2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)發(fā)展趨勢試題一、核心素養(yǎng)導(dǎo)向的基礎(chǔ)題型創(chuàng)新1.邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象的融合已知集合(A={x|f(x)=\ln(x^2-ax+3)})，函數(shù)(f(x))的定義域為全體實數(shù)的充要條件是(a\in(m,n))。（1）求(m+n)的值；（2）若命題(p)：“(\forallx\in[1,2])，(x^2-ax+3\geq0)”為真命題，求(a)的取值范圍，并判斷(p)與（1）中(a\in(m,n))的推出關(guān)系。2.數(shù)學(xué)建模與實際問題的結(jié)合某小區(qū)計劃在矩形空地(ABCD)上修建健身區(qū)域，其中(AB=100,\text{m})，(BC=60,\text{m})。設(shè)計方案如下：在空地內(nèi)劃分一個扇形區(qū)域作為瑜伽區(qū)（圓心為(B)，半徑為(r,\text{m})），剩余區(qū)域鋪設(shè)塑膠跑道。（1）若塑膠跑道面積為(S(r),\text{m}^2)，寫出(S(r))的函數(shù)解析式，并求定義域；（2）若瑜伽區(qū)面積不超過空地面積的(\frac{1}{4})，求(S(r))的最大值。二、跨學(xué)科情境下的綜合應(yīng)用題3.物理與數(shù)學(xué)的交叉一輛汽車在直線公路上行駛，其速度(v(t))（單位：(\text{m/s})）與時間(t)（單位：(\text{s})）的關(guān)系為(v(t)=\begin{cases}2t&(0\leqt\leq10)\20&(10<t\leq30)\-0.5t+35&(30<t\leq70)\end{cases})。（1）求汽車在(t=5,\text{s})時的加速度；（2）計算(t=0)到(t=70,\text{s})內(nèi)汽車行駛的總路程。4.信息技術(shù)與數(shù)學(xué)的融合某電商平臺通過大數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，某商品的日銷量(y)（單位：件）與單價(x)（單位：元）滿足函數(shù)關(guān)系(y=1000-5x)（(50\leqx\leq150)）。（1）若成本為每件(40)元，求利潤(L(x))的函數(shù)解析式，并求單價(x)為多少時利潤最大；（2）若平臺對該商品征收附加費，每件商品收取(k)元（(5\leqk\leq15)），為保證利潤不低于未收費時的(80%)，求(k)的最大值。三、數(shù)學(xué)文化與思維拓展題5.古代數(shù)學(xué)思想的現(xiàn)代應(yīng)用《九章算術(shù)》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其意為：直角三角形兩直角邊分別為(5)步和(12)步，求其內(nèi)接正方形邊長。（1）用現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法求解該問題；（2）類比上述問題，在棱長為(6)的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，求內(nèi)切球的表面積與正方體表面積的比值。6.開放探究性問題已知函數(shù)(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d)的圖像過點((0,0))，且在(x=1)處有極值(-2)。（1）若(a=1)，求函數(shù)(f(x))的解析式；（2）請補充一個條件，使函數(shù)(f(x))在區(qū)間([0,2])上單調(diào)遞增，并說明理由（至少給出兩種不同條件）。四、核心素養(yǎng)綜合測評題7.數(shù)據(jù)分析與概率統(tǒng)計某學(xué)校為研究高一學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間與成績的關(guān)系，隨機抽取(50)名學(xué)生，得到如下數(shù)據(jù)：每日學(xué)習(xí)時間（小時）([1,2))([2,3))([3,4))([4,5])人數(shù)1020155平均成績（分）65758592（1）計算這(50)名學(xué)生的平均成績；（2）若用分層抽樣從“([2,3))”和“([3,4))”中抽取(7)人，再從這(7)人中隨機選(2)人，求兩人來自不同區(qū)間的概率。8.空間想象與幾何直觀在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)中點。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求二面角(D-AC_1-C)的余弦值。五、跨模塊綜合題9.函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\geq0)對(\forallx\in\mathbb{R})恒成立，求(a)的值；（3）證明：(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}>\ln(n+1))（(n\in\mathbb{N}^*)）。10.數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法的拓展已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2})。（1）求({a_n})的通項公式；（2）設(shè)(b_n=a_n\cdota_{n+1})，數(shù)列({b_n})的前(n)項和為(S_n)，若(S_n<m)對(\foralln\in\mathbb{N}^*)恒成立，求(m)的最小值。六、數(shù)學(xué)技術(shù)應(yīng)用與創(chuàng)新題11.動態(tài)幾何與模擬實驗使用GeoGebra軟件繪制函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2-9x+1)的圖像，觀察并回答：（1）函數(shù)的極值點坐標(biāo)及單調(diào)區(qū)間；（2）若將函數(shù)圖像向右平移(t)個單位后與直線(y=2x-5)相切，求(t)的值（精確到(0.01)）。12.開放型項目設(shè)計某中學(xué)舉辦“數(shù)學(xué)+”創(chuàng)新大賽，要求設(shè)計一個與高一數(shù)學(xué)知識相關(guān)的實踐項目。請完成以下任務(wù)：（1）確定項目主題（如“校園綠化中的幾何優(yōu)化”“家庭用電量的統(tǒng)計分析”等）；（2）列出項目所需的數(shù)學(xué)知識模塊（至少3個）；（3）設(shè)計一個可量化的研究問題，并寫出解決該問題的步驟框架。七、核心素養(yǎng)評價題13.問題解決能力評估某工廠生產(chǎn)兩種零件(A)和(B)，生產(chǎn)(1)個(A)零件需耗時(2,\text{h})，耗材(3,\text{kg})；生產(chǎn)(1)個(B)零件需耗時(1,\text{h})，耗材(2,\text{kg})。每天工作時間不超過(8,\text{h})，耗材不超過(12,\text{kg})，且(A)零件每個利潤(50)元，(B)零件每個利潤(30)元。（1）列出滿足生產(chǎn)條件的不等式組，并畫出可行域；（2）如何安排生產(chǎn)使利潤最大？最大利潤是多少？（3）若耗材成本上漲，導(dǎo)致(A)零件利潤降為(40)元，(B)零件利潤不變，最優(yōu)生產(chǎn)方案是否改變？說明理由。八、壓軸題：數(shù)學(xué)思維與創(chuàng)新能力14.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的深度探究已知函數(shù)(f(x)=\frac{\lnx}{x})，(g(x)=f(x)-ax^2+bx)。（1）求(f(x))的最大值；（2）若(g(x))在(x=1)處取得極值，且在((0,+\infty))上有兩個零點，求(a)的取值范圍；（3）設(shè)(x_1,x_2)是(g(x))的兩個零點，證明：(x_1+x_2>\frac{2