1/10專題03空間向量中的探索性及最值（范圍）問題目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）TOC\o"1-2"\h\u典例詳解 2類型一、平行中的探索性問題 2類型二、垂直中的探索性問題 7類型三、距離中的探索性問題 17類型四、線面角的最值（范圍）問題 23類型五、線面角中的探索性問題 34類型六、二面角、平面與平面所成角中的最值（范圍）問題 43類型七、二面角、平面與平面所成角中的探索性問題 56壓軸專練 661、用向量法處理立體幾何中的探索性、存在性問題探索性、存在性問題是條件不完備、結(jié)論不確定的問題,利用向量的方法將這類問題由立體幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)的方程(不等式)的解的問題,考查了化歸、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).2、用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問題用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問題,使幾何問題代數(shù)化,以數(shù)助形,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.同時(shí)本題還運(yùn)用了方程的思想,通過列方程、解方程使問題得以解決.這足以說明“向量的坐標(biāo)運(yùn)算”是“幾何”與“代數(shù)”間的一座新的橋梁.這類問題的基本形式是判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對(duì)象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)是否存在或某一結(jié)論是否成立,解決這類問題的基本策略是假設(shè)題中的數(shù)學(xué)結(jié)論成立,在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理,若由此導(dǎo)出矛盾,則否定假設(shè),否則,給出肯定證明.3、對(duì)于存在判斷型問題：通常應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等.4、對(duì)于位置探究型問題：通常借助向量，引進(jìn)參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù).類型一、平行中的探索性問題利用空間向量證明平行關(guān)系的方法和步驟1、要證明線線平行，首先需要證明兩直線的方向向量共線，再說明其中一條直線上存在某個(gè)點(diǎn)不在另一條直線上.2、要證明線面平行，首先需要證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直，或直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，再說明該直線上存在某個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi).3、要證明面面平行，首先需要證明兩平面的法向量為共線向量，再說明其中一個(gè)平面內(nèi)存在某個(gè)點(diǎn)不在另一個(gè)平面內(nèi)(也可轉(zhuǎn)化為證明線面平行、線線平行).一、解答題1．（24-25高二上·廣東佛山·月考）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)．請(qǐng)用向量方法解決以下問題：(1)證明：直線平面；(2)是否存在點(diǎn)，使直線平面？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，1.【分析】（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出平面的法向量，若假設(shè)存在，由，即可求解.【詳解】（1）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，于是，即，而平面，所以直線平面.（2）由（1）知，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，假定存在點(diǎn)，使直線平面，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，由，得，解得，而平面，則平面，所以存在點(diǎn)，使直線平面，此時(shí).2．（23-24高二上·湖北孝感·期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)(3)不存在，理由見解析【分析】（1）由題意和勾股定理可得，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）由面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得，進(jìn)而建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可求出該面面角；（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q，則存在使得.利用線面平行和空間向量的坐標(biāo)表示建立關(guān)于的方程，解得，即可下結(jié)論.【詳解】（1）在中，所以，即.又因?yàn)椋谄矫嬷?，，所以平?（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，由平面，?由（2）知，且已知，故以A為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，.

所以因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.由知，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則.于是.由（1）知平面，所以平面的法向量為.所以，由題知，二面角為銳角，所以其余弦值為；（3）設(shè)是線段上一點(diǎn)，則存在使得.因?yàn)椋?因?yàn)槠矫?，所以平面，?dāng)且僅當(dāng)，即.即.解得.因?yàn)?，所以線段上不存在使得平面.3．（23-24高二下·江蘇南京·月考）如圖，在正四棱錐中，各棱長(zhǎng)均為，為側(cè)棱上的點(diǎn)，是中點(diǎn).(1)若是中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；(2)是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，得到，求得向量和平面的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；（2）設(shè)，得到，求得平面的法向量為，根據(jù)平面，利用，列出方程，求得的值，即可求解.【詳解】（1）解：如圖所示，設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在正方形中，由，可得，又因?yàn)椋?，所以，可得，則，因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，可得，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，可得，所以直線與平面所成角的正弦值.（2）解：因?yàn)?，可得，設(shè)，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，若平面，可得，即可得，解得，所以，即存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí)的值為.類型二、垂直中的探索性問題利用空間向量證明垂直關(guān)系的方法和步驟1、要證明線線垂直，需證明兩直線的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零.2、要證明線面垂直，需證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或先通過向量證明線線垂直，再由線面垂直的判定定理證明.3、要證明面面垂直，需證明兩個(gè)平面的法向量垂直.一、解答題1．（23-24高二上·四川成都·月考）如圖，多面體中，面為正方形，平面，且為棱的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn).(1)證明：當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，平面；(2)是否存在點(diǎn)，使得；若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析【分析】（1）取中點(diǎn)為，通過平行關(guān)系證明四邊形為平行四邊形，再結(jié)合線面平行的判定定理完成證明；（2）建立合適空間直角坐標(biāo)系，將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為，結(jié)合結(jié)果進(jìn)行判斷即可.【詳解】（1）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故可得，根據(jù)已知條件可知：，故，故四邊形為平行四邊形，則，又平面平面，故面；（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，故，又四邊形為矩形，故，則兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，設(shè)，若，則，即，解得，不滿足題意，故不存在.2．（24-25高二上·貴州·期中）如圖，在直三棱柱中，，，P為上的動(dòng)點(diǎn)，Q為棱的中點(diǎn)．(1)設(shè)平面平面，若P為的中點(diǎn)，求證：；(2)設(shè)，問線段上是否存在點(diǎn)P，使得平面？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，.【分析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，易證四邊形為平行四邊形，可得，進(jìn)而得到平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)求證即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量及平面列出方程組求解即可.【詳解】（1）證明：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)镻為的中點(diǎn)，Q為的中點(diǎn)，所以，，，在直三棱柱中，，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以.（2）在直三棱柱中，平面，，故可以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，則，，又，則，所以，若平面，則，則，解得，所以線段上存在點(diǎn)P，使得平面，此時(shí).3．（24-25高二上·浙江嘉興·月考）如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成角為，四邊形是梯形，．

(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)T是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面的距離．(3)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，上是否存在一點(diǎn)M，使平面，若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明過程見解析(2)(3)【分析】（1）先證明，繼而證明，即可證明平面，從而根據(jù)面面垂直的判定定理證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)空間距離的向量求法，即可求得答案.（3）設(shè)，，進(jìn)而表示出，，由題意列出關(guān)于的方程組求解即可.【詳解】（1）由平面，平面，平面，得，，與底面所成角為．所以三角形為等腰直角三角形，．又由四邊形是直角梯形，，可知，所以為等腰直角三角形，而，故．在直角梯形中，過C作，垂足為E，則四邊形為正方形，可知．所以，在等腰直角三角形中，．則有，所以．又因?yàn)?，，平面，平面．所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則，，，，．因?yàn)門是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，所以，．設(shè)平面的法向量為，，，則，得，取，則，得平面的一個(gè)法向量為，而,所以點(diǎn)P到平面的距離為．（3）設(shè)，注意到，所以，所以，設(shè)，注意到，所以，因?yàn)椋?，所以，若平面，則當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)，綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)重合，此時(shí)存在，使平面.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問的關(guān)鍵在于知道若平面，則當(dāng)且僅當(dāng)，從而只需引入兩個(gè)參數(shù)，分別表示出，由此即可順利得解.4．（24-25高二上·吉林·期中）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，，，，是棱的中點(diǎn)，為棱上一動(dòng)點(diǎn).(1)若，證明：平面；(2)是否存在，使平面平面？若存在，求此時(shí)與平面所成角的正弦值；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，且與平面所成角的正弦值為【分析】（1）以為原點(diǎn)，以、的方向分別為、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；（2）設(shè)，根據(jù)空間向量法結(jié)合平面平面，可求出的值，然后利用空間向量法可求得與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，如圖，以為原點(diǎn)，以、的方向分別為、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，.因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)，則，則，解得，則，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，所以，令，?因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫妫?，平?（2）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，所以，令，?設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，令，可得，假設(shè)平面平面，則.由，解得，所以.設(shè)與平面所成的角為，則，所以存在，使平面平面，此時(shí)與平面所成角的正弦值為.5．（24-25高二上·浙江臺(tái)州·期中）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點(diǎn)，且，點(diǎn)在棱上（不與點(diǎn)，重合）.

(1)求證：平面平面；(2)求二面角的平面角的余弦值；(3)直線能與平面垂直嗎？若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)(3)不能，理由見解析【分析】（1）建立合適空間直角坐標(biāo)系，利用向量先證明平面，然后可證明平面平面；（2）分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，然后計(jì)算出法向量夾角的余弦值，結(jié)合圖形可求二面角的平面角的余弦值；（3）由表示出點(diǎn)坐標(biāo)即可表示出，再根據(jù)位置關(guān)系確定出與法向量的關(guān)系，確定方程解的情況可作出判斷.【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫?，，又，則以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，所以，，所以，，且，，平面，所以平面，所以平面平面.（2）由（1）知是平面的一個(gè)法向量，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即，令，則，，所以，所以，又由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的平面角的余弦值為.（3）由（1）得，，，，設(shè)，則，可得，所以，由（2）知是平面的一個(gè)法向量，若平面，可得，則，該方程無解，所以直線不能與平面垂直.類型三、距離中的探索性問題一、解答題1．（24-25高二上·北京·期中）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，分別是棱，，的中點(diǎn).(1)判斷直線與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)相交但不垂直，證明見解析；(2)；(3)不存在，理由見解析.【分析】（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算線面夾角即可；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算線面夾角即可；（3）假設(shè)存在點(diǎn)Q，利用空間向量研究點(diǎn)面距離計(jì)算參數(shù)即可.【詳解】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，即，則，連接與交于N點(diǎn)，即直線與平面相交于N點(diǎn)，則直線與平面的位置關(guān)系為相交，直線與平面的夾角的正弦值；（2）由上知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，即，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為；（3）設(shè)存在滿足題意，不妨設(shè)，則，易知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，即，而，所以點(diǎn)到平面的距離是，所以不存在.2．（24-25高二上·廣東梅州·月考）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，為棱的中點(diǎn)．

(1)求平面與平面的夾角余弦值；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在滿足題意的點(diǎn)，此時(shí)【分析】（1）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解面面角即可；（2）假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，，利用空間向量法求解點(diǎn)面距，建立關(guān)于a的方程，解之即可求解.【詳解】（1）由平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又，有，故，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

，得，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，令，得，，所以，即平面與平面所成角的余弦值為；（2）由（1）知，則，假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn).設(shè)，則，得，即，所以，故點(diǎn)到平面的距離為，即，解得或（舍去），所以存在滿足題意的點(diǎn).此時(shí)，所以.3．（23-24高二上·福建廈門·期中）如圖，在四棱錐中，，底面為直角梯形，，，，為線段上一點(diǎn).(1)若，求證：平面；(2)若，，異面直線與成角，二面角的余弦值為，在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離為，若存在請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，若不存在請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)線段上存在點(diǎn)，為靠近或靠近的三等分點(diǎn)【分析】（1）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，通過證明四邊形為平行四邊形得出，然后利用線面平行的判定定理即可得出結(jié)論；（2）證明出平面，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，并以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法結(jié)合二面角的余弦值為，求出的值，再利用空間中點(diǎn)到直線的距離公式即可得出結(jié)論.【詳解】（1）（1）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，∵，∴，∴，∴，∵，∴，所以四邊形為平行四邊形，則，∵平面，平面，∴平面；（2）由異面直線與成角，即，∵，，∴平面，∵，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為，、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，可得平面的一個(gè)法向量為，由于二面角的余弦值為，則，解得，則，假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離為，設(shè)，∴，則，∴，，∴點(diǎn)到直線的距離為，解得或，所以線段上存在點(diǎn)，為靠近或靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，使得點(diǎn)到直線的距離為.類型四、線面角的最值（范圍）問題一、解答題1．（2025·湖南·三模）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)平面與平面的交線記為直線，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明線線垂直，得到線面垂直，進(jìn)而證明面面垂直.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，根據(jù)線面平行性質(zhì)得到向量關(guān)系，進(jìn)而表示出，最后根據(jù)線面角公式求出直線與平面所成角的范圍.【詳解】（1）在長(zhǎng)方體中，因?yàn)槠矫?，平面，所?連接，在中，已知，可得.又因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.由于，且平面，所以平面.又因?yàn)槠矫?，所以平面⊥平?（2）分別以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，，，分別是線段的中點(diǎn)，所以可得，，，，.進(jìn)而求出，，.設(shè)平面的法向量為，由，即.令，解方程組可得，，所以平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)?，平面，所以平?又因?yàn)槠矫嫫矫?，可知，所?設(shè)，則.設(shè)直線與平面所成的角為，，根據(jù)直線與平面所成角的向量公式，可得.當(dāng)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)取等號(hào).又因?yàn)椋?

則直線與平面所成角的范圍是.2．（24-25高二上·福建泉州·期中）如圖，在四棱錐中，，，，.

(1)求證：平面；(2)過直線與線段的中點(diǎn)E的平面與線段交于點(diǎn)F.（i）試確定F點(diǎn)位置；（ii）若H點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角正弦值的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)（i）點(diǎn)F為靠近A的三等分點(diǎn)；（ii）【分析】（1）連接、，設(shè)，連接，由線面垂直的判定定理證明即可；（2）解法一：（i）取的中點(diǎn)M，連接、，由幾何關(guān)系得到，，過E點(diǎn)作，連結(jié)，確定F點(diǎn)位置即可；（ii）先由線面垂直的判定定理證明平面，再建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再由集合關(guān)系求出，代入線面角公式，再令，結(jié)合二次函數(shù)分析最值即可；解法二：（i）先由線面垂直的判定定理證明平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由向量的基本定理得到，再確定F點(diǎn)位置即可；解法三：（i）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)Q，連結(jié)交于點(diǎn)F，再由幾何關(guān)系確定其位置即可；（ii）由線面垂直的判定定理證明平面，再由余弦定理和同角的三角函數(shù)關(guān)系得到，再利用等體積法求出A點(diǎn)到平面的距離為d，然后分析其最值即可；【詳解】（1）

連接、，設(shè)，連接，，，，，則，，即是的角平分線，，，，平面，平面（2）同理可得故，所以，，因?yàn)?，則，則，（解法一）（i）取的中點(diǎn)M，連接、，，，故為等邊三角形，∵M(jìn)為的中點(diǎn)，，在底面中，，，，過E點(diǎn)作，則，所以C，D，E，K四點(diǎn)共面。連結(jié)，則，則，所以A，K，P，C四點(diǎn)共面。連結(jié)，面面，則必與相交，交點(diǎn)為所求的點(diǎn)F，，所以點(diǎn)F為靠近A的三等分點(diǎn).（ii）平面，平面，，因?yàn)椋?，，所以，，則，，，所以，，所以，，即，，平面，所以，平面，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)，其中，則，所以，，因?yàn)?，所以令，，，所以，設(shè)，對(duì)稱軸為，故當(dāng)或1，即或1時(shí)，取得最小值.因此，當(dāng)H點(diǎn)與E點(diǎn)或F點(diǎn)重合時(shí)直線與平面所成角的正弦值的最小值為.

（解法二）平面，平面，，因?yàn)?，，，所以，，則，，，所以，，所以，，即，，平面，所以平面，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，設(shè)，，，，，C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則，解得，，，所以點(diǎn)F為靠近A的三等分點(diǎn)，下同解法一，（解法三）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)Q，連結(jié)交于點(diǎn)F，即為所求點(diǎn).在中，，，，，則A為中點(diǎn).又因?yàn)镋為中點(diǎn)，則F為的重心，則，F(xiàn)為靠近A的三等分點(diǎn).平面，平面PBD，，因?yàn)?，，，所以，，則，，，所以，，所以，，即，，平面，所以平面，，，，，，設(shè)A點(diǎn)到平面的距離為d，，，，假設(shè)直線與平面交點(diǎn)為G，則直線與平面所成角正弦值，所以當(dāng)最大，正弦值最小，，，因?yàn)椋援?dāng)H點(diǎn)與E點(diǎn)或F點(diǎn)重合時(shí)最小.3．（24-25高二下·江蘇南通·期末）如圖，已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為3和6，母線與下底面所成的角為．(1)求圓臺(tái)的體積；(2)設(shè)，分別是圓臺(tái)的兩條母線．（?。┣笞C：；（ⅱ）若，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角正弦值的最大值．【答案】(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）【分析】（1）臺(tái)體體積計(jì)算公式計(jì)算即可（2）（?。┯擅婷嫫叫械男再|(zhì)定理證明；（ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解【詳解】（1）因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面半徑分別為3和6，母線與下底面所成的角為，所以圓臺(tái)的高為，

所以圓臺(tái)的體積為．（2）（ⅰ）由圓臺(tái)定義知，母線，的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)M，所以A，，，B四點(diǎn)共面．

又因?yàn)閳A面圓面O，平面圓面，平面圓面，所以．

（ⅱ）在圓面O內(nèi)作，垂足為O．以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，，，，．

設(shè)平面的一個(gè)法向量，因?yàn)椋?，由即解得，，取，則，，得．

設(shè)直線與平面所成角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取“”，所以直線與平面所成角正弦值的最大值為4．（24-25高二上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·月考）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且，設(shè)點(diǎn)G是線段PB上的一點(diǎn)．(1)求證：CD⊥平面PAD；(2)若．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．(3)設(shè)CG與平面AEF所成角為，求的范圍.【答案】(1)證明見解析(2)直線在平面內(nèi)，理由見解析(3)【分析】（1）由⊥平面可得，結(jié)合利用線面垂直判定定理可證；（2）由代入坐標(biāo)建立方程組，由方程組有解可得直線在平面內(nèi)；（3）由點(diǎn)G是線段PB上的一點(diǎn)．設(shè)，進(jìn)而得坐標(biāo)，求平面的一個(gè)法向量，由向量方法表示出，再利用換元法求函數(shù)值域可得.【詳解】（1）因?yàn)椤推矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，，平面，平面，所以平?（2）在底面中，過作，交于，由題意可知，又平面，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，、、、.，，，若平面，則且，使得，則有，解得，故.所以直線平面.（3）由（2）可知，.設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，有，故.故，令，則，而，，故.類型五、線面角中的探索性問題一、解答題1．（23-24高二上·北京順義·期中）在梯形中，為的中點(diǎn)，線段與交于點(diǎn)，將沿折起到的位置，使得平面平面.

(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）根據(jù)菱形和中位線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；（2）根據(jù)面面垂直和菱形的性質(zhì)得到，，兩兩垂直，然后建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量和與平面所成角的正弦值為列方程，解方程得到即可.【詳解】（1）

在梯形中連接，因?yàn)椋?，為中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為菱形，所以是中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平?（2）因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，，即，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，，所以，，兩兩垂直，則以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，，，，，，，，，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為，所以，解得或2（舍去），所以線段上存在點(diǎn)使得與平面所成角的正弦值為，.2．（2025·天津·二模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面，為邊CD的中點(diǎn)，且.(1)求線段的長(zhǎng)；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在線段上（不含端點(diǎn)）是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由即可求解；（2）分別求平面與平面的法向量，利用夾角公式即可求解；（3）設(shè)，利用直線與平面所成角的正弦值為即可求解.【詳解】（1）由底面平面，故，又底面是矩形，故，故AD、AB、PA兩兩垂直，故可以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、，設(shè)，則，則，由，則，解得，即；（2），設(shè)平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，可得，令，則，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，可得，令，則，所以，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為；（3）（3）設(shè)，則，因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為，設(shè)AN與平面所成角，所以，所以所以或，因?yàn)樗?，所?3．（23-24高二下·浙江寧波·期中）如圖，多面體中，直角梯形所在平面與正三角形所在平面垂直，，．(1)求該多面體的體積V；(2)在棱上是否存在點(diǎn)P，使得直線和平面所成的角大小為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，.【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，求證平面，即可由求出該多面體的體積.（2）先求證兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，依據(jù)已知條件求出和平面的法向量，再依據(jù)即可計(jì)算求解，進(jìn)而得解.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，則由為正三角形得，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又由題意，所以該多面體的體積.（2）連接，由題意以及（1）可知且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以由平面可知兩兩垂直，所以可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,所以，，設(shè)，則，所以，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，所以，即，取，則，所以直線和平面所成的角的正弦值為，整理得，解得（舍去）或，所以在棱上存在點(diǎn)P，使得直線和平面所成的角大小為，此時(shí).4．（23-24高二下·廣東廣州·期末）如圖1，在平行四邊形中，，E為的中點(diǎn)．將沿折起，連接與，如圖2．

(1)當(dāng)為何值時(shí)，平面平面?(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求三棱錐的內(nèi)切球的半徑．【答案】(1)(2)存在，(3)【分析】（1）先探索面面垂直的必要條件，再證明充分性即可.（2）由（1）得面面垂直、線面垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法表示線面角的正弦值，建立關(guān)于的方程求解即可（3）借助體積公式可得當(dāng)平面時(shí)，三棱錐的體積最大，借助等體積法計(jì)算可得內(nèi)切球半徑.【詳解】（1）連接，由題意得，，則為等邊三角形，，在中，，由余弦定理得，所以，由，則，故.若平面平面，由平面平面，平面，，則平面，平面，則，所以.下面證明當(dāng)時(shí)，平面平面.證明：由，則，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故當(dāng)時(shí)，平面平面；（2）由（1）知，，則平面平面.在平面內(nèi)過作，由平面平面，平面，則平面，平面，則.如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，由，，因?yàn)檩S垂直平面，故可取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），故當(dāng)時(shí)，存在，使直線與平面所成角的正弦值為；（3）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，其中為定值，則要使三棱錐的體積最大時(shí)，則點(diǎn)到平面的距離取最大，取中點(diǎn)，連接，則，當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，此時(shí)，由平面，則平面平面，由（1）知，，為直角三角形，.則，，，在中，，取中點(diǎn)，則，且，所以，設(shè)內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球半徑為，由等體積法知，其中，，故，故當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐的內(nèi)切球的半徑為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間幾何體的內(nèi)切球問題，一是找球心，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑，作出或找到截面，在截面中求半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑；三是建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出球心坐標(biāo)，利用有關(guān)半徑等的等量關(guān)系解方程組可得.類型六、二面角、平面與平面所成角中的最值（范圍）問題一、解答題1．（24-25高二上·山東棗莊·月考）如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面，.

(1)若點(diǎn)為EF的中點(diǎn)，求平面APB與BFC的交線與平面ABCD所成的角正弦值(2)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，試求的最小值.【答案】(1)(2)求的最小值為.【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，將圖形放入如圖所示的直四棱柱中，過點(diǎn)作的平行線與交于點(diǎn)，可求出平面APB與BFC的交線，再由線面角的向量公式求解即可.（2）令，然后寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，由法向量夾角與二面角的關(guān)系求得（為的函數(shù)），由函數(shù)知識(shí)可得最小值．【詳解】（1）在梯形中，∵，，∴，∴，∴，∴，又因?yàn)槠矫?，建立分別以直線為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則,平面ABCD的法向量為，，將圖形放入如圖所示的直四棱柱中，過點(diǎn)作的平行線與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以五點(diǎn)共面，平面即為平面，所以平面APB與BFC的交線即為，，，，，設(shè)交線與平面ABCD所成的角為，.平面APB與BFC的交線與平面ABCD所成的角正弦值為.（2）由（1）可令，則,∴,,設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得，取則，∵是平面的一個(gè)法向量,∴∵,∴當(dāng)時(shí)，有最大值．∴的最小值為2．（24-25高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．．(1)證明：平面(2)證明：(3)當(dāng)為何值時(shí)，面與面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)，最小值為【分析】（1）根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，通過直三棱柱的性質(zhì)得線面垂直，證明線線垂直，再根據(jù)線面垂直判定定理，證明線面垂直.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法證明線線垂直的方法，求出直線的方向向量，證明線線垂直.（3）根據(jù)向量法求二面角的方法，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出法向量，根據(jù)法向量求出二面角的正弦值，根據(jù)函數(shù)最值，求出何時(shí)正弦值最小，求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)槿庵侵比庵?，所以底面ABC，所以，因?yàn)?，，所以，又，平面，平面，所以平面．?）由（1）知BA，BC，兩兩垂直．如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，，，，．設(shè)．因?yàn)?，，所以，所以．?）設(shè)平面DFE的法向量為，因?yàn)?，，所以，即．令，則且平面的法向量為，設(shè)平面與平面DEF的二面角的平面角為，則．根據(jù)同角三角函數(shù)可知，所以當(dāng)取最大值時(shí)，取得最小值,可知，當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為，則，此時(shí)．3．（23-24高二上·北京海淀·期末）如圖，四棱錐中，平面，過的平面分別與棱交于點(diǎn)M，N．(1)求證：;(2)記二面角的大小為，求的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面平行判定定理與性質(zhì)定理可證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用法向量方法，用表示兩平面法向量夾角的余弦，再由向量夾角與二面角大小關(guān)系求最大值.【詳解】（1）因?yàn)?，平面，平面，所以平?因?yàn)檫^的平面分別與棱交于，所以；（2）因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，又因?yàn)?，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)，則，設(shè)平面即平面的法向量為，則，令，則，于是；設(shè)平面即平面的法向量為，則，令，則，于是，所以，因?yàn)?，所以，由二面角的大小為，根?jù)的方向判斷可得，所以，當(dāng)時(shí)，的最大值為.4．（24-25高二下·河南商丘·月考）如圖，在四棱臺(tái)中，底面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，棱臺(tái)的體積為.(1)求的長(zhǎng)；(2)若平面，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；(3)求平面與平面的夾角的余弦值的最大值.【答案】(1)2；(2)點(diǎn)的位置為靠近的4等分點(diǎn)；(3)【分析】（1）根據(jù)臺(tái)體體積公式得到方程，求出；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，，求出平面的法向量，根據(jù)得到方程，求出答案；（3）求出平面的法向量，在（2）基礎(chǔ)上，設(shè)出面面角，利用向量夾角余弦公式得到，結(jié)合自變量取值范圍，求出最大值.【詳解】（1）底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，故底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，所以底面的面積為，底面的面積為，底面，故為棱臺(tái)的高，故棱臺(tái)的體積為，解得；（2）因?yàn)榈酌妫矫?，所以，，又，故兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）知，則，設(shè)，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，因?yàn)槠矫?，所以，解得，此時(shí)，點(diǎn)的位置為靠近的4等分點(diǎn)；（3），設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，由（2）知，平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，令，則，因?yàn)?，故?dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為.5．（23-24高二上·上海奉賢·月考）如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成角的大??；(3)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，試求的范圍.【答案】(1)證明過程見解析(2)(3)【分析】（1）利用等腰梯形的性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可；（3）利用空間向量夾角公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以梯形是等腰梯形，因?yàn)椋?，由余弦定理可知：，，或舍去，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以：平面；?）由（1）可知平面，而平面，所以，而四邊形為矩形，所以，因此建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，則有，設(shè)平面的法向量為，則有，設(shè)平面與平面所成角為，；（3）設(shè)，即，，設(shè)平面的法向量為，則有，由（2）可知平面的法向量為，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)，于是有，即，即.6．（24-25高二下·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，為銳角，，，分別是，，的中點(diǎn)．(1)證明：∥平面．(2)求二面角的余弦值的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）在和中，利用中位線平行得出∥，即可證明結(jié)論；（2）作出空間直角坐標(biāo)系并表達(dá)出點(diǎn)和的坐標(biāo)，設(shè)，，利用幾何知識(shí)得出，，求出平面和平面DCF的法向量，即可得出二面角的余弦值的表達(dá)式，利用換元法結(jié)合基本不等式即可求出最大值.【詳解】（1）由題意證明如下，連接，，，設(shè)，連接．在中，，分別是，的中點(diǎn)，所以∥，在中，，分別是，的中點(diǎn)，所以∥，∴∥．∵平面，平面，∴∥平面．（2）由題意及（1）得，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，．設(shè)，則，．設(shè)，則，，即，則，．設(shè)平面的法向量為，則所以可取．由幾何知識(shí)得，平面DCF的一個(gè)法向量為，．令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，等號(hào)成立，所以．∴二面角的余弦值的最大值為．類型七、二面角、平面與平面所成角中的探索性問題一、解答題1．（23-24高二下·湖南·期中）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，且直線與平面所成角為．(1)求直四棱柱的高；(2)在棱上是否能找到一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為？若能，求出的值；若不能，說明理由．【答案】(1)(2)能，【分析】（1）設(shè)，以分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，用空間向量法結(jié)合直線與平面所成角為，列出方程求解即可；（2）假設(shè)能找到這樣的點(diǎn)，設(shè)，且，根據(jù)平面與平面的夾角為及空間向量，列方程解出，即可說明存在，計(jì)算出即可．【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)槔庵侵崩庵?，且底面是菱形，故兩兩垂直，如圖，以分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榱庑沃?，，所以，設(shè)，則，，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由,得，令得，，所以，因?yàn)橹本€與平面所成角為，所以，即，解得．（2）假設(shè)能找到這樣的點(diǎn)，設(shè)，且，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由,得，令得，，則，由平面與平面的夾角為，可得，即，解得，所以能找到這樣的點(diǎn)，此時(shí)，，故．2．（23-24高二上·河北邯鄲·月考）如圖，在三棱柱中，平面，，，為線段上的一點(diǎn)．(1)求證：；(2)線段上是否存在點(diǎn)使得平面與平面所成面面夾角為．若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明求解即可.（2）利用面面角的向量求法建立方程，再求解參數(shù)，最后判斷即可.【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫?，所以以為原點(diǎn)建立圖中空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，?設(shè)，所以，，，故，即得證，（2）設(shè)面的法向量為，由上問得，，故得，解得，取，得到，易得面的法向量為，若平面與平面所成面面夾角為，則，解得，由題意得，我們解出的不在范圍內(nèi)，故舍去，所以不存在定點(diǎn)的位置.3．（23-24高二下·江蘇南京·期末）如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．

(1)證明：平面；(2)若，，在線段上（不含端點(diǎn)），是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在；是上靠近的三等分點(diǎn)【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由面面垂直性質(zhì)定理可得平面，由此證明，再證明，根據(jù)線面垂直判定定理證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的法向量，利用向量夾角公式求法向量夾角，由條件列方程確定點(diǎn)的位置；【詳解】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又平面，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面?/p>

（2）假設(shè)在線段上（不含端點(diǎn)），存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，以為原點(diǎn)，分別以、為軸，軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，即取，，，所以為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)樵诰€段上（不含端點(diǎn)），所以可設(shè)，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，即，取，，，所以為平面的一個(gè)法向量，，又，由已知可得解得或（舍去），所以，存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，此時(shí)是上靠近的三等分點(diǎn)．

4．（23-24高二上·湖南婁底·月考）如圖，在三棱柱中，平面，．(1)求證：；(2)若，在棱上確定一點(diǎn)P，使二面角的平面角的余弦值為．【答案】(1)證明見解析(2)P為棱的中點(diǎn)【分析】（1）利用面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到平面，然后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明即可；（2）設(shè)，即可得到，然后根據(jù)二面角的平面角的余弦值列方程得到，即可確定點(diǎn)的位置.【詳解】（1）在三棱柱中，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面?/p>

因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?）如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，

，設(shè)，，則．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋?，，即，所以，令得?/p>

而平面的一個(gè)法向量可以是，則，解得，即P為棱的中點(diǎn)，其坐標(biāo)為.5．（24-25高二上·廣東深圳·月考）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，點(diǎn)在母線上，且，.(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，且【分析】（1）利用余弦定理與勾股定理推得，再利用線面垂直與面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可得證；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，得到直線的方向向量與平面的法向量后借助空間向量夾角公式計(jì)算即可得；（3）設(shè)，求出平面與平面的法向量后，借助空間向量夾角公式計(jì)算出相應(yīng)即可得.【詳解】（1）如圖，設(shè)交于點(diǎn)，連接，由圓錐的性質(zhì)可知底面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槭堑酌鎴A的內(nèi)接正三角形，由，可得，，又，，所以，即，，所以在中，，在中，由余弦定理：，所以，故，因?yàn)榈酌妫?，所以平面平面，又面，平面平面，，故面，又平面，所以平面平面；?）易知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成的角的正弦值為；（3），，，設(shè)，可得，設(shè)平面與平面的法向量分別為，，則有，，令，則，，，，即，，設(shè)平面與平面的夾角為，則，整理得，即，則，故線段上存在符合題意的點(diǎn)，且.一、解答題1．（24-25高二下·甘肅白銀·期末）如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).(1)在平面內(nèi)確定一點(diǎn)，使平面；(2)證明：棱上不存在點(diǎn)，使平面平面.【答案】(1)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，平面.(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)證明線面垂直的向量方法，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出方向向量，列出方程組，求出結(jié)果；（2）根據(jù)證明面面平行的向量方法，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，證明面上兩條直線方向向量，不能同時(shí)與另一個(gè)面的法向量垂直即可.【詳解】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，，，，設(shè)，.因?yàn)?，，，又，不共線，所以當(dāng)時(shí)，平面.所以，解得，，所以當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，平面.（2）設(shè)平面的法向量為，則，因?yàn)?，，所以，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量.若平面平面，則也是平面的一個(gè)法向量.因?yàn)?，，所以，即，得，此時(shí)，所以不是平面的一個(gè)法向量，即與平面不垂直.所以棱上不存在點(diǎn)，使平面平面.2．（2024·貴州黔西·一模）如圖所示為直四棱柱，，分別是線段的中點(diǎn).(1)證明:平面；(2)求直線BC與平面所成角的正弦值，并判斷線段BC上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求出BP的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)；在線段存在點(diǎn)使得平面，的值為【分析】（1）由題意可知為正三角形，則，又，結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理可得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線面角即可；假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面，令，利用求出，進(jìn)而求出即可.【詳解】（1）由，知為正三角形，又為的中點(diǎn)，則.又為的中點(diǎn)，則，而，所以，又平面，所以平面；（2）由（1）知為正三角形，則，在中，，有，所以，易知，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，故，設(shè)與平面所成角為，則，即與平面所成角的正弦值為.假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面，令，則，所以，由平面，得，所以，解得，所以，即的值為.3．（2024·新疆烏魯木齊·一模）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)．

(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)在截面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使平面，并說明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）由題意可建立相應(yīng)空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量計(jì)算即可得；（2）假設(shè)存在，可設(shè)，，，，結(jié)合空間向量解出、，可得其與假設(shè)矛盾，故不存在.【詳解】（1）由平面，、平面，故、，又底面為正方形，故，即、、兩兩垂直，故可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，可取，因?yàn)?，所以與平面所成角的正弦值為；

（2）假設(shè)截面內(nèi)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)，，，，有，，，所以，因?yàn)槠矫?，所以，所以，解得，這與假設(shè)矛盾，所以不存在點(diǎn)，使平面．4．（24-25高二上·山東臨沂·月考）如圖1，在邊長(zhǎng)為2的菱形中，于點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)B到平面的距離；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，【分析】（1）根據(jù)線面垂直先證得，再結(jié)合可證得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求得點(diǎn)B到平面的距離.（3）設(shè)，根據(jù)平面與平面的法向量垂直建立等量關(guān)系求得即可．【詳解】（1）證明：，，又平面平面，所以平面，平面，，又平面平面，平面；（2）平面，∴以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，所以點(diǎn)B到平面的距離為.（3）存在，理由如下：假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，使得平面平面，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量，由，得，令，得．設(shè)平面的法向量為，，故，取，得．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，解得，所以在線段上存在點(diǎn)，使得平面平面，且．5．（20-21高二上·北京朝陽·期末）在如圖所示的多面體中，且，，且，且，平面ABCD，，M，N分別為棱的中點(diǎn).（I）求點(diǎn)F到直線EC的距離；（II）求平面BED與平面EDC夾角的余弦值；（III）在棱GF上是否存在一點(diǎn)Q，使得平面MNQ//平面EDC？若存在.指出點(diǎn)Q的位置，若不存在，說明理由.【答案】（I）；（II）；（III）不存在，證明見解析；【分析】（I）由題知，，，又，建立以D點(diǎn)為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，求得向量，，則點(diǎn)F到直線EC的距離為；（II）求得平面BED和平面EDC的法向量，利用向量的夾角求得二面角的余弦值；（III）假設(shè)GF上存在點(diǎn)Q使得平面平面，設(shè)出坐標(biāo)，求得平面MNQ的法向量，與平面EDC的法向量應(yīng)共線，驗(yàn)證是否存在即可.【詳解】（I）由平面ABCD知，，，又，則建立以D點(diǎn)為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，，則，，，所以點(diǎn)F到直線EC的距離為（II）由（I）知，，，設(shè)平面BED的法向量為，則，令，則設(shè)平面EDC的法向量為，則，令，則故由圖知，二面角為銳二面角，故余弦值為（III）設(shè)GF上存在一點(diǎn)Q，設(shè)，則，設(shè)平面MNQ的法向量為則，令，則若平面平面，則，故不存在，即不存在點(diǎn)Q使得平面平面6．（24-25高二下·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為，，分別為所在邊的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使得二面角為直二面角．(1)求線段的長(zhǎng)度；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)棱上是否存在異于端點(diǎn)的點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為．若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)位于線段的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)【分析】（1）連接，證明，結(jié)合面面垂直性質(zhì)定理證明平面，取邊的中點(diǎn)記為，建立空間直角坐標(biāo)系，求的坐標(biāo)，再求線段的長(zhǎng)度；（2）求平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式求直線與平面所成角的正弦值；（3）設(shè)，求平面的法向量，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離的向量求法求點(diǎn)到平面的距離，列方程求，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）由已知，連接，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以；因?yàn)槠矫嫫矫?，又平面平面，又面，所以平面；取邊的中點(diǎn)記為，則；以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以；（2）由（1），，，，所以，，，記平面的法向量為，所以，不妨取，得，所以為平面的一個(gè)法向量；記直線與平面的所成角為，則，所以，直線與平面的所成角的正弦值為；（3）設(shè)，其中，，，，，，記平面的一個(gè)法向量為，則有，不妨取，解得，即；則點(diǎn)到平面的距離，整理得：即，解得或（舍去），所以，當(dāng)點(diǎn)位于線段的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為．7．（2025·山東青島·三模）如圖，已知底面是正三角形，平面，平面，．(1)若，是中點(diǎn)，證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由已知有，取中點(diǎn)，連接，，易證，再應(yīng)用線面平行的判定證明結(jié)論；（2）令，取中點(diǎn)為，連接，過作，且交于，構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的方向向量、平面的法向量，應(yīng)用向量法求線面角的最大正弦值，【詳解】（1），均垂直于平面，，取中點(diǎn)，連接，，，，且，又且，故四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面；（2）令，取中點(diǎn)為，連接，過作，且交于，，平面，平面，是正三角形，所以，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，方向?yàn)?，，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，設(shè)平面法向量，則，所以，取，則，又，設(shè)與平面所成角為，則所以，當(dāng)時(shí)，最大值為，綜上，直線與平面所成角正弦值的最大值為.8．（2024·四川南充·二模）在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，．(1)證明：平面PAC；(2)，是否存在常數(shù)，滿足，且直線AM與平面PBC所成角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在滿足條件，M滿足.【分析】（1）連接BD交AC于O，連接PO，由，證平面PAO；（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出及平面PBC的法向量，由向量法建立線面角正弦值的方程，從解的情況即可判斷.【詳解】（1）證明：連接BD交AC于O，連接PO.因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，所以，因?yàn)镺是BD中點(diǎn)，，所以.因?yàn)?，平面PAC，所以平面PAC，（2）如圖，取線段BC的中點(diǎn)H，連接AH，因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，所以.因?yàn)槠矫鍼AC，平面PAC，所以.因?yàn)?，，平面ABCD，所以平面ABCD.因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AH，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.，.設(shè)，由得，解得，進(jìn)而.設(shè)平面PBC的法向量為.由，得，取.設(shè)直線AM與平面PBC所成的角為，則，化簡(jiǎn)得，，解得，所以存在滿足條件，M滿足.9．（24-25高二上·四川德陽·月考）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為棱上的動(dòng)點(diǎn).(1)若為中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，在線段上是否存在點(diǎn)使得面與面夾角余弦值為，若存在，求出點(diǎn)位置，若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，結(jié)合中位線定理和線面平行的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，利用向量法求出即可求解.【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，因?yàn)榈酌鏋榫匦?，故為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.（2）底面為矩形，所以，平面，又平面，，如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸、軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，設(shè)，設(shè)，所以，可得，所以，，，，設(shè)面的法向量為，則，取，則，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)面的法向量為，則，取，則，可取，設(shè)面與面夾角為，則，化簡(jiǎn)得，即，解得或（舍），所以在線段上存在點(diǎn)使得面與面夾角余弦值為，此時(shí)，即點(diǎn)為（靠近點(diǎn)）的三等分點(diǎn).10．（23-24高二上·湖北黃岡·期中）如圖①，在直角梯形中，，，.將沿折起，使平面平面，連，得如圖②的幾何體.(1)求證：平面平面；(2)若，二面角的平面角的正切值為，在棱上是否存在點(diǎn)使二面角的平面角的余弦值為，若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)得到，然后根據(jù)線面垂直和面面垂直的判定定理證明即可；（2）根據(jù)二面角的定義得到為二面角的平面角，根據(jù)二面角的正切值得到，，然后根據(jù)相似得到，，然后建系，設(shè)利用空間向量的方法列方程求即可.【詳解】（1）∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，∵平面，∴，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴