路徑之“瓜豆原理”

貴陽市2019年中考：填空壓軸

15.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,NDC4=30°,點尸是對角線AC上的一個

動點，連接。F,以。尸為斜邊作NOFE=30°的直角三角形OEE使點E和點4

位于。尸兩側(cè)，點廠從點A到點C的運動過程中，點E的運動路徑長

是一▲.

貨陽市標答：

【分析】當尸與A點重合時和尸與。重合時，根據(jù)￡的位置，可知E的運動路徑是EE

的長；由已知條件"J以推導出△。￡￡是直角三角形，且N￡>E￡=3O“，在孜△AO&44,

求出?！?3叵即可求解.

3

【解答】解：E的運動路徑是EE的長；

???/W=4,ZDCA=30°,

.Rr-W3

3

當戶與4點重合時,

在R/Z\A。&中，AD=^^-,N￡>4￡=30°,ZADF=60°,

3

??.OE=&^,NCOE=30°,

3

當尸與C重合時，Z￡DC=60°,

AZEDF=90°,NQ￡E=30°,

在Rf△。月/?中，E/?=&巨：

3

故答案為生反.

3

瓜豆原理秒解:

F點為主動點,E點為從動點，D點為定點.在RADEF中,VDE:DF^l:2fF

點的運動軌跡為AC,七點的運動軌跡是以點D為位似中心，以!為位似比縮小

4x2

而來廠點的運動軌跡：點的運動軌跡那么的運動路徑長

E=2:1石E

473

亍

“瓜豆原理”

知識必備

一、旋轉(zhuǎn)及性質(zhì)

1.旋轉(zhuǎn)的定義：個圖形繞點滑定方向旋轉(zhuǎn)定的角度；

2旋轉(zhuǎn)三要素：①旋轉(zhuǎn)中心（繞哪個點轉(zhuǎn)）；②旋轉(zhuǎn)方向（順時針或通時針）；③旋轉(zhuǎn)

角度；

3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小與形狀，只改變圖形的位置即旋轉(zhuǎn)州后圖

形全等;②對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段間的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。

二、位似及性質(zhì)

1.位似的定義：若兩個圖形尸和F1的點之間可以建立一一對應關系，并且滿足；

①每組對應點的連線所在的直線都經(jīng)過同一點0;②每組對應點都在點0的同側(cè)

或異側(cè):③對每組對應點A和4「有空=%々為常數(shù)）.則稱圖形尸和尸位似，火

0A

叫位似比；

2.位似三要素：①位似中心（關于哪個點位似）；②位似方向（同側(cè)或異側(cè)）；③位

似比（等于相似比）；

3.位似的性質(zhì)：成位似的兩個圖形必相似；

把一個兒何圖形變換成與之位似的圖形叫做位似變換；

利用位似變換可把個圖形放大或縮小，若位似比大于1.測通過位似變換把原圖

形放大；若位復比小于1,則通過位似變換把原圖形縮小.

方法提煉

一、旋轉(zhuǎn)作圖

問題1：如圖，在平面內(nèi)有兩點4、。.請將點3繞點4按順時針方向旋轉(zhuǎn)40°.

簡析：如圖所示，這里AB二AC.“共頂點，等線段”.

B

A

二、位似作圖

問題2,如圖，已知線段AB,請以點A為位似中心，工為位似比，在同側(cè)將線段

3

簡析：如圖所示，這組

即共頂點，定比值線段”.

AB3

模型建立

（-）旋轉(zhuǎn)變換

問題3：（1）如圖，已知等腰其中點A為定點，根據(jù)施轉(zhuǎn)作圖的經(jīng)驗,

請你說說，點Q可以看作點尸經(jīng)過怎樣的變換得到？

（2）如圖，若改為等邊△APQ呢？

⑶如圖，若改為任意等腰△APQ（其頂角為a）呢？

簡析：（1）點?？梢钥醋鼽cP繞定點八按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°而來:

反思：這里是“圓生圓”；

注意；點Q所在的軌跡圓圓心0'也是原來的圓心O繞定點A經(jīng)過相應的旋轉(zhuǎn)

而來；

總結(jié)：這些僅牽扯到“旋轉(zhuǎn)變換”，不妨稱。為主動點，。為從動點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)

不變性，從動點。的路徑與主動點P的路徑是全等圖形，因而其路徑長相等；

理解：“集體行動，步調(diào)一致”，即每一個點都是經(jīng)過相同的變換得到，整個路

徑自然也是經(jīng)過是經(jīng)過相同的交換而來，若是圓，其圓心亦然.

（二）位似變換

問題6：（1）如圖，已知線段A6,其中A為定點，C為線段A8的中點，根據(jù)位似

作圖的經(jīng)驗,請你說說：點C可以看作點B經(jīng)過怎樣的變換得到？

⑵如圖,若改為AB=3AC呢？

⑶如圖，若改為C為直線AB上任意一點.且空=%々為常數(shù)）呢？

AB

簡析：（1）點?？梢钥醋鼽cB以定點A為位似中心，以L為位似比同側(cè)縮小而來;

2

⑵點?？梢钥醋鼽cB以定點A為位似中心，以，為位似比同側(cè)縮小面來；

3

⑶點?？梢钥醋鼽cB以定點4為位似中心，以k為位似比放縮而來.

問題7：在問題6中，若點B在條定直線/上運動，其他條件不變，如圖142-20

至圖14-2-22所示，請問：點C的運動路徑是什么？它可以看作點8的路徑如何

而來？

B

B

B

簡析：每個點。都可以看作機應的點8以定點A為位似中心，以相應的位似比

放縮而來，因此點C的路徑當然也是點8的路徑（即直線/）以定點A為位很中

心，以相應的位似比放縮而來,如圖M2-53電圖14-2-25所示.

這里出現(xiàn)“共頂點，定比值線段”結(jié)構(gòu)，反過來，可以用位似的眼光來看問題,

即點C的路徑由點B的路徑經(jīng)過相應的位似變換而來，“直線依然生直線”；

值得一提的是，因為兩點確定一條直我親直線”.我只要作兩個（特殊）點的位

似變接即可.

問題：在問題7中，若將“定直線/“改為定。?！保渌麠l件不變，結(jié)果如何？

簡析：同理，點C的路徑可以由點8所在的。O以定點A為位似中心，以相應的

位比放縮而來，如圖128至14-228所示，

Of

A

這里依然是“圓生圓”，且這兩個圓的相似比（即半徑比）等于位似比;

注意：”集體行動，步調(diào)一致”，

（三）旋轉(zhuǎn)位似變換

問題9（1）如圖，己知等腰RfAMC,其中=90°,A為定點、,根據(jù)旋轉(zhuǎn)作圖以

及位似作圖的經(jīng)驗，請你說說：點C可以看作點B經(jīng)過怎樣的變換得到？

（2）如圖，若改為等腰△ABC,其中N8=120°呢？

⑶如圖，若改為△A8C,其中NA二a為常數(shù)，且絲=攵為常數(shù)呢？

AB

ACi—

簡析：（1）由題知NA=45°且H=故點C?可以看作點8經(jīng)過兩次變換得到，

AB

即先繞著定點A逆時針轉(zhuǎn)45°,再以定點4為位似中心，以血為位似比放大而

來；

⑵同理，由NA=30°且=可知點C可以看作點B先繞著定點4逆時針

AB

旋轉(zhuǎn)30°,再以定點A為位中心，以6為位似比放大而來；

（3）更一般地，點C可以看作點B先繞著定點人逆時針旋轉(zhuǎn)角a.再以定點A為

位似中心，以k為位似比放縮而來.

問題10;在問題9中，若點B在一條定直線/上運動，其他條件不變，如圖

142-382至圖142-34所示，請問：點C的運動路徑是什么？它可以看作點

B的路徑如何而來？

每一個點C都可以看傳相應的點B光旋轉(zhuǎn)后位似而來，因此點。的路徑當然是

點8的路徑（即直線/）先旋轉(zhuǎn)后位似而來.

,4

這里出現(xiàn)“共頂點，定夾角，定比值線段”結(jié)構(gòu)，反過來，可以用旋轉(zhuǎn)加位似的

眼光看問題，即點C的路徑由點B的路強經(jīng)過相應的旋轉(zhuǎn)位僅變換而來，“直

踐還是生直線”.

問題n：在問題10中.若將“定直線/”改為“改為定。?！?，其他條件不變,

結(jié)果如何？

這里還是“圓生圓”，且這兩個圓的相似比（即半徑比）等于位似比；

注意：“集體行動，步調(diào)一致”點c所在的軌跡圓圓心o,也是原來的圓心。先

旋轉(zhuǎn)后位似而來；

總結(jié)：這里既牽扯“旋轉(zhuǎn)變換”，又涉及“位似變換”，故稱"旋轉(zhuǎn)位似變換”；

根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性以及位似的性質(zhì)，從動點C的路徑與主動點B的路徑依然是相

似圖形，且其相似比等于位似比.

具體案例

⑴如圖.已知AB=2.點。是等腰Ri△ABC斜邊AC上一動點，以BD為一邊向右

下方作等邊△3DE,當點。由點4運動到點。時，求點E運動的路徑長；

⑵如圖.已知A8=2.點Q是等腰MAABC斜邊AC上一動點，以BD為斜邊向右

下方作等腰RSDE,當點D由點A運動到點C時、求點石運動的路徑長；

⑶如圖.已知AB=2.點。是等腰即AABC斜邊AC上一動點，以BD為一邊向右

下方作以。為直角頂點的等腰/^△8。七，當點。由點A運動到點。時，求點E

運動的路徑長；

⑷如圖.已知A8=2.點。是等腰心△ABC斜邊AC上一動點，以8。為一邊向右

下方作等腰即力E,其頂角NBDE=120°,當點D由點A運動到點C時，求

點七運動的路徑長.

簡析：（1）點B為完點，從動點E以看作主動點。繞點B順時針60°而來，故

點七運動的路徑長等于點。運動的路徑長,即為2近；

（2）點B為定點，從動點E可以看作主動點D先繞點8順時針旋轉(zhuǎn)45°再以點B

1

為位似中心，以為位似比縮小而來，故點￡運動的路徑長等于點。運動的路

1

徑長的即為2；

⑶點B為定點，從動點￡可以看作主動點D先繞點8順時針旋轉(zhuǎn)45°再以點B

為位似中心，以也為位似比縮小而來，故點E運動的路徑長等于點。運動的路

徑長的血倍，即為4；

⑷同理，點E運動的路徑長等于點。運動路徑長的百倍，即為2遍.

總結(jié)反忠

；圖形才換（平移、翻折、旋轉(zhuǎn)及位似等）的本質(zhì)是點變換；反過來，點變換也可

以看作該點所在圖形的變換，這是整體與局部之間辯證統(tǒng)一的關系；

2.分析問題時，要做到眼中有“點”：先找定點，再確定從動點如何隨主動點的

運動而運動，即主動點關于定點經(jīng)過怎樣的變換可以得到從動點；

3.“直線（段）生直線（段）"、“圓（?。┥鷪A（弧”’、"折線（段）生折（段）”“拋

物線生地物線”、“雙曲線生雙曲線”等，真可謂“種瓜得瓜，種豆得豆”，不

妨稱為“瓜豆原理”；

4.“瓜豆原理”的本質(zhì)是作圖原理的逆過程；

5.特別強調(diào)：使用“瓜豆原理”的前提是必須存在定點來充當旋轉(zhuǎn)（位似）中心，

使主動點經(jīng)過相應的變換可以得到從動點，即“無定點，不瓜豆”.

實戰(zhàn)

（一）求路徑長

例1（2016年湖北武漢:如圖13-1,在等腰RfZ\/WC中,4。二802/，點P在以

斜邊AB為直徑的半圓上,M為PC的中點，當點P沿半圓從點A運動至點B時,

則點M運動的路徑長是（）

4.后乃B.兀C.2A/2D.2

簡析:C為定點，點M隨著點P的運動而運動'由”是PC的中點'可得罟=}

用位似變換的眼光來看,點M可以看作點P以定點C為位似中心，以工為位似

2

比縮小面來，故點M運動的路徑也是點P運動的路徑相應而來，即點M的路徑

長等于點P路徑長的工，因此點M運動的路徑長是乃,選B.

2

例2（2013年浙江湖州）如圖14-3-2,已知點4是第一象限內(nèi)橫坐標為26的一個

定點,AN_Lx軸于點M交直線y=-x于點N.若點P是線段ON上y=-x的一人動

點，N4P8=30°,R4J_P4點。在線段ON上運動時，A點不變,8點隨之運動.

求當點尸從點。運動到點N時?，點8運動的路徑長.

簡析：A為定點，點8隨著點尸的運動而運動，由題知NPAB二90。，且四二且

PA3

用旋轉(zhuǎn)位似變換的眼光來看，點B可以看作點P先繞定點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,

再以定點A為位似中心，以乎為位似比縮小而來，故點3運動的路徑也是由點

產(chǎn)運動的路徑相應而來，即點B的路徑長等于點P路徑長的號，因此點B運動

的路徑長是2拒.

這里屬“旋轉(zhuǎn)位似變換”，其常規(guī)解法是利用夾角定位法說明“直線型”路經(jīng).

例3如圖，已知扇形八08中.04=3.,NAOB=120。.。是AB上的動點，以BC

為邊向右上方作正方形BCDE.當點C從點A移動至點B時,求點D經(jīng)過的路徑

長.

BB

簡析：如圖.連接8D48CQ為等腰直角三角形，則/。8。=45°.且殷=拒；

BC

B為定點.點。隨著點。的運動而運動；用旋轉(zhuǎn)位似變換的眼光來看，點?？梢?/p>

看作點C光繞定點B順時針旋轉(zhuǎn)45°,再以定點B為位似中心，以后為位似

比放大而來，故點。運動的路徑也是由點。運動的路徑相應而來，即點。的路

徑長等于點C路徑長的V2倍，因此點D經(jīng)過的路徑長是2五兀

例4如圖，已知菱形ABCQ邊長為6,E是8C的口點,AE、8。相交于點尸，當N

人3C從90°逐步減少到30°的過程中，求點尸經(jīng)過的路徑長.

簡析：易證△BPEWADPA,則旦="=’，故旦」，其中E為定點，點P隨

APDA2EA3

著點A的運動而運動；同上，點P經(jīng)過的路徑長等于點A經(jīng)過路徑長的1；

3

當NABC從900逐步減少到30°的過程中，點A的路徑長為竺樹二2上因此點

180

戶經(jīng)過路徑長為”.

3

總結(jié):使用“瓜豆原理”的關鍵是主動尋找“瓜豆三點”：定點、主動點從動點；

一般情況下，主、從動點比較簡單，但定點的選擇尤為重要，用常見圖形變換的

眼光（如旋轉(zhuǎn)、位似變奏等）看這三個點之間的關聯(lián)，即主動點關于定點如何變換

可以得到從動點，那么其相應的路徑也可以如此變換而來；

需要特別謹記的是“無定點，不瓜豆”，即若找不到一個定點充當主動點與從動

點之間的橋梁（旋轉(zhuǎn)中心或位似中心等），一般情況下，“瓜豆”就成了“無源之

水、無木之木”，不瓦能再“生根發(fā)芽”了；

請記住，沒有絕對的通法,所謂通法也僅僅是很大范圍內(nèi)適用的解法罷了；

因為旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小與形狀,故不影響路徑長;而位似變換影響路徑長，且

從動點的路徑長是主動點的路徑長乘以相應的位似比；

“瓜豆原理”最強大之處就是秒殺相關路徑長問題，只需鎖定從動點、主動點與

定點之間連線段的比值即可；

下面再來看看“瓜豆原理”在其他方面的應用：

（二）求最值

例5（2017年江蘇徐州）如圖，已知二次函數(shù)），=，/一4的圖像與x軸交于A、B

兩點，與y軸交于點COC的半徑為石，P為。C上一動點，連接若E為

PB的中點，連接OE,則OE的最大值為.

簡析：由E為的中點，可得強二LB為定點，P為主動點,E為從動點；

BP2

從動點上可以看作主動點P以定點B為位似中心以1為位似比縮小而來，故從

2

動點E的路徑也是主動點P的路徑（即。C）以定點B為位似中心，以■!■為位似比

2

縮小而來；特別是，圓心也是如此而來.即連接BC.取其中點M即為從動點E的

軌跡圓圓心,且其半徑ME為且，因此。石的最大值為OM+ME=BC+ME二"叵.

22

“瓜豆原理”可以秒殺相關的路徑長問題，但若涉及最值問題，則必須將目標動

點的路徑作出來，然后轉(zhuǎn)化為“點圓距離”或“點線距離”等問題；

2

例6如圖，△ABC是等邊三角形，48=3,E在4c上且AE=-AC,。是直線

3

BC上一動點，線段ED繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段EF,當點。運動時,

則線段AF的最小值是.

簡析：尸點運動軌跡為直線/（任取2動點?？傻茫cA到直線/的距離為A尸

最小值.在心△4￡/,/4E/為30°,:?AI=1.?:Rt/\EFHqRl/\DEG,：.EG=HF二

且，線段AF的最小值為A/與"E共線時，即1+3.

22

例7如圖，在等邊△4BC中,A8=2,點。是以A為圓心，半徑為1的圓上一動點,

連接CD,E為CO的中點.連接BE,則BE的最大值與最小值之和為.

ni

簡析1：如圖，取AC的中點F,連接ERBF、AD,易得BF=~AB=6EF=一

22

AO二L在中，有BF-EFWBEWBF+EF,即--&BEW6+;當且

222

僅當8、E、尸三點共線時取等，故8E的最小值為百-工，最大值為百十工，

22

其和為26.

簡析2：如圖，由E為CO的中點，結(jié)合“瓜豆原理”可知點￡的路徑是一個圓,

且由04以定點C為位似中心以，為位似比縮小而來,其圓心亦然，即為圖中的

OF,其中點尸為AC的中點，則8E的最值問題轉(zhuǎn)化為“點圓距離”問題，下

法2采取了“瓜豆原理”，其實這2種方法的本質(zhì)相同，第一種中點處理策略告

訴我們“是什么"，而“瓜豆法”告訴我們“為什么"，即為什么取AC的中點

總結(jié)：使用“瓜豆原理”解題的基本步聚為：

1.主動尋棧“瓜豆三點”：定點、主動點、從動點（“無定點，不及豆”）;

2.用常見的圖形變換（如平移、翻折、旋轉(zhuǎn)以及位似等眼光看待“瓜豆三點”，

即從動點可以看作主動點關于定點如何變換而來：

3.從動點的路徑與主動點的路徑之間的變換關系，完全等同點的變換關系；

4.若問路徑長，可口算；若問最值，需作圖，轉(zhuǎn)化為“點圓距離”或“點線距離”

等.

類題鞏固

1.如圖，△ABC在第一象限，其面積為16.點P從點A出發(fā)，沿△ABC的邊從

4-8-A運動一周，在點尸運動的同時，作點P關于原點0的對稱點Q,再以

尸。為邊作等邊三角形APOM，點M在第二象限，求點M隨點戶運動所形成的

圖形面積。

y

簡析：點P為主動點，點M為從動點，點O為定點.連接MO,在用△MOP中，

OP:OMd,點P運動軌跡為三角形,從動點M運動軌跡也為三角形，且相似

比為1：百，面積比為1:3，，點M運動所形成的圖形面積48.

2.如圖，點A是雙曲線），=±在第一象限上的一動點，連接AO并延長交另一分

x

支于點跟人"為斜邊作等腰8c，點C在第二象限，隨著點人的運動，點C

的位置也不斷的變化，但始終在某函數(shù)圖像上運動.則