1高二數(shù)學月考模擬卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．用集合符號表示直線l在平面α上.2．請寫出公理2及其三個推論中的一條：確定一個平面.3．圓柱的底面半徑為1，高為2，則其體積為.4．正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線BC1和直線B1D1所成角的大小為.5．空間中兩條異面直線所成角為α,直線與平面所成角為β,若α的取值集合為A，β的取值集合為B，6．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，C1D的中點，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是.（從相交，平行，異面中選填）7．如圖，某人沿山坡PQB的直行道AB向上行走，直行道AB與坡腳（直)線PQ成60O角，山坡與地平面所成二面角B-PQ-M的大小為30O．若此人沿直行道AB向上行走了200米，那么此時離地平面的高度為米.8．如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”，在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與至少含有三個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是.9．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AM=2MB，N為DD1的中點，記平面CMN與平面ADD1A1的交線為l，則直線l與直線AC1所成角的余弦值為.且PQ=a，則線段PQ在平面α上的射影長為.2與底面ABCD所成的二面角的大小是.12．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分別是B1C1、D1D和AB的中點，則下列關(guān)系：②BM//平面A1PC1；正確的編號為.二、選擇題（本大題共4題,滿分18分,第13-14題每題4分,第15-16題每題5分)13．已知直線a與平面π平行，且它們的距離為d，則到直線a與到平面π的距離都等于d的點的集合是()A．空集B．二條平行直線C．一條直線D．一個平面14．從正方體八個頂點的兩兩連線中任取兩條直線a，b，且a，b是異面直線，則a，b所成角的余弦值的所有可能取值構(gòu)成的集合是()315．已知平面α∩β=l，B∈l，C∈l，A∈α且①直線AD與BC是異面直線；②直線CD在α上的投影可能與AB平行；③過AD有且只有一個平面與BC垂直；④過AD有且只有一個平面與BC平行.16．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分別是棱AB、BC、BB1的中點，以ΔPQR為底面作一個直三棱柱，使其另一個底面的三個頂點也都在正方體ABCD-A1B1C1D1的表面上，則這個直三棱柱的體積為()三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）（1）求證：平面ACD丄平面ABC；（2）若AB=1，CD=BC=2，求該幾何418．如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB=3，求：（1）異面直線AD與A1C所成角的大??；（2）求點C到平面ABC1D1的距離.19．如圖，邊長為2的正方形ABCD所在平面與半圓弧BC所在平面垂直，M是BC上異于B，C的點.（1）求證：平面ACM丄平面ABM；（2）當二面角ACMB的大小為60。時，求直線CA與平面ABM所成角的大?。ㄓ梅慈潜硎荆?520．如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點E在底面的圓周上，AF丄DE，F(xiàn)是垂足.（1）求證：AF丄DB；（2）求將ΔABD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積和圓柱表面積之比；(32)如果圓柱與三棱錐DABE的體積比等于3π,求直線DE與平面ABCD所成的角.21．已知矩形ABCD的長為2，寬為1如圖（1）、（2）所示）（2）在矩形ABCD中，點M是AD的中點、點N是AB的三等分點（靠近A點）．沿折痕MN將ΔAMN翻折成△A’MN，使平面A’MN丄平面ABCD．又點G，H分別在線段NB，CD上，若沿折痕GH將四邊形GHCB向上翻折，使C與A’重合，求線段NG的長.1高二數(shù)學月考模擬卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．用集合符號表示直線l在平面α上lα.【分析】直線l在平面α上，利用集合與集合的關(guān)系符合表示即可.【解答】解：直線l在平面α上，即直線l包含于平面α,利用集合與集合的關(guān)系表示為lα.故答案為：lα.【點評】本題考查線面位置關(guān)系的符號表示法，屬于基礎(chǔ)題.2．請寫出公理2及其三個推論中的一條：兩條相交直線（答案不唯一）確定一個平面.【分析】根據(jù)公理的內(nèi)容即可求解.【解答】解：公理2：不在同一直線上的三個點確定一個平面，推論1：經(jīng)過一條直線以及直線外一點確定一個平面，推論2：經(jīng)過兩條相交直線確定一個平面，推論3：兩條平行線確定一個平面.故答案為：兩條相交直線（答案不唯一）.【點評】本題主要考查了平面的基本性質(zhì)及推論，屬于基礎(chǔ)題.3．圓柱的底面半徑為1，高為2，則其體積為2π.【分析】利用圓柱的體積公式求解.【解答】解：:圓柱的底面半徑為1，高為2，故答案為：2π.【點評】本題主要考查了圓柱的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.【分析】由B1D1//BD，得上DBC1是直線BC1和B1D1所成角，由此能求出直線BC1和B1D1所成角的大小.【解答】解：如圖示：連結(jié)DC1，2B//BD，:上DBC1是線BC1和B1D1所成角，:直線BC1和B1D1所成角的大小為60o.【點評】本題考查直線與直線所成角的大小的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.5．空間中兩條異面直線所成角為α,直線與平面所成角為β,若α的取值集合為A，β的取值集合為B，【分析】根據(jù)異面直線所成角的范圍和直線與平面所成角的范圍求出集合A，B，進而判斷集合A，B的關(guān)系...β.90o}，:AB.故答案為：.【點評】本題主要考查了異面直線所成角的范圍，以及直線與平面所成角的范圍，屬于基礎(chǔ)題.6．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，C1D的中點，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是相交.（從相交，平行，異面中選填）【分析】連接BD1，CD1，CD1與C1D交于點F，易得A1BCD1是平行四邊形，根據(jù)平面的基本性質(zhì)即可判斷直線A1B與直線EF的位置關(guān)系.【解答】解：如圖所示：連接BD1，CD1，CD1與C1D交于點F，由題意，易得四邊形A1BCD1是平行四邊形，在平行四邊形A1BCD1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點，:EF//BD1，又A1B∩BD1=B且A1，B，E，F(xiàn)共面，則直線A1B與直線EF相交.故答案為：相交.【點評】本題考查空間中直線與直線位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題.7．如圖，某人沿山坡PQB的直行道AB向上行走，直行道AB與坡腳（直)線PQ成60o角，山坡與地平面3所成二面角B—PQM的大小為30O．若此人沿直行道AB向上行走了200米，那么此時離地平面的高度為 【分析】根據(jù)三垂線定理作出二面角B—PQ—M的平面角，再解三角形，即可求解.【解答】解：如圖，若此人沿直行道AB向上行走了200米到達C點，過C作CH丄平面AQMN于點H，則CH即為所求，再過H作HE丄PQ于點E，連接CE，則根據(jù)三垂線定理可得PQ丄CE， 【點評】本題考查二面角的概念，三垂線定理的應(yīng)用，屬中檔題.8．如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”，在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與至少含有三個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是44.【分析】由題意分類討論確定“正交線面對”的個數(shù)即可【解答】解：對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12=24個；對于每一條面對角線都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個；對于每一條體對角線都可以與有兩個面與其構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有4×2=8個，4故答案為：44.【點評】本題主要考查組合計數(shù)問題，分類討論的數(shù)學思想，加法原理的應(yīng)用等知識，屬于中等題.9．如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，AM=2MB，N為DD1的中點，記平面CMN與平面ADD1A1的交線為l，則直線l與直線AC1所成角的余弦值為【分析】設(shè)I∩AA1=P，連接NP，MP，建立空間直角坐標系，求得直線l的方向向量與直線AC1的方向向量，利用向量法可求直線l與直線AC1所成角的余弦值.【解答】解：設(shè)I∩AA1=P，連接NP，MP，直線NP即為直線l.易證得MP//CN，由AM=2MB，N為DD1的中點，得AP=，以D為坐標原點，DA．DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，故直線與直線AC1所成角的余弦值為.故答案為：.【點評】本題考查直線與直線的夾角，考查直觀想象、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，屬中檔題.5且PQ=a，則線段PQ在平面α上的射影長為【分析】首先推得PO在平面α上的射影為上AOB的平分線，在空間的三余弦定理，可得cos上POD，即可得到所求射影長.可得PO在平面α上的射影為上AOB的平分線，則線段PQ在平面α上的射影長為PQcos上POD=.故答案為：.【點評】本題考查空間的三余弦定理和射影的求法，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題.與底面ABCD所成的二面角的大小是45O.【分析】先用二面角的平角概念，確定上PDA為側(cè)面PCD與底面ABCD所成的二面角的平面角，再用解直角三角法求解.6【解答】解：因為底面ABCD是邊長為1的正方形，所以AD丄CD，又因為PA丄底面ABCD，CD底面ABCD，所以PA丄CD，又因為PD平面PAD，所以CD丄PD，于是上PDA為側(cè)面PCD與底面ABCD所成的二面角的平面角，因為PA丄底面ABCD，AD底面ABCD，PA丄AD【點評】本題考查了二面角的平面角概念及用解直角三角形法求二面角問題，考查直線與平面的位置關(guān)系，屬于中檔題.12．如圖，在正方體ABCD一A1B1C1D1中，M、N、P分別是B1C1、D1D和AB的中點，則下列關(guān)系：②BM//平面A1PC1；正確的編號為①②④.C1的中點O，可得PO//BM→BM//面A1PC1；P，可得BM丄面C1PB→BM丄【解答】解：對于①,AB丄面BCC1B1，BM面BCC1B1，:AB丄BM，故正確；對于②,如圖1，取A1C1的中點O，可得PO//BM→BM//面A1PC1，故正確；:B1N丄平面A1PC1，故正確.故答案為：①②④7【點評】本題考查了空間位置關(guān)系的判定，屬于中檔題.二、選擇題（本大題共4題,滿分18分,第13-14題每題4分,第15-16題每題5分)13．已知直線a與平面π平行，且它們的距離為d，則到直線a與到平面π的距離都等于d的點的集合是()A．空集B．二條平行直線C．一條直線D．一個平面【分析】求出與平面距離為定值的點的集合，再求出在平面內(nèi)與直線距離為定值的點的集合即可.【解答】解：依題意，與平面π的距離為d的點的集合是平行于平面π,且到平面π的距離為d的兩個平行平面，由于平行于平面π的直線a與平面α的距離為d，因此直線a只在上述兩個平行平面中的一個中，在此平面內(nèi)到直線a的距離為d的點的集合是平行于直線a且到直線a的距離為d的兩條平行直線，所以到直線a與到平面π的距離都等于d的點的集合是：兩條平行直線.故選：B.【點評】本題考查直線到平面和平面到平面的距離，屬于中檔題.14．從正方體八個頂點的兩兩連線中任取兩條直線a，b，且a，b是異面直線，則a，b所成角的余弦值的所有可能取值構(gòu)成的集合是()【分析】根據(jù)正方體的8個頂點構(gòu)成的異面直線中，先確定它們可能的大小，然后進行排除.【解答】解：從正方體的八個頂點中任取四個點連線中，在能構(gòu)成的一對異面直線中，其所成的角的度數(shù)可能有以下幾種情況：①若兩異面直線為CD和A1D1，此時兩直線所成的角為90。.②若兩異面直線為CD和AB1，此時兩直線所成的角為45。.③若兩異面直線為AC和DC1，此時兩直線所成的角為60。.8故選：D.【點評】本題主要考查異面直線所成角的大小求法，屬于中檔題..15．已知平面α∩β=l，B∈l，C∈l，A∈α且Al，D∈β且Dl，則下列敘述錯誤的有()個.①直線AD與BC是異面直線；②直線CD在α上的投影可能與AB平行；③過AD有且只有一個平面與BC垂直；④過AD有且只有一個平面與BC平行.【分析】由公理3結(jié)合反證法思想判斷①;舉例說明②正確；由異面直線垂直及線面關(guān)系判斷③;由公理3的推論結(jié)合過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行判斷④.【解答】解：對于①,若直線AD與BC是共面直線，設(shè)AD與BC共面Y，:不共線的三點B，C，D均在β與Y內(nèi)，:β與Y重合，又不共線的三點A，B，C均在α與Y內(nèi)，:α與Y重合，則α與β重合，與α∩β=l矛盾，故直線AD與BC是異面直線，①正確；對于②,當AB丄l，CD丄l，且二面角α-l-β為銳二面角時，直線CD在α上的射影與AB平行，②正確；對于③,只有當AD與BC異面垂直時，過AD有且只有一個平面與BC垂直，否則，不存在過AD與BC垂直的平面，故③錯誤.對于④,在AD上任取一點，過該點作BC的平行線l,，則由AD與l,確定一個平面，該平面與BC平行，若過AD另外有平面與BC平行，由直線與平面平行的性質(zhì)，可得過直線BC外的一點A有兩條直線與BC平行，與過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行矛盾，故④正確；故選：A.9【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，著重考查異面直線的性質(zhì)，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題.16．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分別是棱AB、BC、BB1的中點，以ΔPQR為底面作一個直三棱柱，使其另一個底面的三個頂點也都在正方體ABCD-A1B1C1D1的表面上，則這個直三棱柱的體積為()R1，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)證明三棱柱PQR-P1Q1R1為直三棱柱，由體積公式求解即可. 則RR1//AC1，P//AC1，QQ1//AC1，且RR1=AC1，PAC1，QQ1=，連接AC，可得AC丄PQ，又PQ∩PR=P，則AC1所以RR1則三棱柱PQR-P1Q1R1為直三棱柱，故選：C.【點評】本題考查了空間中線線、線面位置關(guān)系的判斷，線面垂直的判定定理和性質(zhì)的應(yīng)用，棱柱的體積公式的理解與應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）（1）求證：平面ACD丄平面ABC；（2）若AB=1，CD=BC=2，求該幾何【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)，面面垂直的判定定理，即可證明；（2）由（1）可知ΔABC，ΔABD，ΔBCD，ΔACD都是直角三角形．再計算即可求解.【解答】解1）證明：:AB丄平面BCD，CD平面BCD，:CD丄平面ABC，又CD平面ACD，:平面ACD丄平面ABC；（2）由（1）可知ΔABC，ΔABD，ΔBCD，ΔACD都是直角三角形，:該幾何體的全面積為：【點評】本題考查面面垂直的證明，三棱錐的全面積的求解，屬基礎(chǔ)題.（1）異面直線AD與A1C所成角的大??；（2）求點C到平面ABC1D1的距離.【分析】（1）找到上A1CB即為異面直線AD與A1C所成角，求出各邊長，得到答案；（2）作出輔助線，證明出B1C丄面ABC1D1，求出點C到平面ABC1D1的距離為【解答】解1）:AD//BC，:上A1CB即為異面直線AD與A1C所成角，:BC=3，由勾股定理得A1B=3，A1C=3，:AB丄平面BCC1B1，B1C平面BCC1B1，:AB丄B1C，又:B1C丄BC1，BC1∩AB=B，BC1，AB平面ABC1D1，:B1C丄面ABC1D1，:線段OC為所求距離，則點C到平面ABC1D1的距離為【點評】本題考查空間角及空間距離的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，是中檔題.19．如圖，邊長為2的正方形ABCD所在平面與半圓弧BC所在平面垂直，M是BC上異于B，C的點.（1）求證：平面ACM丄平面ABM；（2）當二面角A-CM-B的大小為60O時，求直線CA與平面ABM所成角的大?。ㄓ梅慈潜硎荆?【分析】（1）先證CM丄平面ABM，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證出結(jié)論.解三角形即可求出結(jié)果.【解答】（1）證明：因為平面ABCD丄ΘO所在平面，平面ABCD∩ΘO所在平面=BC，AB丄BC，所以又MCΘO所在平面，所以AB丄MC，又BM丄MC，所以MC丄平面ABM，又MC平面ACM，所以平面ACM丄平面ABM.（2）解：因為CM丄平面ABM，CA故直線CA與平面ABM所成角為arccos.【點評】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、二面角、直線與平面所成角，考查運算求解能力，是中檔題.20．如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點E在底面的圓周上，AF丄DE，F(xiàn)是垂足.（1）求證：AF丄DB；（2）求將ΔABD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積和圓柱表面積之比；(32)如果圓柱與三棱錐D—ABE的體積比等于3兀，求直線DE與平面ABCD所成的角.【分析】（1）結(jié)合圓的性質(zhì)，利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，可得答案；（2）根據(jù)圓錐的表面積公式和圓柱表面積公式計算，能求出結(jié)果；（3）根據(jù)線面角的定義，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)，利用幾何法，可得答案.【解答】解1）證明：根據(jù)圓柱的性質(zhì)，DA丄平面ABE，EB平面ABE，:DA丄EB，AB是圓柱底面的直徑，點E在圓周上，:AE丄EB，AE∩AD=A，:EB丄平面DAE，:AF平面DAE，:EB丄AF，:AF丄DE，且EB∩DE=E，:AF丄平面DEB，:DB平面DEB，:AF丄DB.（2）將ΔABD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為圓錐，其母線為DB，半徑為AB， 設(shè)AB=AD=a，則DB=2a，:圓柱表面積為S2=2π.a.a+2π.πa2，:將ΔABD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積和圓柱表面積之比為：（3）:平面ABCD丄平面ABE，:過E作EH