第1課時(shí)

進(jìn)門測(cè)

題型一范圍問題

例1已知橢圓￡+卓=1（心心＞0）的左焦點(diǎn)為尸（一。,0）,離心率為坐點(diǎn)”在橢圓上且位于第一象

限，直線尸M被圓/+）,2=*截得的線段的長(zhǎng)為C,尸M=半.

?W*

（1）求直線的斜率；

（2）求橢圓的方程；

（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，若直線尸尸的斜率大于m，求直線OP（。為原點(diǎn)）的斜率的取值范圍.

跟蹤訓(xùn)練1已知橢圓c5+卓=1（9》0）與雙曲線9―J1的離心率互為倒數(shù)，且更線工一）,一2

=0經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程:

（2）設(shè)不過原點(diǎn)0的直線與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),且直線。M,WMON的斜率依次成等比數(shù)列,

求△OMN面積的取值范圍.

題型二最值問題

命題點(diǎn)1利用三角函數(shù)有界性求最值

例2過拋物線），2=4式的焦點(diǎn)廠的直線交拋物線J",B兩點(diǎn),點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則|AFH陰的最小

值是（）

A.2B.小C.4D.2吸

命題點(diǎn)2數(shù)形結(jié)合利用幾何性質(zhì)求最值

例3在平面直角坐標(biāo)系工。），中，P為雙曲線？一），2=1右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)尸到直線工—），+1

=0的距離大于c恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為.

命題點(diǎn)3轉(zhuǎn)化為函數(shù)利用基本不等式或二次函數(shù)求最值

例4已知橢圓C：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為％焦距為2啦.

(1)求橢圓C的方程：

(2)過動(dòng)點(diǎn)M(0,,〃)(機(jī)>0)的直線交x軸于點(diǎn)M交C于點(diǎn)A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的

中點(diǎn).過點(diǎn)P作入軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q，延長(zhǎng)QM交C于點(diǎn)B.

k'

①設(shè)直線PM、QM的斜率分別為八公，證明丁為定值；

②求直線的斜率的最小值.

跟蹤訓(xùn)練2已知圓。一/2+0+1一=)2=/(/>0)過點(diǎn)尸(0」)，圓心M的軌跡為C.

(1)求軌跡C的方程：

(2)設(shè)P為直線/：工一)，-2=0上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線。的兩條切線以，PB,當(dāng)點(diǎn)PU)，次)為直線/

上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線/上移動(dòng)時(shí)，求H外|/沙1的最小值.

作業(yè)檢查

無

第2課時(shí)

⑥)階段訓(xùn)練

題型一定點(diǎn)問題

92

例1已知橢圓夕+百=1(*0,">0)過點(diǎn)(0,1),其長(zhǎng)軸、焦距和短軸的長(zhǎng)的平方依次成等差數(shù)列.直

線/與x軸正半軸和，，軸分別交于點(diǎn)Q、P,與橢圓分別交于點(diǎn)M、N,各點(diǎn)均不重合且滿足麗=&曲，

PN=k2NQ.

(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若&+/.2=-3,試證明：直線/過定點(diǎn)并求此定點(diǎn).

跟蹤訓(xùn)練1如圖，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，離心率e=乎，/是右焦點(diǎn)，A是右

頂點(diǎn)，3是橢圓上一點(diǎn)，軸，|^F]=2-

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)直線/：%=)+九是橢圓。的一條切線，點(diǎn)M(一，Lyi),點(diǎn)N(木,?)是切線/上兩個(gè)點(diǎn)，證

明：當(dāng)/,2變化時(shí)，以MN為直徑的圓過x軸上的定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

題型二定值問題

例2橢圓有兩頂點(diǎn)A(—1,0),3(1,0),過其焦點(diǎn)P(0,l)的直線/與橢圓交于C,。兩點(diǎn)，并與x軸

交于點(diǎn)P.直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.

(1)當(dāng)|。。|=|75時(shí)，求直線/的方程;

(2)當(dāng)點(diǎn)P異于A,B兩點(diǎn)時(shí)，求證：0＞詼為定值.

跟蹤訓(xùn)練2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO),中，點(diǎn)尸(；，0),直線/：點(diǎn)P在直線/上移動(dòng),

R是線段刊7與)，軸的交點(diǎn)，RQ上FP,PQA.I.

(1)求動(dòng)點(diǎn)。的軌跡。的方程;

⑵設(shè)圓M過A(l,0),且圓心M在曲線C上，75是圓M在)軸上截得的弦，當(dāng)"運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長(zhǎng)|73|

是否為定值？請(qǐng)說明理由.

題型三探索性問題

例3如圖，橢圓E：3+3=15>〃>0)的離心率是坐，點(diǎn)尸(0,1)在短軸CQ上，且正?麗=一1.

(1)求橢圓E的方程;

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn).是否存在常數(shù)九使得以.為+/說.兩

為定值？若存在，求，的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

跟蹤訓(xùn)練3已知41,2),僅；，—1)是拋物線產(chǎn)=〃文(〃>0)上的兩個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)4，4引拋物線的兩條

弦AE,BF.

(I)求實(shí)數(shù)4的值；

(2)若直線AE與8尸的斜率互為相反數(shù)，且A,8兩點(diǎn)在直線E廣的兩側(cè)，直線的斜率是否為定

值？若是，求出該定值，若不是，說明理由.

典例橢圓C：/+忘=13乂>0)的左，右焦點(diǎn)分別是八，F(xiàn)2,離心率為坐，過F|且垂直于x軸的

直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)點(diǎn)尸是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PQ,PF?,設(shè)NF/F2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸

于點(diǎn)MQ兒0),求m的取值范H；

(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)。作斜率為攵的直線/,使得/與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線PQ、

PF2的斜率分別為明、用，若AW0,證明￡-+十為定值，并求出這個(gè)定值.

KK\KK2

第3課時(shí)

⑥)階段重難點(diǎn)梳理

I.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷

將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個(gè)變量得到關(guān)于M或y)的一元方程：*+/u-+c=O(或緲2

+by+c=O).

(1)若可考慮一元二次方程的判別式有

①/>0。直線與圓錐曲線相交；

②/=0。直線與圓錐曲線相切;

③/<0=直線與圓錐曲線相離.

(2)若〃=0,厲4),即得到一個(gè)一元一次方程，則直線/與圓錐曲線E相交，且只有一個(gè)交點(diǎn),

①若E為雙曲線，則直線/與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行;

②若石為拋物線，則直線/與拋物線的對(duì)稱軸的位置.關(guān)系是平行或重合.

2.圓錐曲線的弦長(zhǎng)

設(shè)斜率為曲女W0)的直線/與圓錐曲線。相交于A(x”M),8(應(yīng)，”)兩點(diǎn)，則|A8|="1+RX2—MI=

寸+力兒一訓(xùn).

【知識(shí)拓展】

過一點(diǎn)的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

(I)過橢圓外一點(diǎn)總有兩條直線與橢圓相切；

過橢圓上一點(diǎn)有且只有一條直線與橢圓相切；

過橢圓內(nèi)一點(diǎn)的直線與橢圓相交.

(2)過拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條與對(duì)稱軸平行或重

合的直線；

過拋物線上一點(diǎn)總有兩條直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：一條切線和一條與對(duì)稱軸平行或重合

的直線；

過拋物線內(nèi)一點(diǎn)只有一條直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：一條與對(duì)稱軸平行或重合的直線.

(3)過雙曲線外不在漸近線上的一點(diǎn)總有四條直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)：兩條切線和兩條與漸

近線平行的直線；

過雙曲線上?點(diǎn)總有三條直線與雙曲線有且只有?個(gè)交點(diǎn)：-條切線和兩條與漸近線平行的直線：

過雙曲線內(nèi)一點(diǎn)總有兩條直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)：兩條與漸近線平行的直線.

⑥）重點(diǎn)題型訓(xùn)練

I.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與X軸交于點(diǎn)Q,若過點(diǎn)Q的直線/與拋物線有公共點(diǎn)，則直線/的斜率

的取值范圍是（）

A.—2?1B.[—2,2]

C.[-1,1]D.[-4,4]

22

2.已知產(chǎn)為雙曲線C：方一盤=1上的點(diǎn)，點(diǎn)M滿足I。酎1=1,且。應(yīng)./%=（）,則當(dāng)時(shí)|取得最小值

時(shí)點(diǎn)P到雙曲線C的漸近線的距離為（）

912

-

A.J7BJ.-zC.4D.5

22

3.已知尸”尸2分別是雙曲線，一方=13>o,/>0）的左，右焦點(diǎn)，對(duì)于左支上任意一點(diǎn)P都有|PF『

=8u|PFi|（?為實(shí)半軸K）,則比雙曲線的離心率e的取值范圍是（）

A.（1,+8）B.（2,3]

C.（1,3JD.（1,2J

t-"v"'—>—>

4.若點(diǎn)。和點(diǎn)F分別為橢圓$+}=1的中點(diǎn)和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則02FP的最

小值為.

5.已知M是拋物線f=4），上一點(diǎn)，少為其焦點(diǎn)，點(diǎn)A在圓C：（x+l）2+Cy-5）2=l±.,則|M4|+|M/q

的最小值是.

fV2X2V2

6.已知橢圓G：萬一）=1與雙曲線C2：藍(lán)+點(diǎn)=1有相同的焦點(diǎn)，則橢圓C,的離心率的的取值

范圍為

7.已知拋物線＞2=4心焦點(diǎn)為凡過點(diǎn)(2.0)且斜率為正數(shù)的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),巨荷.麗=

-II.

⑴求直線/W的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)C是拋物線A3(不含人，8兩點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn)，求△人BC面積的最大值.

8.己知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0),右頂點(diǎn)為(小,0).

(I)求雙曲線C的方程;

(2)若直線：)，=公+皿20,川H0)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,且線段MN的垂直平分線過

點(diǎn)40,-1),求實(shí)數(shù)〃1的取直范圍.

9.已知橢圓G：力+齊=13>〃>0)的右頂點(diǎn)為4(1,0),過C的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1.

⑴求橢圓G的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P在拋物線G：y=f+WR)上，G在點(diǎn)P處的切線與G交于點(diǎn)M,N.當(dāng)線段”的中點(diǎn)

與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求力的最小值.

作業(yè)布置

I.已知拋物線』=4〉，的焦點(diǎn)為凡A,B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，月4/=71/8(2>0).過48兩點(diǎn)

分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M.

(1)證明：?M48為定值:

(2)設(shè)△ABM的面積為S,求S的最小值.

2.橢圓E：?+*=l(a>〃>0)的離心率為坐點(diǎn)(小，的為橢圓上的一點(diǎn).

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若斜率為人的直線/過點(diǎn)40,1)，且與橢圓E交于C,D兩點(diǎn),A為橢圓E的下頂點(diǎn)，求證：對(duì)于

任意的左,直線BC,的斜率之積為定值.

3.設(shè)直線/與拋物線％2=2,，交于A,B兩點(diǎn)，與橢圓了+?=1交于C,。兩點(diǎn)，直線04,OB,0C,

0ao為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率分另［為加息自，公.若Q4J_0B.

(1)是否存在實(shí)數(shù)E,滿足南+A=7伏3+抬)，并說明理由;

(2)求△0CZ)面積的最大值.

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