§3.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（復(fù)習(xí)課）一、教學(xué)目標(biāo):1.結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)．二、教學(xué)重點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)判斷一個(gè)函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.教學(xué)難點(diǎn):判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及應(yīng)用;利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性.三、教學(xué)過(guò)程(一)復(fù)習(xí)引入1.增函數(shù)、減函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?:如果對(duì)于屬干定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)。當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。2.函數(shù)的單調(diào)性如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。知識(shí)梳理1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)f′(x)>0f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增f′(x)<0f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減f′(x)＝0f(x)在區(qū)間(a，b)上是常數(shù)函數(shù)2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；第3步，用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．常用結(jié)論1．若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則x∈(a，b)時(shí)，f′(x)≥0恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則x∈(a，b)時(shí)，f′(x)≤0恒成立．合作探究題型一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性1(1)函數(shù)f(x)＝x2－2lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1,1)(2)若函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx＋1,ex)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______．題型二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性2已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)ax2－(a＋1)x＋lnx，a>0，試討論函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性．題型三根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍3已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2＋2ax－lnx，若f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．總結(jié)：(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集．(2)f(x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f′(x)不恒為零，應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則會(huì)漏解．(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問(wèn)題．參考答案例1(1)函數(shù)f(x)＝x2－2lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1,1)答案A解析∵f′(x)＝2x－eq\f(2,x)＝eq\f(2x＋1x－1,x)(x>0)，令f′(x)＝0，得x＝1，∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．(2)若函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx＋1,ex)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______．答案(1，＋∞)解析f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(\f(1,x)－lnx－1,ex)，令φ(x)＝eq\f(1,x)－lnx－1(x>0)，φ′(x)＝－eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)<0，φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且φ(1)＝0，∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，φ(x)>0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，φ(x)<0，∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，(ln2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，ln2)．例2已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)ax2－(a＋1)x＋lnx，a>0，試討論函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性．解函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝ax－(a＋1)＋eq\f(1,x)＝eq\f(ax2－a＋1x＋1,x)＝eq\f(ax－1x－1,x).令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,a)或x＝1.①當(dāng)0<a<1時(shí)，eq\f(1,a)>1，∴x∈(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))時(shí)，f′(x)>0；x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))時(shí)，f′(x)<0，∴函數(shù)f(x)在(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))上單調(diào)遞減；②當(dāng)a＝1時(shí)，eq\f(1,a)＝1，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)a>1時(shí)，0<eq\f(1,a)<1，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))和(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0；x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))時(shí)，f′(x)<0，∴函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))上單調(diào)遞減；當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))上單調(diào)遞減．延伸探究若將本例中參數(shù)a的范圍改為a∈R，其他條件不變，試討論f(x)的單調(diào)性？解當(dāng)a>0時(shí)，討論同上；當(dāng)a≤0時(shí)，ax－1<0，∴x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，∴函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))上單調(diào)遞減；當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))上單調(diào)遞減．例3已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2＋2ax－lnx，若f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))解析由題意知f′(x)＝x＋2a－eq\f(1,x)≥0在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))上恒成立，即2a≥－x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))上恒成立，∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,x)))max＝eq\f(8,3)，∴2a≥eq\f(8,3)，即a≥eq\f(4,3).延伸探究在本例中，把“f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))上單調(diào)遞增”改為“f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))上存在單調(diào)遞增區(qū)間”，求a的取值范圍．解f′(x)＝x＋2a－eq\f(1,x)，若f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))時(shí)，f′(x)>0有解，即2a>－x＋eq\f(1,x)有解，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,x)))min＝－2＋eq\f(1,2)＝－eq\f(3,2)，∴2a>－eq\f(3,2)，即a>－eq\f(3,4)，故a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，＋∞)).課后作業(yè)1．函數(shù)f(x)＝xlnx＋1的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,e))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))) D．(e，＋∞)2．已知函數(shù)f(x)＝x(ex－e－x)，則f(x)()A．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減B．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增C．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減D．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增3．已知函數(shù)y＝xf′(x)的圖象如圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))．下面四個(gè)圖象中y＝f(x)的圖象大致是()4．若函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋blnx在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞)5．(多選)如果函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意兩實(shí)數(shù)x1，x2(x1≠x2)都有eq\f(x1fx1－x2fx2,x1－x2)>0，則稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)為“F函數(shù)”．下列函數(shù)不是“F函數(shù)”的是()A．f(x)＝ex B．f(x