1/10專題01空間向量的運算及其應(yīng)用目錄（Ctrl并單擊鼠標可跟蹤鏈接）TOC\o"1-2"\h\u典例詳解 1類型一、根據(jù)空間向量的線性運算求參數(shù) 1類型二、向量共線、共面的判定及應(yīng)用 3類型三、空間向量的數(shù)量積及參數(shù)、最值問題 5類型四、空間向量的模及參數(shù)、最值問題 6類型五、空間向量的夾角及參數(shù)、最值問題 8類型六、垂直、投影向量及參數(shù)問題 9類型七、證明平行、共面、垂直問題 11壓軸專練 14類型一、根據(jù)空間向量的線性運算求參數(shù)一、單選題1．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）若，，，，若，，不共面，當時，等于（

）A．3 B．5 C．7 D．92．（24-25高二下·江蘇淮安·期末）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，點分別為的中點，若，且，則（

）

A．1 B．2 C． D．3．（23-24高二下·甘肅臨夏·期末）我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，若，則（

）

A．1 B．2C． D．二、填空題4．（23-24高二上·山東威海·月考）已知是平行六面體．設(shè)是底面的中心，是側(cè)面的對角線上的點，且，設(shè)，．

類型二、向量共線、共面的判定及應(yīng)用共線向量與共面向量1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，若與是共線向量，則記為．2、共線向量定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數(shù)，使．3、共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使4、拓展對于空間任意一點，四點共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．一、單選題1．（24-25高二上·山東濟南·月考），若則（

）A．6 B．7 C．8 D．92．（23-24高二上·北京·期中）已知是空間兩個不共線的向量，，那么必有（

）A．共線 B．共線C．共面 D．不共面3．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）已知A，B，C三點共線，O為空間任一點，則①；②存在三個不為0的實數(shù)，m，n，使，那么使①②成立的與的值分別為（

）A．1， B．，0 C．0，1 D．0，04．（24-25高二上·福建福州·月考）已知，，，若，，三向量共面，則（

）A．18 B． C． D．65．（24-25高二下·福建龍巖·期中）已知，，不共面，若，，且三點共線，則（

）A． B．1 C．2 D．36．（24-25高二上·廣東佛山·月考）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．7．（24-25高二上·安徽銅陵·月考）已知A，B，C，D是空間不共面的四點，點P滿足：，則（

）A．P，A，B，C四點共面 B．P，A，B，D四點共面C．P，B，C，D四點共面 D．P，A，C，D四點共面8．（23-24高二上·青海海南·期中）已知三棱柱，為空間內(nèi)一點，若，其中，，則（

）A．若，則點在棱上 B．若，則點在線段上C．若，為棱的中點 D．若，則點在線段上9．（24-25高二上·廣東廣州·月考）已知點D在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點，滿足，且，，則的最小值為（

）A． B． C． D．10．（23-24高二上·遼寧大連·期末）在四面體中，E為的中點，G為平面的重心．若與平面交于點F，則（

）A． B． C． D．11．（24-25高一下·貴州貴陽·月考）如圖，在正四面體中，E為的中點，，，當時，四點共面，則（

）A． B． C． D．類型三、空間向量的數(shù)量積及參數(shù)、最值問題在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟①首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.②利用向量的運算律將數(shù)量積展開,轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積.③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.一、單選題1．（24-25高二下·江蘇連云港·期中）已知滿足，則的值為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·江蘇鹽城·期中）已知正四棱錐的所有棱長均為1，O為底面ABCD內(nèi)一點，且，則（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱長為的正四面體中，是的中點，是上一點，則（

）A． B． C． D．4．（24-25高二下·甘肅酒泉·期中）在空間直角坐標系中，，，，點在直線上運動，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．（24-25高二下·河南新鄉(xiāng)·期中）記棱長為2的正方體的內(nèi)切球為球是球O的一條直徑，P為該正方體表面上的動點，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題6．（24-25高二下·上海浦東新·期末）設(shè)正四面體的棱長為，為的中點，為的中點，則．7．（24-25高二下·江蘇南京·期中）在直三棱柱中，，點為側(cè)面上的任意一點，則的取值范圍是.類型四、空間向量的模及參數(shù)、最值問題利用向量方法求長度或距離的基本方法（1）將相應(yīng)線段用向量表示,通過向量運算來求對應(yīng)向量的模.（2）因為a·a=|a|2,所以|a|=a·a,這是利用向量解決長度或距離問題的基本公式.另外,該公式還可以推廣為|a±b|=(a（3）若，則，即一、單選題1．（2025·廣東惠州·三模）已知空間向量滿足，則（

）A． B．1 C．0 D．2．（24-25高二下·江蘇南京·月考）在平行六面體中，，，，則（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·江蘇揚州·期末）在三棱柱中，與相交于點，，，，，則線段的長度是（

）A． B． C． D．4．（2025·安徽安慶·模擬預(yù)測）在直棱柱中，，且，N是棱上的一點，且滿足，則的最小值為（

）A． B．6 C．3 D．二、填空題5．（24-25高二下·上?！ぴ驴迹┮阎O(shè)點、在平面上的射影分別為、，則.6．（24-25高二上·福建廈門·月考）已知向量，則.7．（24-25高二下·上海閔行·期末）、、是空間向量，其中，與、的夾角都是，且，，．則．8．（24-25高二下·湖北·月考）在棱長為的正四面體中，、分別是、的中點，則．9．（24-25高二上·上?！て谀┮阎?、是空間相互垂直的單位向量，且，，則的最小值是.10．（24-25高二下·江蘇常州·期中）如圖，四棱錐中，平面，底面是邊長為1的正方形，且，點是線段上異于的點，當為鈍角時，的取值范圍為．類型五、空間向量的夾角及參數(shù)、最值問題求兩個非零向量夾角的兩種途徑（1）轉(zhuǎn)化求角:把向量夾角轉(zhuǎn)化為平面幾何中的對應(yīng)角,利用解三角形的知識求解.（2）利用數(shù)量積求異面直線夾角的余弦值.（3）異面直線AB,CD的夾角α∈(0,π2],而<AB→,CD→>∈[0,π],故α=<AB→,CD→一、單選題1．（24-25高二上·廣東陽江·月考）若，，與的夾角為120°，則的值為（

）A．17 B． C． D．12．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空間向量，，若與的夾角是銳角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（24-25高二上·北京·月考）在正方體中，，，則直線與直線夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．（2025·山東棗莊·二模）已知三棱柱的各條棱長相等，且，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．（24-25高二下·安徽·月考）設(shè)空間兩個單位向量與向量的夾角等于，則向量夾角的余弦值等于（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·浙江寧波·期末）已知在棱長為1的正四面體中，，，則直線和夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．（24-25高二下·江蘇常州·期中）已知動點是棱長為1的正方體的對角線上一點，記，當為鈍角時，的取值范圍為（

）A． B． C． D．類型六、垂直、投影向量及參數(shù)問題（1）兩個向量的平行與垂直平行（）垂直（）（均非零向量）（2）判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件;已知兩向量平行或垂直求參數(shù)的值,則利用平行或垂直的充要條件,將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標關(guān)系,列方程(組)求解.（3）在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，向量稱為向量在向量上的投影向量．一、單選題1．（24-25高二下·江蘇常州·月考）向量，，，且，，則（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·江蘇·期中）已知向量，當時，向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·寧夏銀川·月考）已知，空間向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上的投影向量的模長為（

）A．2 B． C． D．4．（24-25高二下·江蘇宿遷·期末）在空間直角坐標系中，向量（）在面上的投影向量為，在向量上的投影向量為，則與的夾角為（

）A． B． C． D．與t有關(guān)5．（24-25高二上·寧夏銀川·月考）如圖，正四棱臺中，，則在上的投影向量是（

）A． B． C． D．二、填空題6．（23-24高二上·福建福州·期末）已知為單位向量.，若，則在上的投影向量的坐標為.7．（23-24高二上·廣東佛山·月考）如圖所示，已知平面ABC，，，則向量在向量上的投影向量是

.

8．（24-25高二下·湖南長沙·期中）如圖，棱長為2的正方體中，，分別是，的中點，動點滿足，若，則．類型七、證明平行、共面、垂直問題(1)合理選擇基底,使其能方便表示有關(guān)向量,并能進行運算,特別是數(shù)量積運算.(2)當直接證明線線垂直但條件不易利用時,常常考慮證明兩線段所對應(yīng)的向量的數(shù)量積等于零.利用向量證明垂直的一般方法是把線段轉(zhuǎn)化為向量,并用已知向量表示未知向量,然后通過向量的運算以及數(shù)量積和垂直條件來完成位置關(guān)系的判定.(3)證明直線與直線平行一般轉(zhuǎn)化為向量共線問題,利用向量共線的充要條件證明.一、解答題1．（24-25高二上·廣東中山·期中）如圖在邊長是2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點．證明：平面．2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，已知平行六面體，分別是棱和的中點，求證：四點共面．3．（24-25高二上·陜西漢中·月考）如圖，在矩形中，，，矩形所在平面外一點滿足平面，、分別是、的中點，且．請建立適當?shù)目臻g直角坐標系，然后證明：(1)；(2)，，共面．4．（24-25高二下·江蘇鎮(zhèn)江·月考）如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且，.用向量方法證明：平面.5．（24-25高二上·浙江溫州·期末）如圖，在平行六面體中，，.(1)求的長；(2)求證：直線平面.6．（24-25高二上·河南商丘·期中）如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，，平面，，且，，.(1)求直線與直線所成角的余弦值；(2)證明：，，，四點共面.7．（24-25高二下·上海寶山·月考）如圖所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．

(1)求證：；(2)當?shù)闹禐槎嗌贂r，能使平面？請給出證明．一、單選題1．（24-25高二上·山東淄博·期末）設(shè)，則（

）A．3 B． C． D．2．（23-24高二上·廣東東莞·月考）如圖，已知正方體中，點為上底面的中心，若，則（

）

A． B．1 C． D．23．（24-25高二上·河南·期中）在四面體中，為棱的中點，為線段的中點，若，則（

）A． B．1 C．2 D．34．（23-24高二上·河北邯鄲·期末）已知是不共面的空間向量，若與（是實數(shù)）是平行向量，則的值為（

）A．16 B．-13 C．3 D．-35．（24-25高二上·山東·期中）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．6．（24-25高二下·甘肅白銀·期中）在三棱錐中，M是平面內(nèi)一點，且，則（

）A． B．1 C．2 D．37．（24-25高二上·江蘇無錫·期中）設(shè)為空間的一個基底，，，，若，，共面，則（

）A． B． C． D．8．（23-24高二上·貴州·開學考試）如圖，在三棱柱中，為空間一點，且滿足，，則下列說法錯誤的是（）A．當時，點在棱上B．當時，點在線段上C．當時，點在棱上D．當時，點在線段上9．（24-25高二下·浙江·月考）在空間四邊形ABCD中，M、N分別是AB、CD的中點，且.設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．10．（24-25高二下·甘肅蘭州·期中）設(shè)正四面體的棱長為，，分別是，的中點，則的值為（

）A． B． C． D．11．（24-25高二上·河南許昌·月考）已知是空間的一個單位正交基底，，則空間向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．12．（24-25高二上·福建福州·期中）已知，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．13．（24-25高二上·廣東陽江·月考）如圖所示，在正方體中，為的中點，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．14．（24-25高二上·廣東廣州·期中）已知為原點，，點在直線上運動，則當取得最小值時，點的坐標為（

）A． B． C． D．15．（24-25高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）如圖，設(shè)動點在棱長為的正方體的對角線上（不含端點），，當為直角時，的值是（

）

A．2 B．1 C． D．16．（24-25高二上·福建莆田·月考）在棱長為2的正四面體中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，是的重心，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C．在上的投影向量為 D．17．（2025·山西·一模）如圖，直三棱柱中，，點P為側(cè)面上的任意一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．18．（24-25高二上·安徽·期末）已知O為正方形ABCD的中心，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，若將正方形ABCD沿對角線BD翻折，使得二面角的大小為，則此時的值為（）A． B． C． D．19．（24-25高二上·河南周口·月考）如圖，在長方體中，，，為棱的中點，是線段上的動點，則下列式子的值為定值的是（

）A． B． C． D．20．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知空間四邊形的四個頂點，，，的坐標分別為，，，，若為平面上的一個動點，則當，且，的夾角取得最小值時，（

）A． B． C． D．21．（24-25高二下·福建廈門·月考）在平行六面體中，且，，若，，則棱的最大值為（

）A． B． C．3 D．4二、多選題22．（24-25高二上·遼寧撫順·開學考試）已知，.若，則與的值可以是（

）A． B． C． D．23．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）(多選)已知向量，，，則的值為（

）A．2 B．C．3 D．24．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）在下列條件中，使M與A，B，C不一定共面的是（）A． B．C． D．25．（24-25高二下·廣東·月考）平行六面體的各棱長為1，且分別為，，，中點．若兩兩垂直，則（）A． B．C． D．四面體的體積為26．（24-25高二上·貴州黔東南·開學考試）如圖，平行六面體的所有棱長均為2，，，兩兩所成夾角均為，點，分別在棱，上，且，，則（

）A．，，，四點共面B．在方向上的投影向量為C．D．直線與所成角的余弦值為三、填空題27．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）設(shè)，是空間兩個不共線的向量，已知，，，且A，B