1/10專題05立體幾何中的數(shù)學(xué)文化及創(chuàng)新定義問題目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）TOC\o"1-2"\h\u典例詳解 1類型一、立體幾何中的數(shù)學(xué)文化 1類型二、離散曲率 4類型三、曼哈頓距離 7類型四、向量叉乘 8類型五、立體幾何其他新定義問題 11壓軸專練 13類型一、立體幾何中的數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)文化試題常常是以數(shù)學(xué)文化為背景命制的與核心考點相關(guān)聯(lián)的題目,把數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)學(xué)科核心索養(yǎng)及數(shù)學(xué)思想方法結(jié)合起來，能有效考查考生在新情境中對數(shù)學(xué)文化的鑒賞能力、對數(shù)學(xué)知識的閱讀理解能力、對數(shù)學(xué)方法的遷移能力.解決此類問題主要是學(xué)會提前關(guān)鍵信息，抓住信息重點.一、單選題1．（24-25高二上·山東淄博·期末）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，四棱錐為陽馬，平面，點是邊上一點，且，若，則（

）A．1 B． C．2 D．2．（2024·河北·模擬預(yù)測）1941年中國共產(chǎn)黨在嚴(yán)重的困難面前，號召根據(jù)地軍民，自力更生，艱苦奮斗，尤其是通過開展大生產(chǎn)運動，最終走出了困境．如圖就是當(dāng)時纏線用的線拐子，在結(jié)構(gòu)簡圖中線段與所在直線異面垂直，分別為的中點，且，線拐子使用時將絲線從點出發(fā)，依次經(jīng)過又回到點，這樣一直循環(huán)，絲線纏好后從線拐子上脫下，稱為“束絲”．圖中，則絲線纏一圈長度為（

）A． B． C． D．3．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》記載了一種被稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上?下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為，、、、均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為和，對應(yīng)的圓心角為，則圖中異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．一個分子的極性大小通?？梢杂门紭O矩來衡量，偶極矩是一個矢量，化學(xué)鍵極性向量之和即為分子的偶極矩，方向規(guī)定為從正電中心指向負(fù)電中心，用符號表示．一般而言，越大，分子極性越大．現(xiàn)有分子A的兩個化學(xué)鍵極性向量可分別表示為和．分子B的三個化學(xué)鍵極性向量可分別表示為，和．分子C的兩個化學(xué)鍵極性向量可分別表示為和．則下列說法錯誤的是（

）A．分子A的偶極矩模長最小 B．分子C的極性最大C．A，C分子的偶極矩大小之差小于2.6 D．B，C分子的偶極矩大小之差大于1.6二、多選題5．（24-25高二上·廣東珠?！ぴ驴迹┎歼_(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體．若圖3中每個正方體的棱長為1，則（

）A． B．直線與平面所成角的余弦值為C．點到直線的距離是 D．異面直線與所成角的余弦值為三、填空題6．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）《九章算術(shù)》是古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，書中記載了一種名為“芻甍”的五面體（如圖），其中四邊形為矩形，，若和都是正三角形，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為．

7．正多面體被古希臘圣哲認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素，加上它們的多種變體，一直是科學(xué)、藝術(shù)、哲學(xué)靈感的源泉之一．如圖，該幾何體是一個高為4的正八面體，G為的中點，則異面直線與所成角的正弦值為．

四、解答題8．（24-25高二上·遼寧·期中）《九章算術(shù)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱.如圖，在塹堵中，，，，為棱的中點，為棱的中點.(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值.類型二、離散曲率一、單選題1．（24-25高二下·湖南長沙·月考）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為，則正十二面體的總曲率為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制）．已知正三棱臺中，，棱，的中點分別為，．若該棱臺頂點，的曲率之差為，則（

）A．B．平面C．直線與平面所成角的正弦值等于D．多面體頂點D的曲率的余弦值等于三、解答題3．（24-25高二上·上海·期中）刻畫空間的彎曲性是幾何研究中的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性.規(guī)定，多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差，其中經(jīng)過該頂點的多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制.例如：正四面體的每個頂點均有3個面角，每個面角均為，故其各個頂點的曲率均為.如圖，在直三棱柱中，分別是、的中點，，且點的曲率為；(1)證明：平面；(2)求點B到平面的距離；(3)求二面角的大小.4．（24-25高三下·甘肅白銀·月考）空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：①多面體頂點的曲率等于減去多面體在該點處所有面角之和；②多面體的總曲率等于多面體所有頂點的曲率之和，多面體各頂點的平均曲率等于它的總曲率與頂點數(shù)之商，其中多面體的面的內(nèi)角叫作多面體的面角，角度用弧度制．例如：正四面體每個頂點均有3個面角，每個面角均為，故其各個頂點的曲率均為．(1)如圖1，已知四棱錐的底面ABCD為菱形，，O為BD的中點，且平面ABCD，．①求該四棱錐在頂點P處的曲率的余弦值；②求二面角的平面角的正弦值；(2)瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他對簡單多面體進(jìn)行研究后，提出了著名的歐拉定理：簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E與面數(shù)F滿足．請運用歐拉定理解決下列問題：碳60（）具有超導(dǎo)特性、抗化學(xué)腐蝕性、耐高壓以及強磁性，是一種應(yīng)用廣泛的材料．它的分子結(jié)構(gòu)十分穩(wěn)定，形似足球，也叫足球烯，如圖2所示．已知碳60（）的分子結(jié)構(gòu)是一個由60個C原子構(gòu)成的分子，這個多面體有60個頂點，試求碳60（）各頂點的平均曲率．類型三、曼哈頓距離一、填空題1．（24-25高二下·黑龍江哈爾濱·期中）“曼哈頓距離（ManhattanDistance）”是由19世紀(jì)赫爾曼-閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，表示兩個點在空間（或平面）直角坐標(biāo)系中的“絕對軸距”總和.例如：在空間直角坐標(biāo)系中，點，之間的曼哈頓距離為.現(xiàn)已知在空間直角坐標(biāo)系中，點為坐標(biāo)原點，動點滿足，則動點圍成的幾何體的體積為.2．（24-25高三上·貴州貴陽·期末）對于兩個空間向量與，我們可以定義它們之間的歐式距離為，歐式距離可以簡單理解為兩點之間的直線距離；根據(jù)需要，還可以定義它們之間的曼哈頓距離為，曼哈頓距離最初指的是區(qū)塊建設(shè)的城市（如曼哈頓）中，兩個路口間的最短行車距離，因此也被稱為城市街區(qū)距離．如圖，在棱長為的正方體中，；若點在上底面內(nèi)（含邊界）運動，且，則的取值范圍是．二、解答題3．（24-25高二上·廣東汕頭·期末）“出租車幾何或曼哈頓距離（ManhattanDistance）”是由十九世紀(jì)赫爾曼-閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語，表示兩個點在空間（或平面）直角坐標(biāo)系中的“絕對軸距”總和．例如：在空間直角坐標(biāo)系中，點，之間的曼哈頓距離為．(1)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點O為坐標(biāo)原點，記為點M與直線l上的所有點的曼哈頓距離的最小值．（i）已知點，求；（ii）已知點，直線l：，求證：．(2)在空間直角坐標(biāo)系中，已知點O為坐標(biāo)原點，動點P滿足，求動點P圍成的幾何體的體積．類型四、向量叉乘一、單選題1．（24-25高二上·北京·期中）給定兩個不共線的空間向量與，定義叉乘運算，規(guī)定：①為同時與垂直的向量；②三個向量構(gòu)成右手系（如圖1）；③．如圖2，在長方體中中，，則下列說法中錯誤的是（

）A．B．C．D．二、解答題2．（24-25高二上·上海金山·期末）我們稱為向量與的向量積，現(xiàn)定義空間向量與的向量積：若，，則.區(qū)別于向量的數(shù)量積的結(jié)果是標(biāo)量，向量的向量積的結(jié)果仍然為向量.已知在三棱錐中，記.(1)若，求；(2)①向量是即有大小又有方向的量.試根據(jù)問題（1）的結(jié)果，猜測一個有關(guān)方向的一般結(jié)論（不必證明）.②若，求直線與平面的所成角的大??；(3)證明，并用表示三棱錐的體積.3．（24-25高二上·福建福州·期中）新定義：已知，.空間向量的叉積.若在空間直角坐標(biāo)系中，直線的方向向量為，且過點，直線的方向向量為，且過點，則與方向向量的叉積為，與的混合積為.混合積性質(zhì)：若，則與共面；若，則與異面.已知直線的一個方向向量為，且過點，直線的一個方向向量為，且過點.(1)用混合積性質(zhì)證明：與是異面直線；(2)若點，求的長的最小值；(3)若為坐標(biāo)原點，直線，求的坐標(biāo).4．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知兩個非零向量，，在空間任取一點，作，，則叫做向量，的夾角，記作.定義與的“向量積”為：是一個向量，它與向量，都垂直，它的模.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，為上一點，.(1)求的長；(2)若為的中點，求二面角的余弦值；(3)若為上一點，且滿足，求.5．（24-25高二上·重慶九龍坡·期中）行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運算的算法，二階行列式其運算法則如下：.若，則稱為空間向量與的向量積，其中，，為單位正交基底.以為坐標(biāo)原點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，已知是空間直角坐標(biāo)系中異于的不同兩點，且三點不共線.(1)①若，，求；②求證：是平面的一個法向量；且.(2)①記的面積為，證明：.②三棱錐，其中，，，求三棱錐的體積.（用，，表示）(3)如圖，兩點分別是三角形的兩條邊上的動點（不含端點），其中的中點為，其中的中點為.求證：三角形面積是四邊形面積的四分之一.類型五、立體幾何其他新定義問題面對新情景、新定義，首先要深入理解并分析這些新元素，將其與已知的立體幾何知識相結(jié)合。明確解題目標(biāo)后，靈活運用基本定理和性質(zhì)，如平行、垂直的判定與性質(zhì)，以及空間角、距離的計算公式。在解題過程中，合理構(gòu)造輔助線和面，以揭示隱藏的空間關(guān)系，簡化問題。對于復(fù)雜問題，可嘗試建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行計算和證明。同時，要善于將空間問題平面化，通過截面、投影等方式轉(zhuǎn)化求解對象。最后，解題后要進(jìn)行驗證和反思，確保結(jié)論的正確性，并總結(jié)所使用的方法和技巧，以便在未來遇到類似問題時能夠迅速應(yīng)對.一、單選題1．（24-25高二上·安徽·期末）已知向量，，是空間中的一個單位正交基底.規(guī)定向量積的行列式計算：，其中行列式計算表示為，所得向量垂直于向量，所確定的平面.利用向量積可以計算由兩個不共線向量確定的平面的法向量.若向量，，則平面的法向量為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·湖北·期中）在《線性代數(shù)》中定義：對于一組向量，，存在一組不全為0的實數(shù)，，使得：成立，那么則稱，，線性相關(guān)，只有當(dāng)時，才能使成立，那么就稱，，線性無關(guān).若為一組不共面的空間向量，則以下向量組線性無關(guān)的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，3．（24-25高二上·北京通州·期中）如圖，空間直角坐標(biāo)系中，點，，定義.正方體的棱長為3，E為棱的中點，平面內(nèi)兩個動點P，M，分別滿足，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題4．已知單位向量，，兩兩的夾角均為，若空間向量滿足，則有序?qū)崝?shù)組稱為向量在“仿射”坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點）下的“仿射”坐標(biāo)，記作，則下列命題是真命題的為（

）A．已知，，則B．已知，，其中，則當(dāng)且僅當(dāng)時，向量的夾角取得最小值C．已知，，則D．已知，，，則三棱錐的表面積三、解答題5．（24-25高二上·浙江·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，任何一個平面都能用方程表示.（其中，，，且），且空間向量為該平面的一個法向量.有四個平面，，，(1)若平面與平面互相垂直，求實數(shù)的值；(2)請利用法向量和投影向量的相關(guān)知識證明：點到平面的距離為；(3)若四個平面，，，圍成的四面體的外接球體積為，求該四面體的體積.6．（24-25高二上·江西上饒·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，定義：過點，且方向向量為的直線的點方向式方程為；過點，且法向量為的平面的點法向式方程為，將其整理為一般式方程為，其中．(1)已知直線的點方向式方程為，平面的一般式方程為，求直線與平面所成角的余弦值；(2)已知平面的一般式方程為，平面的一般式方程為，平面的一般式方程為，若，證明：；(3)已知斜三棱柱中，側(cè)面所在平面經(jīng)過三點，側(cè)面所在平面的一般式方程為，側(cè)面所在平面的一般式方程為，求平面與平面夾角的余弦值．一、單選題1．（24-25高二上·廣東東莞·月考）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，M，N分別是的中點，是的中點，若，則（

）

A． B． C． D．2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）沼氣是一種混合氣體，其主要成分是甲烷，其分子式為，且分子結(jié)構(gòu)是正四面體結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)簡式如圖所示．記上頂點為，底面三個頂點分別為，設(shè)，則（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·河南駐馬店·期末）青銅豆最早見于商代晚期，盛行于春秋戰(zhàn)國時期，它不僅可以作為盛放食物的銅器.還是一件十分重要的禮器，圖①為河南出土的戰(zhàn)國青銅器—方豆，豆盤以上是長方體容器和正四棱臺的斗形蓋.圖②是與主體結(jié)構(gòu)相似的幾何體，其中，，，點為上一點，且，點為的中點，則異面直線與夾角的余弦值為（

）

A． B． C． D．4．（2025·云南曲靖·二模）公元前300年，幾何之父歐幾里得在《幾何原本》里證明了世界上只存在正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體這5種正多面體.公元前200年，阿基米德把這5種正多面體進(jìn)行截角操作（即切掉每個頂點），發(fā)現(xiàn)了5種對稱的多面體，這些多面體的面仍然是正多邊形，但各個面卻不完全相同，如圖所示，現(xiàn)代足球就是基于截角正二十面體的設(shè)計，則圖2所示的足球截面體的棱數(shù)為（

）A．60 B．90 C．120 D．1805．（24-25高二上·湖南郴州·開學(xué)考試）已知一對不共線的向量，的夾角為，定義為一個向量，其模長為，其方向同時與向量，垂直（如圖1所示）．在平行六面體中（如圖2所示），下列結(jié)論錯誤的是（

）

A．B．當(dāng)時，C．若，，則D．平行六面體的體積6．（23-24高二下·廣東揭陽·期末）已知為球面上四點，分別是的中點，以為直徑的球稱為的“伴隨球”.若三棱錐的四個頂點均在表面積為的球面上，它的兩條棱的長度分別為8和6，則的伴隨球的體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題7．（23-24高二上·福建三明·期中）很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數(shù)24，棱長為的半正多面體，它所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得的，下列結(jié)論正確的有（

）A．平面B．若是棱的中點，則與平面平行C．點到平面的距離為D．該半正多面體的體積為8．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制.例如：正方體每個頂點均有3個面角，每個面角均為，故其各個頂點的曲率均為.如圖，在直三棱柱中，，點的曲率為分別為AC，的中點，則（

）A．直線BF與直線所成角余弦值為B．在三棱柱中，點的曲率為C．過BC作三棱柱的截面，使得截面與平面平行，則截面面積為D．當(dāng)點在線段AB上運動時，的最小值為三、填空題9．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在每個頂點的曲率為，故其總曲率為.根據(jù)曲率的定義，正方體在每個頂點的曲率為，四棱錐的總曲率為.10．（24-25高二上·浙江·期中）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為2，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為1和2，對應(yīng)的圓心角為，則圖中平面與平面所成角的余弦值為.11．（23-24高二下·江蘇揚州·月考）《九章算術(shù)》第五卷中涉及一種幾何體——羨除，它下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺．該羨除是一個多面體，如圖，四邊形，均為等腰梯形，，面面，梯形、的高分別為3，7，且，，，則，異面直線所成角的余弦值是.12．（24-25高二上·貴州黔西·月考）閱讀材料：數(shù)軸上，方程（）可以表示數(shù)軸上的點；平面直角坐標(biāo)系中，方程（、不同時為0）可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的直線；空間直角坐標(biāo)系中，方程（、、不同時為0）可以表示坐標(biāo)空間內(nèi)的平面.過點且一個法向量為的平面的方程可表示為.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為.四、解答題13．（23-24高二上·福建泉州·期末）宋元時期，泉州作為海洋商貿(mào)中心，成為世界第一大港.作為海上絲綢之路的起點，泉州的海外貿(mào)易極其頻繁，但海上時常風(fēng)浪巨大，使用原始船出行的風(fēng)險也大.因此，當(dāng)時的設(shè)計師為了海外貿(mào)易的正常進(jìn)行，便在船只設(shè)計中才用了楔形零件結(jié)構(gòu)，由此海上出行無需再懼怕船體崩潰，這也為海上貿(mào)易的發(fā)達(dá)作出了巨大貢獻(xiàn)，而其智慧至今仍熠熠生輝.如圖是從棱長為3的正方體木塊中截出的一個楔形體ABCDMNPQ，將正方體的上底面平均分成九個小正方形，其中是中間的小正方形的頂點.(1)求楔形體的表面積；(2)求平面APQ與平面的夾角的余弦值.14．（24-25高二上·山東濟(jì)南·月考）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖，在陽馬中，側(cè)棱平面，且，E為BC的中點，F(xiàn)為DP上的點，．(1)當(dāng)時，證明：平面．(2)判斷是否存在，使得EF與平面PCD所成角的正弦值為，若存在，求出λ，若不存在，請說明理由．15．“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼·閔可夫斯基提出來的．如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段是歐式空間中定義的兩點最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點最短距