.4：函數(shù)的應用（一）【考點歸納】【知識梳理】知識點一一次函數(shù)模型形如y＝kx＋b的函數(shù)為一次函數(shù)模型，其中k≠0.知識點二二次函數(shù)模型1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．2．頂點式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)．3．兩點式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．知識點三冪函數(shù)模型1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0)．2．單調(diào)性：其增長情況由xα中的α的取值而定．【例題詳解】題型一、二次函數(shù)模型【例1】．（25-26高一上·吉林白城）某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進價為20元/件．試銷階段發(fā)現(xiàn)：當銷售單價是25元時，每天的銷售量為250件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售數(shù)量就減少10件．(1)寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大．【答案】(1)(2)35元【分析】（1）根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由題意得，銷售量，則．（2）．∵，∴函數(shù)圖象為開口向下的拋物線，w有最大值，又∵對稱軸為直線，∴當時，，故當單價為35元時，該文具每天的利潤最大．【跟蹤訓練1】．（24-25高一上·廣東惠州·階段練習）某公司為了提高生產(chǎn)效率，決定投入160萬元買一套生產(chǎn)設(shè)備，預計使用該設(shè)備后，前年的支出成本為萬元，每年的銷售收入98萬元.使用若干年后對該設(shè)備處理的方案有兩種：方案一：當總盈利額達到最大值時，該設(shè)備以20萬元的價格處理；方案二：當年平均盈利額（注：年平均盈利額）達到最大值時，該設(shè)備以30萬元的價格處理.(1)設(shè)前年的總盈利額為（不含設(shè)備處理收益），寫出方案一中與的函數(shù)關(guān)系式(2)哪種方案較為合理？并說明理由.【答案】(1)(2)方案二合理，理由見解析【分析】（1）利用已知條件即可寫出與的函數(shù)關(guān)系式；（2）分別寫出兩種方案的總利潤以及所需要的時間，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）根據(jù)題意可得，則方案一中與的函數(shù)關(guān)系式為：；（2）方案一：，當時，總盈利額取得最大值90萬元，此時處理掉設(shè)備，則總利潤為萬元；方案二：由（1）可得年平均利潤額為，當且僅當即時等號成立，即當時，年平均盈利額最大為20萬元，此時總盈利額萬元，此時處理掉設(shè)備，則總利潤為萬元；綜上，兩種方案獲利都是110萬元，但方案一需要5年，而方案二僅需要4年，故方案二合理.【跟蹤訓練2】．（23-24高一上·江蘇無錫·階段練習）某公司投資5萬元，成功研制出一種市場需求量大的高科技替代產(chǎn)品，并投入資金15萬元進行批量生產(chǎn)．已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本為4元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當銷售單價定為10元時，年銷售量為2萬件；銷售單價每增加1元，年銷售量將減少萬件．設(shè)銷售單價為x元．第一年獲利y萬元．（年獲利=年銷售額-生產(chǎn)成本-投資）(1)試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)公司計劃：在第一年按年獲利最大確定的銷售單價進行銷售，第二年獲利不低于萬元．請問第二年的銷售單價應定在什么范圍內(nèi)？【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出年銷量，再列式表示出所求函數(shù)關(guān)系.（2）求出第一年獲利最大值，再列出第二年獲利的函數(shù)關(guān)系，列出不等式并求解即得.【詳解】（1）依題意，年銷量為（萬件），所以.（2）由（1）知，，當時，，即當銷售單價定為17元時，年獲利最大，并且第一年年底公司還差萬元就可收回全部投資，因此第二年的銷售單價應定元，年獲利萬元，，而，即，整理得，解得，所以第二年的銷售單價的范圍是.題型二、分段函數(shù)模型【例2】．（25-26高一上·全國·期中）2025年成都世界運動會是由國際世界運動會協(xié)會主辦的一項國際性體育盛會，競賽項目以非奧運會項目為主.2025年世界運動會將于2025年8月7日至8月17日在中國四川成都舉行，是中國大陸第一次舉辦世界運動會.據(jù)調(diào)查，國內(nèi)某公司出售一款2025年成都世界運動會吉祥物，需要固定投入300萬元費用.假設(shè)購進該款產(chǎn)品全部售出，若以80元的單價出售，可售出15萬件，且每降價1元，銷量增加五千件.若購進該產(chǎn)品數(shù)量不超過30萬件，則經(jīng)銷商按照每件30元成本收費；若購進30萬件以上，則直接與玩具公司合作，以全新方式進行銷售，此時利潤（萬元）與銷量（萬件）的關(guān)系為.(1)當購進產(chǎn)品數(shù)量為10萬件時，利潤是多少？（利潤銷售收入成本）(2)寫出利潤（萬元）關(guān)于購進產(chǎn)品數(shù)量（萬件）的函數(shù)解析式；(3)購進并銷售產(chǎn)品多少萬件時，利潤最大？此時利潤是多少？【答案】(1)200萬元(2)(3)當購進并銷售產(chǎn)品40萬件時，利潤最大，此時利潤是910萬元【分析】（1）依題意，當購進產(chǎn)品數(shù)量為10萬件時，是以80元的單價出售，每件30元成本，且需要固定投入300萬元，由此根據(jù)利潤銷售收入成本計算即可；（2）依題意，分三段：當時，當時，當時，寫出函數(shù)解析式，其中，當時，需要設(shè)降價元，并用含的式子表示.（3）計算出各段函數(shù)的最大值進行比較.當時，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性求解最大值；當時，根據(jù)二次函數(shù)的最值求解最大值；當時，根據(jù)基本不等式求解最大值.【詳解】（1）依題意，當購進產(chǎn)品數(shù)量為10萬件時，利潤是萬元.（2）當時，；當時，不妨設(shè)降價元，則，得到，所以；當時，；所以.（3）由（2）知，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，利潤最大，此時利潤是450萬元；當時，，當時，利潤最大，此時利潤是500萬元；當時，，當且僅當，即時，利潤最大，此時利潤是910萬元.因為，所以當購進并銷售產(chǎn)品40萬件時，利潤最大，此時利潤是910萬元.【跟蹤訓練1】．（24-25高一下·湖北·階段練習）“綠色出行，低碳環(huán)保”已成為新的時尚，近幾年，國家相繼出臺了一系列的環(huán)保政策，在汽車行業(yè)提出了重點扶持新能源汽車的政策，為新能源汽車行業(yè)的發(fā)展開辟了廣闊的前景．某新能源沉車配件公司為擴大生產(chǎn)，計劃改進技術(shù)生產(chǎn)某種組件，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為2000萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入成本萬元，且時，；當時，，由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每件的售價為2000元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當年能全部銷售完．(1)年利潤y（萬元）與年產(chǎn)量x（萬件）的關(guān)系式（利潤=銷售收入-成本）；(2)當該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少萬件時，公司所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？【答案】(1)(2)50；2200【分析】（1）由題意，分和兩種情況求利潤；（2）結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)及基本不等式即可求解.【詳解】（1）由題意可知，當時，，當時，，所以年利潤y（萬元）與年產(chǎn)量x（萬件）的關(guān)系式為.（2）當時，，開口向下，所以當時，；當時，，當且僅當即時，等號成立，此時，因為，所以，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為50萬件時，公司所獲年利潤最大，利潤最大為2200.【跟蹤訓練2】．（24-25高三上·安徽安慶·階段練習）隨著我國經(jīng)濟發(fā)展，醫(yī)療消費需求增長，人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進程加快等影響，醫(yī)療器械市場近年來一直保持了持續(xù)增長的趨勢．某醫(yī)療器械公司為了進一步增加市場力，計劃改進技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為300萬元，最大產(chǎn)能為100臺，每生產(chǎn)臺，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺的售價為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當年能全部銷售完．(1)寫出年利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量臺的函數(shù)解析式（利潤＝銷售收入－成本）；(2)當該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)；(2)年產(chǎn)量為60臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1680萬元【分析】（1）分和兩種情況，進行求解利潤；（2）時，可利用二次函數(shù)的特點求最大利潤值，時，利用基本不等式求最值，最后要對兩個最值比較，得出最大利潤．【詳解】（1）當時，；當時，，．（2）若，當時，萬元；若，，當且僅當時，即時，萬元，由于，故該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為60臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1680萬元．題型三、冪函數(shù)模型【例3】．（23-24高一上·重慶·期中）黨的二十大報告明確要求繼續(xù)深化國有企業(yè)改革，培育具有全球競爭力的世界一流企業(yè).某企業(yè)抓住機遇推進生產(chǎn)改革，現(xiàn)在準備從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與市場預測，生產(chǎn)產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖①；生產(chǎn)產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②（注：所示圖中的橫坐標表示投資金額，單位為萬元）．(1)分別求出生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集到12萬元資金，并全部投入、兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這12萬元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是多少？【答案】(1)，(2)產(chǎn)品投入萬元，產(chǎn)品投入萬元，才能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是萬元.【分析】（1）由題設(shè)，，根據(jù)圖象上數(shù)據(jù)得解；（2）列出企業(yè)利潤的函數(shù)解析式，利用換元法求得函數(shù)最值得解.【詳解】（1）設(shè)投資為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元由題設(shè)，，由圖知，故，又，所以．從而，．（2）設(shè)產(chǎn)品投入萬元，則產(chǎn)品投入萬元，設(shè)企業(yè)利潤為萬元，則，令，則，所以，當時，，此時.故產(chǎn)品投入萬元，產(chǎn)品投入萬元，才能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是萬元.【跟蹤訓練1】．（23-24高一上·湖北宜昌·期中）美國對中國芯片的技術(shù)封鎖，激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮.某公司研發(fā)的A，B兩種芯片都已經(jīng)獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費資金2億元，現(xiàn)在準備投入資金進行生產(chǎn).經(jīng)市場調(diào)查與預測，生產(chǎn)A芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入1億元，公司獲得毛收入0.25億元；生產(chǎn)芯片的毛收入（億元）與投入的資金（億元）的函數(shù)關(guān)系為，其圖象如圖所示.

(1)試分別求出生產(chǎn)兩種芯片的毛收入（億元）與投入資金（億元）的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果公司只生產(chǎn)一種芯片，那么生產(chǎn)哪種芯片毛收入更大？(3)現(xiàn)在公司準備投入40億元資金同時生產(chǎn)兩種芯片，設(shè)投入億元生產(chǎn)芯片，用表示公司所獲凈利潤，當為多少時，可以獲得最大凈利潤？并求出最大凈利潤.（凈利潤芯片毛收入芯片毛收入一研發(fā)耗費資金）【答案】(1)生產(chǎn)芯片關(guān)系式為，生產(chǎn)芯片關(guān)系式為(2)答案見解析(3)億時，公司所獲凈利潤最大凈利潤為9億元【分析】（1）由題意直接得到生產(chǎn)A芯片的解析式，待定系數(shù)法求出生產(chǎn)B芯片的解析式；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，得到不等式和方程，得到答案；（3）表達出，換元后求出最值.【詳解】（1）設(shè)投入資金億元，則生產(chǎn)A芯片的毛收入.將代入，得，解得，生產(chǎn)B芯片的毛收入.（2）由，得；由，得；由，得.當投入資金大于16億元時，生產(chǎn)芯片的毛收入更大；當投入資金等于16億元時，生產(chǎn)芯片的毛收入相等；當投入資金小于16億元時，生產(chǎn)B芯片的毛收入更大.（3）由題意知投入億元生產(chǎn)芯片，則投入億元資金生產(chǎn)A芯片，公司所獲凈利潤，令，則，，故當，即億時，公司所獲凈利潤最大，最大凈利潤為9億元.【跟蹤訓練2】．（21-22高一·湖南·課后作業(yè)）某企業(yè)生產(chǎn)，兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查和預測，產(chǎn)品的利潤（萬元）與投資額（萬元）成正比，其關(guān)系如圖（1）所示；產(chǎn)品的利潤（萬元）與投資額（萬元）的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2）所示．(1)分別將，兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資額的函數(shù)；(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元（精確到1萬元）？【答案】(1)，；(2)當產(chǎn)品投入3.75萬元，產(chǎn)品投入6.25萬元，企業(yè)獲得最大利潤約為4萬元．【分析】（1）由已知給出的函數(shù)模型設(shè)出解析式，代入已知數(shù)據(jù)即可算出結(jié)果；（2）設(shè)產(chǎn)品投入萬元，則產(chǎn)品投入萬元，設(shè)企業(yè)的利潤為萬元，則有，再利用換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題即可求解．【詳解】（1）設(shè)投資額為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元，由題設(shè)，，由圖可知（1），所以，又（4），所以，所以，；（2）設(shè)產(chǎn)品投入萬元，則產(chǎn)品投入萬元，設(shè)企業(yè)的利潤為萬元，，，令，則，，所以當時，，此時，所以當產(chǎn)品投入3.75萬元，產(chǎn)品投入6.25萬元，企業(yè)獲得最大利潤為萬元，約為4萬元．題型四、分式型函數(shù)模型【例4】．（22-23高一上·全國）“垃圾分一分，環(huán)境美十分”．某校為積極響應有關(guān)垃圾分類的號召，從百貨商場購進了A，B兩種品牌的垃圾桶作為可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每個貴50元，用4000元購買A品牌垃圾桶的數(shù)量是用3000元購買B品牌垃圾桶數(shù)量的2倍．(1)求購買一個A品牌、一個B品牌的垃圾桶各需多少元？(2)若該中學決定再次準備用不超過6000元購進A，B兩種品牌垃圾桶共50個，恰逢百貨商場對兩種品牌垃圾桶的售價進行調(diào)整：A品牌按第一次購買時售價的九折出售，B品牌比第一次購買時售價提高了20%，那么該學校此次最多可購買多少個B品牌垃圾桶？【答案】(1)A品牌垃圾桶100元，B品牌垃圾桶150元(2)最多16個【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程，分別解出購買一個A品牌、一個B品牌的垃圾桶的價格；（2）根據(jù)題意，設(shè)購買m個B品牌垃圾桶列出不等式，求得m的最值即可．【詳解】（1）設(shè)購買一個A品牌垃圾桶需x元，則購買一個B品牌垃圾桶需(x+50)元，依題意，得：，解得：x＝100，經(jīng)檢驗x＝100是原方程的解，且符合題意，∴x+50＝150．答：購買一個A品牌垃圾桶需100元，購買一個B品牌垃圾桶需150元．（2）設(shè)該學校此次購買m個B品牌垃圾桶，則購買(50m)個A品牌垃圾桶，依題意，得：100×0.9(50m)+150×(1+20%)m6000，解得：m．因為m是正整數(shù)，所以m最大值是16．答：該學校此次最多可購買16個B品牌垃圾桶．【跟蹤訓練1】．（22-23高一·全國·隨堂練習）某地區(qū)去年用電量為，電價為0.8元/，今年計劃將電價降到0.55～0.75元/．用戶心理承受價位是0.40元/．下調(diào)電價后，實際價位和用戶心理價位仍存在差距，假設(shè)新增的用電量與這個差值成反比（比例系數(shù)為0.2a），該地區(qū)的電力成本價為0.3元/，那么電價定為多少時仍可保證電力部門的收益增長率不低于20%？【答案】0.60～0.75元/【分析】根據(jù)用電量、下調(diào)電價后新增用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比，得到本年度實際用電量，再乘以；再根據(jù)上年度電力部門實際收益，列不等式求解即可.【詳解】設(shè)下調(diào)后的電價為x元，依題意知，新增用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比（比例系數(shù)為0.2a），則新增用電量為，即用電量增至，所以今年電力部門的收益；要保證電力部門的收益增長率不低于20%，則，由，整理得，解得．答：當電價定到0.60～0.75元/，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%.【跟蹤訓練2】．（22-23高一上·浙江寧波·期中）天氣轉(zhuǎn)冷，寧波某暖手寶廠商為擴大銷量，擬進行促銷活動.根據(jù)前期調(diào)研，獲得該產(chǎn)品的銷售量萬件與投入的促銷費用萬元滿足關(guān)系式（為常數(shù)），而如果不搞促銷活動，該產(chǎn)品的銷售量為4萬件.已知該產(chǎn)品每一萬件需要投入成本20萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為元，設(shè)該產(chǎn)品的利潤為萬元.（注：利潤銷售收入投入成本促銷費用）(1)求出的值，并將表示為的函數(shù)；(2)促銷費用為多少萬元時，該產(chǎn)品的利潤最大？此時最大利潤為多少？【答案】(1)，(2)當促銷費用為7萬元時，該產(chǎn)品的利潤最大，最大利潤為123萬元【分析】（1）先由已知條件求出待定系數(shù)，寫出促銷費用關(guān)系式，計算銷售收入、投入成本，再表達利潤即可；（2）將函數(shù)關(guān)系式作配湊變形，利用基本不等式求最值.【詳解】（1）由題知，時，，于是，，解得.所以，.根據(jù)題意，即所以（2）當且僅當，即時，等號成立.所以當促銷費用為7萬元時，該產(chǎn)品的利潤最大，最大利潤為123萬元.題型五：給定函數(shù)模型【例5】．（25-26高一上·全國·單元測試）下表為某市居民用水階梯水價表（單位：元／米）：階梯每戶年用水量米水價其中自來水費水資源費污水處理費第一階梯（含）5.002.11.51.4第二階梯（含）7.004.1第三階梯260以上9.006.1(1)試寫出用戶所交水費（元）與用水量（米）的函數(shù)關(guān)系式；(2)若某戶居民一年交水費為1110元，求其中水資源費和污水處理費各為多少？【答案】(1)(2)該戶居民所交水資源費為315元，污水處理費為294元【分析】（1）根據(jù)水價表寫出函數(shù)解析式即可；（2）由所交水費計算出用水量，再計算水資源費和污水處理費即可.【詳解】（1）依題意，當時，；當時，；當時，.所以用戶所交水費（元）與用水量（米）的函數(shù)關(guān)系式是（2）當時，，不符合題意；當時，，符合題意；當時，，不符合題意.所以.所以水資源費為（元），污水處理費為（元），所以該戶居民所交水資源費為315元，污水處理費為294元.【跟蹤訓練1】．（24-25高一上·山西·期末）2024年新能源汽車的滲透率已超過，為解決新能源汽車的充電問題，某新能源公司投資300萬元用于充電樁項目，調(diào)研發(fā)現(xiàn)且年內(nèi)該項目的總維護費用為萬元，該項目每年可給公司帶來200萬元的收入.設(shè)第且年年底，該項目的純利潤（純利潤＝累計收入－累計維護費用－投資成本）為萬元．已知到第3年年底，該項目的純利潤為99萬元．(1)求的解析式；(2)到第幾年年底，該項目的年平均利潤（平均利潤純利潤年數(shù)）最大？并求出最大值．【答案】(1)且(2)到第6年年底，該項目的平均利潤最大，最大值為56萬元【分析】（1）根據(jù)純利潤的計算公式列出，將代入解出即可求解；（2）根據(jù)年平均利潤的計算公式，結(jié)合對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)求最大值即可.【詳解】（1）由題意得，當時，，所以，所以且．（2）設(shè)平均利潤為萬元，則且，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，且當時，，當時，，所以到第6年年底，該項目的平均利潤最大，最大值為56萬元.【跟蹤訓練2】．（24-25高一上·河南鄭州·階段練習）一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費（單位：萬元）與倉庫到車站的距離（單位：km）成反比，每月庫存貨物費（單位：萬元）與成正比；若在距離車站20km處建倉庫，則和分別為1萬元和16萬元，設(shè)兩項費用之和為S（單位：萬元）.(1)寫出S關(guān)于x的解析式；(2)這家公司應該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使S最?。坎⑶蟪鲎钚≈?【答案】(1)(2)應該把倉庫建在距離車站5千米，費用最小為萬元【分析】（1）由題意可設(shè)，，由于時，，代入求解即可；（2）由基本不等式求解最小值即可.【詳解】（1）由題意可設(shè)，，由于時，，所以代入解得：，，所以.故：.（2），當且僅當，即等號成立.應該把倉庫建在距離車站千米，費用最小為萬元.【高分演練】一、單選題1．（2025·浙江嘉興·一模）為了節(jié)約能源，嘉興市對居民生活用天然氣實行“階梯定價”，計費方式如下表：每戶每年天然氣用量天然氣價格不超過2.98元超過但不超過的部分3.60元超過的部分4.50元若某戶居民一年的天然氣費為2082元，則此戶居民這一年使用的天然氣為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)天然氣費用為使用量的函數(shù)，根據(jù)題意寫出分段函數(shù)解析式，先判斷對應哪一段，再求解即可.【詳解】設(shè)天然氣使用量為，天然氣費為元，則，由于，則,所以，解得,所以天然氣使用量為，故選：B.2．（25-26高一上·全國·單元測試）某快餐店的小時工是按照下述方式獲取稅前月工資的：底薪元，每工作小時獲取元．從該快餐店中任意抽取一名小時工，設(shè)其月工作時間為小時，獲取的稅前月工資為元，則與之間的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意直接寫出函數(shù)即可.【詳解】由題意得，故選：C.3．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）茶葉是中國文化元素的重要象征之一，飲茶習俗在中國源遠流長．茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，已知某種茶葉的茶水溫度（單位：℃）和泡茶時間（單位：）滿足關(guān)系式若喝茶的最佳口感水溫大約是，則需要等待的時間為（

）A．1.5min B．2min C．3min D．4min【答案】D【分析】分別令和，求出后檢驗是否符合范圍.【詳解】令，解得；令，解得，不符合題意，所以需要等待的時間為4min．故選：D4．（23-24高一上·江蘇南京·期中）學校宿舍與辦公室相距.某同學有重要材料要送交給老師，從宿舍出發(fā)，先勻速跑步來到辦公室，停留，然后勻速步行返回宿含.在這個過程中，這位同學行進的速度和行走的路程都是時間的函數(shù)，則速度函數(shù)和路程函數(shù)的示意圖分別是下面四個圖象中的（

）

A．①② B．③④ C．①④ D．②③【答案】A【分析】根據(jù)題意寫出函數(shù)解析式，利用解析式即可得出圖象.【詳解】設(shè)行進的速度為m/min，行走的路程為Sm，則，且，由速度函數(shù)及路程函數(shù)的解析式可知，其圖象分別為①②.故選：A5．（2022·安徽淮南·一模）我國在2020年9月22日在聯(lián)合國大會提出，二氧化碳排放力爭于2030年前實現(xiàn)碳達峰，爭取在2060年前實現(xiàn)碳中和．為了響應黨和國家的號召，某企業(yè)在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，經(jīng)測算，該技術(shù)處理總成本y（單位：萬元）與處理量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為，當處理量x等于多少噸時，每噸的平均處理成本最少（

）A．120 B．200 C．240 D．400【答案】D【分析】先根據(jù)題意求出每噸的平均處理成本與處理量之間的函數(shù)關(guān)系，然后分和分析討論求出其最小值即可【詳解】由題意得二氧化碳每噸的平均處理成本為，當時，，當時，取得最小值240，當時，，當且僅當，即時取等號，此時取得最小值200，綜上，當每月的理量為400噸時，每噸的平均處理成本最低為200元，故選：D6．（24-25高一上·北京·期中）長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災害風險，發(fā)揮了重要的防洪減災效益.每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)上聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)）來衡量每座水庫的水位情況.假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：（ⅰ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間；（ⅱ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；（ⅲ）調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變.記為調(diào)度前該水庫的蓄滿指數(shù)，為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個關(guān)于的函數(shù)解析式：①；②；③；④.則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號是（

）A．②④ B．①④ C．②③ D．③④【答案】A【分析】需滿足四個條件：（1）自變量的取值范圍是；（2）函數(shù)值域為的子集；（3）該函數(shù)在上恒有；（4）該函數(shù)在上為增函數(shù).逐一對照分析即可求解.【詳解】函數(shù)的對稱軸為，所以，超出了范圍，不符合題意；，時，，且在上單調(diào)遞增，，即，符合題意；函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故不符合題意；函數(shù)為增函數(shù)，且時，，，則，即，符合題意.故滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號是②④.故選：.二、多選題7．（24-25高三上·河南·階段練習）國慶節(jié)期間，甲、乙兩商場舉行優(yōu)惠促銷活動，甲商場采用購買所有商品一律“打八四折”的促銷策略，乙商場采用“購物每滿200元送40元”的促銷策略．某顧客計劃消費元，并且要利用商場的優(yōu)惠活動，使消費更低一些，則（

）A．當時，應進甲商場購物 B．當時，應進乙商場購物C．當時，應進乙商場購物 D．當時，應進甲商場購物【答案】AC【分析】分別計算不同選項兩個商場的優(yōu)惠判斷即可.【詳解】當時，甲商場的費用為，乙商場的費用為，，故應進甲商場，所以選項A正確；當時，甲商場的費用為，乙商場的費用為，，因為，所以，，進入乙商場，當故應進甲商場，所以選項B錯誤；當時，甲商場的費用為，乙商場的費用為，因為，所以故，所以應進乙商場，所以選項C正確；假設(shè)消費了600，則在甲商場的費用為，在乙商場的費用為，所以乙商場費用低，故在乙商場購物，故選項D錯誤.故選：AC8．（22-23高一上·全國·課后作業(yè)）甲同學家到乙同學家的途中有一座公園，甲同學家到公園的距離與乙同學家到公園的距離都是2km．如圖所示表示甲同學從家出發(fā)到乙同學家經(jīng)過的路程y（km）與時間x（min）的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（

）A．甲同學從家出發(fā)到乙同學家走了60minB．甲從家到公園的時間是30minC．當0≤x≤30時，y與x的關(guān)系式為D．當30≤x≤60時，y與x的關(guān)系式為【答案】BC【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合圖象，以及一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：由圖象可知，甲在公園休息的時間是10min，所以只走了50min，故A錯誤，由題中圖象可知，甲從家到公園的時間是30min，故B正確，當0≤x≤30時，設(shè)y＝kx（k≠0），則2＝30k，解得k，故C正確，當40≤x≤60時，設(shè)y＝kx+b，直線過點（40，2），（50，3），則，故當時，y與x的關(guān)系式為，故D錯誤．故選：BC9．（20-21高一上·山西·期末）幾名大學生創(chuàng)業(yè)時經(jīng)過調(diào)研選擇了一種技術(shù)產(chǎn)品，生產(chǎn)此產(chǎn)品獲得的月利潤（單位：萬元）與每月投入的研發(fā)經(jīng)費（單位：萬元）有關(guān).已知每月投入的研發(fā)經(jīng)費不高于16萬元，且，利潤率.現(xiàn)在已投入研發(fā)經(jīng)費9萬元，則下列判斷正確的是（

）A．此時獲得最大利潤率 B．再投入6萬元研發(fā)經(jīng)費才能獲得最大利潤C．再投入1萬元研發(fā)經(jīng)費可獲得最大利潤率 D．再投入1萬元研發(fā)經(jīng)費才能獲得最大利潤【答案】BC【分析】結(jié)合題目中所給條件及自變量的實際意義，利用二次函數(shù)以及基本不等式進行求解.【詳解】當時，，故當時，獲得最大利潤，為，故B正確，D錯誤；，當且僅當，即時取等號，此時研發(fā)利潤率取得最大值2，故C正確，A錯誤.故選：BC.10．（22-23高一上·全國·課后作業(yè)）在一條筆直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B兩地之間，甲車從A地沿這條公路勻速駛向C地，乙車從B地沿這條公路勻速駛向A地．在甲車出發(fā)至甲車到達C地的過程中，甲、乙兩車各自與C地的距離y（km）與甲車行駛時間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．下列結(jié)論正確的是（

）

A．甲車出發(fā)2h時，兩車相遇B．乙車出發(fā)1.5h時，兩車相距170kmC．乙車出發(fā)2h時，兩車相遇D．甲車到達C地時，兩車相距40km【答案】BCD【分析】觀察函數(shù)圖象可知，當t＝2時，兩函數(shù)圖象相交，結(jié)合交點代表的意義，即可得出結(jié)論A錯誤；根據(jù)速度＝路程÷時間分別求出甲、乙兩車的速度，再根據(jù)時間＝路程÷速度和可求出乙車出發(fā)1.5h時，兩車相距170km，結(jié)論B正確；據(jù)時間＝路程÷速度和可求出乙車出發(fā)2h時，兩車相遇，結(jié)論C正確；結(jié)合函數(shù)圖象可知當甲到C地時，乙車離開C地0.5小時，根據(jù)路程＝速度×時間，即可得出結(jié)論D正確．【詳解】觀察函數(shù)圖象可知，當t＝2時，兩函數(shù)圖象相交，∵C地位于A、B兩地之間，∴交點代表了兩車離C地的距離相等，并不是兩車相遇，結(jié)論A錯誤；甲車的速度為240÷4＝60（km/h），乙車的速度為200÷（3.5﹣1）＝80（km/h），∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）＝1.5（h），∴乙車出發(fā)1.5h時，兩車相距170km，結(jié)論B正確；∵，∴乙車出發(fā)時，兩車相遇，結(jié)論C正確；∵80×（4﹣3.5）＝40（km），∴甲車到達C地時，兩車相距40km，結(jié)論D正確；故選：BCD三、填空題11．（25-26高一上·重慶潼南·開學考試）端午節(jié)前，小魯購進了一批粽子進行銷售，第一天銷售了256個，第二、三天的銷售量持續(xù)走高，第三天的銷售量達到400個，則第二、三天銷售量的平均增長率為%.【答案】25【分析】利用平均增長率的公式建立方程，通過解方程求出增長率.【詳解】設(shè)第二、三天銷售量的平均增長率為,則,得,得(舍去負根),得.故答案為:2512．（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）某位同學要在暑假的八月上旬完成一定量的英語單詞的記憶，計劃是：第一天記憶個單詞；第一天后的每一天，在復習前面記憶過的單詞的基礎(chǔ)上增加個新單詞的記憶量，則該同學記憶的單詞總量與記憶天數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為．【答案】，且【分析】根據(jù)題意，分析可得，變形后可得出答案【詳解】根據(jù)題意，該同學計劃第一天記憶個單詞，第一天后的每一天，在復習前面記憶過的單詞的基礎(chǔ)上增加個新單詞的記憶量，則，且．故答案為：，且13．（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）某工廠2025年年初用100萬元購進一臺新的設(shè)備，并立即投入使用，使用該設(shè)備后，每年的總收入預計為50萬元．設(shè)使用年后該設(shè)備的維修、保養(yǎng)費用為萬元，盈利總額為萬元．（1）與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）從第年開始，使用該設(shè)備開始盈利．【答案】3【分析】（1）根據(jù)題意，即可得出函數(shù)；（2）由，得不等式并求解即可得出答案.【詳解】（1）由已知可得，．（2）當時，開始盈利，即，整理，得，解得．又因為，所以，即從第3年開始盈利．故答案為：（1）；（2）3.14．（24-25高一上·天津西青·期末）依法納稅是每個公民應盡的義務，個人取得的所得應依照《中華人民共和國個人所得稅法》向國家繳納個人所得稅（簡稱個稅）.2019年1月1日起，個稅稅額根據(jù)應納稅所得額，稅率和速算扣除數(shù)確定，計算公式為：個稅稅額應納稅所得額稅率-速算扣除數(shù).①應納稅所得額的計算公式為：應納稅所得額=綜合所得收入額-基本減除費用-專項扣除-專項附加扣除-依法確定的其它扣除.②其中，“基本減除費用”（免征頒）為每年60000元，稅率與速算扣除數(shù)見下表：級數(shù)全年應納稅所得額所在區(qū)間稅率（%）速算扣除數(shù)130210252032016920已知小華繳納的專項扣除：基本養(yǎng)老保險，基本醫(yī)療保險費，失業(yè)保險等社會保險費和住房公積金占綜合所得收入額的比例分別是，專項附加扣除是52800元，依法確定的其它扣除是4560元.設(shè)小華全年應納稅所得額為（不超過300000元）元，應繳納個稅稅額為元，則；如果小華全年綜合所得收入額為220000元，那么他全年應繳納個稅元.【答案】3344【分析】根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，得到函數(shù)表達式，并得到小華全年綜合所得收入額為220000元時，應納稅所得額，代入表達式，求出答案.【詳解】當時，，當時，，當時，，故；小華全年綜合所得收入額為220000元時，應納稅所得額，，故，故他全年應繳納個稅3344元.故答案為：；3344四、解答題15．（25-26高一上·吉林長春·階段練習）大學生小王響應國家號召決定自主創(chuàng)業(yè)，計劃經(jīng)銷兩種商品，據(jù)市場調(diào)查統(tǒng)計，當投資額為萬元時，經(jīng)銷商品所獲得的收益分別為萬元與萬元，其中，，小王計劃投入10萬元全部用于經(jīng)銷這兩種商品．(1)假設(shè)小王只經(jīng)銷其中一種商品，求他能獲得的收益；(2)如果小王經(jīng)銷這兩種商品，請幫他制訂一個資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出最大收益．【答案】(1)答案見詳解(2)商品投入8萬元，商品投入2萬元，總收益最大值為16萬元【分析】（1）由題意可知，分別代入和運算求解即可；（2）設(shè)商品投入萬元，則商品投入萬元，分和兩種情況，利用基本不等式以及二次函數(shù)性質(zhì)運算求解即可.【詳解】（1）因為投入10萬元，即，若只經(jīng)銷商品，則所獲得的收益為萬元；若只經(jīng)銷商品，則所獲得的收益為萬元.（2）設(shè)商品投入萬元，則商品投入萬元，可知總收益，若，則，當且僅當，即時，等號成立，所以在上的總收益最大值為16萬元；若，則，可知的圖象開口向下，對稱軸為，則，所以在上的總收益最大值小于萬元；因為，所以商品投入8萬元，商品投入2萬元，總收益最大值為16萬元.16．（25-26高一上·云南曲靖·階段練習）實行垃圾分類，關(guān)系生態(tài)環(huán)境，關(guān)系節(jié)約使用資源．某企業(yè)新建了一座垃圾回收利用工廠，于2019年年初用98萬元購進一臺垃圾回收分類生產(chǎn)設(shè)備，并立即投入生產(chǎn)使用．該設(shè)備使用后，每年的總收入為50萬元．若該設(shè)備使用x年，則其所需維修保養(yǎng)費用x年來的總和為萬元（2019年為第一年），設(shè)該設(shè)備產(chǎn)生的盈利總額（純利潤）為y萬元．(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求該設(shè)備在第幾年的盈利總額為30萬元．(2)使用若干年后，對設(shè)備的處理方案有兩種：①當年平均盈利額達到最大值時，以30萬元價格處理該設(shè)備；（年平均盈利額=盈利總額÷使用年數(shù)）②當盈利總額達到最大值時，以12萬元價格處理該設(shè)備．試問用哪種方案處理較為合理？請說明你的理由．【答案】(1)，從第3年開始該設(shè)備開始全年盈利；(2)方案①比較合理，理由見解析【分析】（1）確定，再解方程即可.（2）利用均值不等式和二次函數(shù)性質(zhì)分別計算最大值，比較得到答案.【詳解】（1），解方程，得或，故在第4年或16年盈利總額為30萬元；（2）①，當且僅當時，即時等號成立.到2025年，年平均盈利額達到最大值，該設(shè)備可獲利萬元.②，當時，.故到2028年，盈利額達到最大值，該設(shè)備可獲利萬元.因為兩種方案企業(yè)獲利總額相同，而方案①所用時間較短，故方案①比較合理.17．（24-25高二下·湖北武漢·期末）設(shè)矩形的周長為，其中，現(xiàn)將沿向折疊至的位置，折過去后交于點．

(1)設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)的解析式及其定義域；(2)求面積的最大值及相應的值．【答案】(1)定義域為；(2)的面積有最大值，此時cm.【分析】（1）根據(jù)題意，，利用三角形全等以及勾股定理建立等量關(guān)系，即可得函數(shù)解析式及定義域；（2）表達出的面積，結(jié)合基本不等式求最值即可.【詳解】（1）因為矩形的周長為，，則，又，即，又，，易知≌，所以，在中，根據(jù)勾股定理得，即，整理得，故，定義域為.（2）由題意，，當且僅當時，等號成立.所以，當時，的面積有最大值．18．（22-23高一上·廣東惠州·階段練習）某公司租地建倉庫，每月土地占用費與車庫到車站的距離成反比，而每月的庫存貨物的運費與車庫到車站的距離成正比如果在距離車站公里處建立倉庫，這兩項費用和分別為萬元和萬元．(1)分別求出和關(guān)于距離的關(guān)系式；(2)求若要使得這兩項費用之和最小時，倉庫應建在距離車站多遠處？此時最少費用為多少萬元？【答案】(1)，．(2)倉庫應建在距離車站公里處，此時最少費用為萬元．【分析】由題意設(shè)，，求得，，故，．設(shè)這兩項費用之和為，則，利用基本不等式求解可得時，即可求解．【詳解】（1）設(shè)，，由題意可得：，，解得，．所以，.（2）設(shè)這兩項費用之和為，則，，當且僅當，即時取得等號．答：若要使得這兩項費用之和最小時，倉庫應建在距離車站公里處，此時最少費用為萬元．19．（24-25高一上·河南新鄉(xiāng)·階段練習）某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一顆梨樹的產(chǎn)量（單位：百千克）與肥料費用（單位：百元）滿足如下關(guān)系：投入的肥料費用不超過6百元時，；投入的肥料費用超過6百元且不超過10百元時，．此外，還需要投入其他成本（如施肥的人工費等）百元．已知這種梨的市場售價為18百元／百千克，且市場需求始終供不應求．記該棵梨樹獲得的利潤為（單位：百元）．(1)求利潤的函數(shù)解析式；(2)當投入的肥料費用為多少時，該梨樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)(2)當投入的肥料費用為2百元時，該梨樹獲得的利潤最大，最大利潤是52百元【分析】（1）結(jié)合題意，利用分段函數(shù)模型求出解析式即可；（2）當時，由基本不等式求解；當時，由二次函數(shù)的性質(zhì)求解，綜合可得答案.【詳解】（1）由題意，，即；（2）當時，，，當且僅當，即時，等號成立，所以當時，取得最大值52；當時，，所以當時，取得最大值，最大值為，所以當投入的肥料費用為2百元