兩條異面直線所成的角（3種題型）【知識梳理】1．兩條異面直線所成的角的定義如圖，已知兩異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O，分別作直線a′∥a，b′∥b，相交直線a′，b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.（1）在定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，根據(jù)等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小與點(diǎn)O的位置無關(guān)．為了簡便，點(diǎn)O常取在兩條異面直線中的一條上.（2）研究異面直線所成的角，就是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，即把求空間角問題轉(zhuǎn)化為求平面角問題，這是研究空間圖形的一種基本思路.2．異面直線所成的角的范圍異面直線所成的角必須是銳角或直角，則這個角α的取值范圍為0。<α≤90。.3．兩條異面直線垂直的定義如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條直線互相垂直．兩條互相垂直的異面直線a，b，記作a⊥b.4．構(gòu)造異面直線所成角的方法（1）過其中一條直線上的已知點(diǎn)（往往是特殊點(diǎn)）作另一條直線的平行線；（2）當(dāng)異面直線依附于某幾何體，且直接平移異面直線有困難時，可利用該幾何體的特殊點(diǎn)，將兩條異面直線分別平移相交于該點(diǎn)；（3）構(gòu)造輔助平面、輔助幾何體來平移直線．注意，若求得的角為鈍角，則兩異面直線所成的角應(yīng)為其補(bǔ)角.5．求兩條異面直線所成的角的步驟（1）平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條，使其成為相交直線；（2）證明：證明作出的角就是要求的角；（3）計(jì)算：求角度（常利用三角形的有關(guān)知識）；（4）結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.【考點(diǎn)剖析】題型一：異面直線所成角的概念及辨析題型一：異面直線所成角的概念及辨析一、填空題例12021秋·上海金山·高二華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)?？计谥校┛臻g兩條異面直線l1與l2所成的角θ的取值范圍是.【變式1】（2021秋·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┛臻g內(nèi)，兩異面直線所成角的取值范圍是 .（用區(qū)間表示）【變式2】（2022·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）異面直線a與b成60°角，若c//a，則c與b所成的角等于【變式3】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知四面體ABCD中，E、F、G分別為BC、AD、BD的中點(diǎn)，且異面直線AB與CD所成的角為，則上FGE=.【變式4】（2022秋·上海靜安·高二?？计谥校⒄襟w的表面的對角線稱為面對角線.若a，b是任意兩條面對角線，則a，b所成角的大小為（寫出所有可能的值）題型二題型二:求異面直線所成的角例22022·上?！?fù)旦附中高二期中）如圖所示，在三棱錐D-ABC中，AC=BD=2，E、F分別為AD與 BC的中點(diǎn)，EF=·2，則異面直線AC與BD所成角的大小是.【變式1】（2021·上海市徐匯中學(xué)高二期中）如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M,N分別是AB,PC的中點(diǎn)，若MN=BC=2,PA=2，則異面直線PA與MN所成角的大小為.【變式2】（2021·上海市進(jìn)才中學(xué)高二階段練習(xí)）在正方體上，a，b是兩條異面直線的面對角線，則它們所成的角大小可能為【變式3】2021·上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二期末）空間內(nèi)有三條直線，其中任意兩條都不相交但相互垂直，若直線l與這三條直線所成的角的大小都是θ,則tanθ=.【變式4】（2021·上海浦東新·高二期中）在三棱錐P-ABC中，M，N分別是PA，BC的中點(diǎn)，已知 AC=PB=2，MN=3，求異面直線AC，PB所成角的大小.題型三：題型三：由異面直線所成的角求其他量例32021·上海市建平中學(xué)高二階段練習(xí)）在空間四邊形ABCD中，AB=CD=8，M、N分別是對角線AC、BD的中點(diǎn)，若異面直線AB、CD所成角的大小為30°,則MN的長為.【變式1】（2021·上海市行知中學(xué)高二階段練習(xí)）已知四面體ABCD中，AB=CD=4，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，且異面直線AB與CD所成的角為，則EF=____________.【變式2】（2019·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高二期中）空間四邊形ABCD，AB=CD=8，M、N、P分別為BD、AC、BC的中點(diǎn)，若異面直線AB和CD所成的角為60°,則線段MN的長為.【變式3】（2021·上?！とA師大二附中高二開學(xué)考試）如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC=BD=8，M、N分【變式4】2021·上海市徐匯中學(xué)高二期中）空間四邊形兩對角線的長分別為6和8﹐所成的角為60°,連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積是.【變式5】（2021·上海市寶山中學(xué)高二階段練習(xí)）若兩條異面直線所成的角為60o，則稱這對異面直線為“黃金異面直線對”，在連接正方體各頂點(diǎn)的所有直線中，“黃金異面直線對”共有對.【過關(guān)檢測】一、單選題12021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）在正方體ABCD—A1B1C1D1中與AD1成60。角的面對角線的條數(shù)是()22021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖，在立方體ABCD-A1B1C1D1中，O為BD中點(diǎn)，則D1O與BC1所成的角o32021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB1和BC1所成角的大小是A.兀4兀3兀242021·上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BB1,DD1上的動點(diǎn)，且BE=D1F=λ,設(shè)EF與AB所成的角為α,與BC所成的角β,則α+β的最小值52021·上海·高二專題練習(xí)）將正方體表面正方形的對角線稱為面對角線．若a,b是同一正方體中兩條異面的面對角線，則a,b所成的角的所有可以取得的值構(gòu)成的集合是EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up7(兀),3)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up7(兀),2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up7(兀),2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up7(兀),3)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up7(兀),3)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up7(兀),2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up7(兀),3)二、填空題62021·上?！とA東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高二期中）空間兩條異面直線l1與l2所成的角θ的取值范圍是.72021·上海浦東新·高二期中）如圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列說法中，正確的序號是.（1）直線AF與直線DE相交；（2）直線CH與直線DE平行；（3）直線BG與直線DE是異面直線；（4）直線CH與直線BG成60O角.82021·上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二期中）在棱長為1的正方體ABCD一A1B1C1D1中，異面直線AD1與AC1所成的角.92021·上海·閔行中學(xué)高二期中）已知7AOB=120o，直線a∥OA，直線b∥OB且a與b是異面直線，則a與b所成角的大小是. 線A1B1與AC1所成角的大小為.112021·上海市七寶中學(xué)高二階段練習(xí)）正方體ABCD一A1B1C1D1中，E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與C1F所成角的余弦值為.122021·上海交大附中高二開學(xué)考試）在四面體ABCD中，AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC=7，則AB、CD所成的角的余弦值為.132021·上海·高二專題練習(xí)）正方體ABCD一A1B1C1D1中，異面直線B1C與DC1所成的角的大小為.142021·上海市南洋模范中學(xué)高二期中）直三棱柱ABC一A1B1C1中，7BCA=90O，M，N分別是A1B1，AC1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BM與AN所成的角的余弦值為.152021·上海·高二專題練習(xí)）在正方體ABCD一A1B1C1D1中，A1B與B1D1所成的角等于.162021·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高二期中）如圖是一個正方體的表面展開圖，A、B、C均為棱的中點(diǎn)，D是頂點(diǎn)，則在正方體中，異面直線AB和CD的夾角的余弦值為.172021·上?！とA東師大附屬楓涇中學(xué)高二期中）一個正方體的展開圖如圖所示，B、C、D為原正方體的頂點(diǎn)，A為原正方體一條棱的中點(diǎn)，在原來的正方體中，直線CD與AB所成角的余弦值為.182021··高二階段練習(xí)）如圖，ABCD-A1B1C1D1是棱長為1的正方體，一個質(zhì)點(diǎn)從A出發(fā)沿正方體的面對角線運(yùn)動，每走完一條面對角線稱為“走完一段”，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)則如下：運(yùn)動第i段與第i+2所在直線必須是異面直線(其中i是正整數(shù))，質(zhì)點(diǎn)走完的第99段與第1段所在的直線所成的角是. 192021·上?！とA師大二附中高二開學(xué)考試）如圖，三棱錐S-ABC中，若AC=2·3，SA=SB=SC=AB=BC=4，E為棱SC的中點(diǎn)，則直線AC與BE所成角的余弦值為.202021·上海市大同中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段A1C上運(yùn)動，異面直線BP與AD1所成的角為θ,則θ的最小值為.212020·上海交大附中高二期中）如圖，在三棱錐A-BCD中，底面是邊長為2的正三角形，AB=AC=AD=4，且E，F(xiàn)分別是BC，AD中點(diǎn)，則異面直線AE與CF所成角的余弦值為.222021··高二階段練習(xí)）已知空間四邊形ABCD，AB=CD=2，且AB與CD所成的角為，設(shè)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，則EF的長度為.三、解答題232021·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高二階段練習(xí)）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=B1B=1，M、N分別是AD、DC的中點(diǎn).（1）求證：M、N、A1、C1共面；（2）求：異面直線MN與BC1所成角的余弦值.242021·上海市亭林中學(xué)高二階段練習(xí)）正方體ABCD-A1B1C1D1中，M,N分別為棱A1A和B1B的中點(diǎn)．求（I）異面直線AB與D1N所成的角的正切值；（II）異面直線CM與D1N所成角的余弦值.25上海市晉元高級中學(xué)高二期中）正四面體A-BCD的棱長為a，E,F分別為棱BC,AD的中點(diǎn)，求異面直線AE與CF所成角的余弦值兩條異面直線所成的角（3種題型）【知識梳理】1．兩條異面直線所成的角的定義如圖，已知兩異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O，分別作直線a′∥a，b′∥b，相交直線a′，b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.（1）在定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，根據(jù)等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小與點(diǎn)O的位置無關(guān)．為了簡便，點(diǎn)O常取在兩條異面直線中的一條上.（2）研究異面直線所成的角，就是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，即把求空間角問題轉(zhuǎn)化為求平面角問題，這是研究空間圖形的一種基本思路.2．異面直線所成的角的范圍異面直線所成的角必須是銳角或直角，則這個角α的取值范圍為0。<α≤90。.3．兩條異面直線垂直的定義如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條直線互相垂直．兩條互相垂直的異面直線a，b，記作a⊥b.4．構(gòu)造異面直線所成角的方法（1）過其中一條直線上的已知點(diǎn)（往往是特殊點(diǎn)）作另一條直線的平行線；（2）當(dāng)異面直線依附于某幾何體，且直接平移異面直線有困難時，可利用該幾何體的特殊點(diǎn)，將兩條異面直線分別平移相交于該點(diǎn)；（3）構(gòu)造輔助平面、輔助幾何體來平移直線．注意，若求得的角為鈍角，則兩異面直線所成的角應(yīng)為其補(bǔ)角.5．求兩條異面直線所成的角的步驟（1）平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條，使其成為相交直線；（2）證明：證明作出的角就是要求的角；（3）計(jì)算：求角度（常利用三角形的有關(guān)知識）；（4）結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.【考點(diǎn)剖析】題型一：異面直線所成角的概念及辨析題型一：異面直線所成角的概念及辨析一、填空題例12021秋·上海金山·高二華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)?？计谥校┛臻g兩條異面直線l1與l2所成的角θ的取值范圍是.【答案】【答案】(0,]2【分析】利用異面直線所成角的定義進(jìn)行求解.【詳解】由異面直線所成的角的定義可得：過空間任意一點(diǎn)O，分別作相應(yīng)直線l1與l2的平行線l3與l4，兩條相交直線l3與l4所成的銳角或直角為異面直線l1與l2所成的角，所以空間兩條異面直線l1與l2所成角θ的取值范圍是.故答案為：.π【變式1】（2021秋·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）空間內(nèi)，兩異面直線所成角的取值范圍是 .（用區(qū)間表示）【答案】【答案】【分析】利用異面直線所成角的定義直接寫出范圍作答.【詳解】由異面直線所成角的定義知，兩異面直線所成角的取值范圍是(0,].2故答案為：(0,]π【變式2】（2022·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）異面直線a與b成60°角，若c//a，則c與b所成的角等于【答案】【答案】60°【分析】由已知可得c與b相交或異面.分兩種情況，根據(jù)異面直線所成的角的概念結(jié)合平行公理即可得出結(jié)論.【詳解】【詳解】∵a,b異面，c//a，∴c與b相交或異面.當(dāng)c與b相交時，根據(jù)異面直線a與b所成角的概念可知c與b所成的角為60°角；當(dāng)c與b異面時，自空間不在a,b,c上的一點(diǎn)分別作a,b的平行線m//a,n//b,根據(jù)異面直線所成角的定義，相交直線m,n所成的不超過直角的角既是異面直線a與b所成的角，又是異面直線c與b所成的角，根據(jù)異面直線a與b成60°角，故異面直線c與b所成的角為60°角.故答案為：60°.【變式3】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知四面體ABCD中，E、F、G分別為BC、AD、BD的中點(diǎn)，且異面直線AB與CD所成的角為，則上FGE=__________.【答案】或【分析】根據(jù)AB//FG，CD//GE，結(jié)合異面直線夾角的定義求解即可.【詳解】如圖，因?yàn)镋、F、G分別為BC、AD、BD的中點(diǎn)，故AB//FG，CD//GE，故AB與CD所成的角即FG與GE所成的角為，且與上FGE相等或者互補(bǔ)，故上FGE=或.故答案為：或【變式4】（2022秋·上海靜安·高二?？计谥校⒄襟w的表面的對角線稱為面對角線.若a，b是任意兩條面對角線，則a，b所成角的大小為（寫出所有可能的值）【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，以其中一條面對角線為例，列舉出其它面對角線與其夾角的所有可能即可.【詳解】以正方體中的面對角線DA1為例，如上圖，CB1與DA1成0o角；,AC,DC1,AB1與DA1成60o角；題型二題型二:求異面直線所成的角例22022·上?！?fù)旦附中高二期中）如圖所示，在三棱錐D—ABC中，AC=BD=2，E、F分別為AD與 BC的中點(diǎn)，EF=·2，則異面直線AC與BD所成角的大小是.【答案】【分析】取AB的中點(diǎn)M，分別連接ME,MF，把異面直線AC與BD所成的角即為直線ME與MF所成的角，在△MEF中，根據(jù)ME2+MF2=EF2，即可求解.【詳解】如圖所示，取AB的中點(diǎn)M，分別連接ME,MF，因?yàn)镋、F分別為AD與BC的中點(diǎn)，可得ME//BD,MF//AC，且ME=BD=1,MF=AC=1，所以異面直線AC與BD所成的角即為直線ME與MF所成的角， 在△MEF中，因?yàn)镸E=1,MF=1,EF=2，所以ME2+MF2=EF2，所以ME丄MF，即直線ME與MF所成的角為，所以異面直線AC與BD所成的角.故答案為：.【變式1】（2021·上海市徐匯中學(xué)高二期中）如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M,N分別是AB,PC的中點(diǎn)，若MN=BC=2,PA=2，則異面直線PA與MN所成角的大小為.【答案】EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up7(兀),6)【分析】連接AC，取AC的中點(diǎn)G，連接MG，NG，根據(jù)M,N分別是AB,PC的中點(diǎn)，得到MG//BC,NG//PA，則上MNG是異面直線PA與MN所成的角，然后利用余弦定理求解.【詳解】連接AC，取AC的中點(diǎn)G，連接MG，NG，又因?yàn)镸,N分別是AB,PC的中點(diǎn)，所以MG//BC,NG//PA，所以上MNG是異面直線PA與MN所成的角，故答案為：EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up7(兀),6)【變式2】（2021·上海市進(jìn)才中學(xué)高二階段練習(xí)）在正方體上，a，b是兩條異面直線的面對角線，則它們所成的角大小可能為【答案】90?；?0。【分析】通過求異面直線AD1與B1C和異面直線AD1與A1C1所成角即可.【詳解】解：正方體的面對角線成異面直線的，分平行的面和相交的面兩類如圖找兩對代表進(jìn)行計(jì)算：1.異面直線AD1與B1C，其所成的角即為直線AD1與A1D所成的角，90。；2.異面直線AD1與A1C1，其所成的角即為直線AD1與AC所成的角，60。.故答案為：90?；?0。.【變式3】2021·上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二期末）空間內(nèi)有三條直線，其中任意兩條都不相交但相互垂直，若直線l與這三條直線所成的角的大小都是θ,則tanθ=. 【答案】2【分析】在空間任取一點(diǎn)O，分別作三條直線的平行線OA，OB，OC，構(gòu)造一個正方體，則直線l即直線OD與OA、OB、OC所成的角相等均為θ,由此即可求出tanθ.【詳解】解：在空間任取一點(diǎn)O，分別作三條直線的平行線OA，OB，OC，構(gòu)造一個正方體如右圖所示，則直線l即直線OD與OA、OB、OC所成的角相等均為θ, 故答案為：2.【變式4】（2021·上海浦東新·高二期中）在三棱錐P—ABC中，M，N分別是PA，BC的中點(diǎn)，已知AC=PB=2，MN=求異面直線AC，PB所成角的大小.【答案】60O【分析】取AB中點(diǎn)Q，連接QM，QN，可得QM//BP，QN//AC，從而可得上MQN就是異面直線AC，PB所成的角或其補(bǔ)角，從而可的答案.【詳解】解：取AB中點(diǎn)Q，連接QM，QN，Q是AB中點(diǎn)，N是BC中點(diǎn)，→QN//AC，QN=AC=1，所以∴異面直線AC，PB所成的角的大小為60O.題型三：題型三：由異面直線所成的角求其他量例32021·上海市建平中學(xué)高二階段練習(xí)）在空間四邊形ABCD中，AB=CD=8，M、N分別是對角線AC、BD的中點(diǎn)，若異面直線AB、CD所成角的大小為30°,則MN的長為.【答案】【答案】【分析】取BC的中點(diǎn)P，連接NP,MP，利用三角形中位線定理可得NP∥CD,MP∥AB，由異面直線所成角的定義，異面直線AB，CD所成的角即為上MPN或其補(bǔ)角，在△MPN中，利用余弦定理求解即可【詳解】解：取BC的中點(diǎn)P，連接NP,MP，因?yàn)锳B=CD=8，M、N分別是對角線AC、BD的中點(diǎn)，所以NP∥CD,MP∥AB，NP=CD=4,MP=AB=4,所以，異面直線AB，CD所成的角即為上MPN或其補(bǔ)角，因?yàn)楫惷嬷本€AB、CD所成角的大小為30°,NP2+MP22NP.MPcos150O綜上，MN的長為J32±16·3，【變式1】（2021·上海市行知中學(xué)高二階段練習(xí)）已知四面體ABCD中，AB=CD=4，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，且異面直線AB與CD所成的角為EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(兀),3)，則EF=____________. 【答案】2或23【分析】取AC中點(diǎn)M，先通過平行關(guān)系分析異面直線AB與CD所成的角為上EMF或其補(bǔ)角，然后通過分類討論結(jié)合角度以及長度、余弦定理求解出EF的長度.【詳解】取AC中點(diǎn)M，連接ME,MF，因?yàn)镋,F分別為BC,AD的中點(diǎn)，所以ME//AB,MAB=2，MF//CD,MF=CD=2，所以異面直線AB與CD所成的角即為上EMF或其補(bǔ)角，當(dāng)異面直線AB與CD所成的角為上EMF時，當(dāng)異面直線AB與CD所成的角為上EMF的補(bǔ)角時， 綜上可知，EF長為2或23， 故答案為：2或23.【變式2】（2019·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高二期中）空間四邊形ABCD，AB=CD=8，M、N、P分別為BD、AC、BC的中點(diǎn)，若異面直線AB和CD所成的角為60°,則線段MN的長為. 【答案】4或43【分析】先根據(jù)異面直線AB和CD成60O的角，則上MPN=60O或120O，然后利用余弦定理求出MN的長即可.【詳解】解：:AB=CD=8，M、N、P分別為BD、AC、BC的中點(diǎn)，連接MN，MP，NP:NP=MP=4，NP//AB，MP//CD，所以上MPN為異面直線AB和CD所成的角或補(bǔ)角，因?yàn)楫惷嬷本€AB和CD成60O的角，:上MPN=60O或120O故答案為：4或4【變式3】（2021·上海·華師大二附中高二開學(xué)考試）如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC=BD=8，M、N分【分析】取BC中點(diǎn)P，連接MP，NP，由中位線的性質(zhì)及ACTBD，利用直角三角形求解.【詳解】取BC中點(diǎn)P，連接MP，NP，又因?yàn)锳C=8，BD=8，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，所以PM//AC，PM=AC=4，PN//BD，PN=BD=4.又因?yàn)楫惷嬷本€AC與BD所成的角為90°,所以MN=4 故答案為：42【變式4】2021·上海市徐匯中學(xué)高二期中）空間四邊形兩對角線的長分別為6和8﹐所成的角為60°,連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積是. 【分析】空間四邊形A一BCD中，分別取AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)E、F、G、H，連接EF、FG、GH、HE，則連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積是S四邊形EFGH=2S△FEH，由此能求出結(jié)果.【詳解】如圖，空間四邊形A一BCD中，兩對角線的長AC、BD的長分別為6和8，所成的角為60O，分別取AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)E、F、G、H，連接EF、FG、GH、HE，則EF//GH//AC，且EF=GH=AC=3，EH//GF//BD，且EH=GF=BD=4，:連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積是：故答案為：6.【變式5】（2021·上海市寶山中學(xué)高二階段練習(xí)）若兩條異面直線所成的角為60O，則稱這對異面直線為“黃金異面直線對”，在連接正方體各頂點(diǎn)的所有直線中，“黃金異面直線對”共有對.【答案】24【分析】由異面直線的定義和正方體的對稱性，以AC為例，與之構(gòu)成黃金異面直線的直線有4條，從而計(jì)算得到答案.【詳解】正方體如圖所示，若要出現(xiàn)所成角為60O的異面直線，則直線需為面對角線，以AC為例，與之構(gòu)成黃金異面直線對的直線有A,B，BC,，A,D，BC,這4條，而正方體的面對角線有12條，所以所求的黃金異面直線對共有=24對（每一對被計(jì)算兩次，所以要除以2故答案為：24.【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線及其所成的角，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.【過關(guān)檢測】一、單選題12021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）在正方體ABCD-A1B1C1D1中與AD1成60。角的面對角線的條數(shù)是()【答案】C【解析】找出與AD1成60。的面對角線，分為兩類，一類是與AD1相交的，另一類是與AD1異面的，將兩類面對角線的條數(shù)相加即可得解.【詳解】如下圖所示：由圖可知，△AB1D1和△ACD1均為等邊三角形，與AD1成60。且相交的面對角線有：AC、CD1、AB1、B1D1，共4條；所以，與AD1成60。且異面的對角線有：A1C1、A1B、C1D、BD，共4條.其中，面對角線A1D、B1C與AD1垂直，BC1//AD1.綜上所述，在正方體ABCD-A1B1C1D1中與AD1成60。角的面對角線的條數(shù)是8.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系，直線與直線所成的角，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系，直線與直線所成的角，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.22021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖，在立方體ABCD一A1B1C1D1中，O為BD中點(diǎn)，則D1O與BC1所成的角o【答案】A【分析】由BC1//D1A，根據(jù)異面直線所成角的定義，上OD1A的大小即可所求，然后根據(jù)正方體的幾何特征求解.所以上OD1A是異面直線D1O與BC1所成的角，則上OD1A=30o，所以D1O與BC1所成的角為30o.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成角的求法，還考查了運(yùn)算能力，屬于容易題.32021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）在正方體ABCD一A1B1C1D1中，AB1和BC1所成角的大小是【答案】C【分析】利用平行四邊形的判定與性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到上B1AD1為異面直線AB1和BC1所成角，進(jìn)而在三角【詳解】如圖所示，連接AD1,B1D1，∵AB//C1D1,AB=C1D1,四邊形ABC1D1為平行四邊形，∴AD1//BC1，AD1為異面直線AB1和BC1所成角（或其補(bǔ)角由于△AB1D1是等邊三角形，∴上B1A，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角的求法，涉及正方體的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.關(guān)鍵在于利用平行四邊形的判定與性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到異面直線所成的角，進(jìn)而在相應(yīng)三角形中求解.42021·上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）已知棱長為1的正方體A上的動點(diǎn)，且BE=D1F=λ,設(shè)EF與AB所成的角為α,與BC所成的角β,則α+β的最小值A(chǔ)．不存在B．等于60。C．等于90。D．等于120?！敬鸢浮俊敬鸢浮緾【分析】根據(jù)平移作出EF與AB所成的角為α,并判斷出β=α,從而在△MEF中利用余弦定理求cosα的值，進(jìn)而求α最小值.【詳解】在AA1上取一點(diǎn)M，使EM//AB，連接ME，則上MEF=α,AM=D1F=λ,同理可判斷β=α.所以cosα=，所以α最小為，此時λ=，因此α+β的最小值等于90。.故選：C.52021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）將正方體表面正方形的對角線稱為面對角線．若a,b是同一正方體中兩條異面的面對角線，則a,b所成的角的所有可以取得的值構(gòu)成的集合是【答案】A【分析】可分為兩條異面的面對角線分別在兩相交平面內(nèi)、兩平行平面內(nèi)兩種情況，然后分別利用圖形以及直線平移得到異面直線a,b的所成角.【詳解】當(dāng)a,b兩條異面的面對角線在相鄰平面內(nèi)時，如下圖所示：此時由直線平移可知：a,b所成角為；當(dāng)a,b兩條異面的面對角線在平行平面內(nèi)時，如下圖所示：此時由直線平移可知：a,b所成角為a,b所成的角的可取值為.故選A.【點(diǎn)睛】常規(guī)的異面直線所成角的計(jì)算：通過將對應(yīng)的直線平移使其處于同一平面內(nèi)，然后利用余弦定理求解角的大小求解角的大小.二、填空題62021·上?！とA東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高二期中）空間兩條異面直線l1與l2所成的角θ的取值范圍是.【答案】【答案】(0,]2【分析】利用異面直線所成角的定義進(jìn)行求解.【詳解】由異面直線所成的角的定義可得：過空間任意一點(diǎn)O，分別作相應(yīng)直線l1與l2的平行線l3與l4，兩條相交直線l3與l4所成的銳角或直角為異面直線l1與l2所成的角，所以空間兩條異面直線l1與l2所成角θ的取值范圍是.故答案為：(0,].2ππ72021·上海浦東新·高二期中）如圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列說法中，正確的序號是.（1）直線AF與直線DE相交；（2）直線CH與直線DE平行；（3）直線BG與直線DE是異面直線；（4）直線CH與直線BG成60。角.【分析】還原正方體ABCD—EFGH，結(jié)合圖形即可判斷（123再連接AH，AC，則7AHC為異面直線CH與直線BG所成的角，根據(jù)三角形的性質(zhì)即可求出異面直線所成角；【詳解】解：由正方體的平面展開圖可得正方體ABCD—EFGH，可得AF與ED為異面直線，故（1）錯誤；CH與DE為異面直線，故（2）錯誤；直線BG與直線DE是異面直線，故（3）正確；連接AH，AC，由正方體的性質(zhì)可得AH//BG，所以上AHC為異面直線CH與直線BG所成的角，因?yàn)椤鰽HC為等邊三角形，所以上AHC=60O，即直線CH與直線BG所成角故答案為34）.82021·上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二期中）在棱長為1的正方體ABCD一A1B1C1D1中，異面直線AD1與A1C1所成的角.【答案】60?！痉治觥窟B接BC1，可證明BC1//AD1，進(jìn)而可得上A1C1B或其補(bǔ)角即為異面直線AD1與A1C1所成的角，在VA1BC1中求上A1C1B即可求解.【詳解】連接BC1，因?yàn)锳B//C1D1，AB=C1D1，所以四邊形ABC1D1是平行四邊形，所以BC1//AD1，所以上A1C1B或其補(bǔ)角即為異面直線AD1與A1C1所成的角，所以異面直線AD1與A1C1所成的角為60。，故答案為：60。92021·上?！らh行中學(xué)高二期中）已知上AOB=120o，直線a∥OA，直線b∥OB且a與b是異面直線，則a與b所成角的大小是.【答案】【答案】60。【分析】由異面直線所成角的定義及范圍即可得結(jié)果.【詳解】由直線a∥OA，直線b∥OB且a與b是異面直線，可得上AOB為異面直線a與b所成的角或補(bǔ)角，由于異面直線所成的角的范圍是(0,90。，所以異面直線a與b所成的角為60。，故答案為60。.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等角定理的應(yīng)用，異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題.102021·上?！らh行中學(xué)高二期末）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=BC=1，AA1=·,則異面直線A1B1與AC1所成角的大小為.【答案】【分析】【詳解】π3∥AB，可得上BAC1是異面直線A1B1與AC1所成角，然后在△BAC1中求解即可解：連接BC1，∥AB，所以上BAC1是異面直線A1B1與AC1所成角， 因?yàn)锳B丄平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，π所以異面直線A1B1與AC1所成角的大小為，π3故答案為：EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(兀),3)112021·上海市七寶中學(xué)高二階段練習(xí)）正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與C1F所成角的余弦值為.【答案】【分析】分別取A1B1,CC1的中點(diǎn)G，H，連接BG,BH,GH,C1H，易知A1E//BG,BH//C1F，得到上GBH是異面直線A1E與C1F所成角，然后在△GBH中，利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示：分別取A1B1,CC1的中點(diǎn)G，H，連接BG,BH,GH,C1H，則A1E//BG,BH//C1F，所以上GBH是異面直線A1E與C1F所成角，設(shè)正方體的棱長為2，由余弦定理得cos上GBH=故答案為：故答案為：122021·上海交大附中高二開學(xué)考試）在四面體ABCD中，AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC=7，則AB、CD所成的角的余弦值為.【答案】【分析】先將四面體放于長方體中，再由余弦定理即可求解.【詳解】解：如圖將四面體ABCD還原到一個長方體中，設(shè)該長方體的長、寬、高分別為a，b，c，由余弦定理得cosDAOH=2+2-19=-13，2創(chuàng)25又因?yàn)楫惷嬷本€的夾角范圍為故AB、CD所成的角的余弦值為.故答案為：.132021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線B1C與DC1所成的角的大小為.【答案】60°【分析】如圖所示，連接A1D，A1C1，則LA1DC1即為異面直線B1C與DC1所成角．利用△A1DC1為正三角形，即可得出.【詳解】解：如圖所示，直線A1D//B1C，所以直線A1D與DC1所成的角LA1DC1即為異面直線B1C與DC1所成角.:△A1DC1為正三角形，:上ADC故答案為：60°.【點(diǎn)睛】本題考查正方體的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、異面直線所成的角，考查推理能力與計(jì)算能力.142021·上海市南洋模范中學(xué)高二期中）直三棱柱ABC—A1BA1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BM與AN所成的角的余弦值為.30【答案】30【解析】取BC中點(diǎn)D，證明ND/MB，得異面直線所成的角，然后計(jì)算.【詳解】如圖，取BC中點(diǎn)D，連接ND,AD，MN，因?yàn)镸，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，所以MN//B1C1//BC，MN=B1C1=即MN/BD,MN=BD，∴MNDB平行四邊形，ND/BM，∴異面直線BM與AN所成的角為上AND（或其補(bǔ)角故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查求異面直線所成的角，解題關(guān)鍵是作出異面直線所成的角.【點(diǎn)睛】本題考查求異面直線所成的角，解題關(guān)鍵是作出異面直線所成的角.152021·上海·高二專題練習(xí)）在正方體ABCD一A1B1C1D1中，A1B與B1D1所成的角等于.【答案】60o【分析】先連結(jié)BD，A1D，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，得到BD//B1D1，推出7A1BD等于A1B與B1D1所成的角，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】連結(jié)BD，A1D，則在正方體中，易得BD//B1D1，因此7A1BD等于A1B與B1D1所成的角，因?yàn)锳1B，BD，A1D均為正方體面對角線，所以A1B=BD=A1D，即三角形A1BD為等邊三角形，所以7A1BD=60。，即A1B與B1D1所成的角等于60o.故答案為：60o【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成的角，熟記正方體的結(jié)構(gòu)特征，以及異面直線的幾何求法即可，屬于常考題型.162021·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高二期中）如圖是一個正方體的表面展開圖，A、B、C均為棱的中點(diǎn)，D是頂點(diǎn)，則在正方體中，異面直線AB和CD的夾角的余弦值為. 【答案】【詳解】解：如圖所示，【詳解】解：如圖所示，LEGF為AB和CD所成的角，F(xiàn)為正方體一棱的中點(diǎn).設(shè)正方體棱長為1,所以所以cosLEGF=172021·上?！とA東師大附屬楓涇中學(xué)高二期中）一個正方體的展開圖如圖所示，B、C、D為原正方體的頂點(diǎn)，A為原正方體一條棱的中點(diǎn)，在原來的正方體中，直線CD與AB所成角的余弦值為.【答案】【分析】把展開圖還原成正方體，確定AB,CD的位置，作出異面直線所成的角，然后求角的余弦.【詳解】把展開圖還原成正方體，AB,CD如圖中位置，由正方體性質(zhì)知BD與CE平行且相等，即CDBE是平行四邊形，CD//BE，直線CD與AB所成角為LABE（或其補(bǔ)角同樣棱DF與側(cè)面CEF垂直，EFCEF垂直，則可得DF^EF，+EF2 所以直線CD與AB所成角的余弦值為.故答案為：故答案為：.182021··高二階段練習(xí)）如圖，ABCD-A1B1C1D1是棱長為1的正方體，一個質(zhì)點(diǎn)從A出發(fā)沿正方體的面對角線運(yùn)動，每走完一條面對角線稱為“走完一段”，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)則如下：運(yùn)動第i段與第i+2所在直線必須是異面直線(其中i是正整數(shù))，質(zhì)點(diǎn)走完的第99段與第1段所在的直線所成的角是.【答案】【答案】90。【分析】由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)則得到質(zhì)點(diǎn)走過4段后又回到起點(diǎn)A,可以看作以4為周期,由此能求出質(zhì)點(diǎn)走完的第99段與第1段所在的直線所成的角.【詳解】不妨設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動路線為:AB1→B1C→CD1→D1A，即走過4段之后又回到起點(diǎn)A，可以看作以4為周期,:99=4×24+3，所以質(zhì)點(diǎn)走完第所以質(zhì)點(diǎn)走完第99段與第1段所在的直線分別是AB1和CD1,所以質(zhì)點(diǎn)走完的第99段與第1段所在的直線所成角為90o.故答案為：90o【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系和實(shí)際問題中的周期性問題;通過分析路線特點(diǎn)找出以4為周期是求解本題的關(guān)鍵.:ABTCD192021·上海·華師大二附中高二開學(xué)考試）如圖，三棱錐S一ABC中，若AC=2·,SA=SB=SC=AB=BC=4，E為棱SC的中點(diǎn)，則直線AC與BE所成角的余弦值為.【答案】【解析】過E作ED//CA交SA于D，連接BD即可知7DEB為直線AC與BE所成角，根據(jù)余弦定理即可求7DEB的余弦值.【詳解】過E作ED//CA交SA于D，連接BD，如下圖示，∵E為棱SC的中點(diǎn)，AC=2即在△SAC中DE為中位線，由上知：由上知：上DEB為直線AC與BE所成角，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了求異面直線所成角，根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)用余弦定理求角的余弦值，屬于基礎(chǔ)題.202021·上海市大同中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD一A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段A1C上運(yùn)動，異面直線BP與AD1所成的角為θ,則θ的最小值為.【答案】【答案】30?！窘馕觥吭O(shè)正方體邊長為1，如圖所示：連接BC1，PC1，A1B，根據(jù)對稱性知：PB=PC1=m，計(jì)算，cosθ=得到答案.【詳解】設(shè)正方體邊長為1，如圖所示：連接BC1，PC1，A1B，根據(jù)對稱性知：PB=PC1=m，C時，根據(jù)等面積法，易知AD1//BC1，故上PBC1為異面直線BP與AD1所成的角，故答案為：30°.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.212020·上海交大附中高二期中）如圖，