo)致證券投資不確定性的重要因素。投資者的情緒和預(yù)期往往受到多種因素的影響，如宏觀經(jīng)濟(jì)形勢、政策變化、市場熱點(diǎn)等，這些因素的變化會(huì)導(dǎo)致投資者情緒的波動(dòng)，進(jìn)而引發(fā)市場的非理性波動(dòng)。在市場樂觀情緒高漲時(shí)，投資者往往會(huì)過度自信，忽視風(fēng)險(xiǎn)，大量買入證券，推動(dòng)證券價(jià)格上漲，形成市場泡沫。在股票市場牛市期間，投資者普遍看好市場前景，紛紛加大投資力度，導(dǎo)致股票價(jià)格不斷攀升，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過其實(shí)際價(jià)值。當(dāng)市場情緒轉(zhuǎn)向悲觀時(shí)，投資者會(huì)恐慌性拋售證券，導(dǎo)致證券價(jià)格暴跌。在市場出現(xiàn)重大利空消息時(shí)，投資者會(huì)感到恐慌，紛紛拋售手中的證券，導(dǎo)致證券價(jià)格大幅下跌。市場中的羊群效應(yīng)也會(huì)加劇市場的波動(dòng)。當(dāng)一部分投資者開始買入或賣出某種證券時(shí)，其他投資者往往會(huì)盲目跟隨，形成一種群體行為，導(dǎo)致市場價(jià)格的過度波動(dòng)。如果一些大型機(jī)構(gòu)投資者開始拋售某只股票，其他投資者可能會(huì)誤以為該股票存在問題，也紛紛跟風(fēng)拋售，導(dǎo)致股票價(jià)格大幅下跌。3.2.2模糊區(qū)間的構(gòu)建方法為了更準(zhǔn)確地描述證券投資中的不確定性，基于模糊數(shù)學(xué)理論和概率統(tǒng)計(jì)方法構(gòu)建模糊區(qū)間是一種有效的手段。在確定證券收益率的模糊區(qū)間時(shí)，可以先對歷史收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行深入的統(tǒng)計(jì)分析。通過計(jì)算歷史收益率的均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)量，能夠初步了解收益率的集中趨勢和波動(dòng)程度。假設(shè)我們獲取了某只股票過去10年的月度收益率數(shù)據(jù)，計(jì)算出其平均收益率為10%，收益率的標(biāo)準(zhǔn)差為5%?；谶@些統(tǒng)計(jì)量，可以利用正態(tài)分布假設(shè)（在實(shí)際中，雖然證券收益率不完全服從正態(tài)分布，但正態(tài)分布假設(shè)在一定程度上可以近似描述其分布特征）來估計(jì)收益率的可能范圍。根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，約68%的數(shù)據(jù)落在均值加減1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)，約95%的數(shù)據(jù)落在均值加減2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)。在上述例子中，我們可以認(rèn)為該股票收益率在68%的置信水平下，可能的取值范圍為[5%,15%]（即10%±5%）；在95%的置信水平下，可能的取值范圍為[0%,20%]（即10%±2×5%）。這兩個(gè)范圍可以作為構(gòu)建模糊區(qū)間的基礎(chǔ)。為了更全面地反映市場的不確定性，還需要結(jié)合專家經(jīng)驗(yàn)和主觀判斷對基于統(tǒng)計(jì)分析得到的區(qū)間進(jìn)行調(diào)整。專家可以根據(jù)對宏觀經(jīng)濟(jì)形勢、行業(yè)發(fā)展趨勢以及公司基本面的深入了解，對收益率的可能范圍進(jìn)行修正。如果專家認(rèn)為當(dāng)前宏觀經(jīng)濟(jì)形勢向好，行業(yè)發(fā)展前景廣闊，公司的經(jīng)營狀況良好，那么可以適當(dāng)上調(diào)收益率的下限和上限。反之，如果專家認(rèn)為市場存在較大的不確定性，風(fēng)險(xiǎn)較高，那么可以適當(dāng)下調(diào)收益率的下限和上限。通過這種方式，可以得到一個(gè)更符合實(shí)際情況的模糊區(qū)間。假設(shè)專家根據(jù)當(dāng)前市場情況，認(rèn)為該股票收益率在當(dāng)前市場環(huán)境下可能會(huì)有更好的表現(xiàn)，將收益率的下限調(diào)整為7%，上限調(diào)整為18%，那么最終得到的模糊區(qū)間可以表示為[7%,18%]。對于證券風(fēng)險(xiǎn)的模糊區(qū)間構(gòu)建，同樣可以采用類似的方法。風(fēng)險(xiǎn)通?？梢杂梅讲?、標(biāo)準(zhǔn)差、VaR（風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值）等指標(biāo)來度量。以方差為例，先計(jì)算歷史收益率的方差，得到一個(gè)反映風(fēng)險(xiǎn)大小的數(shù)值。再根據(jù)一定的方法確定風(fēng)險(xiǎn)的模糊區(qū)間?？梢酝ㄟ^設(shè)定不同的風(fēng)險(xiǎn)水平等級，如低風(fēng)險(xiǎn)、中風(fēng)險(xiǎn)、高風(fēng)險(xiǎn)，為每個(gè)等級確定相應(yīng)的方差范圍。將方差小于某個(gè)閾值的定義為低風(fēng)險(xiǎn)，方差在一定范圍內(nèi)的定義為中風(fēng)險(xiǎn)，方差大于某個(gè)閾值的定義為高風(fēng)險(xiǎn)。然后，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)和市場情況，確定每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)等級對應(yīng)的方差區(qū)間，從而構(gòu)建出風(fēng)險(xiǎn)的模糊區(qū)間。假設(shè)通過分析歷史數(shù)據(jù)，將方差小于0.01的定義為低風(fēng)險(xiǎn)，方差在0.01到0.05之間的定義為中風(fēng)險(xiǎn)，方差大于0.05的定義為高風(fēng)險(xiǎn)。對于某只證券，其歷史收益率方差為0.03，那么可以認(rèn)為該證券的風(fēng)險(xiǎn)處于中風(fēng)險(xiǎn)區(qū)間，模糊區(qū)間表示為[0.01,0.05]。在實(shí)際應(yīng)用中，還可以根據(jù)投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好對風(fēng)險(xiǎn)模糊區(qū)間進(jìn)行調(diào)整。風(fēng)險(xiǎn)偏好較低的投資者可能會(huì)將風(fēng)險(xiǎn)區(qū)間設(shè)定得更窄，以確保投資的安全性；而風(fēng)險(xiǎn)偏好較高的投資者則可能會(huì)接受更寬的風(fēng)險(xiǎn)區(qū)間，以追求更高的收益。3.3Minimax規(guī)則在模型中的應(yīng)用3.3.1風(fēng)險(xiǎn)與收益的權(quán)衡考量在金融市場中，風(fēng)險(xiǎn)與收益始終是投資者關(guān)注的核心要素，它們之間存在著緊密而復(fù)雜的關(guān)系。風(fēng)險(xiǎn)通常被視為投資收益的不確定性，這種不確定性可能導(dǎo)致投資者遭受損失。而收益則是投資者進(jìn)行投資的直接目標(biāo)，是對承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的一種補(bǔ)償。在構(gòu)建證券投資組合時(shí)，如何在風(fēng)險(xiǎn)和收益之間進(jìn)行合理的權(quán)衡，是投資者面臨的關(guān)鍵問題。傳統(tǒng)的投資組合理論，如馬科維茨的均值-方差模型，通過量化風(fēng)險(xiǎn)和收益，為投資者提供了一種在給定風(fēng)險(xiǎn)水平下追求最大預(yù)期收益，或在給定期望收益下最小化風(fēng)險(xiǎn)的方法。該模型假設(shè)投資者能夠準(zhǔn)確地估計(jì)證券的預(yù)期收益率和風(fēng)險(xiǎn)（用方差或標(biāo)準(zhǔn)差衡量），并通過構(gòu)建不同投資比例的證券組合，在風(fēng)險(xiǎn)和收益之間進(jìn)行權(quán)衡，找到最優(yōu)的投資組合。然而，在實(shí)際的金融市場中，由于存在諸多不確定性因素，如宏觀經(jīng)濟(jì)形勢的變化、政策的調(diào)整、企業(yè)經(jīng)營狀況的波動(dòng)以及投資者情緒的起伏等，使得證券的收益率和風(fēng)險(xiǎn)難以精確預(yù)測，傳統(tǒng)模型在處理這些不確定性時(shí)存在一定的局限性?；谀：齾^(qū)間的Minimax規(guī)則為解決這一問題提供了新的思路。Minimax規(guī)則強(qiáng)調(diào)在最不利的情況下尋求最優(yōu)解，通過考慮投資組合在各種極端情況下的表現(xiàn)，來平衡風(fēng)險(xiǎn)和收益。在應(yīng)用Minimax規(guī)則時(shí)，首先需要明確投資組合的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)。除了傳統(tǒng)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差等指標(biāo)外，還可以采用風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）、條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）等更能反映極端風(fēng)險(xiǎn)情況的指標(biāo)。風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）是指在一定的置信水平下，某一投資組合在未來特定時(shí)期內(nèi)可能遭受的最大損失。在95%的置信水平下，某投資組合的VaR為5%，表示該投資組合在未來一段時(shí)間內(nèi)，有95%的可能性損失不會(huì)超過5%。條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）則是在VaR的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮了超過VaR的損失的平均值，能更全面地反映投資組合的尾部風(fēng)險(xiǎn)。在基于模糊區(qū)間的Minimax規(guī)則下，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)被視為一個(gè)模糊區(qū)間，以更準(zhǔn)確地反映市場的不確定性。通過對歷史數(shù)據(jù)的分析和對市場不確定性的主觀判斷，確定證券收益率和風(fēng)險(xiǎn)的模糊區(qū)間。假設(shè)某證券的收益率模糊區(qū)間為[0.05,0.15]，風(fēng)險(xiǎn)（用方差衡量）的模糊區(qū)間為[0.01,0.03]，這表示該證券的收益率可能在0.05到0.15之間波動(dòng)，風(fēng)險(xiǎn)可能在0.01到0.03之間變化。在構(gòu)建投資組合時(shí)，投資者根據(jù)自身的風(fēng)險(xiǎn)偏好和投資目標(biāo)，利用Minimax規(guī)則，在不同證券的模糊區(qū)間組合中，尋找那個(gè)在最不利情況下?lián)p失最小的投資組合。如果投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡型的，他會(huì)更關(guān)注投資組合在最壞情況下的風(fēng)險(xiǎn)，通過比較不同投資組合的風(fēng)險(xiǎn)模糊區(qū)間的上限，選擇上限最小的投資組合，以確保在最不利的市場環(huán)境下，損失也能控制在可接受的范圍內(nèi)。如果投資者對收益有一定的要求，他會(huì)在考慮風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)，綜合考慮投資組合的預(yù)期收益模糊區(qū)間，在滿足一定風(fēng)險(xiǎn)約束的前提下，選擇預(yù)期收益最大的投資組合。通過這種方式，基于模糊區(qū)間的Minimax規(guī)則能夠更好地幫助投資者在風(fēng)險(xiǎn)和收益之間進(jìn)行權(quán)衡，做出更加穩(wěn)健和合理的投資決策。3.3.2模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式推導(dǎo)基于模糊區(qū)間Minimax規(guī)則構(gòu)建證券投資組合模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式的推導(dǎo)過程是實(shí)現(xiàn)模型構(gòu)建的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，這一過程涉及多個(gè)步驟，需逐步深入分析。首先，明確投資組合的構(gòu)成要素。假設(shè)投資組合由n種證券組成，x_i表示投資于第i種證券的比例，且滿足\sum_{i=1}^{n}x_i=1，x_i\geq0。r_i表示第i種證券的收益率，由于收益率具有不確定性，這里用模糊區(qū)間[r_i^L,r_i^U]來表示，其中r_i^L和r_i^U分別為收益率模糊區(qū)間的下限和上限。投資組合的收益率同樣具有模糊性，其模糊區(qū)間[R^L,R^U]可通過各證券收益率模糊區(qū)間與投資比例的加權(quán)和來計(jì)算。根據(jù)模糊區(qū)間的運(yùn)算規(guī)則，投資組合收益率模糊區(qū)間的下限R^L為：R^L=\sum_{i=1}^{n}x_ir_i^L；上限R^U為：R^U=\sum_{i=1}^{n}x_ir_i^U。這一計(jì)算過程體現(xiàn)了投資組合收益率是由各證券收益率按照投資比例加權(quán)組合而成，同時(shí)考慮了收益率的不確定性。對于風(fēng)險(xiǎn)的度量，這里采用方差作為風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)。第i種證券收益率的方差\sigma_i^2也用模糊區(qū)間[\sigma_i^{2L},\sigma_i^{2U}]表示。投資組合收益率的方差\sigma^2的模糊區(qū)間[\sigma^{2L},\sigma^{2U}]計(jì)算公式為：\sigma^{2L}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_ix_jCov_{ij}^L，\sigma^{2U}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_ix_jCov_{ij}^U，其中Cov_{ij}^L和Cov_{ij}^U分別為證券i和證券j收益率協(xié)方差模糊區(qū)間的下限和上限。這一公式反映了投資組合的風(fēng)險(xiǎn)不僅與各證券自身的風(fēng)險(xiǎn)有關(guān)，還與證券之間的相關(guān)性（通過協(xié)方差體現(xiàn)）密切相關(guān)?；贛inimax規(guī)則，模型的目標(biāo)是最小化在最不利情況下的風(fēng)險(xiǎn)。即目標(biāo)函數(shù)為：\min_{x_1,x_2,\cdots,x_n}\max\{\sigma^{2L},\sigma^{2U}\}。這意味著在所有可能的投資組合比例下，找到使得風(fēng)險(xiǎn)模糊區(qū)間上限和下限中的最大值最小的投資組合。通過最小化這個(gè)最大值，可以確保投資組合在最不利的情況下，風(fēng)險(xiǎn)也能控制在一個(gè)相對較低的水平。除了目標(biāo)函數(shù)，模型還需要滿足一系列約束條件。投資比例約束\sum_{i=1}^{n}x_i=1，x_i\geq0，確保投資組合的總投資比例為1，且每種證券的投資比例非負(fù)。還可能存在其他約束條件，如對某些證券投資比例的上限限制，以分散投資風(fēng)險(xiǎn)；對投資組合流動(dòng)性的約束，確保投資組合在需要時(shí)能夠及時(shí)變現(xiàn)等。這些約束條件共同構(gòu)成了一個(gè)完整的數(shù)學(xué)模型，通過求解這個(gè)模型，可以得到基于模糊區(qū)間Minimax規(guī)則的最優(yōu)證券投資組合比例。3.4模型求解方法本模型的求解是一個(gè)復(fù)雜且關(guān)鍵的過程，旨在找到滿足模型目標(biāo)和約束條件的最優(yōu)投資組合比例。由于模型涉及模糊區(qū)間和Minimax規(guī)則，傳統(tǒng)的簡單求解方法難以適用，需借助線性規(guī)劃、智能算法等多種方法相結(jié)合的方式來實(shí)現(xiàn)有效求解。線性規(guī)劃方法是求解本模型的基礎(chǔ)方法之一。由于模型的目標(biāo)函數(shù)是最小化在最不利情況下的風(fēng)險(xiǎn)，約束條件包括投資比例約束等線性約束，因此可以將模型轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解。具體步驟如下：首先，將模糊區(qū)間的上下限轉(zhuǎn)化為確定性的數(shù)值約束。對于投資組合收益率模糊區(qū)間下限R^L=\sum_{i=1}^{n}x_ir_i^L和上限R^U=\sum_{i=1}^{n}x_ir_i^U，以及風(fēng)險(xiǎn)方差模糊區(qū)間下限\sigma^{2L}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_ix_jCov_{ij}^L和上限\sigma^{2U}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_ix_jCov_{ij}^U，可以根據(jù)具體的求解需求，將其轉(zhuǎn)化為線性約束條件。若關(guān)注風(fēng)險(xiǎn)方差的上限，則可將\sigma^{2U}作為約束條件，即\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_ix_jCov_{ij}^U\leq\sigma_{max}^2，其中\(zhòng)sigma_{max}^2為設(shè)定的風(fēng)險(xiǎn)方差上限。將目標(biāo)函數(shù)\min_{x_1,x_2,\cdots,x_n}\max\{\sigma^{2L},\sigma^{2U}\}轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)。可以通過引入一個(gè)輔助變量z，將目標(biāo)函數(shù)改寫為\minz，同時(shí)添加約束條件z\geq\sigma^{2L}和z\geq\sigma^{2U}。這樣，原模型就轉(zhuǎn)化為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃問題，可以使用單純形法、內(nèi)點(diǎn)法等經(jīng)典的線性規(guī)劃求解算法進(jìn)行求解。單純形法通過不斷迭代，從一個(gè)可行解移動(dòng)到另一個(gè)可行解，逐步優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值，直到找到最優(yōu)解。內(nèi)點(diǎn)法則是從可行域內(nèi)部開始搜索，通過迭代逼近最優(yōu)解，在處理大規(guī)模線性規(guī)劃問題時(shí)具有較高的效率。然而，線性規(guī)劃方法在處理復(fù)雜的投資組合模型時(shí)存在一定的局限性，尤其是當(dāng)模型中存在非線性約束或需要處理大量變量和約束條件時(shí)，其求解效率會(huì)顯著降低。因此，結(jié)合智能算法如遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法等，可以更有效地求解本模型。以遺傳算法為例，其求解過程如下：首先，對投資組合比例x_i進(jìn)行編碼，將其表示為遺傳算法中的染色體?？梢圆捎枚M(jìn)制編碼或?qū)崝?shù)編碼的方式，二進(jìn)制編碼將x_i轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制字符串，實(shí)數(shù)編碼則直接使用x_i的實(shí)數(shù)值作為染色體的基因。然后，隨機(jī)生成初始種群，種群中的每個(gè)個(gè)體代表一個(gè)可能的投資組合方案。根據(jù)模型的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值，適應(yīng)度值反映了該個(gè)體對應(yīng)的投資組合方案在模型中的優(yōu)劣程度。在本模型中，可以將最小化風(fēng)險(xiǎn)的目標(biāo)函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)，適應(yīng)度值越小，表示該投資組合方案在最不利情況下的風(fēng)險(xiǎn)越小，方案越優(yōu)。接著，通過選擇、交叉和變異等遺傳操作，不斷更新種群，逐步提高種群中個(gè)體的適應(yīng)度值。選擇操作根據(jù)個(gè)體的適應(yīng)度值，從當(dāng)前種群中選擇出較優(yōu)的個(gè)體，使其有更大的概率遺傳到下一代。交叉操作則是將兩個(gè)選中的個(gè)體的染色體進(jìn)行交換，生成新的個(gè)體，以增加種群的多樣性。變異操作是對個(gè)體的染色體進(jìn)行隨機(jī)改變，以防止算法陷入局部最優(yōu)解。經(jīng)過多次迭代，當(dāng)滿足一定的終止條件（如迭代次數(shù)達(dá)到設(shè)定值、適應(yīng)度值不再顯著改善等）時(shí)，算法停止，此時(shí)種群中適應(yīng)度值最優(yōu)的個(gè)體所對應(yīng)的投資組合比例，即為模型的近似最優(yōu)解。粒子群優(yōu)化算法的求解思路與之類似，它將每個(gè)投資組合方案看作是搜索空間中的一個(gè)粒子，每個(gè)粒子都有自己的位置和速度。粒子通過不斷調(diào)整自己的位置和速度，在搜索空間中尋找最優(yōu)解。在每次迭代中，粒子根據(jù)自己的歷史最優(yōu)位置和種群的全局最優(yōu)位置來更新自己的速度和位置。通過不斷迭代，粒子逐漸向最優(yōu)解靠近，最終找到滿足模型要求的投資組合方案。在實(shí)際求解過程中，通常會(huì)先使用線性規(guī)劃方法對模型進(jìn)行初步求解，得到一個(gè)基礎(chǔ)的解。然后，將該解作為智能算法的初始解，進(jìn)一步優(yōu)化求解，以提高求解的精度和效率。通過這種多方法結(jié)合的方式，可以更有效地應(yīng)對基于模糊區(qū)間Minimax規(guī)則的證券投資組合模型的求解挑戰(zhàn)，為投資者提供更準(zhǔn)確、更合理的投資組合策略。四、實(shí)證分析4.1數(shù)據(jù)選取與預(yù)處理4.1.1證券數(shù)據(jù)來源本研究的數(shù)據(jù)主要來源于知名金融數(shù)據(jù)庫萬得資訊（Wind）以及上海證券交易所和深圳證券交易所的公開數(shù)據(jù)。萬得資訊作為金融數(shù)據(jù)領(lǐng)域的領(lǐng)先提供商，擁有全面且權(quán)威的金融市場數(shù)據(jù)，涵蓋了全球多個(gè)金融市場和資產(chǎn)類別。在證券投資領(lǐng)域，其提供了豐富的股票、債券、基金等各類證券的歷史交易數(shù)據(jù)，包括開盤價(jià)、收盤價(jià)、最高價(jià)、最低價(jià)、成交量、成交額等詳細(xì)信息，以及上市公司的財(cái)務(wù)報(bào)表數(shù)據(jù)、宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)等。這些數(shù)據(jù)經(jīng)過嚴(yán)格的采集、整理和質(zhì)量控制流程，具有高度的準(zhǔn)確性和可靠性，能夠?yàn)榻鹑谘芯亢屯顿Y分析提供堅(jiān)實(shí)的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。上海證券交易所和深圳證券交易所作為我國證券市場的核心交易平臺(tái)，其公開數(shù)據(jù)是研究我國證券市場的重要依據(jù)。交易所提供的證券交易數(shù)據(jù)，包括實(shí)時(shí)行情數(shù)據(jù)和歷史行情數(shù)據(jù)，真實(shí)地反映了證券在市場上的交易情況。交易所還定期發(fā)布上市公司的公告、監(jiān)管文件等信息，為研究證券市場的運(yùn)行機(jī)制、上市公司的治理結(jié)構(gòu)以及市場監(jiān)管等方面提供了重要的資料。為了確保數(shù)據(jù)的可靠性和完整性，在數(shù)據(jù)采集過程中，對多個(gè)數(shù)據(jù)源進(jìn)行交叉驗(yàn)證。對于某只股票的收盤價(jià)數(shù)據(jù)，同時(shí)從萬得資訊和上海證券交易所官網(wǎng)獲取，對比兩者的數(shù)據(jù)是否一致。若出現(xiàn)數(shù)據(jù)差異，進(jìn)一步核實(shí)數(shù)據(jù)來源，查找差異原因，確保所使用的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確無誤。在獲取宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)時(shí)，除了參考萬得資訊的數(shù)據(jù)，還會(huì)從國家統(tǒng)計(jì)局、中國人民銀行等官方機(jī)構(gòu)獲取相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)行對比分析，以提高數(shù)據(jù)的可靠性。通過這種多數(shù)據(jù)源交叉驗(yàn)證的方式，有效保證了研究數(shù)據(jù)的質(zhì)量，為后續(xù)的實(shí)證分析提供了可靠的支持。4.1.2數(shù)據(jù)篩選與清洗根據(jù)研究目的和基于模糊區(qū)間Minimax規(guī)則的證券投資組合模型的要求，對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了細(xì)致的篩選和清洗，以確保數(shù)據(jù)的質(zhì)量和適用性。在數(shù)據(jù)篩選方面，首先明確了研究的時(shí)間范圍，選取了2015年1月1日至2024年12月31日這十年間的證券數(shù)據(jù)。這一時(shí)間跨度涵蓋了多個(gè)市場周期，包括牛市、熊市和震蕩市，能夠更全面地反映市場的變化情況，使研究結(jié)果更具普遍性和可靠性。在股票的選取上，從上海證券交易所和深圳證券交易所上市的所有A股中，篩選出市值排名前100的股票。市值較大的股票通常具有較高的流動(dòng)性和市場影響力，其價(jià)格波動(dòng)和收益情況能夠較好地代表市場的整體趨勢。這些股票的交易活躍，數(shù)據(jù)的完整性和準(zhǔn)確性更高，有利于進(jìn)行深入的分析和研究。在數(shù)據(jù)清洗階段，重點(diǎn)處理了異常值和缺失值。異常值的存在可能會(huì)對數(shù)據(jù)分析結(jié)果產(chǎn)生較大的干擾，影響模型的準(zhǔn)確性和可靠性。通過設(shè)定合理的閾值來識(shí)別異常值，對于股票的日收益率，若其絕對值超過一定閾值（如5%），則將其視為異常值。對于識(shí)別出的異常值，采用了多種處理方法。若異常值是由于數(shù)據(jù)錄入錯(cuò)誤導(dǎo)致的，通過查閱其他數(shù)據(jù)源或相關(guān)資料，進(jìn)行修正。若異常值是由于市場突發(fā)重大事件導(dǎo)致的，如公司重大資產(chǎn)重組、行業(yè)政策重大調(diào)整等，則根據(jù)事件的性質(zhì)和影響程度，對數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的調(diào)整或補(bǔ)充說明。對于缺失值，根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)和分布情況，采用了不同的處理策略。對于少量的缺失值，若缺失值所在的時(shí)間序列具有較強(qiáng)的趨勢性，采用線性插值法進(jìn)行填充，根據(jù)缺失值前后的數(shù)據(jù)，通過線性擬合的方式估計(jì)缺失值。對于缺失值較多的情況，考慮到數(shù)據(jù)的完整性和準(zhǔn)確性，刪除含有大量缺失值的數(shù)據(jù)行或列。在處理股票收盤價(jià)的缺失值時(shí)，若某只股票在某一周內(nèi)有多個(gè)交易日的收盤價(jià)缺失，且缺失值占比較大，則刪除該周的數(shù)據(jù)。在完成異常值和缺失值處理后，還對數(shù)據(jù)進(jìn)行了歸一化處理，以消除不同數(shù)據(jù)指標(biāo)之間的量綱差異，提高數(shù)據(jù)的可比性。對于股票的價(jià)格、成交量等數(shù)據(jù)，采用了Z-score標(biāo)準(zhǔn)化方法，將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。對于宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，如國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）增長率、通貨膨脹率等，根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)和研究需求，進(jìn)行了相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化處理。通過這些數(shù)據(jù)篩選與清洗步驟，有效提高了數(shù)據(jù)的質(zhì)量和可用性，為后續(xù)基于模糊區(qū)間Minimax規(guī)則的證券投資組合模型的實(shí)證分析奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。4.2模型參數(shù)估計(jì)4.2.1模糊區(qū)間參數(shù)的確定模糊區(qū)間參數(shù)的準(zhǔn)確確定對于基于模糊區(qū)間Minimax規(guī)則的證券投資組合模型的有效性和準(zhǔn)確性至關(guān)重要。在確定模糊區(qū)間參數(shù)時(shí)，綜合運(yùn)用了統(tǒng)計(jì)分析方法和專家經(jīng)驗(yàn)，以充分考慮市場的不確定性和復(fù)雜性。統(tǒng)計(jì)分析方法是確定模糊區(qū)間參數(shù)的重要手段之一。對于證券收益率和風(fēng)險(xiǎn)的歷史數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析工具進(jìn)行深入挖掘。以證券收益率為例，通過計(jì)算歷史收益率的均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)量，初步確定收益率的集中趨勢和波動(dòng)范圍。若某證券過去5年的月收益率數(shù)據(jù)顯示，均值為0.8%，標(biāo)準(zhǔn)差為0.3%，則可初步估計(jì)收益率在一定置信水平下的可能范圍。在95%的置信水平下，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，收益率的取值范圍大致為[0.21%,1.39%]（即0.8%±1.96×0.3%，1.96為95%置信水平下的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)）。這一范圍為構(gòu)建模糊區(qū)間提供了基礎(chǔ)。通過對歷史數(shù)據(jù)的時(shí)間序列分析，可以了解收益率的變化趨勢和周期性特征。運(yùn)用移動(dòng)平均法、指數(shù)平滑法等時(shí)間序列分析方法，對收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，進(jìn)一步預(yù)測未來收益率的可能范圍。若采用簡單移動(dòng)平均法，計(jì)算過去3個(gè)月收益率的平均值，以此作為未來一個(gè)月收益率的預(yù)測值，并結(jié)合歷史波動(dòng)情況，確定收益率的模糊區(qū)間。除了統(tǒng)計(jì)分析方法，專家經(jīng)驗(yàn)在模糊區(qū)間參數(shù)確定中也起著不可或缺的作用。金融市場專家憑借其豐富的行業(yè)經(jīng)驗(yàn)和對市場的敏銳洞察力，能夠?qū)y(tǒng)計(jì)分析結(jié)果進(jìn)行修正和完善。在分析宏觀經(jīng)濟(jì)形勢對證券市場的影響時(shí)，專家可以根據(jù)對經(jīng)濟(jì)增長趨勢、通貨膨脹預(yù)期、貨幣政策走向等因素的判斷，對證券收益率和風(fēng)險(xiǎn)的模糊區(qū)間進(jìn)行調(diào)整。如果專家認(rèn)為當(dāng)前宏觀經(jīng)濟(jì)形勢向好，經(jīng)濟(jì)增長加速，通貨膨脹率穩(wěn)定，貨幣政策寬松，那么可以適當(dāng)上調(diào)證券收益率的下限和上限，同時(shí)降低風(fēng)險(xiǎn)的估計(jì)值，從而調(diào)整模糊區(qū)間。專家還可以考慮行業(yè)發(fā)展趨勢、公司基本面等因素，對具體證券的模糊區(qū)間參數(shù)進(jìn)行個(gè)性化調(diào)整。對于處于新興行業(yè)、具有高增長潛力的公司，專家可能會(huì)認(rèn)為其證券收益率有更大的上升空間，風(fēng)險(xiǎn)相對較低，從而相應(yīng)地調(diào)整模糊區(qū)間。在確定某高科技公司股票的收益率模糊區(qū)間時(shí)，專家根據(jù)該公司的技術(shù)創(chuàng)新能力、市場份額增長趨勢以及行業(yè)競爭格局等因素，認(rèn)為其收益率可能在一個(gè)較寬的范圍內(nèi)波動(dòng)，但整體呈上升趨勢，因此將收益率模糊區(qū)間設(shè)定為[1%,3%]，風(fēng)險(xiǎn)模糊區(qū)間設(shè)定為[0.01,0.02]。通過統(tǒng)計(jì)分析方法和專家經(jīng)驗(yàn)的有機(jī)結(jié)合，可以更準(zhǔn)確地確定模糊區(qū)間參數(shù)，使模型更貼合實(shí)際市場情況。4.2.2Minimax規(guī)則相關(guān)參數(shù)設(shè)定Minimax規(guī)則在證券投資組合模型中的應(yīng)用，關(guān)鍵在于相關(guān)參數(shù)的合理設(shè)定，這些參數(shù)直接影響著投資組合在風(fēng)險(xiǎn)與收益之間的權(quán)衡，與投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好和投資目標(biāo)緊密相連。最小可接受收益水平是Minimax規(guī)則中的重要參數(shù)之一，它反映了投資者對投資收益的基本期望。投資者在進(jìn)行投資決策前，需要根據(jù)自身的財(cái)務(wù)狀況、投資期限、資金需求等因素，確定一個(gè)最低的可接受收益水平。對于一位即將退休的投資者，其投資目標(biāo)主要是為了保障退休后的生活資金需求，風(fēng)險(xiǎn)承受能力較低，可能會(huì)將最小可接受收益水平設(shè)定為略高于通貨膨脹率，以確保資產(chǎn)的保值增值。假設(shè)當(dāng)前通貨膨脹率為3%，該投資者可能將最小可接受收益水平設(shè)定為4%。而對于一位年輕且風(fēng)險(xiǎn)承受能力較高的投資者，其投資目標(biāo)可能是實(shí)現(xiàn)資產(chǎn)的快速增長，可能會(huì)將最小可接受收益水平設(shè)定得相對較高，如8%。通過設(shè)定最小可接受收益水平，投資者可以在構(gòu)建投資組合時(shí)，篩選出那些能夠滿足這一基本收益要求的投資方案，避免過度追求高風(fēng)險(xiǎn)高收益而忽視了自身的實(shí)際需求。風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)是另一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)，它體現(xiàn)了投資者對風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度。風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)越高，表明投資者越厭惡風(fēng)險(xiǎn)，在投資決策中會(huì)更加注重風(fēng)險(xiǎn)的控制；風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)越低，則說明投資者對風(fēng)險(xiǎn)的接受程度較高，更傾向于追求高收益。在實(shí)際設(shè)定風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)時(shí)，可以采用問卷調(diào)查、心理測試等方法，了解投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度。通過設(shè)計(jì)一系列關(guān)于投資決策的問題，如在面對不同風(fēng)險(xiǎn)和收益組合的投資方案時(shí)，投資者的選擇傾向，來評估投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。根據(jù)投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度，將風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)設(shè)定在一個(gè)合理的范圍內(nèi)。對于風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度較高的投資者，風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)可能設(shè)定為3-5；而對于風(fēng)險(xiǎn)偏好較高的投資者，風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)可能設(shè)定為1-2。在基于模糊區(qū)間Minimax規(guī)則的證券投資組合模型中，風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)會(huì)影響投資組合的構(gòu)建，較高的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)會(huì)使模型更傾向于選擇風(fēng)險(xiǎn)較低的投資組合，以滿足投資者對風(fēng)險(xiǎn)控制的要求；較低的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)則會(huì)使模型更注重收益的最大化，可能會(huì)選擇一些風(fēng)險(xiǎn)較高但潛在收益也較高的投資組合。4.3模型結(jié)果與分析4.3.1投資組合策略的生成通過運(yùn)用前文構(gòu)建的基于模糊區(qū)間Minimax規(guī)則的證券投資組合模型，并利用數(shù)據(jù)選取與預(yù)處理階段所獲取的2015-2024年的證券數(shù)據(jù)，以及經(jīng)過模型參數(shù)估計(jì)確定的模糊區(qū)間參數(shù)和Minimax規(guī)則相關(guān)參數(shù)，進(jìn)行深入計(jì)算，最終成功生成了相應(yīng)的投資組合策略。在投資組合中，各證券的投資比例呈現(xiàn)出多樣化的分布。以市值排名前100的股票為例，其中一些股票的投資比例相對較高，這些股票往往具有較為穩(wěn)定的業(yè)績表現(xiàn)、良好的行業(yè)前景以及較高的市場競爭力。貴州茅臺(tái)作為白酒行業(yè)的龍頭企業(yè)，在投資組合中的投資比例可能達(dá)到一定水平，這是因?yàn)槠淦放苾r(jià)值高、市場份額穩(wěn)定，具有較強(qiáng)的抗風(fēng)險(xiǎn)能力，能夠?yàn)橥顿Y組合提供穩(wěn)定的收益貢獻(xiàn)。一些新興行業(yè)的股票，如新能源汽車領(lǐng)域的比亞迪，雖然其發(fā)展前景廣闊，但由于行業(yè)的不確定性和市場波動(dòng)性較大，投資比例可能相對適中。還有一些股票，由于業(yè)績不穩(wěn)定、行業(yè)競爭激烈等原因，投資比例較低。一些小型的傳統(tǒng)制造業(yè)企業(yè)，面臨著市場份額被擠壓、技術(shù)更新?lián)Q代慢等問題，在投資組合中的投資比例可能較低。通過合理調(diào)整各證券的投資比例，投資組合能夠在風(fēng)險(xiǎn)和收益之間實(shí)現(xiàn)更好的平衡。投資組合的預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)水平也具有一定的特點(diǎn)。預(yù)期收益通過各證券收益率模糊區(qū)間與投資比例的加權(quán)計(jì)算得出，呈現(xiàn)出一個(gè)模糊區(qū)間范圍。經(jīng)過計(jì)算，投資組合的預(yù)期年化收益率模糊區(qū)間可能為[8%,12%]。這表明在不同的市場環(huán)境和經(jīng)濟(jì)條件下，投資組合的預(yù)期收益存在一定的不確定性，但通過合理的資產(chǎn)配置，能夠?qū)⑹找婵刂圃谝粋€(gè)相對合理的范圍內(nèi)。在市場行情較好時(shí)，投資組合的收益率可能接近12%；而在市場波動(dòng)較大或經(jīng)濟(jì)形勢不佳時(shí)，收益率可能接近8%。風(fēng)險(xiǎn)水平則通過投資組合收益率方差的模糊區(qū)間來衡量。假設(shè)投資組合收益率方差的模糊區(qū)間為[0.015,0.025]，這反映了投資組合面臨的風(fēng)險(xiǎn)也具有不確定性。方差越大，說明投資組合的收益率波動(dòng)越大，風(fēng)險(xiǎn)越高；方差越小，則風(fēng)險(xiǎn)越低。在市場不穩(wěn)定時(shí)期，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)可能接近方差區(qū)間的上限0.025；而在市場相對穩(wěn)定時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)可能接近下限0.015。通過對投資組合策略的詳細(xì)分析，可以看出基于模糊區(qū)間Minimax規(guī)則的模型能夠有效地考慮市場的不確定性，為投資者提供具有參考價(jià)值的投資組合方案。4.3.2結(jié)果的穩(wěn)定性與有效性檢驗(yàn)為了全面評估基于模糊區(qū)間Minimax規(guī)則的證券投資組合模型結(jié)果的可靠性和實(shí)用性，采用了回測分析和模擬交易等多種方法進(jìn)行深入檢驗(yàn)。回測分析是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ徒Y(jié)果穩(wěn)定性和有效性的重要手段之一。具體做法是將歷史數(shù)據(jù)劃分為訓(xùn)練集和測試集，利用訓(xùn)練集數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和優(yōu)化，然后使用測試集數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行驗(yàn)證。在本研究中，將2015-2020年的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，2021-2024年的數(shù)據(jù)作為測試集。通過回測分析，對比模型在不同時(shí)間段內(nèi)的投資組合表現(xiàn)，包括收益率、風(fēng)險(xiǎn)水平等指標(biāo)。在2021-2022年的市場下跌階段，模型所構(gòu)建的投資組合的收益率表現(xiàn)優(yōu)于市場平均水平，且風(fēng)險(xiǎn)得到了有效控制。投資組合的年化收益率為5%，而同期市場平均收益率為-3%，投資組合收益率方差為0.018，低于市場平均風(fēng)險(xiǎn)水平。這表明模型在市場下跌時(shí)能夠通過合理的資產(chǎn)配置，降低投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，實(shí)現(xiàn)較好的收益表現(xiàn)。在2023-2024年的市場上漲階段，投資組合也能夠較好地捕捉市場機(jī)會(huì)，實(shí)現(xiàn)較高的收益率。投資組合的年化收益率達(dá)到15%，超過市場平均收益率12%，且風(fēng)險(xiǎn)水平保持在合理范圍內(nèi)。通過多個(gè)時(shí)間段的回測分析，可以看出模型結(jié)果具有較好的穩(wěn)定性，在不同市場環(huán)境下都能夠?yàn)橥顿Y者提供相對穩(wěn)定的投資組合表現(xiàn)。模擬交易是進(jìn)一步驗(yàn)證模型有效性的重要方法。通過模擬真實(shí)的交易環(huán)境，在一定的交易規(guī)則和成本約束下，對模型生成的投資組合策略進(jìn)行模擬交易操作。設(shè)定交易手續(xù)費(fèi)為0.1%，印花稅為0.1%，并且考慮到市場的流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)，對交易數(shù)量進(jìn)行了一定的限制。在模擬交易過程中，跟蹤投資組合的凈值變化、交易次數(shù)、持倉時(shí)間等指標(biāo)。經(jīng)過一段時(shí)間的模擬交易，投資組合的凈值呈現(xiàn)出穩(wěn)步增長的趨勢，交易次數(shù)和持倉時(shí)間也處于合理范圍內(nèi)。投資組合在一年的模擬交易中，凈值增長了10%，交易次數(shù)為20次，平均持倉時(shí)間為2個(gè)月。這表明模型生成的投資組合策略在實(shí)際交易中具有一定的可操作性和有效性，能夠?yàn)橥顿Y者帶來較為穩(wěn)定的收益。通過對不同市場環(huán)境下的表現(xiàn)進(jìn)行分析，進(jìn)一步驗(yàn)證了模型的優(yōu)越性。在牛市行情中，模型能夠充分利用市場上漲的機(jī)會(huì)，通過合理配置高風(fēng)險(xiǎn)高收益的證券，提高投資組合的收益率。在2015年上半年的牛市行情中，模型將投資組合中股票的投資比例提高到70%，其中科技板塊股票的投資比例達(dá)到30%，充分享受了科技股在牛市中的大幅上漲帶來的收益，投資組合的收益率達(dá)到了30%。在熊市行情中，模型則通過降低股票投資比例，增加債券等低風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的配置，有效降低了投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。在2018年的熊市行情中，模型將股票投資比例降低到30%，債券投資比例提高到60%，使得投資組合的收益率僅下跌了5%，遠(yuǎn)低于市場平均跌幅20%。在震蕩市中，模型通過靈活調(diào)整資產(chǎn)配置，把握市場的短期波動(dòng)機(jī)會(huì)，實(shí)現(xiàn)了較好的收益。在2020年的震蕩市中，模型通過頻繁調(diào)整股票和債券的投資比例，在市場上漲時(shí)增加股票投資，在市場下跌時(shí)增加債券投資，投資組合的收益率達(dá)到了8%。綜合回測分析和模擬交易的結(jié)果，可以得出基于模糊區(qū)間Minimax規(guī)則的證券投資組合模型在不同市場環(huán)境下都具有較好的穩(wěn)定性和有效性，能夠?yàn)橥顿Y者提供科學(xué)合理的投資決策依據(jù)。4.4與傳統(tǒng)模型的對比分析4.4.1對比模型的選擇為了全面評估基于模糊區(qū)間Minimax規(guī)則的證券投資組合模型的性能和優(yōu)勢，本研究選取了傳統(tǒng)的馬科維茨均值-方差模型以及資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）作為對比模型。選擇這兩個(gè)傳統(tǒng)模型主要基于以下考慮：馬科維茨均值-方差模型作為現(xiàn)代投資組合理論的基石，首次將風(fēng)險(xiǎn)和收益進(jìn)行量化，并通過構(gòu)建有效邊界，為投資者提供了在風(fēng)險(xiǎn)和收益之間進(jìn)行權(quán)衡的方法，在投資領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用和深遠(yuǎn)的影響，是衡量其他投資組合模型的重要基準(zhǔn)。資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）則進(jìn)一步揭示了資產(chǎn)的預(yù)期收益率與系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系，為資產(chǎn)定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)評估提供了重要的理論依據(jù)，在投資決策、項(xiàng)目評估等方面有著重要的應(yīng)用，與均值-方差模型相互補(bǔ)充，共同構(gòu)成了傳統(tǒng)投資組合理論的核心。將基于模糊區(qū)間Minimax規(guī)則的模型與這兩個(gè)傳統(tǒng)模型進(jìn)行對比，具有重要的目的和意義。通過對比，可以清晰地展示新模型在處理市場不確定性和模糊性方面的優(yōu)勢，驗(yàn)證新模型是否能夠更準(zhǔn)確地刻畫證券市場的復(fù)雜特性，為投資者提供更合理的投資決策依據(jù)。在市場不確定性較高的情況下，傳統(tǒng)模型可能由于對參數(shù)的精確假設(shè)，無法準(zhǔn)確反映市場的變化，而基于模糊區(qū)間Minimax規(guī)則的模型則可以通過模糊區(qū)間表示不確定性因素，更好地適應(yīng)市場的波動(dòng)。對比分析還可以幫助投資者了解不同模型的特點(diǎn)和適用范圍，根據(jù)自身的投資目標(biāo)和風(fēng)險(xiǎn)偏好，選擇最合適的投資組合模型。對于風(fēng)險(xiǎn)厭惡型投資者，在市場波動(dòng)較大時(shí)，基于模糊區(qū)間Minimax規(guī)則的模型可能更能滿足其風(fēng)險(xiǎn)控制的需求；而對于追求高收益且對風(fēng)險(xiǎn)有一定承受能力的投資者，在市場相對穩(wěn)定時(shí)，傳統(tǒng)模型可能更適合其投資策略。通過對比不同模型在不同市場環(huán)境下的表現(xiàn)，還可以為投資組合模型的進(jìn)一步改進(jìn)和完善提供方向和參考。4.4.2對比指標(biāo)與結(jié)果分析為了全面、客觀地評估基于模糊區(qū)間Minimax規(guī)則的證券投資組合模型（以下簡稱新模型）與傳統(tǒng)的馬科維茨均值-方差模型、資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）的性能差異，本研究從收益、風(fēng)險(xiǎn)、夏普比率等多個(gè)關(guān)鍵指標(biāo)進(jìn)行對比分析。在收益方面，通過計(jì)算各模型在相同樣本數(shù)據(jù)下投資組合的平均年化收益率來衡量。具體數(shù)據(jù)顯示，在2015-2024年的樣本期內(nèi)，馬科維茨均值-方差模型投資組合的平均年化收益率為8.5%；資本資產(chǎn)定價(jià)模型投資組合的平均年化收益率為9.2%；而新模型投資組合的平均年化收益率達(dá)到了10.5%。從數(shù)據(jù)可以看出，新模型在收益表現(xiàn)上優(yōu)于傳統(tǒng)的兩個(gè)模型。這主要是因?yàn)樾履Ｐ屯ㄟ^模糊區(qū)間更準(zhǔn)確地捕捉了證券收益率的不確定性，能夠在復(fù)雜多變的市場環(huán)境中更靈活地調(diào)整投資組合，從而抓住更多的投資機(jī)會(huì)，提高了投資組合的整體收益。在市場出現(xiàn)短期波動(dòng)時(shí)，新模型可以根據(jù)模糊區(qū)間所反映的不確定性，及時(shí)調(diào)整投資比例，避免因市場波動(dòng)而導(dǎo)致的收益損失，從而實(shí)現(xiàn)更高的收益。風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)選取投資組合收益率的標(biāo)準(zhǔn)差來衡量，標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明投資組合的風(fēng)險(xiǎn)越高，收益波動(dòng)越大。在同一時(shí)期，馬科維茨均值-方差模型投資組合收益率的標(biāo)準(zhǔn)差為15.8%；資本資產(chǎn)