2025年高考數(shù)學(xué)真題卷（全國卷）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項(xiàng)：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.集合M={x|-1<x<2},N={x|x≥1},則M∩N=?(A){x|x≥1}(B){x|1≤x<2}(C){x|-1<x≤1}(D){x|-1<x<1}2.若復(fù)數(shù)z滿足z2=i,則|z|=?(A)1(B)√2(C)√3(D)23.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是？(A)(-∞,1)(B)[1,+∞)(C)(-1,1)(D)(-∞,-1)∪(1,+∞)4.若函數(shù)g(x)=sin(2x+π/3)的圖像關(guān)于y軸對稱，則π/3+2kπ(k∈Z)是？(A)g(x)的最小正周期(B)g(x)的一個對稱軸方程(C)g(x)的一個零點(diǎn)(D)g(x)的一個最大值點(diǎn)5.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=3,a?=7,則a?=?(A)13(B)15(C)17(D)196.不等式|x-1|<2的解集是？(A)(-1,3)(B)(-1,2)(C)(1,3)(D)(0,2)7.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c。若a=3,b=4,C=60°，則c=?(A)5(B)7(C)√21(D)√298.已知向量p=(1,k),q=(2,-1)，若p⊥q，則k=?(A)-2(B)-1/2(C)1/2(D)29.一個袋中有5個紅球，3個白球，從中隨機(jī)抽取2個球，則抽到2個紅球的概率是？(A)5/8(B)5/12(C)1/3(D)1/410.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，則f(x)在x=1處的切線斜率是？(A)-1(B)0(C)1(D)3二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在答題卡相應(yīng)位置。11.若sinα+cosα=√2/2，則sin2α=?12.某校高三年級有1000名學(xué)生，為了解他們的視力情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中有10名學(xué)生視力不良。則該校高三年級學(xué)生視力不良的估計(jì)人數(shù)是？13.過點(diǎn)P(1,2)且與直線3x-4y+5=0平行的直線方程是？14.已知函數(shù)f(x)=e?-x在區(qū)間(0,+∞)上的最小值是？15.在等比數(shù)列{b?}中，b?=1,b?=8，則b?=?三、解答題：本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+2,a∈R.(1)若f(x)在x=1處取得最小值，求a的值；(2)若對于任意x?,x?∈R，都有|f(x?)-f(x?)|≤4，求a的取值范圍。17.(本小題滿分14分)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c。已知a=√3,b=1,sinB=1/2。(1)求sinA的值；(2)求cosC的值。18.(本小題滿分15分)已知數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，數(shù)列{b?}是等比數(shù)列，且a?=b?=1,a?=b?=4。(1)求數(shù)列{a?}和{b?}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)c?=a?+b?，求數(shù)列{c?}的前n項(xiàng)和S?。19.(本小題滿分15分)已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2,AB=1。點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)。(1)求證：平面ABE⊥平面PCD；(2)求二面角A-PC-D的余弦值。20.(本小題滿分18分)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+m。(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,4]上的最大值與最小值分別為3和-2，求實(shí)數(shù)m的值；(3)在(2)的條件下，是否存在k使得方程f(x)=kx在區(qū)間(-1,4)上有且僅有兩個不同的實(shí)數(shù)根？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由。試卷答案一、選擇題：1.B2.A3.B4.B5.C6.C7.A8.D9.B10.C二、填空題：11.1/212.10013.3x-4y-5=014.115.32三、解答題：16.解：(1)f(x)=x2-2ax+2的對稱軸為x=a。若f(x)在x=1處取得最小值，則a=1。答案：a=1(2)|f(x?)-f(x?)|≤4等價于f(x)_{max}-f(x)_{min}≤4。由(1)知a=1，f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1。函數(shù)f(x)在x=1處取得最小值1。f(x)_{max}=max{f(-∞),f(+∞)}=+∞。要使f(x)_{max}-f(x)_{min}≤4，即+∞-1≤4，顯然不成立。因此，需要更嚴(yán)格的條件?？紤]f(x)=(x-a)2+(a2-2a+2)。對稱軸x=a。f(x)_{max}-f(x)_{min}=max{|f(x)|}-1≤4。f(x)在(-∞,a]上單調(diào)遞減，在[a,+∞)上單調(diào)遞增。若a≤0，f(x)_{max}=f(+∞)=+∞，不滿足。若a>0，f(x)_{max}=f(+∞)=+∞，不滿足?？紤]f(x)在x=a-2或x=a+2處取得最大值。f(a-2)=2(a-2)2+1=2a2-8a+5f(a+2)=2(a+2)2+1=2a2+8a+9要使f(a+2)-1≤4，即2a2+8a+8≤4，即a2+4a+2≤0。Δ=16-8=8>0。解得-2-√2≤a≤-2+√2。要使f(a-2)-1≤4，即2a2-8a+4≤0，即a2-4a+2≤0。Δ=16-8=8>0。解得2-√2≤a≤2+√2。綜上，a的取值范圍是[-2-√2,-2+√2]∩[2-√2,2+√2]=[2-√2,2+√2]。答案：a∈[2-√2,2+√2]17.解：(1)sinB=1/2，因?yàn)閎<a，所以B為銳角。B=30°。由正弦定理，a/sinA=b/sinB，得sinA=(a*sinB)/b=(√3*1/2)/1=√3/2。答案：sinA=√3/2(2)由(1)知sinA=√3/2，A為銳角，所以A=60°。C=180°-A-B=180°-60°-30°=90°。cosC=cos90°=0。答案：cosC=018.解：(1)設(shè)數(shù)列{a?}的公差為d，數(shù)列{b?}的公比為q。a?=1,a?=1+2d=4，解得d=3/2。a?=1+(n-1)*(3/2)=(3/2)n-1/2。b?=1,b?=1*q2=4，解得q=±2。若q=2，b?=1*2^(n-1)=2^(n-1)。若q=-2，b?=1*(-2)^(n-1)。答案：a?=(3/2)n-1/2；b?=2^(n-1)或b?=(-2)^(n-1)(2)c?=a?+b?=(3/2)n-1/2+2^(n-1)或c?=(3/2)n-1/2+(-2)^(n-1)。當(dāng)b?=2^(n-1)時，S?=∑_{k=1}^{n}[(3/2)k-1/2+2^(k-1)]=(3/2)*∑_{k=1}^{n}k-1/2*n+∑_{k=1}^{n}2^(k-1)=(3/2)*[n(n+1)/2]-n/2+(1-2^n)/(1-2)=(3/4)n(n+1)-n/2+2^n-1=(3/4)n2+(3/4)n-n/2+2^n-1=(3/4)n2+(1/4)n+2^n-1。當(dāng)b?=(-2)^(n-1)時，S?=∑_{k=1}^{n}[(3/2)k-1/2+(-2)^(k-1)]=(3/2)*∑_{k=1}^{n}k-1/2*n+∑_{k=1}^{n}(-2)^(k-1)=(3/2)*[n(n+1)/2]-n/2+[1-(-2)^n]/[1-(-2)]=(3/4)n2+(1/4)n-n/2+(1-(-2)^n)/3=(3/4)n2+(1/4)n-n/2+1/3-(-2)^n/3=(3/4)n2+(1/4)n-2n/4+1/3-(-2)^n/3=(3/4)n2-(1/4)n+1/3-(-2)^n/3。答案：S?=(3/4)n2+(1/4)n+2^n-1或S?=(3/4)n2-(1/4)n+1/3-(-2)^n/319.解：(1)證明：取PD中點(diǎn)F，連接AF,EF。在矩形ABCD中，AD=2,AB=1，所以AF是直角三角形ACD的斜邊中線，AF=CD/2=1。又PA=AD=2，所以AF=PA/2。點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以EF=PC/2。在△PAF中，PA=2,AF=1，所以∠PAF=60°。在△PEF中，PF=PA/2=1,EF=PC/2。因?yàn)镻A=AD=2,AD=BC,PA=BC,所以PC=√(PA2+AC2)=√(22+22)=2√2。因此EF=(√2)/2。由于PF=1,EF=√2/2，∠PAF=60°，所以△PEF是邊長為1,√2/2,√6/2的直角三角形，∠PEF=30°。所以∠AEF=∠PAF+∠PEF=60°+30°=90°。因此，EF⊥AE。又EF⊥PC（PF=PC/2,F為PF中點(diǎn)，所以EF⊥PC），且EF是公共邊。所以平面ABE⊥平面PCD。答案：見證明過程(2)以D為原點(diǎn)，DA,DC,DP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2),E(0,0,1)。向量u=AB=(0,1,0),向量v=PC=(-√2,1,-2)。cos<u,v>=u?v/(|u||v|)=(0*√2+1*1+0*(-2))/(√1*√(2+1+4))=1/(√6*√6)=1/6。二面角A-PC-D是銳角，所以cos(二面角A-PC-D)=1/6。答案：1/620.解：(1)f'(x)=3x2-6x+2。令f'(x)=0，得3x2-6x+2=0，解得x?=1-√3/3,x?=1+√3/3。當(dāng)x∈(-∞,x?)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x?,x?)時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x?,+∞)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。答案：遞增區(qū)間(-∞,1-√3/3)∪(1+√3/3,+∞)；遞減區(qū)間(1-√3/3,1+√3/3)(2)f(x)在x?處取得極大值f(x?)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)+m=2√3/9-2/3+m。f(x)在x?處取得極小值f(x?)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)+m=-2√3/9+2/3+m。f(x)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值為f(-1)=-1-3+(-2)+m=m-6，f(4)=64-48+8+m=m+24。比較極值與端點(diǎn)值：f(x)_{max}=max{f(x?),f(4)}=max{2√3/9-2/3+m,m+24}=3。f(x)_{min}=min{f(x?),f(-1)}=min{-2√3/9+2/3+m,m-6}=-2。要使f(x)_{max}=3，需要m+24=3，解得m=-21。此時f(x?)=2√3/9-2/3-21=2√3/9-65/3。要使f(x)_{max}=3，需要2√3/9-2/3+m=3，解得m=9-2√3/9。此時f(4)=9-2√3/9+24=33-2√3/9。要使f(x)_{max}=3，需要-2√3/9+2/3+m=3，解得m=3+2√3/9。此時f(-1)=3+2√3/9-6=-3+2√3/9。要使f(x)_{min}=-2，需要m-6=-2，解得m=4。此時f(x?)=2√3/9-2/3+4=34/9-2√3/9。要使f(x)_{min}=-2，需要-2√3/9+2/3+m=-2，解得m=-2+2√3/9。此時f(-1)=-2+2√3/9-6=-8+2√3/9。綜合比較，m=-21時，f(x)_{max}=3,f(x)_{min}=-2√3/9-65/3<-2。m=9-2√3/9時，f(x)_{max}=3,f(x)_{min}=33-2√3/9>-2。m=3+2√3/9時，f(x)_{max}=3,f(x)_{min}=-3+2√3/9>-2。m=4時，f(x)_{max}=34/9-2√3/9>3,f(x)_{min}=-2。m=-2+2√3/9時，f(x)_{max}=-8+2√3/9<3,f(x)_{min}=-2。只能滿足f(x)_{max}=3且f(x)_{min}=-2的m值不存在。要使f(x)_{max}=3且f(x)_{min}=-2，需要滿足：f(4)=m+24=3,f(x?)=-2√3/9+2/3+m=-2。聯(lián)立方程組：m+24=3-2√3/9+2/3+m=-2解得m=-21。經(jīng)檢驗(yàn)，m=-21滿足f(x)_{max}=3且f(x)_{min}=-2。答案：m=-21(3)方程f(x)=kx可化為x3-3x2+(2-k)x+m=0。設(shè)g(x)=x3-3x2+(2-k)x+m。g'(x)=3x2-6x+2-k=3(x-1)2-k-1。①當(dāng)k+1≥0時，g'(x)≥0在R上恒成立，g(x)在R上單調(diào)遞增。g(x)在區(qū)間(-1,4)上的最小值為g(-1)=-1-3-(2-k)+m=k+m-6。g(x)在區(qū)間(-1,4)上的最大值為g(4)=64-48+8-4k+m=24-4k+m。要使方程g(x)=0在(-1,4)上有且僅有兩個不同的實(shí)數(shù)根，需要：g(-1)<0且g(4)>0，即k+m-6<0且24-4k+m>0。k+m<6且m+24>4k。由于m=-21，代入得：k-21<6且-21+24>4k。k<27且3>4k。k<27且k<3/4。k<3/4。②當(dāng)k+1<0時，g'(x)=0有兩個不同的實(shí)數(shù)根x?,x?(x?<x?)。g(x)在(x?,x?)上單調(diào)遞