2025年線性代數(shù)基礎(chǔ)性考查試題一、選擇題（每題5分，共50分）設(shè)三階行列式(D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=2)，則行列式(\begin{vmatrix}2a_{11}&-a_{12}&3a_{13}\2a_{21}&-a_{22}&3a_{23}\2a_{31}&-a_{32}&3a_{33}\end{vmatrix})的值為（）A.-12B.-6C.6D.12設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})，則(A^{-1})的伴隨矩陣(A^{*})為（）A.(\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}-4&2\3&-1\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}4&-3\-2&1\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}-4&3\2&-1\end{pmatrix})向量組(\alpha_{1}=(1,0,0)^T)，(\alpha_{2}=(0,1,0)^T)，(\alpha_{3}=(1,1,0)^T)的秩為（）A.1B.2C.3D.無(wú)法確定設(shè)線性方程組(\begin{cases}x_1+x_2=1\x_1+2x_2=2\x_1+3x_2=k\end{cases})有解，則(k)的值為（）A.1B.2C.3D.4設(shè)矩陣(A)與(B)相似，則下列結(jié)論正確的是（）A.(A)與(B)有相同的特征向量B.(|A|=|B|)C.(A)與(B)均可對(duì)角化D.(A^k=B^k)（(k)為正整數(shù)）二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+5x_1x_3)的矩陣為（）A.(\begin{pmatrix}1&2&5\2&2&0\5&0&3\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}1&2&\frac{5}{2}\2&2&0\\frac{5}{2}&0&3\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}1&4&5\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}1&2&\frac{5}{2}\2&2&0\5&0&3\end{pmatrix})設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix})，則(A)的特征值為（）A.1,2,3B.1,1,2C.2,3,3D.1,3,3若向量組(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})線性無(wú)關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（）A.(\alpha_{1}+\alpha_{2},\alpha_{2}+\alpha_{3},\alpha_{3}+\alpha_{1})B.(\alpha_{1}-\alpha_{2},\alpha_{2}-\alpha_{3},\alpha_{3}-\alpha_{1})C.(2\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})D.(\alpha_{1},\alpha_{1}+\alpha_{2},\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3})設(shè)(A)為(m\timesn)矩陣，線性方程組(Ax=0)僅有零解的充要條件是（）A.(A)的行向量組線性無(wú)關(guān)B.(A)的列向量組線性無(wú)關(guān)C.(m>n)D.(m=n)二次型(f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2)的規(guī)范形為（）A.(y_1^2+y_2^2)B.(y_1^2-y_2^2)C.(-y_1^2-y_2^2)D.(y_1^2)二、填空題（每題5分，共30分）行列式(\begin{vmatrix}0&1&0\1&0&0\0&0&1\end{vmatrix})的值為_(kāi)_______。設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&-1\2&3\end{pmatrix})，(B=\begin{pmatrix}2&0\1&-1\end{pmatrix})，則(AB-BA=)________。向量組(\alpha_{1}=(1,2,3)^T)，(\alpha_{2}=(2,4,6)^T)，(\alpha_{3}=(3,6,k)^T)線性相關(guān)，則(k=)________。線性方程組(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\x_1-x_2+3x_3=0\end{cases})的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______。設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}2&0&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix})，則(A^2-4A+3E=)________。二次型(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+tx_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3)正定，則(t)的取值范圍為_(kāi)_______。三、解答題（共70分）（10分）計(jì)算四階行列式(D=\begin{vmatrix}1&2&3&4\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix})。（12分）設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&2&1\3&4&3\end{pmatrix})，求(A^{-1})。（12分）設(shè)向量組(\alpha_{1}=(1,1,1,3)^T)，(\alpha_{2}=(-1,-3,5,1)^T)，(\alpha_{3}=(3,2,-1,p+2)^T)，(\alpha_{4}=(-2,-6,10,p)^T)。（1）當(dāng)(p)為何值時(shí)，該向量組線性無(wú)關(guān)？（2）當(dāng)(p)為何值時(shí)，該向量組線性相關(guān)？并求出一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。（12分）設(shè)線性方程組(\begin{cases}x_1+x_2+2x_3+3x_4=1\x_1+3x_2+6x_3+x_4=3\3x_1-x_2-2x_3+15x_4=3\x_1-5x_2-10x_3+12x_4=1\end{cases})（1）求方程組的通解；（2）求滿足(x_3=x_4)的全部解。（12分）設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2&2\2&1&2\2&2&1\end{pmatrix})，求：（1）(A)的特征值與特征向量；（2）正交矩陣(P)，使(P^{-1}AP)為對(duì)角矩陣。（12分）已知二次型(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+4x_2x_3)，（1）寫出二次型的矩陣(A)；（2）求正交變換(x=Py)，將(f)化為標(biāo)準(zhǔn)形；（3）判斷二次型是否正定。四、解答題詳細(xì)解析（供閱卷參考）一、選擇題A解析：行列式性質(zhì)：某行（列）元素乘以常數(shù)(k)，行列式值乘以(k)；交換兩行（列），行列式值變號(hào)。原式=(2\times(-1)\times3\timesD=-6\times2=-12)。A解析：伴隨矩陣(A^{}=|A|A^{-1})，(|A|=1\times4-2\times3=-2)，(A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix})，故(A^{}=\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix})。B解析：(\alpha_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2})，向量組秩為2。C解析：增廣矩陣(\overline{A}=\begin{pmatrix}1&1&1\1&2&2\1&3&k\end{pmatrix})，秩(r(A)=2)，需(r(\overline{A})=2)，解得(k=3)。B解析：相似矩陣行列式相等，特征值相同但特征向量不同，未必可對(duì)角化。B解析：二次型矩陣主對(duì)角線為平方項(xiàng)系數(shù)，(a_{ij}=a_{ji})為交叉項(xiàng)系數(shù)的一半，故(a_{12}=a_{21}=2)，(a_{13}=a_{31}=\frac{5}{2})。A解析：對(duì)角矩陣特征值為主對(duì)角線元素。B解析：((\alpha_{1}-\alpha_{2})+(\alpha_{2}-\alpha_{3})+(\alpha_{3}-\alpha_{1})=0)，線性相關(guān)。B解析：(Ax=0)僅有零解(\Leftrightarrow)列向量組線性無(wú)關(guān)。B解析：二次型矩陣特征值為(4)和(-1)，規(guī)范形為(y_1^2-y_2^2)。二、填空題-1解析：交換1、2行，行列式值變號(hào)，原式=(-\begin{vmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\end{vmatrix}=-1)。(\begin{pmatrix}-2&-1\-1&-4\end{pmatrix})解析：(AB=\begin{pmatrix}1&1\7&-3\end{pmatrix})，(BA=\begin{pmatrix}2&-2\-1&1\end{pmatrix})，(AB-BA=\begin{pmatrix}-1&3\8&-4\end{pmatrix})（注：此處需重新計(jì)算，原答案有誤，正確結(jié)果應(yīng)為(\begin{pmatrix}-1&3\8&-4\end{pmatrix})）。9解析：向量組線性相關(guān)(\Leftrightarrow)行列式為0，解得(k=9)。1解析：系數(shù)矩陣秩為2，未知數(shù)個(gè)數(shù)3，基礎(chǔ)解系個(gè)數(shù)=3-2=1。(\begin{pmatrix}0&0&0\0&0&0\0&0&0\end{pmatrix})解析：(A)特征值為2,2,3，(A^2-4A+3E=(A-E)(A-3E)=0)。(t>\frac{5}{3})解析：二次型矩陣順序主子式均大于0，解得(t>\frac{5}{3})。三、解答題D=160解析：將各列加到第1列，提取公因子10，再通過(guò)行變換化為上三角行列式。(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&3&-2\-\frac{3}{2}&-3&\frac{5}{2}\1&1&-1\end{pmatrix})解析：通過(guò)初等行變換((A|E)\to(E|A^{-1}))。（1）(p\neq2)時(shí)線性無(wú)關(guān)；（2）(p=2)時(shí)線性相關(guān)，極大無(wú)關(guān)組為(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})解析：秩(r(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4})=3)（當(dāng)(p=2)時(shí)）。（1）通解為(x=(2,-1,0,0)^T+k_1(-2,1,1,0)^T+k_2(-1,2,0,1)^T)；（2）(x=(1,0,1,1)^T+k(-3,3,1,1)^T)解析：用初等行變換求基礎(chǔ)解系，代入(x_3=x_4)得特解。（1）特征值(\lambda_1=5)（特征向量(k(1,1,1)^T)），(\lambda_2=\lambda_3=-1)（特征向量(k_1(-1,1,0)^T+k_2(-1,0,1)^T)）；（2）正交矩陣(P=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}\\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}\\f