.3.1&4.3.2：對(duì)數(shù)概念、運(yùn)算【考點(diǎn)歸納】【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一對(duì)數(shù)的有關(guān)概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)：通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，以e(e＝2.71828…)為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，log10N可簡(jiǎn)記為lgN， logeN簡(jiǎn)記為lnN.知識(shí)點(diǎn)二對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系一般地，有對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系：若a>0，且a≠1，則ax＝N?logaN＝x.對(duì)數(shù)恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．知識(shí)點(diǎn)三對(duì)數(shù)的性質(zhì)1．1的對(duì)數(shù)為零．2．底的對(duì)數(shù)為1.3．零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)四對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．知識(shí)點(diǎn)五換底公式1．logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．2．對(duì)數(shù)換底公式的重要推論：(1)logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；(2)＝eq\f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)；(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．知識(shí)點(diǎn)六：對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)或求值的常用方法和技巧（1）對(duì)于同底數(shù)的對(duì)數(shù)式，化簡(jiǎn)的常用方法是：（1）“收”，即逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將同底對(duì)數(shù)的和（差）“收”成積（商）的對(duì)數(shù)，即把多個(gè)對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)對(duì)數(shù)式；（2）“拆”，即正用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將對(duì)數(shù)式“拆”成較小真數(shù)的對(duì)數(shù)的和（差）．（2）對(duì)常用對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，充分利用“”來(lái)解題．（3）對(duì)含有多重對(duì)數(shù)符號(hào)的對(duì)數(shù)，應(yīng)從內(nèi)向外逐層化簡(jiǎn)．（4）當(dāng)真數(shù)是形如“”的式子時(shí)，常用方法是“先平方后開(kāi)方”或“取倒數(shù)”．【題型歸納】題型一、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化【例1】．（24-25高一上·課堂例題）將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：(1)； (2)； (3)； (4).【變式1】．（23-24高一下·全國(guó)·課堂例題）將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換：(1)；(2)；(3)； (4).【變式2】．（25-26高一上·全國(guó)·課堂例題）將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換(1)； (2)； (3)； (4).(5)； (6)； (7)； (8)題型二、對(duì)數(shù)的運(yùn)算【例2】．（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）計(jì)算下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)化簡(jiǎn)：．【變式1】．（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）求值：(1)；(2)；(3)．【變式2】．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)已知，試用表示．題型三、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用【例3】．（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知，且，，，若，，則（

）A． B． C． D．【變式1】．（2025·浙江紹興·三模）盡管目前人類還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為．2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級(jí)地震，它所釋放出來(lái)的能量是2008年5月12日我國(guó)汶川發(fā)生里氏8.0級(jí)地震的多少倍（精確到1）?（

）（注：，）A．30 B．31 C．32 D．33【變式2】．（24-25高一下·湖北·期中）努力公式是一個(gè)用來(lái)描述努力與結(jié)果之間關(guān)系的數(shù)學(xué)公式，它通常表示為：，．我們可以把看作每天的進(jìn)步率都是，而把看作每天的落后率都是，大約經(jīng)過(guò)（

）天后進(jìn)步的是落后的200倍A．264 B．266 C．268 D．270題型四、對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用【例4】．（25-26高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，，若，且，則．【變式1】．（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）（1）若，求的值．（2）設(shè)都是正數(shù)，且，證明：．【變式2】．（24-25高一上·全國(guó)）求下列各式的值：(1)；(2)；(3).題型五：運(yùn)用換底公式證明恒等式【例5】．（24-25高一上·遼寧丹東·期末）已知.(1)求的值；(2)設(shè)，求證：.【變式1】．（24-25高一上·上?！卧獪y(cè)試）已知a、b、c為正實(shí)數(shù)，且a、b、c均不等于1，(1)求證：；(2)設(shè)，，，為正實(shí)數(shù)且（且），請(qǐng)把（1）中結(jié)論進(jìn)行推廣，并證明．【變式2】．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）（1）利用關(guān)系式證明換底公式：；（2）利用（1）中的換底公式求值：；（3）利用（1）中的換底公式證明：．題型六、對(duì)數(shù)的綜合應(yīng)用【例6】．（25-26高一上·全國(guó)）（1）；（2）；（3）已知，求的值．【變式1】．（24-25高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）求下列各式的值.(1)；(2)；(3).【變式2】．（24-25高一上·天津·階段練習(xí)）回答下面3個(gè)題：(1)(2)若，，求的值；(3)記，，用表示對(duì)數(shù).【高分達(dá)標(biāo)】一、單選題1．（25-26高一上·北京·期中）計(jì)算的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．252．（25-26高一上·北京·期中）根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限約為，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)約為.則下列各數(shù)中數(shù)量級(jí)上與最接近的是（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．3．（25-26高三上·吉林長(zhǎng)春·月考）若，，則（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）式子的值為（

）A． B．10 C．11 D．125．（24-25高一上·江蘇南通·期末）任何一個(gè)正實(shí)數(shù)N可以表示成的形式，這便是科學(xué)記數(shù)法，若N兩邊取常用對(duì)數(shù)，則有，當(dāng)時(shí)，N是n＋1位數(shù)，則的位數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．611 B．610 C．609 D．6086．（25-26高一上·北京·開(kāi)學(xué)考試）若，我們記，那么以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．7．（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，則（

）A．1 B．4 C．1或4 D．28．（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）甲、乙兩人同時(shí)解關(guān)于x的方程：．甲寫錯(cuò)了常數(shù)b，得兩根為及；乙寫錯(cuò)了常數(shù)c，得兩根為及64，則這個(gè)方程的真正的根為（

）A． B．C．或 D．或9．（24-25高一下·四川·期末）設(shè)，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．10．（24-25高一上·安徽銅陵·期末）高德納箭頭表示法是一種用來(lái)表示很大的整數(shù)的方法，它的意義來(lái)自乘法是重復(fù)的加法，冪是重復(fù)的乘法．定義：（從右往左計(jì)算）．已知可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)T約為，則下列各數(shù)中與最接近的是（參考數(shù)據(jù)）（

）A． B． C． D．11（24-25高一上·福建南平·期末）已知，，（，且；，且；，且；），則的值為（

）A． B．3 C． D．30二、多選題12．（25-26高三上·廣西·開(kāi)學(xué)考試）下列運(yùn)算正確的有（

）A． B．C． D．13．（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）以下運(yùn)算中正確的是（）A．若，則B．C．D．14．（24-25高三下·安徽阜陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）已知，，則（

）A． B．C． D．15．（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，若，，則（

）A． B．C． D．16．（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知，且，則（

）A． B．C． D．17．（24-25高一上·廣東汕頭·期末）已知正數(shù)、、滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題18．（25-26高一上·上?！て谥校┤?且)，則等于19．（2025高三·北京·專題練習(xí)）.20．（24-25高一上·湖北恩施·期中）若，且，則t的值為；21．（25-26高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）設(shè)，若，則的值為．四、解答題22．（25-26高一上·上海·期中）已知，．(1)當(dāng)，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，用，表示．23．（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）求解下列問(wèn)題：(1)在①，②中任選一個(gè)求值；(2)已知，，試用a，b表示．24．（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）計(jì)算：(1)；(2)．25．（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）對(duì)數(shù)運(yùn)算與指數(shù)冪運(yùn)算是兩類重要的運(yùn)算．18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系，并進(jìn)一步指出：對(duì)數(shù)源于指數(shù)．然而對(duì)數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)，這成為數(shù)學(xué)史上的珍聞．(1)試?yán)脤?duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算的值；(2)已知為正數(shù)，若，求的值；(3)定義：一個(gè)自然數(shù)的數(shù)位的個(gè)數(shù)稱為位數(shù)，例如23的位數(shù)是2，2026的位數(shù)是4，試判斷的位數(shù)．（注：）26．（24-25高一上·黑龍江鶴崗·階段練習(xí)）計(jì)算下列各式的值：(1)(2)設(shè)，，用a，b表示；(3)已知，試求的值.27．（24-25高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）求下列各式的值：(1)（其中，．注意：結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示）；(2)；(3)已知，，試用，表示．28．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．

4.3.1&4.3.2：對(duì)數(shù)概念、運(yùn)算【考點(diǎn)歸納】【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一對(duì)數(shù)的有關(guān)概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)：通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，以e(e＝2.71828…)為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，log10N可簡(jiǎn)記為lgN， logeN簡(jiǎn)記為lnN.知識(shí)點(diǎn)二對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系一般地，有對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系：若a>0，且a≠1，則ax＝N?logaN＝x.對(duì)數(shù)恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．知識(shí)點(diǎn)三對(duì)數(shù)的性質(zhì)1．1的對(duì)數(shù)為零．2．底的對(duì)數(shù)為1.3．零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)四對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．知識(shí)點(diǎn)五換底公式1．logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．2．對(duì)數(shù)換底公式的重要推論：(1)logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；(2)＝eq\f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)；(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．知識(shí)點(diǎn)六：對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)或求值的常用方法和技巧（1）對(duì)于同底數(shù)的對(duì)數(shù)式，化簡(jiǎn)的常用方法是：（1）“收”，即逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將同底對(duì)數(shù)的和（差）“收”成積（商）的對(duì)數(shù)，即把多個(gè)對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)對(duì)數(shù)式；（2）“拆”，即正用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將對(duì)數(shù)式“拆”成較小真數(shù)的對(duì)數(shù)的和（差）．（2）對(duì)常用對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，充分利用“”來(lái)解題．（3）對(duì)含有多重對(duì)數(shù)符號(hào)的對(duì)數(shù)，應(yīng)從內(nèi)向外逐層化簡(jiǎn)．（4）當(dāng)真數(shù)是形如“”的式子時(shí)，常用方法是“先平方后開(kāi)方”或“取倒數(shù)”．【題型歸納】題型一、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化【例1】．（24-25高一上·課堂例題）將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：(1)； (2)； (3)； (4).【答案】(1)； (2)； (3)； (4).【詳解】（1）首先，我們給出指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化關(guān)系式，對(duì)于，可化為.（2）對(duì)于，可化為.（3）對(duì)于，可化為.（4）對(duì)于，可化為.【變式1】．（23-24高一下·全國(guó)·課堂例題）將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換：(1)；(2)；(3)； (4).【答案】(1) (2) (3) (4)【詳解】（1）根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，可知可化為.（2）根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，可知可化為.（3）根據(jù)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的關(guān)系，可化為（4）根據(jù)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的關(guān)系，可化為【變式2】．（25-26高一上·全國(guó)·課堂例題）將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換(1)； (2)； (3)； (4).(5)； (6)； (7)； (8)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義,對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化即可.【詳解】（1）由得.（2）由得.（3）由得.（4）由得.（5）由得.（6）由得.（7）由得.（8）由得.題型二、對(duì)數(shù)的運(yùn)算【例2】．（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）計(jì)算下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)化簡(jiǎn)：．【答案】(1)； (2)； (3)； (4)17.【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）.【變式1】．（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）求值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)2(3)2【分析】（1）注意到同一對(duì)數(shù)式中底數(shù)和真數(shù)互為倒數(shù)，進(jìn)而利用這一關(guān)系求解即可；（2）方法一：逆用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，化為對(duì)數(shù)單項(xiàng)式即可求解；方法二：正用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，統(tǒng)一真數(shù)即可求解；（3）注意到各對(duì)數(shù)式底數(shù)均不相同，運(yùn)用換底公式消除底數(shù)的差異即可求解.【詳解】（1）原式．（2）方法一：原式．方法二：原式．（3）原式．【變式2】．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)已知，試用表示．【答案】(1) (2) (3)【詳解】（1）.（2）.（3）由，得，由，得，所以．題型三、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用【例3】．（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知，且，，，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)指數(shù)式對(duì)數(shù)式互化求出，再根據(jù)換底公式轉(zhuǎn)化，再根據(jù)求解即可.【詳解】由，得，即，所以，所以.故選：A.【變式1】．（2025·浙江紹興·三模）盡管目前人類還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為．2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級(jí)地震，它所釋放出來(lái)的能量是2008年5月12日我國(guó)汶川發(fā)生里氏8.0級(jí)地震的多少倍（精確到1）?（

）（注：，）A．30 B．31 C．32 D．33【答案】C【分析】設(shè)里氏9.0級(jí)和8.0級(jí)地震的能量分別是和，根據(jù)條件算出的值，然后可得答案.【詳解】設(shè)里氏9.0級(jí)和8.0級(jí)地震的能量分別是和，由題意：，.于是，所以.故選：C.【變式2】．（24-25高一下·湖北·期中）努力公式是一個(gè)用來(lái)描述努力與結(jié)果之間關(guān)系的數(shù)學(xué)公式，它通常表示為：，．我們可以把看作每天的進(jìn)步率都是，而把看作每天的落后率都是，大約經(jīng)過(guò)（

）天后進(jìn)步的是落后的200倍A．264 B．266 C．268 D．270【答案】A【詳解】設(shè)天后進(jìn)步的是落后的200倍，則，，即，所以有（天）.故選：A.題型四、對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用【例4】．（25-26高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，，若，且，則．【答案】8【分析】根據(jù)指數(shù)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化、換底公式計(jì)算得出，計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，又，所以，則①，則有2，即②，聯(lián)立①②解得，故.故答案為：8.【變式1】．（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）（1）若，求的值．（2）設(shè)都是正數(shù)，且，證明：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，再代入計(jì)算即可.（2）令，再用對(duì)數(shù)表示，再由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可證明.【詳解】（1）由，得，所以．（2）證明：令，得，則，則，根據(jù)可知，．【變式2】．（24-25高一上·全國(guó)）求下列各式的值：(1)；(2)；(3).【答案】(1)2 (2) (3)【詳解】（1）原式.（2）原式.（3）分子；分母，故原式.題型五：運(yùn)用換底公式證明恒等式【例5】．（24-25高一上·遼寧丹東·期末）已知.(1)求的值；(2)設(shè)，求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）將兩邊取對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)即可得解；（2）由(1)解得，代入計(jì)算即可得解.【詳解】解：（1）將兩邊同取對(duì)數(shù)得，，則，所以.（2）由，得，.所以，，則，故.【變式1】．（24-25高一上·上海·單元測(cè)試）已知a、b、c為正實(shí)數(shù)，且a、b、c均不等于1，(1)求證：；(2)設(shè)，，，為正實(shí)數(shù)且（且），請(qǐng)把（1）中結(jié)論進(jìn)行推廣，并證明．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)推廣：，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）利用換底公式通過(guò)計(jì)算證明；（2）類比推理進(jìn)行推廣，再利用換底公式通過(guò)計(jì)算證明．【詳解】（1），得證；（2）推廣：證明：．【變式2】．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）（1）利用關(guān)系式證明換底公式：；（2）利用（1）中的換底公式求值：；（3）利用（1）中的換底公式證明：．【詳解】解答：（1）證明：設(shè)，則，化為，又，所以；（2）解：；（3）證明：．所以．題型六、對(duì)數(shù)的綜合應(yīng)用【例6】．（25-26高一上·全國(guó)）（1）；（2）；（3）已知，求的值．【答案】（1）3；（2）16；（3）【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)求值，即可求解.（2）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)求值，即可求解.（3）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)求值，即可求解.【詳解】（1）原式．（2）由于，，，因此原式．（3）由條件．由，得，所以，化簡(jiǎn)得所以，得或（舍去），從而可得．【變式1】．（24-25高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）求下列各式的值.(1)；(2)；(3).【答案】(1) (2)1 (3)52【詳解】（1）原式.（2）原式.（3）法一：原式.法二：原式.【變式2】．（24-25高一上·天津·階段練習(xí)）回答下面3個(gè)題：(1)(2)若，，求的值；(3)記，，用表示對(duì)數(shù).【答案】(1)(2)1(3)【詳解】（1）原式；（2），又，所以；（3），所以.【高分達(dá)標(biāo)】一、單選題1．（25-26高一上·北京·期中）計(jì)算的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．25【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得解.【詳解】.故選：A2．（25-26高一上·北京·期中）根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限約為，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)約為.則下列各數(shù)中數(shù)量級(jí)上與最接近的是（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件有，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得到，即可求解.【詳解】由題知，則，又，所以，所以，故選：D.3．（25-26高三上·吉林長(zhǎng)春·月考）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用換底公式結(jié)合指數(shù)與對(duì)數(shù)間的運(yùn)算，求得或，代入，即可化簡(jiǎn)求得結(jié)果.【詳解】由題知，，則，可得或，所以或，若，又，則，所以，則或（舍去），，；若，又，則，所以，則或（舍去），所以，綜上，.故選：B4．（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）式子的值為（

）A． B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根據(jù)題意利用指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算法則及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所?故選：C.5．（24-25高一上·江蘇南通·期末）任何一個(gè)正實(shí)數(shù)N可以表示成的形式，這便是科學(xué)記數(shù)法，若N兩邊取常用對(duì)數(shù)，則有，當(dāng)時(shí)，N是n＋1位數(shù)，則的位數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．611 B．610 C．609 D．608【答案】B【分析】計(jì)算的值，由此確定的位數(shù).【詳解】，是610位數(shù).故選：B.6．（25-26高一上·北京·開(kāi)學(xué)考試）若，我們記，那么以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用指數(shù)冪的運(yùn)算公式，結(jié)合特殊值法舉反例，可得答案.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，由，則，即，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，可得，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，即，可得，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，顯然不成立，故D錯(cuò)誤；故選：D.7．（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，則（

）A．1 B．4 C．1或4 D．2【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)可得，即可求得答案.【詳解】由已知得，整理得，得或．，即，則,故選：B8．（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）甲、乙兩人同時(shí)解關(guān)于x的方程：．甲寫錯(cuò)了常數(shù)b，得兩根為及；乙寫錯(cuò)了常數(shù)c，得兩根為及64，則這個(gè)方程的真正的根為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】將原方程變形為，根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理求出，，進(jìn)而求解方程即可.【詳解】原方程兩邊同時(shí)乘以，可變形為，∵甲寫錯(cuò)了b，得到兩根為及，∴，又∵乙寫錯(cuò)了常數(shù)c，得到兩根為及64，∴，∴原方程為，即，∴或，∴或8.故選：C.【點(diǎn)睛】對(duì)數(shù)方程的常見(jiàn)題型的求解思路類型題型解法基本型將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，解出．將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，解出，注意檢驗(yàn)且）．同底數(shù)型轉(zhuǎn)化為求解（注意檢驗(yàn)，且）．需代換型換元，令，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程，得，再解方程，得到，注意檢驗(yàn)．9．（24-25高一下·四川·期末）設(shè)，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及換底公式化簡(jiǎn)，再利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化關(guān)系求解.【詳解】依題意，，所以.故選：D10．（24-25高一上·安徽銅陵·期末）高德納箭頭表示法是一種用來(lái)表示很大的整數(shù)的方法，它的意義來(lái)自乘法是重復(fù)的加法，冪是重復(fù)的乘法．定義：（從右往左計(jì)算）．已知可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)T約為，則下列各數(shù)中與最接近的是（參考數(shù)據(jù)）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先得到，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算出，得到答案.【詳解】，則，所以，故選：C．11（24-25高一上·福建南平·期末）已知，，（，且；，且；，且；），則的值為（

）A． B．3 C． D．30【答案】B【分析】由條件結(jié)合換底公式可求的值，相加可得結(jié)論.【詳解】由，可得，同理，可得，，，所以.故選：B.二、多選題12．（25-26高三上·廣西·開(kāi)學(xué)考試）下列運(yùn)算正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng)，，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，故B正確；C選項(xiàng)，，故C正確；D選項(xiàng)，，故D正確.故選：BCD.13．（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）以下運(yùn)算中正確的是（）A．若，則B．C．D．【答案】ACD【分析】對(duì)于A利用對(duì)數(shù)換底公式以及對(duì)數(shù)運(yùn)算即可判斷，對(duì)于B利用對(duì)數(shù)運(yùn)算即可判斷，對(duì)于C根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算即可判斷，對(duì)于D利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的換底公式即可判斷.【詳解】對(duì)于A：由，得，故A正確；對(duì)于B：原式，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D正確．故選：ACD.14．（24-25高三下·安徽阜陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)指對(duì)互化規(guī)則，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則以及換底公式來(lái)逐一分析選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),已知，，根據(jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，可得，.則，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，.根據(jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，，所以B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，，所以C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD.15．（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由題可得，，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，．?duì)于A，．則A正確，對(duì)于B，，則B不正確，對(duì)于C，，則C不正確，對(duì)于D，，則D正確.（另解

利用換底公式的一個(gè)推論：，得）．故選：AD16．（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用基本不等式判斷A、B，利用對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)即可判斷C；利用基本不等式結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，即．?duì)于A，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故B正確；對(duì)于C，，若，又，則，又，故，矛盾，所以，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，又由，得，，所以，∴所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，故時(shí)，等號(hào)成立．故D正確.故選：ABD.17．（24-25高一上·廣東汕頭·期末）已知正數(shù)、、滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】把指數(shù)式轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的對(duì)數(shù)式后，運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及換底公式及基本不等式即可.【詳解】令，可得，，，，故A正確；，故B正確；，，所以，得，又，所以，得，所以，，故C不正確；，故D正確；故選：ABD三、填空題18．（25-26高一上·上海·期中）若(且)，則等于【答案】/0.2【分析】將題中所給的指數(shù)式換成對(duì)數(shù)式，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可得.【詳解】由得所以，所以，所以loga.故答案為：.19．（2025高三·北京·專題練習(xí)）.【答案】【分析】直接根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.【詳解】原式故答案為：20．（24-25高一上·湖北恩施·期中）若，且，則t的值為；【答案】或【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化公式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，顯然符合，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由，代入中，得，故答案為：或21．（25-26高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）設(shè)，若，則的值為．【答案】5【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求，，從而可求的值.【詳解】，而，故，即，解得.故答案為