2025年線性代數(shù)經(jīng)濟(jì)均衡分析試題一、填空題（每小題3分，共30分）某封閉經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)有3個(gè)產(chǎn)業(yè)部門，其直接消耗系數(shù)矩陣為[A=\begin{pmatrix}0.2&0.3&0.1\0.1&0.2&0.4\0.3&0.1&0.2\end{pmatrix}]則該系統(tǒng)的列昂惕夫逆矩陣((I-A)^{-1})中，第一行第二列的元素表示__________。已知某商品市場的需求函數(shù)為(Q_d=150-3P)，供給函數(shù)為(Q_s=2P-50)，當(dāng)政府對(duì)每單位商品征收5元消費(fèi)稅時(shí)，新的均衡價(jià)格為__________。設(shè)3階矩陣(B)為投入產(chǎn)出模型中的產(chǎn)出矩陣，且(B=\text{diag}(200,300,400))，直接消耗系數(shù)矩陣(A)的秩為2，則中間產(chǎn)品矩陣(AB)的秩為__________。在IS-LM模型中，若投資函數(shù)為(I=100-5r)，儲(chǔ)蓄函數(shù)為(S=-40+0.2Y)，貨幣需求函數(shù)為(L=0.5Y-10r)，貨幣供給(M=100)，則均衡國民收入(Y^*)為__________。某經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)投入產(chǎn)出模型滿足(X_{t+1}=AX_t+C)，其中(A)為技術(shù)系數(shù)矩陣，(C)為最終需求向量。若(A)的特征值為(\lambda_1=0.8)，(\lambda_2=1.2)，則該系統(tǒng)的長期均衡狀態(tài)__________（填“存在”或“不存在”）。設(shè)向量組(\alpha_1=(1,2,3))，(\alpha_2=(2,a,6))，(\alpha_3=(3,6,9))表示三種生產(chǎn)要素的投入組合，若該向量組線性相關(guān)，則(a=)__________。已知某壟斷廠商的成本函數(shù)為(TC=Q^2+4Q+10)，需求函數(shù)為(P=20-Q)，則其利潤最大化時(shí)的產(chǎn)量(Q^*)滿足的線性方程組的系數(shù)矩陣行列式為__________。在n部門經(jīng)濟(jì)的瓦爾拉斯均衡模型中，若存在3個(gè)市場出清方程，則其中獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)為__________。設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}0.5&0.2\0.3&0.6\end{pmatrix})為馬爾可夫鏈中的轉(zhuǎn)移概率矩陣，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，第一狀態(tài)的概率(\pi_1=)__________。某地區(qū)居民收入分配的洛倫茲曲線對(duì)應(yīng)的矩陣為(L=\begin{pmatrix}0&0.2&0.5\0.1&0.4&0.8\0.3&0.7&1\end{pmatrix})，則基尼系數(shù)(G)的計(jì)算公式中，對(duì)角線元素之和為__________。二、選擇題（每小題3分，共30分）在列昂惕夫投入產(chǎn)出模型中，若某部門的完全消耗系數(shù)(b_{ij}=0.8)，則意味著（）A.部門i每生產(chǎn)1單位產(chǎn)品需直接消耗部門j的產(chǎn)品0.8單位B.部門i每生產(chǎn)1單位產(chǎn)品需間接消耗部門j的產(chǎn)品0.8單位C.部門i每生產(chǎn)1單位產(chǎn)品需直接和間接消耗部門j的產(chǎn)品共0.8單位D.部門j每生產(chǎn)1單位產(chǎn)品需消耗部門i的產(chǎn)品0.8單位已知某商品的需求價(jià)格彈性(E_d=-1.5)，當(dāng)價(jià)格從10元下降到8元時(shí)，需求量的變化率為（）A.15%B.20%C.25%D.30%設(shè)矩陣(A)為n階非奇異矩陣，且滿足(A^TA=I)，則下列經(jīng)濟(jì)意義中最恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ〢.投入產(chǎn)出模型中的技術(shù)系數(shù)矩陣B.效用最大化模型中的替代效應(yīng)矩陣C.風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合中的協(xié)方差矩陣D.多元回歸分析中的系數(shù)矩陣在兩部門經(jīng)濟(jì)中，若邊際消費(fèi)傾向(MPC=0.75)，投資增加100億元，則均衡收入的變化量(\DeltaY)為（）A.200億元B.300億元C.400億元D.500億元某動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的特征方程為(\lambda^3-2\lambda^2+\lambda-0.5=0)，則該系統(tǒng)的穩(wěn)定性為（）A.穩(wěn)定B.臨界穩(wěn)定C.不穩(wěn)定D.無法判斷向量組(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)線性無關(guān)的充分必要條件是（）A.存在不全為零的數(shù)(k_1,k_2,k_3)，使得(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3\neq0)B.(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)中任意兩個(gè)向量線性無關(guān)C.行列式(|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|\neq0)D.(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)均不為零向量在IS-LM模型中，若政府支出增加且央行同時(shí)增加貨幣供給，則均衡利率(r^*)（）A.上升B.下降C.不變D.不確定設(shè)矩陣(A)為投入產(chǎn)出模型中的直接消耗系數(shù)矩陣，若(A)滿足(\sum_{j=1}^na_{ij}<1)（對(duì)所有i），則下列說法正確的是（）A.((I-A))為奇異矩陣B.系統(tǒng)存在通貨膨脹壓力C.列昂惕夫逆矩陣((I-A)^{-1})的元素均非負(fù)D.部門間存在過度依賴關(guān)系某廠商的生產(chǎn)函數(shù)為(Q=2K^{0.5}L^{0.5})，若資本(K=100)，勞動(dòng)(L=25)，則邊際技術(shù)替代率(MRTS_{LK})為（）A.0.25B.0.5C.2D.4在動(dòng)態(tài)博弈的納什均衡分析中，若支付矩陣為(\begin{pmatrix}(3,2)&(1,4)\(2,1)&(4,3)\end{pmatrix})，則子博弈精煉均衡對(duì)應(yīng)的策略組合為（）A.(上，左)B.(上，右)C.(下，左)D.(下，右)三、計(jì)算題（共60分）（12分）某三部門經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的投入產(chǎn)出表如下（單位：億元）：產(chǎn)出消耗部門最終需求總產(chǎn)出消耗1231408030(Y_1)2002606060(Y_2)3003203030(Y_3)150（1）求直接消耗系數(shù)矩陣(A)；（2）計(jì)算完全消耗系數(shù)矩陣(B=(I-A)^{-1}-I)；（3）若計(jì)劃期最終需求調(diào)整為(Y'=(100,150,80)^T)，求總產(chǎn)出向量(X')。（12分）已知某商品市場的需求函數(shù)為(Q_d=200-5P+0.1Y)，供給函數(shù)為(Q_s=10P-20)，其中(Y)為居民收入。（1）當(dāng)(Y=1000)時(shí)，求均衡價(jià)格(P^)和均衡數(shù)量(Q^)；（2）計(jì)算需求的價(jià)格彈性(E_d)和收入彈性(E_Y)，并說明商品類型；（3）若政府設(shè)定最低價(jià)格(P=30)，求此時(shí)的市場短缺或過剩量。（12分）某廠商使用兩種生產(chǎn)要素(K)和(L)生產(chǎn)產(chǎn)品，生產(chǎn)函數(shù)為(Q=4K+3L)，成本函數(shù)為(TC=2K+L)，產(chǎn)品價(jià)格(P=5)。（1）寫出利潤函數(shù)(\pi(K,L))；（2）用線性規(guī)劃方法求最優(yōu)要素投入組合((K^,L^))；（3）若要素價(jià)格變?yōu)?K=3)，(L=2)，求新的均衡產(chǎn)量。（12分）設(shè)某經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型為：[\begin{cases}Y_t=C_t+I_t\C_t=0.8Y_{t-1}+20\I_t=0.2Y_t+10\end{cases}]其中(Y_t)為t期國民收入，(C_t)為消費(fèi)，(I_t)為投資。（1）將模型轉(zhuǎn)化為一階線性差分方程；（2）求解差分方程的通解及均衡收入(Y^*)；（3）若初始收入(Y_0=500)，判斷系統(tǒng)是否收斂于均衡狀態(tài)。（12分）某壟斷廠商面臨兩個(gè)分割市場，需求函數(shù)分別為：市場1：(P_1=100-Q_1)市場2：(P_2=80-0.5Q_2)成本函數(shù)為(TC=20(Q_1+Q_2)+50)。（1）求廠商在兩市場的最優(yōu)定價(jià)和銷量；（2）若實(shí)行統(tǒng)一定價(jià)，求總利潤最大化時(shí)的價(jià)格(P^*)；（3）比較兩種定價(jià)策略的總利潤差異，并說明原因。四、證明題（20分）（10分）在列昂惕夫投入產(chǎn)出模型中，證明：若直接消耗系數(shù)矩陣(A)滿足(|A|_1<1)（1-范數(shù)），則列昂惕夫逆矩陣((I-A)^{-1})存在且元素均非負(fù)。（10分）設(shè)消費(fèi)者的效用函數(shù)為(U(x_1,x_2)=x_1^\alphax_2^\beta)（(\alpha,\beta>0)），預(yù)算約束為(p_1x_1+p_2x_2=m)。證明：在效用最大化條件下，馬歇爾需求函數(shù)滿足(x_i=\frac{\alpha_im}{p_i})（其中(\alpha_i)為常數(shù)），且需求的價(jià)格彈性(E_{p_ix_i}=-1)。五、綜合分析題（30分）某地區(qū)政府計(jì)劃通過稅收政策調(diào)節(jié)房地產(chǎn)市場。已知：需求函數(shù)：(Q_d=1000-5P+0.02M)（(M)為居民可支配收入，單位：萬