胡不歸模型

模型來源：有一則古老歷史故事：從前有一個(gè)身在他鄉(xiāng)的小伙子，得知父親病危的消息

后便日夜趕路I可家.由于思鄉(xiāng)心切，他只考慮了兩點(diǎn)之間線段最短的原理，所以選擇了全

是砂礫地帶的直線路徑力一一B（如圖所示，力是出發(fā)地，8是目的地，力。是一條驛

道）.然而，當(dāng)他氣喘吁吁地來到父親的面前時(shí)，老人剛剛咽氣了.人們告訴他，在彌留之

際，老人在不斷喃喃地叨念：“胡不歸？胡不…”

早期的科學(xué)家曾為這則傳說中的小伙子設(shè)想了一條路線：在驛道上選一點(diǎn)C.小伙子先從

力到G然后再?gòu)?。折往從然后到達(dá)驛道目的地8（盡管這條路線長(zhǎng)一些，但是速度卻

可以加快）.他是可以提早抵達(dá)家門的.

這兩種路面的狀況和行走速度值不同，已知在驛道上行走的速度為四，在砂礫地上行走的

速度為匕（vi>v2）.可以在驛道上選一點(diǎn)C，小伙子先從4到C,然后再?gòu)?。折往目?/p>

地8,求他行走的時(shí)間.

=—+—=—|=—(MC+BC)

HV2V2s)V2

過定點(diǎn)4在直線4C的下方構(gòu)造/。凡使其滿足sin/CA/="=上,過點(diǎn)。作

%

v,CE

于點(diǎn)E,則sin/CA產(chǎn)='=下=無，：.CE=kAC,：.kAC+BC=CE+BC>BD

v2AC

歸納：胡不歸問題就一個(gè)“兩動(dòng)一定”求最值問題

條件：兩定一動(dòng)（動(dòng)點(diǎn)一般在某確定的直線上運(yùn)動(dòng)）

兩定：點(diǎn)力、〃兩點(diǎn)為定點(diǎn)：一定：點(diǎn)尸為直線力8外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

問題：確定動(dòng)點(diǎn)P，使〃最短（0</;/<1）

更一般地：使〃?Ri+〃P8最短（不妨設(shè)小>〃）

思路：設(shè)所求尸點(diǎn)在直線4M上，我們?cè)谥本€4N異于6點(diǎn)的一側(cè)構(gòu)造NM1M,使得

sinNMiM=m（相當(dāng)于把加R1通過正弦打折化歸到直角三角形的直角邊上）

我們作8￡L4，W交力N于0點(diǎn)，亳無疑問尸點(diǎn)即為所求：mPA=PF,mPA+PB=BF,BF

即為小功+產(chǎn)〃的最小值1而〃?R4+PBV/1B）

N

M

一般的：更一般地：使〃7%+〃P8最短（不妨設(shè)加>〃），我們只須在上式中提取用、〃中

的較大者，即可化歸到上述類型.

mPA+nPB=m（pA+-PB],在類似的位置構(gòu)造一個(gè)正弦等于'的角即可.

模型一：幾何問題中的最值

例1：

1.如圖，△A/C中，AB=AC=U）,tan4=2,BELAC于點(diǎn)E,。是線段拓

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CQ+且BO的最小值是

5

【答案】4>/5

【解析】

【分析】過點(diǎn)D作。〃_LA3于，，過點(diǎn)C作于M,首先通過勾股定理

及tanA=2求出AE,BE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)等腰三角形兩腰上的高相等得出

CM=BE,然后通過銳角三角函數(shù)得出?！?更80,進(jìn)而可得出

5

CD+好BD=CD+DH,最后利用C0+OH.C”即可求值.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作于〃，過點(diǎn)C作。0_L48于"

BE1AC,

/.Z4￡?=90°,

VtanA=—=2,

AE

設(shè)AE=a>BE=2u,

???AB2=AE2+BE2

，100=/+4/,

???a2=20,

:,a=2舊或-2后（舍棄）,

當(dāng)B、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)PB+等有最小值，然后利用解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行

求解即可.

【詳解】過點(diǎn)P作PQ匚AD,垂足為Q,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

CDC//AB,

.,.□QDP=DDAB=60°,

：.PQ=PD?sin□QDP=—PD，

2

:.P8+正產(chǎn)。=BP+PQ,

2

???當(dāng)點(diǎn)B、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)P8+且PO有最小值，

2

???P3+立PD的最小值為A3xsin60°=3石，

2

故答案為3退.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，線段之和最短問題，正確

添加輔助線，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

變式1-2：

3.如圖，在□力CE中，CA=CE,DC/l￡=30o,匚O經(jīng)過點(diǎn)C,且圓的直徑力4在線

段4E上.

(1)試說明CE是口。的切線:

(2)若口4?！曛?E邊上的高為力，試用含〃的代數(shù)式表示口。的直徑43；

(3)設(shè)點(diǎn)。是線段4C上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接OQ,當(dāng)gcQ+O。的最小

值為6時(shí)，求□。的直徑48的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見試邈解析；⑵48=述〃；(3)8vL

3

【解析】

【詳解】解：(1)連接OC,如圖1,\3CA=CEt□C/E=30。，

□□E=UC4E=30。,□COE=2M=60。，

□□6>CE=90°,

(2)過點(diǎn)。作?！翱谄?于〃，連接。C,

如圖2,由題可得?！?力，在中，CH=OOsinUCOH,

J32/z

□h=OC^in60°=巨OC,□OC=-f==上h,

2J33

4J3

DAB=2OC=-^-/i；

(3)作O/7平分口4。。，交口。于E,連接力RCF、DF,

如圖3,則口力。2=口。。/=!DAOC=^-(1800-60。)=60。,

22

QOA=OF=OCf口口”。產(chǎn)、□COE是等邊三角形,

V\Ab=AO=OC=bCtU四邊形/TOC尸是菱形，

根據(jù)對(duì)稱性可得OE=DO,過點(diǎn)。作。〃口0。于〃，□04=0C,

□□0。=匚0力030。，

LDII=DC*sin□DCH=DC^sin30o=!DC,

2

—CD+OD=DH+FD.

2

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)從D、〃三點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD（即;CQ+。。）

最小，MFH=OFsinJFOH=OF=6,貝lj0^=46,AB=2OF=86,

2

□當(dāng);8+0。的最小值為6時(shí)，口。的直徑48的長(zhǎng)為8月.

圖3

考點(diǎn)：1.圓的綜合題；2.等腰三角形的性質(zhì)；3.等邊三角形的判定與性質(zhì);

4.菱形的判定與性質(zhì)；5.銳角三角函數(shù)的定義；6.特殊角的三角函數(shù)值.

詢視加

題型二：一次函數(shù)背景的最值

例2

4.【定義】斜率，表示一條直線相對(duì)于橫軸的傾斜程度.當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，

對(duì)于一次函數(shù)歹=h+力（AW0）,人即為該函數(shù)圖象（直線）的斜率.當(dāng)直線過點(diǎn)

（xi,〃）、（X2,心）時(shí)，斜率左=上入，特別的，若兩條直線/1_L/2,則它們的

斜率之積木?%2=-1,反過來，若兩條直線的斜率之積%?42=-1,則直線/l_L/2

【運(yùn)用】請(qǐng)根據(jù)以上材料解答下列問題：

（1）已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4（1,3）、B（加，-5）、C（3,〃）在斜率為2

的同一條直線上，求〃?、〃的值；

（2）在（1）的條件下，點(diǎn)尸為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)N4PC為直角時(shí);求點(diǎn)，的坐

標(biāo)；

(3)在平面直角坐標(biāo)系中另有兩點(diǎn)。(3,2)>E(-1,-6),連接并延長(zhǎng)至

點(diǎn)G,使D4=4G,連接GE交直線48于點(diǎn)RV為線段處上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求

?！?手板的最小值.

0x0

備用圖

備用圖

【答案】(1)-3；7；(2)(0,4)或(0,6)；(3)4

【解析】

【分析】(1)設(shè)直線的解析式為y=2#4將N(1,3)代入求出力=1,得到函數(shù)解

析式，再將點(diǎn)8、。分別代入求出加、〃的值；

(2)設(shè)點(diǎn)P(0,y),當(dāng)N/PC為直角時(shí)，根據(jù)KPA-KPC=-1,得到

y-3y-7

求解即可;

O^T0^3=-1,

(3)連接OE,vf.^}A8//DE,ABVDA,DEVDA,求出AD、DE、DG,利用勾

股定理求出EG,及sin/GFA的值，過〃作MN_LG/于N,則MN=Y^MF,

5

過點(diǎn)。作。HJ_GE于〃，則QH即為最小值，由Z)〃?G￡=QG?。/得到。〃=4.

【詳解】解：(1)設(shè)直線的解析式為y=2什兒

將力(1,3)代入得6=1,

???直線的解析式為y=2x十1,

將8(陽，-5)、C(3,〃)兩點(diǎn)分別代入解析式，

得用=-3,〃=7：

(2)設(shè)點(diǎn)P(0,y),當(dāng)N4PC為直角時(shí)，有KPA?KPC=-1,

由(1)知，4(1,3)、C(3,7),

.》一3y-7_

??,一19

0-10-3

解得y=4或歹=6,

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,4)或(0,6).

2-(-6)3-21

如圖，連接由題意知，KAB=2,KDE==2,KDA=――=--

3—(—1)1—3Z

,:KAB=KDE,給鉆-KDA=2x(--)=—1,

：.AB//DE,AB±DAtDE_LDA,

???=—3，+(3-2,=逐年=4區(qū)DG=2AD=25

?*-EG=y]DG2+DE2=10>

???sinNGFA=sinNGED=—=—,

105

過M作A/N_LG"于M則=

5

JDM+—MF=DM+MN，

5

過點(diǎn)。作O”_LGE于〃，則Q"即為最小值.由DH?GE=DG?DE,

得￡)/7=4,

即DM+—MF的最小值為4.

5

【點(diǎn)睛】此題考查胡不歸問題的綜合知識(shí)，正確理解題意中斜率的計(jì)算公式,

勾股定理，最小值問題是解題的關(guān)鍵.

變式2—1：

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/i:y=理犬+6和直線A相交于y軸上的點(diǎn)

B,分別交x軸于/、C且NO8c=30度.

（1）求直線/2的解析式：

（2）點(diǎn)E坐標(biāo)為（5,0）,點(diǎn)"為直線4上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求

當(dāng)斯+C9最小時(shí)，點(diǎn)廠的坐標(biāo)，并求出此時(shí)PE4也OP的最小值.

2

【答案】（1）y=—限+6;（2）尸（1,—"+亞。。的最小值為也+型；

3223

【解析】

【分析】（1）求出8（0,6），再由。。=8?！薄ā?0。=1,求出。（1,0）,再由待定

系數(shù)法求直線解析式即可；

（2）先確定/力4。=90。，則可知。點(diǎn)關(guān)于直線/2的對(duì)稱點(diǎn)。在/2上，過點(diǎn)。作

軸交K點(diǎn)，易證ACK8g△CO8（44S）,則C的縱坐標(biāo)為26,即可求。

（-1,2/），連接PE交/i于凡因?yàn)镋F+CF=EF+。莊CE,所以當(dāng)。、E、F

三點(diǎn)共線時(shí)，EGC77的值最小為?！?當(dāng)。、F、。三點(diǎn)共線時(shí)，的值

最小，過/作/GJ_x軸交加于點(diǎn)G,易證△90G為等腰直角三角形，然后求出最

小值即可.

【詳解】解：（1）令—0,則產(chǎn)6，

：.B(0,V3),

:.OB=B

???N080=30。，

???OC=BO^an30Q=0立=\,

3

：.C(1,0),

設(shè)直線/2的解析式為產(chǎn)去+兒

則Hn，

k+b=0

,1b=6，

???直線/2的解析式為y=-瓜+G；

(2)令尸0,則［x+石=o,

??x=-3?

：.A(-3,0),

/.0/4=3,

???心叱AO而=3方=收rr

JZABO=60°t

???ZABC=90°f

???C點(diǎn)關(guān)于直線/i的對(duì)稱點(diǎn)。在〃上,

如圖1,過點(diǎn)。作CKJ_y軸交K點(diǎn)，

：?/\CKR9/\CCR

:.BK=BO=C,

???C的縱坐標(biāo)為2g,

???-任+百=26，

1,

：.C(-1,2石),

連接CE交h于F,

'：EF^CF=EF^CF>CE,

???當(dāng)。、E、廠三點(diǎn)共線時(shí)，￡/+Cb的值最小為CE,

設(shè)直線CE的解析式為尸去+仇

?:E(5,0),C(-1,2G),

5Z+〃=0

則《廠，

-^+Z?=2V3

6

K=------

.3

“一旦+越

?33

旦+速

y=

33

百?

)'=——x+

3

解得尸|,

：.F(1,延),

3

作第二、四象限的角平分線應(yīng)，過點(diǎn)尸作/0_L/3,,交y軸于點(diǎn)P,交/3,于點(diǎn)

。，

在放△P。。中，/尸00=45。,

:,專0P=PQ,

:.PF+與OP=PF+PQ>FQf

當(dāng)尸、F、o三點(diǎn)共線時(shí)，尸a,。尸的值最小,

過尸作/G_Lx軸交儲(chǔ)于點(diǎn)G,

為等腰直角三角形,

:?FQ=^FG,

2

V/3,的解析式為尸一工,

：.G(1,-1),

皿+華,

."2=立+偵,

23

:.PFt&OP的最小值為巫+捶.

223

【點(diǎn)睛】本題考杳一次函數(shù)的綜合，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，通過構(gòu)造坐

標(biāo)象限的角平分線將尸產(chǎn)+[o。轉(zhuǎn)化為求戶。的長(zhǎng)是解（2）問的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)

合，利用坐標(biāo)平移的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

變式2—2：

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線人：P=坐》+石和直線/2：y=-摳x+b

（2）點(diǎn)E坐標(biāo)為（5,0），點(diǎn)廠為直線人上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸為歹軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求

當(dāng)Eb+C/最小時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并求出此時(shí)P/T?巫。。的最小值.

2

【答案】（1）S"C=2G：（2）點(diǎn)/坐標(biāo)為（1，—）：。尸+也。。的最小值為

32

2ax/2

---+---

32

【解析】

【分析】（1）根據(jù)人的解析式可得/、8坐標(biāo)，把點(diǎn)8坐標(biāo)代入y=-出1+6可求

出6值，進(jìn)而可得出點(diǎn)。坐標(biāo)，即可求出4C、08的長(zhǎng)，利用三角形面積公式即可

得答案；

（2）如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線4的對(duì)稱點(diǎn)C,連接CE,交A于R根據(jù)力、B、C

坐標(biāo)可得口48。是直角三角形，可得點(diǎn)C在直線A上，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得出

C坐標(biāo)，可得。石為EF+3的最小值，利用待定系數(shù)法可.得出直線C'E的解析

式，聯(lián)立直線C'￡與力解析式即可得出得尸的坐標(biāo)；作二、四象限對(duì)角線上過

點(diǎn)廠作EGJJ3于G,交y軸于P,可得NGOP=45。，可得尸G=^OP,可得產(chǎn)G

為尸尸+當(dāng)。尸的最小值，過點(diǎn)/作bQ_Lx軸，交人于。，可得匚FGQ為等腰直角

三角形，可得FG=JQ,由人的解析式為產(chǎn)及點(diǎn)尸的坐標(biāo)可得點(diǎn)。坐標(biāo)，進(jìn)

2

而可得也的長(zhǎng)，即可得歹G的長(zhǎng)，可得答案.

【詳解】(1)?：l\：y=1+6

3

當(dāng)A—0時(shí)，尸6,當(dāng)y=0時(shí)，尸-3,

：.A(-3,0),B(0,、行)，

???點(diǎn)4直線加y=-⑺x+如口

:?b=6，

???直線，2的解析式為尸-Gx+VJ，

???當(dāng)y=0時(shí)，x=\,

：.C(1,0),

/.JC=4,。8=石，

??S^AB(^—^C-OB=-x4x5/3=25/3.

22

(2)如圖，作點(diǎn)。關(guān)于直線/1的對(duì)稱點(diǎn)C,連接CE,交八于F,

'：A(-3,0),B(0,、與)，c(1,0),

：.AB2=(-3)2+(6)2=12,802=12+(百)2=4,JC2=42=16,

〈AC^ABABC2,

是直角三角形，

???點(diǎn)C在直線/2上，

丁點(diǎn)C與點(diǎn)C"關(guān)于直線/1的對(duì)稱，

，CC=2BC=4,

設(shè)點(diǎn)C(zw>-6m+6,)

/.(m-1)2+(->/3///+>/3)2=42,

解得：〃71=-l,用2=3,

???點(diǎn)c在第二象限，

m=-1,

???-6加+退=2道，

*：FC=FC,

???Eb+CQEF+FC'口

???當(dāng)C、F、E三點(diǎn)共線時(shí)七/+C/的值最小,

設(shè)直線CE的解析式為產(chǎn)b+〃.

1-k+b=2y/3

t[5k+b=0

???直線CE的解析式為y二一手工+半，

百5G

V=------X+------

?33

聯(lián)立直線CE與八解析式得?,

yW+6

3

x=1

解得：<4>/3,

PF

（1,述）.

3

如圖，作二、四象限對(duì)用線/3,過點(diǎn)/作RG_L/3于G,交y軸于P,過點(diǎn)廠作

E0_Lx軸，交/3于0,

直線人的解析式為y=-x,ZGOP=45°,

???□G。夕是等腰直角三角形，

：.PG=—OP,

2

:.G、P、/三點(diǎn)共線時(shí)，夕”+也。。的值最小，最小值為R7的長(zhǎng),

2

???/GOP=45。，ZP(9E=90°,

:.400=45。，

:.40045。，

:ZGQ是等腰直角三角形，

：.FG=—FQ,

2

VF(1,華)，直線/3的解析式為尸-x,

：.Q(1,-1),

:.FQ=^~-(-1)=迪+1,

33

:,FG=?FQ=?"地+\)=巫+叵,

22332

.??PF+旦0P的最小值為巫+—.

232

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合、軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性

質(zhì)，正確添加輔助線，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及軸對(duì)稱的性質(zhì)是解

題關(guān)鍵.

變式2—3：

7.如圖，已知直線八：.0=丘(%W0)經(jīng)過點(diǎn)/(-1,0),與另一條直線〃：

y2=nx-6n(〃H0)交于點(diǎn)8(2,3),直線6與x軸交于點(diǎn)C.

(I)求直線A的解析式,并寫出#>尸>0時(shí),x的取值范闈.

(2)若點(diǎn)。在直線48上，且。的橫坐標(biāo)為-g,過。作直線。0,直線。。交y

軸于。點(diǎn)，且的面積為12,求。點(diǎn)的坐標(biāo).

(3)點(diǎn)尸為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接8P,求gcP+80的最小值.

【答案】(1)直線小四二工+1,x的取值范圍為2<x<6；(2)點(diǎn)。(0,y)或

]a八

(0,---)；(3)2H—>/3.

32

【解析】

39

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法求直線小y=1+1與直線小%=-的解析

39

式，再求點(diǎn)C(6,0),利用函數(shù)圖像直線小y=x+l與另一條直線自>s=--jr+-

39

交于點(diǎn)8(2,3),^>P2>0,滿足y=x+1在直線/2：%=一二工+二的上方，在點(diǎn)

-'~42

39

B的右側(cè)，直線/2：)，2=-11+5在X軸上方部分，即可求解；

(2)先求出直線小y=戈+1與y軸的交點(diǎn)為E(0,1),設(shè)0(0,加)求三角形

9

的底。E=|吁1|,利用三角形面積Sa尸S￡喋+SM0￡=/"?T=12,解絕對(duì)值方程

即可；

(3)過點(diǎn)C作直線CM,使N0CM=3(T,過點(diǎn)P作PF_LCM,此時(shí)，PF=；

PC,

???,CP+4片PF+BP,當(dāng)B、P、尸三點(diǎn)共線時(shí)，片PF+4P取最小值，

NCPF=900-NPCF=60。,根據(jù)對(duì)頂角NBPGNCPQGO。，軸，求出

/〃4P=90。-/初〃=30。，利用銳角三角函數(shù)P4=26，利用30。直角三角形性質(zhì)可

求HP=LBP='X2艮曰利用兩點(diǎn)距離公式求出HC=6?2=4,在求出PC即

22

可.

【詳解】解：⑴???直線樂y\=kx+b(U0)經(jīng)過點(diǎn)力(-1,0),B(2,3),

.f-k+b=O

―2k+b=3'

解得d

b=\

???直線/i:Ji=x+l,

點(diǎn)B在直線，2：y2=nx-6n(〃#))上，代入坐標(biāo)得3=2〃-6〃，

解得〃=一，

4

39

直線〃：y,=—x+—,

…42

39

當(dāng)必=0,-『0,

解得犬=6,

點(diǎn)C(6,0),

39

二?直線人：。=%+1與另一條直線另%=-1工+不交于點(diǎn)8(2,3),y\>y2>0

I1f

39

滿足y=X+1在直線/2：］的上方，在點(diǎn)B的右側(cè)，直線/2：

39

必二一11+^在X軸上方部分，

乃>?>0時(shí)，x的取值范圍為2VxV6：

(2)直線八：乂=K+1與丁軸的交點(diǎn)為￡(0,1),

設(shè)。(0,加)

：.QE=\m-\\,

5IQ

S△紗產(chǎn)SA0Q￡+SA80￡U—|nz-l|x-+-|/H-l|x2=-|/n-l|=12

2211411

???WM若,

(3)過點(diǎn)C作直線CM,使NOCM=30°,過點(diǎn)產(chǎn)作P凡LCM,此時(shí)，PF=g

PC,

??.!CP+8P=PF+BP,當(dāng)8、P、/三點(diǎn)共線時(shí)，＜CP+8P=Q尸+8P取最小值.

22

.:點(diǎn)B（2,3）,

:?BH=3,04=2,

?；NBPH=NCPE=18O°-90°-30°=60°,軸，

/./HBP=90°?/BP”=30°,

???8〃=P8cos30。=3,

—^—=與二26

?.PB=cos30°V3,

~2

HP=—BP=—x2百=yj3,

22

??,點(diǎn)。（6,0）,

.??〃C=6-2=4,

/.PC=4-V3,

:.PF=2-B,

2

???（PB、PC）W4-PB+PF=2>/3+2--=2+->/3.

222

J'A

【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求直線解析式，利用函數(shù)圖的交點(diǎn)求不等式的解集，

利用三角形面積求交點(diǎn)坐標(biāo)，最短問題，點(diǎn)到直線的垂線段長(zhǎng)，銳角時(shí)函數(shù)，30。

直角三角形性質(zhì)，本題難度大，涉及知識(shí)多，要有豐富的想象力才能解決問題，利

用輔助線畫出準(zhǔn)確圖形是解題關(guān)鍵.

變式2—4：

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=3x+3與x軸交于點(diǎn)力，與y軸交于點(diǎn)

C,直線＞=-2x+A與x軸交于點(diǎn)出且過點(diǎn)。（1,4）,點(diǎn)E是線段8。上一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)（不與點(diǎn)B和點(diǎn)。重合），軸于點(diǎn)兒點(diǎn)P是線段OC上的一點(diǎn)，連接

OE,EP.

(1)求點(diǎn)力和點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)△(?：戶的面積為2時(shí)二求點(diǎn)￡的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)EP+亟尸C最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出。。的長(zhǎng).

10

【答案】(1)點(diǎn)力、8的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(3,0)；(2)點(diǎn)石的坐標(biāo)為(2,

8

2)；(3)OP=-.

3

【解析】

【分析】(1)用待定系數(shù)法可求解函數(shù)解析式，利用兩軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)結(jié)合解析

式求解交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)由尸的面積=；X。/(-2/6)=2,再解方程，即可求解；

(3)過點(diǎn)E作交y軸于點(diǎn)P,交.AC于點(diǎn)、H,則點(diǎn)月為所求點(diǎn)，再證明

EP+嚕PC=EP+PH=HE,過點(diǎn)E作￡KJ_y軸于點(diǎn)K,利用銳角三角函數(shù)進(jìn)

而求解.

【詳解】解：(1)令產(chǎn)3x+3=0,解得尸-1,

故點(diǎn)4(-1,0),

將點(diǎn)。的坐標(biāo)代入產(chǎn)-2x+b得，4=-2+b,解得6=6,

故直線的表達(dá)式為尸-2什6,

令尸-2什6=0,解得x=3,

故點(diǎn)8的坐標(biāo)為(3,0),

故點(diǎn)/、8的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(3,0)；

(2)設(shè)點(diǎn)E(x,-2x+6),

則1尸的面積=!XOFXEF=L.r(-2.r+6)=2,

22

整理得：X2-3X+2=0,即(X?1)(X?2)=0,

解得x=l或2,

當(dāng)x=l,重合，舍去，所以戈二2,

故點(diǎn)上的坐標(biāo)為(2,2)；

(3)過點(diǎn)E作交y軸于點(diǎn)P,則點(diǎn)尸為所求點(diǎn),

???AC的解析式為：y=3x+3,

\&-1,0),8(0,3),

在放△NOC中，&〃N/CO=；,AC=J『+32=M,

則sinZACO=邊口，

10

則PH=PCsinZACO=—PC,

10

則EP+—PC=EP+PH=HE為最小，

10

過點(diǎn)后作EK_Ly軸于點(diǎn)K,

則/PEK=90°?/KPE=90°?NCPH=/HCP,REF=EK=OF=OK=2,

故tanZPEK=-,

3

PK\PK

~EK~3F，

\PK=-

3y

2x

\OP=OK+KP=2+-=~.

33

【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、點(diǎn)的對(duì)稱性、

解宜角三角形、面積的計(jì)算，一元二次方程的解法等，有一定的綜合性.確定

EP+亞PC取最小值時(shí)點(diǎn)。的位置是解本題的關(guān)犍.

10

題型三：二次函數(shù)背景的最值

例3：

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=f-2Y+c的圖象與戈軸交于彳、C兩

點(diǎn)，與p軸交于點(diǎn)8(0,-3),若夕是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O(0,1)在y軸上，連

接PD,則血PO+PC的最小值是()

A.4B.24-2-y2C.25/2【).—3?—2V2

3

【答案】A

【解析】

【分析】過點(diǎn)。作PJJLBC于過點(diǎn)。作DHA.BC于H.根據(jù)

近PD+PC=6PD^PC=后(2。+々)，求出。尸+巴的最小值即可解決

\/

問題.

【詳解】解：過點(diǎn)尸作/VJ_8c于/過點(diǎn)。作。H_L8C于凡

???二次函數(shù)＞=/-2什。的圖象與y軸交于點(diǎn)8(0,-3),

?*.c=-3,

.??二次函數(shù)的解析式為y=義2-2.*-3,令；7=0,/-2工-3=0,

解得x=-1或3,

：,A(-1,0),B(3,0),

：.OB=OC=3,

90°,

；?/OBC=/OCB=45。,

'：D(0,1),

：.OD=\,BD=4,

?：DHA_BC,

設(shè)?！?x,則3”二x,

?：DH?+BH?=Bb，

?*.X2+X2=?,

：?x=2叵，

???DH=Z6，

■:PJLCB,

:.ZPJC=90°,

萬

:.PJ=—PC,

2

：.y/2PD+PC=y/2PD+—PC=y/2（PD+PJ）f

7

,:DP+PJNDH,

???DP+PJN2五，

???OPFR/的最小值為2五，

41PD+PC的最小值為4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性

質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

變式3—1：

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線），=-#（x+l）（x-5）的頂點(diǎn)為D,且與x

軸分別交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，則

AQ十!。尸的最小值是____

【答案】3g

【解析】

【分析】先把拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，則有點(diǎn)D的坐標(biāo)為僅,36）,假設(shè)對(duì)稱

軸與x軸的交點(diǎn)為C,連接BD,過點(diǎn)P作PH_LBD于點(diǎn)H,過點(diǎn)A作AM_LBD于

點(diǎn)M,根據(jù)題意易得BC=3,0c=3百，由勾股定理可得BD=6,進(jìn)而可得

ZCDB=30°,則尸所以把求+的最小值轉(zhuǎn)化為求AP+9的

22

最小值，最后由點(diǎn)A、P、H三點(diǎn)共線時(shí)取最小，即為AM的長(zhǎng)，則問題可求解.

【詳解】解:由拋物線y=—4（x+l）（x—5）可得），二—乎（1—2）436，

???點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2,36）,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一1,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5,0）,

假設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為C,連接BD,過點(diǎn)P作PH_LBD于點(diǎn)H,過點(diǎn)A作

AM_LBD于點(diǎn)M,如圖所示：

在RtZXDCB中，DBNDC2+BC?=6,

/.ZBDC=30°,ZDBC=60°,

???PH=-DP

2t

??.”+!DP的最小值即為AP+PH的最小值，

2

???當(dāng)點(diǎn)A、P、H三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，即為AM的長(zhǎng)，

?,??\M=ABsin60o=3>/3,

??.AP+goP的最小值為3石；

故答案為3g.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的幾何綜合及三角函數(shù)，關(guān)鍵是由“胡不歸”法進(jìn)

行求解最值，然后利用三角函數(shù)進(jìn)行求解線段的長(zhǎng).

變式3—2：

11.已知拋物線y=f_bx+c（"c為常數(shù)，b>0）經(jīng)過點(diǎn)4—1,0）,點(diǎn)M（皿0）

是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)。在拋物線上，當(dāng)夜AM+2QM的最小值

為邑叵時(shí)，力的值為.

4

【答案】4

【解析】

【分析】將點(diǎn)4(-1,0)代入-b/c,求出c=-b-1,將點(diǎn)。(/?+-,性)

13113

代入拋物線片x12-bx-b-1,求出0縱坐標(biāo)為一y-彳，可知點(diǎn)0(b+-5方-彳)

在第四象限，且在直線》=%的右側(cè)，點(diǎn)N(O,1),過點(diǎn)。作直線4N的垂線，垂足

為G,QG與x軸相交于點(diǎn)"，過點(diǎn)。作0〃_Lx軸于點(diǎn)“，則點(diǎn)〃(b+g,0),在

RtZXMQ”中，可知/0"〃=/例。〃=45°,設(shè)點(diǎn)”(〃?，0),則可用含的代數(shù)式

表示“?，因?yàn)閥/2AM+2QM=33y,所以[(^-b--)-(-1)]+2yp2[(6+

424

g)--5)]=里2,解方程即可.

2244

【詳解】解：?.?拋物線尸/.笈氣經(jīng)過點(diǎn)彳(.1,0),

/.l+/?+c—0,

即c--b-1?

/._y=x2-bx-b-1,

???點(diǎn)斗+；，%)在拋物線上，

1.1

:.%=@+「)-b(b+-)-b-\

24

??”>(),

113

：.b+->h>Of——b——<0,

224

!13

???點(diǎn)。(力+萬，一耳人-^)在第四象限，且在直線x=6的右側(cè)，

???72AM+2QM=2(坐4W+QW)，點(diǎn)A(-l,0),

???可取點(diǎn)N(0,1),

則月O=ON=1,

又□匚/ON=90。，

□□O4N=45。，

如圖，過點(diǎn)。作直線4V的垂線，垂足為G,QG與x軸相交于點(diǎn)M,

則此時(shí)點(diǎn)M滿足應(yīng)AM+2QM的值取得最小值，符合題意，

過點(diǎn)。作?！癓v軸于點(diǎn)兒則點(diǎn)〃（什；，0）,

在RtZ\”0H中，可知N0MH=NM0H=45°,

:.QH=MH,QM=?MH,

??,點(diǎn)M（加，0）,

I31

.*.0-（—b—）=（b+—）-加,

242

解得，〃?=-5，

???及4W+2QA/=

:?叵【（;匕?;）■（?1）］+2a［（什］）-（；匕?；）〕=，

2422443y

???6=4,

故答案為:4.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，拋物線上的

點(diǎn)的坐標(biāo)滿足拋物線方程，解直角三角形等相關(guān)知識(shí)，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)給定參

數(shù)判斷點(diǎn)的位置，從而構(gòu)造特殊三角形來求解.

變式3—3：

12.如圖，己知一條直線過點(diǎn)（0,4）且與拋物線y=’x2交于4B兩點(diǎn),其中點(diǎn)

4

8的橫坐標(biāo)是8.

（1）求這條直線48的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)力的坐標(biāo)；

（2）在x軸上是否存在點(diǎn)C,使得△力6。是直角三角形？若存在，寫出點(diǎn)C的坐

標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

（3）過線段44上一點(diǎn)P,作〃工軸，交拋物線于點(diǎn)"，點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)

N（0,1）,當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時(shí)，MN+3M0的長(zhǎng)度最大？最大值是多少？

31

【答案】⑴尸三+4,4點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,1）；（2）存在，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-三，

0）,（0,0）,（6,0）,（32,0）；（3）當(dāng)M的橫坐標(biāo)為6時(shí)，MV+3PM的長(zhǎng)度的最

大值是18

【解析】

【分析】（I）首先求得點(diǎn)力的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定直線的解析式，從而

求得直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖1,連接NC,BC,然后分若□B4C=90。，則力"+力。2："?2；^UACB

=90。，則出乎=402+80；若□48C=90。，則力中+質(zhì);2：%。?三種情況求得的

值，從而確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）設(shè)“（4,!/），如圖2,設(shè)A/P與y軸交于點(diǎn)0,首先在R2MQN中,由

4

勾股定理得MN='a2+],然后根據(jù)點(diǎn)。與點(diǎn)用縱坐標(biāo)相同得到工=上辿，從而

46

得至IJMN+3PM=-二42+34+9,確定二次函數(shù)的最值即可.

【詳解】解：（1）□點(diǎn).4是直線與拋物線的交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為-2,

□y=[x（-2）占1,A點(diǎn)的坐標(biāo)為（?2,1）,

4

設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為卜="+6,

b=4

將(0,4),(-2,1)代入得＜

-2k+b=\

解得

h=4

3

口直線歹=二1+4,

2

直線與拋物線相交,

3+4=4

24

解得：x=-2或x=8,

當(dāng)x=S時(shí)，y=16,

□點(diǎn)5的坐標(biāo)為(8,16)；

(2)如圖1,連接/C,BC,

口由4(-2,1),8(8,16)可求得/爐=325.

22

設(shè)點(diǎn)C(機(jī)，0),同理可得4』=(m+2)+l=wMm+5,

B?=(〃L8)2+[62=m2-16/H+320,

」若n84C=90。，則力產(chǎn)+力^二臺(tái)。?，即325+"7+4"?+5=m2-i6〃?+320,

解得：〃7=■J；

」若」4cB=90。，貝Ij4"=4c2+8C2,即325=〃/+4〃7+5+〃/-16〃?+320,

解得：〃7=0或〃7=6；

1若ZM3C=90。，則月B2+8C2=4C2,即〃?2+4〃7+5=加2?16〃+320+325,

解得：〃?=32；

口點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-0),(0,0),(6,0),(32,0)；

(3)設(shè)A/(a,3),P(x,|x+4)如圖2,設(shè)MP與歹軸交于點(diǎn)Q,

在中，由勾股定理得MN==%+]

又□點(diǎn)P與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相同，

□—x+4=—a1

24

?2-16

□x=--------，

6

□點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為心色，

6

9T

?4-16、

MN+3PM=—/+1+3a=~—a2+為+9,

4、丁;4

又口256郎,

取到最大值18,

：1當(dāng)M的橫坐標(biāo)為6時(shí)，MN+3尸〃的長(zhǎng)度的最大值是18.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交

點(diǎn)問題，二次函數(shù)的綜合，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

變式3—4：

9

13.已知，拋物線猶2+x?4〃z與x軸交于點(diǎn)/（-4,0）和點(diǎn)6,與y軸交

4

于點(diǎn)C.點(diǎn)。（，?.0）為x軸卜一動(dòng)點(diǎn),且有-4V〃V0,過點(diǎn)7）作直線Ilx軸.

且與直線力。交于點(diǎn)加，與拋物線交于點(diǎn)N,過點(diǎn)N作NP_L/C于點(diǎn)P.點(diǎn)E在第

三象限內(nèi)，且有OE=OD.

（1）求〃?的值和直線4c的解析式.

（2）若點(diǎn)。在運(yùn)動(dòng)過程中，；力。+。。取得最小值時(shí)，求此時(shí)〃的值.

2

（3）若點(diǎn)△4OM的周長(zhǎng)與△〃可〃的周長(zhǎng)的比為5：6時(shí)，求的最小

值.

備用圖1備用圖2

【答案】（1）〃?=[；J=—jx—3；（2）〃=一6；（3）—V10

【解析】

一?_