2025年考研數(shù)學(xué)(二)模擬沖刺考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（本題共6小題，每小題6分，滿分36分。請(qǐng)將答案填在答題紙指定位置上。）1.極限=.2.函數(shù)f(x)=xsin(x)+x2ln(1+x)的二階麥克勞林公式為.3.設(shè)函數(shù)f(x)在x=1處可導(dǎo)，且f(1)=1，lim(x→1)(f(x)-f(1))/(x-12)=-1，則f'(1)=.4.若反常積分∫[1,+∞)(x2+ax+2)/(x3+1)dx收斂，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.5.設(shè)A為3階矩陣，且|A|=3，則|2A?1|=.6.設(shè)X是一個(gè)服從參數(shù)為p的0-1分布的隨機(jī)變量，且E(X2)=0.6，則P(X=1)=.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上。）7.“f(x)在x?處可導(dǎo)”是“f(x)在x?處連續(xù)”的（）。A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f'(x)>0，則函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)（）。A.必單調(diào)增加B.必單調(diào)減少C.必有極值D.必?zé)o極值9.下列反常積分中，收斂的是（）。A.∫[1,+∞)1/xdxB.∫[1,+∞)1/(x2+1)dxC.∫[0,1]1/√xdxD.∫[0,1]1/x2dx10.設(shè)A,B是n階可逆矩陣，則下列運(yùn)算中不一定正確的是（）。A.(AB)?1=B?1A?1B.(A+B)?1=B?1+A?1C.(A2)?1=(A?1)2D.|AB|=|A||B|11.設(shè)向量組α?,α?,α?線性無(wú)關(guān)，向量β可以由α?,α?,α?線性表示，且β=2α?-α?+3α?，則β對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)向量是（）。A.(1,-1,3)?B.(2,-1,3)?C.(2,-1,3)D.(1,-1,3)12.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則下列說(shuō)法正確的是（）。A.E(X)=μ,D(X)=σB.E(X)=σ,D(X)=μC.E(X)=μ,D(X)=1/μD.E(X)=1/μ,D(X)=σ三、計(jì)算題（本題共5小題，滿分52分。）13.（本題滿分10分）計(jì)算不定積分∫xln(x2+1)dx。14.（本題滿分10分）計(jì)算定積分∫[0,π/2]xsin(x)dx。15.（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)滿足方程f'(x)+f(x)=x2，且f(0)=1，求f(x)。16.（本題滿分12分）設(shè)向量組α?=(1,1,1)?,α?=(1,2,3)?,α?=(1,3,t)?。(1)當(dāng)t取何值時(shí)，向量組α?,α?,α?線性無(wú)關(guān)？(2)當(dāng)t取何值時(shí)，向量組α?,α?,α?線性相關(guān)？并求出此時(shí)向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。17.（本題滿分8分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={c/x2,x>1;0,x≤1}。(1)確定常數(shù)c。(2)求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)。(3)計(jì)算P(0.5<X<2)。四、證明題（本題共2小題，滿分14分。）18.（本題滿分7分）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)。證明：在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f'(ξ)=0。19.（本題滿分7分）設(shè)A是n階正定矩陣，證明：|E+AB|>1，其中E是n階單位矩陣，B是n階非零矩陣。---試卷答案一、填空題1.12.x-x3/6+x?/120+o(x?)3.-14.a∈(-3,-2)5.2?3=1/86.0.6二、選擇題7.A8.A9.B10.B11.B12.A三、計(jì)算題13.解：∫xln(x2+1)dx=1/2∫ln(x2+1)d(x2)=1/2[x2ln(x2+1)-∫x2/(x2+1)dx]=1/2[x2ln(x2+1)-∫(x2+1-1)/(x2+1)dx]=1/2[x2ln(x2+1)-∫dx+∫1/(x2+1)dx]=1/2[x2ln(x2+1)-x+arctan(x)]+C=1/2x2ln(x2+1)-1/2x+1/2arctan(x)+C14.解：∫[0,π/2]xsin(x)dx=-∫[0,π/2]xd(cos(x))=-[xcos(x)]|[0,π/2]+∫[0,π/2]cos(x)dx=-[π/2cos(π/2)-0cos(0)]+[sin(x)]|[0,π/2]=-[0-0]+[sin(π/2)-sin(0)]=0+1-0=115.解：f'(x)+f(x)=x2，對(duì)應(yīng)的齊次方程f'(x)+f(x)=0的通解為f_h(x)=Ce??。非齊次方程的特解設(shè)為f_p(x)=Ax2+Bx+C。代入方程得(2Ax+B)+(Ax2+Bx+C)=x2，即Ax2+(2A+B)x+(B+C)=x2。比較系數(shù)得A=1,2A+B=0,B+C=0。解得A=1,B=-2,C=2。所以f_p(x)=x2-2x+2。f(x)=f_h(x)+f_p(x)=Ce??+x2-2x+2。由f(0)=1，得Ce?+02-2*0+2=1，即C+2=1，得C=-1。所以f(x)=-e??+x2-2x+2。16.解：向量組α?,α?,α?線性無(wú)關(guān)的充要條件是它們構(gòu)成的矩陣A=|111||123||13t|的行列式|A|≠0。|A|=1*(2t-9)-1*(t-3)+1*(3-2)=2t-9-t+3+1=t-5。(1)當(dāng)|A|≠0，即t-5≠0，得t≠5時(shí)，向量組α?,α?,α?線性無(wú)關(guān)。(2)當(dāng)|A|=0，即t-5=0，得t=5時(shí)，向量組α?,α?,α?線性相關(guān)。此時(shí)A=|111||123||135|，秩r(A)<3，且α?,α?不線性相關(guān)（因其對(duì)應(yīng)坐標(biāo)不成比例）。故α?,α?為最大無(wú)關(guān)組。（或通過(guò)行變換1R?-R?→|111|102|↓012|-111||024|-124|，得α?,α?為最大無(wú)關(guān)組。）17.解：(1)∫[1,+∞)c/x2dx=c[-1/x]|[1,+∞)=c[0-(-1)]=c。由概率密度函數(shù)性質(zhì)∫[1,+∞)f(x)dx=1，得c=1。(2)當(dāng)x≤1時(shí)，F(xiàn)(x)=∫[(-∞),x]0dx=0。當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)(x)=∫[1,x]1/t2dt=[-1/t]|[1,x]=-1/x-(-1)=1-1/x。所以F(x)={0,x≤1;1-1/x,x>1}。(3)P(0.5<X<2)=F(2)-F(0.5)=[1-1/2]-0=1/2。四、證明題18.證明：函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理，f(x)在[a,b]上必有最大值M和最小值m。若M=m，則f(x)在[a,b]上為常數(shù)，必有f'(x)=0對(duì)所有x∈(a,b)成立。結(jié)論成立。若M>m，則M和m至少有一個(gè)不在端點(diǎn)處取得（否則最大值或最小值在端點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)為0，與假設(shè)矛盾）。不妨設(shè)最大值M不在端點(diǎn)取得，則存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=M。由費(fèi)馬定理，必有f'(ξ)=0。結(jié)論得證。19.證明：方法一：由于B是非零矩陣，存在向量x?≠0，使得Bx?≠0?？紤]向量x=x?，有x??(Ax?)=x??(ABx?)=(Ax?)?x?=(λx?)?x?=λ(x??x?)，其中λ是A的一個(gè)特征值。因?yàn)锳是正定矩陣，所以λ>0，且x??x?>0（x?≠0）。所以|E+AB|=|E+λ?1Ax?x??|=|x?x??+λ?1Ax?x??|=|(1+λ?1A)x?x??|。因?yàn)锳是正定矩陣，所以1+λ?1A也是正定矩陣，其行列式|1+λ?1A|>0。又因?yàn)閤?x??≠0，所以|x?x??|≠0。故|E+AB|=|(1+λ?1A)x?x??|=|1+λ?1A||x?x??|>1。方法二：因?yàn)锳是正定矩陣，所以A有可逆的分解A=PLP?，其中P是正交矩陣（|P|=±1），L是對(duì)角線元素為正數(shù)的對(duì)角矩陣。|E+AB|=|E+PLP?B|=|P(E+LB)P?|=|E+LB|（因?yàn)镻是正交矩陣，|P|=1