2025年線性代數(shù)環(huán)境科學(xué)中的數(shù)據(jù)分析試題一、填空題（每小題6分，共30分）某湖泊監(jiān)測(cè)站采集到5個(gè)采樣點(diǎn)的水質(zhì)數(shù)據(jù)（單位：mg/L），其中氨氮濃度向量為α=[1.2,0.8,1.5,0.9,1.1]，總磷濃度向量為β=[0.05,0.03,0.07,0.04,0.06]，則二者的內(nèi)積α·β=__________，該值在環(huán)境科學(xué)中可用于評(píng)估兩種污染物的__________程度。設(shè)矩陣A為3×3階水質(zhì)遷移矩陣，其元素(a_{ij})表示污染物從區(qū)域i向區(qū)域j的遷移系數(shù)，且每行元素之和為1，則矩陣A的一個(gè)特征值必為__________，對(duì)應(yīng)的特征向量反映了污染物的__________狀態(tài)。某污水處理廠使用3種工藝（A/B/C）處理廢水，其去除COD（化學(xué)需氧量）的效率矩陣為[\mathbf{E}=\begin{bmatrix}0.85&0.12&0.03\0.08&0.75&0.17\0.05&0.20&0.75\end{bmatrix}]若初始COD濃度向量為x?=[200,150,100]?（單位：mg/L），則經(jīng)過(guò)1次處理后的濃度向量x?=Ex?=__________。已知某區(qū)域土壤重金屬含量數(shù)據(jù)矩陣X（100個(gè)樣本×5種重金屬），通過(guò)主成分分析（PCA）得到協(xié)方差矩陣Σ的特征值為λ?=12.8,λ?=5.3,λ?=1.2,λ?=0.5,λ?=0.2，則前2個(gè)主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率為__________，可解釋原始數(shù)據(jù)約__________%的信息。設(shè)某生態(tài)系統(tǒng)的物種相互作用矩陣為M，若滿足M2-2M-I=0（I為單位矩陣），則矩陣M的逆矩陣M?1=__________，該式在種群動(dòng)態(tài)模型中可用于預(yù)測(cè)__________條件下的物種數(shù)量恢復(fù)能力。二、選擇題（每小題5分，共25分）某城市空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)網(wǎng)絡(luò)有8個(gè)站點(diǎn)，其PM2.5濃度數(shù)據(jù)構(gòu)成向量組α?,α?,...,α?，若存在不全為零的常數(shù)(k_1,k_2,...,k_8)使得(\sum_{i=1}^8k_iα_i=0)，則該現(xiàn)象在環(huán)境科學(xué)中可解釋為（）A.監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)存在冗余站點(diǎn)B.污染物濃度呈線性增長(zhǎng)C.站點(diǎn)間無(wú)空間相關(guān)性D.數(shù)據(jù)存在測(cè)量誤差用二次型(f(x?,x?,x?)=2x?2+3x?2+5x?2+4x?x?-4x?x?)描述某湖泊富營(yíng)養(yǎng)化風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)，其中x?/x?/x?分別代表總氮、總磷、葉綠素a濃度。為使該二次型正定（風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)無(wú)負(fù)值），需滿足的條件是（）A.各變量系數(shù)均為正數(shù)B.矩陣順序主子式均大于零C.特征值至少有一個(gè)為正D.變量間協(xié)方差為零已知線性方程組Ax=b中，A為5×4階矩陣（5個(gè)監(jiān)測(cè)指標(biāo)，4個(gè)污染源），b為污染物濃度向量。若rank(A)=rank([A|b])=3，則方程組解的情況為（）A.無(wú)解B.唯一解C.無(wú)窮多解，含1個(gè)自由變量D.無(wú)窮多解，含2個(gè)自由變量在環(huán)境風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估中，某化工廠的3種有毒物質(zhì)泄漏概率向量為p=[0.2,0.5,0.3]，其對(duì)應(yīng)的事故后果矩陣為[\mathbf{C}=\begin{bmatrix}100&50&20\80&120&40\30&60&90\end{bmatrix}]則綜合風(fēng)險(xiǎn)向量R=pC的元素(R?)（第2列后果）的值為（）A.50B.85C.92D.120下列哪種線性代數(shù)方法不適用于處理環(huán)境科學(xué)中的缺失數(shù)據(jù)問(wèn)題？（）A.矩陣奇異值分解（SVD）B.最小二乘回歸C.特征值分解D.初等行變換三、解答題（共45分）11.線性方程組與水質(zhì)模型（15分）某流域有3個(gè)相互連通的水庫(kù)（A/B/C），其污染物濃度（單位：mg/L）滿足以下關(guān)系：[\begin{cases}x_A-0.2x_B-0.1x_C=5\-0.3x_A+x_B-0.2x_C=3\-0.1x_A-0.4x_B+x_C=4\end{cases}]其中(x_A,x_B,x_C)分別為A/B/C水庫(kù)的污染物濃度。（1）用克拉默法則求解該方程組，得到各水庫(kù)的污染物濃度；（2）若水庫(kù)C的初始濃度變?yōu)?mg/L（即第三個(gè)方程等號(hào)右側(cè)改為5），通過(guò)矩陣初等變換求新的濃度值。解析：（1）系數(shù)矩陣行列式[D=\begin{vmatrix}1&-0.2&-0.1\-0.3&1&-0.2\-0.1&-0.4&1\end{vmatrix}=1\cdot(1\cdot1-(-0.2)(-0.4))-(-0.2)\cdot((-0.3)\cdot1-(-0.2)(-0.1))+(-0.1)\cdot((-0.3)(-0.4)-1\cdot(-0.1))=0.824]解得(x_A=D_A/D=8.24/0.824=10)mg/L，同理(x_B=7)mg/L，(x_C=8)mg/L。（2）增廣矩陣經(jīng)行變換后可得新解(x_A=10.5),(x_B=7.8),(x_C=9.2)，表明水庫(kù)C濃度升高會(huì)導(dǎo)致其他水庫(kù)濃度顯著上升。12.特征值與生態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性（15分）某草原生態(tài)系統(tǒng)的捕食關(guān)系可用矩陣表示為[\mathbf{A}=\begin{bmatrix}2&-1&0\-1&3&-1\0&-1&2\end{bmatrix}]其中對(duì)角線元素為物種內(nèi)稟增長(zhǎng)率，非對(duì)角線元素為物種間競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)。（1）求矩陣A的特征值與特征向量；（2）判斷該生態(tài)系統(tǒng)是否穩(wěn)定（穩(wěn)定條件：所有特征值均為正數(shù)）。解析：（1）特征方程(|\mathbf{A}-λ\mathbf{I}|=0)解得λ?=1,λ?=2,λ?=4，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為v?=[1,1,1]?,v?=[1,0,-1]?,v?=[1,-2,1]?。（2）所有特征值均為正數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定。其中λ?=1對(duì)應(yīng)的特征向量反映了物種數(shù)量的均衡分布比例。13.二次型與環(huán)境質(zhì)量評(píng)價(jià)（15分）某地區(qū)土壤質(zhì)量評(píng)價(jià)模型為二次型(f(x,y,z)=2x2+3y2+5z2+4xy-4xz)，其中x=pH值（標(biāo)準(zhǔn)化后），y=有機(jī)質(zhì)含量，z=重金屬污染指數(shù)。（1）寫出二次型對(duì)應(yīng)的矩陣A，并判斷其正定性；（2）若某樣本的指標(biāo)向量為[1,0.5,0.2]?，計(jì)算其質(zhì)量評(píng)分f(x,y,z)，并說(shuō)明該值的環(huán)境意義。解析：（1）矩陣[\mathbf{A}=\begin{bmatrix}2&2&-2\2&3&0\-2&0&5\end{bmatrix}]順序主子式Δ?=2>0，Δ?=2×3-22=2>0，Δ?=|A|=2×(3×5-0)-2×(2×5-0)+(-2)×(0+6)=16>0，故A正定，二次型值恒正，可作為質(zhì)量評(píng)分。（2）代入得f=2×1+3×0.25+5×0.04+4×1×0.5-4×1×0.2=3.65，評(píng)分越高表明土壤質(zhì)量越優(yōu)。四、綜合應(yīng)用題（20分）14.主成分分析與大氣污染物溯源（20分）某城市采集了100天的大氣污染物數(shù)據(jù)（6種污染物：PM2.5/PM10/SO?/NO?/CO/O?），經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化處理后得到數(shù)據(jù)矩陣X（100×6），其協(xié)方差矩陣Σ的特征值與特征向量如下表：特征值λ貢獻(xiàn)率累計(jì)貢獻(xiàn)率特征向量（標(biāo)準(zhǔn)化后）3.2454.0%54.0%[0.42,0.45,0.38,0.35,0.30,0.32]1.8631.0%85.0%[-0.25,-0.22,0.18,0.20,0.50,-0.65]0.488.0%93.0%...（1）解釋前2個(gè)主成分（PC1/PC2）的環(huán)境意義；（2）若某天的污染物濃度向量為x=[1.2,1.5,0.8,1.0,0.6,0.4]?，計(jì)算其主成分得分PC1和PC2，并判斷該天的主要污染來(lái)源（PC1高值對(duì)應(yīng)工業(yè)排放，PC2高值對(duì)應(yīng)機(jī)動(dòng)車尾氣）。解析：（1）PC1的特征向量各元素均為正值，表明其為“綜合污染因子”，反映整體污染水平；PC2中CO（0.50）和O?（-0.65）載荷差異顯著，可解釋為“二次轉(zhuǎn)化因子”（CO為前體物，O?為二次污染物）。（2）PC1=0.42×1.2+0.45×1.5+...+0.32×0.4=2.31（高值，工業(yè)排放主導(dǎo)）；PC2=-0.25×1.2+...+(-0.65)×0.4=-0.52（低值，機(jī)動(dòng)車影響較弱），故主要污染來(lái)源為工業(yè)排放。五、計(jì)算分析題（20分）15.矩陣迭代與生態(tài)修復(fù)模擬（20分）某濕地生態(tài)系統(tǒng)的植被恢復(fù)模型為x???=Mx?，其中x?=[蘆葦,香蒲,菖蒲]?為植物生物量向量（單位：kg/m2），轉(zhuǎn)移矩陣[\mathbf{M}=\begin{bmatrix}0.7&0.2&0.1\0.1&0.8&0.1\0.05&0.15&0.8\end{bmatrix}]（1）若初始生物量x?=[0.5,0.3,0.2]?，計(jì)算第2年（k=2）的生物量x?；（2）預(yù)測(cè)長(zhǎng)期（k→∞）后該生態(tài)系統(tǒng)的生物量穩(wěn)定分布。解析：（1）x?=Mx?=[0.5×0.7+0.3×0.2+0.2×0.1,...]?=[0.43,0.31,0.26]?，x?=Mx?=[0.394,0.313,0.293]?。（2）長(zhǎng)期穩(wěn)定分布對(duì)應(yīng)矩陣M的特征值λ=1的特征向量，解得x=[0.4,0.4,0.2]?*，表明蘆葦與香蒲將成為優(yōu)勢(shì)物種。六、拓展題（10分）16.張量分解與三維環(huán)境數(shù)據(jù)（10分）某海洋監(jiān)測(cè)項(xiàng)目采集了三維數(shù)據(jù)張量T（時(shí)間×空間×深度），若使用CP分解（CANDECOMP/PARAFAC）將其表示為T≈\sum_{r=1}^Ra_r°b_r°c_r（°為外積），則：（1）解釋因