湖南省岳陽市第五中學(xué)等2025年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，，則下列各式中正確的是（）A. B.C. D.2．若，則（）A.1 B.0C. D.3．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上是增函數(shù)B.函數(shù)在上是減函數(shù)C.是函數(shù)的極小值點D.是函數(shù)的極大值點4．為了防控新冠病毒肺炎疫情，某市疾控中心檢測人員對外來入市人員進行核酸檢測，人員甲、乙均被檢測.設(shè)命題為“甲核酸檢測結(jié)果為陰性”，命題為“乙核酸檢測結(jié)果為陰性”，則命題“至少有一位人員核酸檢測結(jié)果不是陰性”可表示為（）A. B.C. D.5．從集合中任取兩個不同元素，則這兩個元素相差的概率為（）A. B.C. D.6．若點P在曲線上運動，則點P到直線的距離的最大值為（）A. B.2C. D.47．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派研究發(fā)現(xiàn)了黃金分割，簡稱黃金數(shù)．離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線稱為黃金雙曲線．若雙曲線是黃金雙曲線，則（）A. B.C. D.8．已知角為第二象限角，，則的值為（）A. B.C. D.9．拋物線的焦點坐標(biāo)是（）A.（0，－1） B.（－1，0）C. D.10．已知，，則的最小值為（）A. B.C. D.11．已知函數(shù)，.若存在三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.12．在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則角為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=3，AA1=4，P是側(cè)面BCC1B1上的動點，且AP⊥BD1，記點P到平面ABCD的距離為d，則d的最大值為____________.14．已知遞增數(shù)列共有2021項，且各項均不為零，，如果從中任取兩項，當(dāng)時，仍是數(shù)列中的項，則的范圍是________________，數(shù)列的所有項和________15．已知函數(shù)有三個零點，則正實數(shù)a的取值范圍為_________16．已知，為雙曲線的左、右焦點，過作的垂線分別交雙曲線的左、右兩支于B，C兩點（如圖）．若，則雙曲線的漸近線方程為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知動點到點的距離與點到直線的距離相等.（1）求動點的軌跡方程；（2）若過點且斜率為的直線與動點的軌跡交于、兩點，求三角形AOB的面積.18．（12分）已知雙曲線的兩個焦點為的曲線C上.（1）求雙曲線C的方程；（2）記O為坐標(biāo)原點，過點Q(0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程19．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和20．（12分）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點，作交于點，連接（1）證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；（2）記陽馬的體積為，四面體的體積為，求的值；（3）若面與面所成二面角的大小為，求的值21．（12分）命題：函數(shù)有意義；命題：實數(shù)滿足.（1）當(dāng)且為真時，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知橢圓的離心率，過橢圓C的焦點且垂直于x軸的直線截橢圓所得到的線段的長度為1（1）求橢圓C的方程；（2）直線交橢圓C于A、B兩點，若y軸上存在點P，使得是以AB為斜邊的等腰直角三角形，求的面積的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合，，利用不等式的性質(zhì)可判斷，從而判斷，再利用不等式性質(zhì)得出正確答案.【詳解】，，，又，，兩邊同乘以負數(shù)，可知故選：D2、C【解析】由結(jié)合二項式定理可得出，利用二項式系數(shù)和公式可求得的值.【詳解】，當(dāng)且時，，因此，.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查二項式系數(shù)和的計算，解題的關(guān)鍵是熟悉二項式系數(shù)和公式，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】根據(jù)圖象，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的正負性、極值的定義逐一判斷即可.【詳解】由圖象可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可知B錯誤，A正確；是極大值點，沒有極小值，和不是函數(shù)的極值點，可知C，D錯誤故選：A4、D【解析】表示出和，直接判斷即可.【詳解】命題為“甲核酸檢測結(jié)果為陰性”，則命題為“甲核酸檢測結(jié)果不是陰性”；命題為“乙核酸檢測結(jié)果為陰性”，則命題為“乙核酸檢測結(jié)果不是陰性”.故命題“至少有一位人員核酸檢測結(jié)果不是陰性”可表示為.故選D.5、B【解析】一一列出所有基本事件，然后數(shù)出基本事件數(shù)和有利事件數(shù)，代入古典概型的概率計算公式，即可得解.【詳解】解：從集合中任取兩個不同元素的取法有、、、、、共6種，其中滿足兩個元素相差的取法有、、共3種.故這兩個元素相差的概率為.故選：B.6、A【解析】由方程確定曲線的形狀，然后轉(zhuǎn)化為求圓上的點到直線距離的最大值【詳解】由曲線方程為知曲線關(guān)于軸成軸對稱，關(guān)于原點成中心對稱圖形，在第一象限內(nèi)，方程化為，即，在第一象限內(nèi)，曲線是為圓心，為半徑的圓在第一象限的圓?。ê鴺?biāo)軸上的點），實際上整個曲線就是這段圓弧及其關(guān)于坐標(biāo)軸．原點對稱的圖形加上原點，點到直線的距離為，所以所求最大值為故選：A7、A【解析】根據(jù)黃金雙曲線的定義直接列方程求解【詳解】雙曲線中的，所以離心率，因為雙曲線是黃金雙曲線，所以，兩邊平方得，解得或（舍去），故選：A8、C【解析】由同角三角函數(shù)關(guān)系可得，進而直接利用兩角和的余弦展開求解即可.【詳解】∵，是第二象限角，∴，∴.故選：C.9、C【解析】根據(jù)拋物線標(biāo)準方程，可得p的值，進而求出焦點坐標(biāo).【詳解】由拋物線可知其開口向下，，所以焦點坐標(biāo)為，故選：C.10、B【解析】將代數(shù)式展開，然后利用基本不等式可求出該代數(shù)式的最小值.【詳解】，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.因此，的最小值為.故選B.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式時要注意“一正、二定、三相等”條件的成立，考查計算能力，屬于中等題.11、B【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時，有一個零點，進而將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，有兩個實數(shù)根，再研究函數(shù)即可得答案.【詳解】解：因為存在三個零點，所以方程有三個實數(shù)根，因為當(dāng)時，由得，解得，有且只有一個實數(shù)根，所以當(dāng)時，有兩個實數(shù)根，即有兩個實數(shù)根，所以令，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，因為，，，所以的圖象如圖所示，所以有兩個實數(shù)根，則故選：B12、A【解析】因為，那么結(jié)合，所以cosA==，所以A=，故答案為A考點：正弦定理與余弦定理點評：本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應(yīng)用，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)之間的關(guān)系，以及坐標(biāo)的范圍，即可求得結(jié)果.【詳解】以D為原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：設(shè)，則，，∵，∴，解得，因為，所以c的最大值為，即點P到平面的距離d的最大值為.故答案為：.14、①.②.1011【解析】根據(jù)題意得到，得到，，，，進而得到，從而即可求得的值.【詳解】由題意，遞增數(shù)列共有項，各項均不為零，且，所以，所以的范圍是，因為時，仍是數(shù)列中的項，即，且上述的每一項均在數(shù)列中，所以，，，，即，所以，所以.故答案為：；.15、【解析】求導(dǎo)易得函數(shù)有兩個極值點和，根據(jù)題意，由求解.【詳解】由，可得函數(shù)有兩個極值點和，，，若函數(shù)有三個零點，必有解得或故答案為：16、【解析】根據(jù)雙曲線的定義先計算出，，注意到圖中漸近線，于是利用兩種不同的表示法列方程求解.【詳解】，則，由雙曲線的定義及在右支上，，又在左支上，則，則，在中，由余弦定理，，而圖中漸近線，于是，得，于是，不妨令，化簡得，解得，漸近線就為：.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】小問1：由拋物線的定義可求得動點的軌跡方程；小問2：可知直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出的值，利用拋物線的定義可求得的值，結(jié)合面積公式即可求解小問1詳解】由題意點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，所以，則，所以動點的軌跡方程是.【小問2詳解】由已知直線的方程是，設(shè)、，由得，，所以，則，故，18、(1)雙曲線方程為(2)滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和【解析】（1）由雙曲線焦點可得值，進而可得到的關(guān)系式，將點P代入雙曲線可得到的關(guān)系式，解方程組可求得值，從而確定雙曲線方程；（2）求直線方程采用待定系數(shù)法，首先設(shè)出方程的點斜式，與雙曲線聯(lián)立，求得相交的弦長和O到直線的距離，代入面積公式可得到直線的斜率，求得直線方程試題解析：（1）由已知及點在雙曲線上得解得；所以，雙曲線的方程為（2）由題意直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為由得設(shè)直線與雙曲線交于、，則、是上方程的兩不等實根，且即且①這時，又即所以即又適合①式所以，直線的方程為與19、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用裂項相消法可求得.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列公差為，，【小問2詳解】解：，.20、（1）證明見解析，是鱉臑，四個面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB（2）4（3）【解析】（1）由直線與直線，直線與平面的垂直的轉(zhuǎn)化證明得出PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF，即可判斷DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，確定直角即可；（2）PD是陽馬P?ABCD的高，DE是鱉臑D?BCE的高，BC⊥CE，，由此能求出的值（3）根據(jù)公理2得出DG是平面DEF與平面ACBD的交線．利用直線與平面的垂直判斷出DG⊥DF，DG⊥DB，根據(jù)平面角的定義得出∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，轉(zhuǎn)化到直角三角形求解即可【小問1詳解】因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD為長方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD．而DE?平面PDC，所以BC⊥DE又因為PD＝CD，點E是PC的中點，所以DE⊥PC而PC∩CB＝C，所以DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，所以PB⊥DE又PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個鱉臑，其四個面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB；【小問2詳解】由已知，PD是陽馬P?ABCD的高，∴，由（Ⅰ）知，，在Rt△PDC中，∵PD＝CD，點E是PC的中點，∴，∴【小問3詳解】如圖所示，在面BPC內(nèi)，延長BC與FE交于點G，則DG是平面DEF與平面ABCD的交線由（1）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG又因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB＝P，所以DG⊥平面PBD所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，設(shè)PD＝DC＝1，BC＝λ，有，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得，則，解得所以故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為時，21、(1)；(2)【解析】(1)首先將命題，化簡，然后由為真可得，均為真，取交集即可求出實數(shù)的取值范圍；(2)將是的充分不必要條件轉(zhuǎn)化為是的必要不充分條件，進而將問題轉(zhuǎn)化為，從而求出實數(shù)的取值范圍【詳解】(1)若命題為真，則，解得，當(dāng)時，命題，若命題為真，則，解得，所以，因為為真，所以，均為真，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為(2)因為是的充分不必要條件，所以是的必要不充分條件，所以，所以或，所以，所以實數(shù)的