第一章有理數(shù)（舉一反三講義）全章題型歸納 【滬科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【培優(yōu)篇】 8【題型1正負(fù)數(shù)的意義】 8【題型2相反意義的量】 9【題型3有理數(shù)的概念及分類】 9【題型4數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)之間的關(guān)系】 10【題型5相反數(shù)】 11【題型6絕對(duì)值】 11【題型7有理數(shù)的大小比較】 12【題型8有理數(shù)的加法與減法】 12【題型9有理數(shù)的乘法與除法】 13【題型10倒數(shù)】 14【題型11有理數(shù)的乘方】 15【題型12科學(xué)記數(shù)法】 15【題型13近似數(shù)】 16【拔尖篇】 16【題型14正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】 16【題型15數(shù)軸上整點(diǎn)問題】 18【題型16利用相反數(shù)化簡多重符號(hào)】 18【題型17絕對(duì)值的非負(fù)性】 18【題型18有理數(shù)大小比較的實(shí)際應(yīng)用】 19【題型19絕對(duì)值與乘方的非負(fù)性】 20【題型20絕對(duì)值中的分類討論及最值問題】 20【題型21結(jié)合倒數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值等的計(jì)算】 21【題型22結(jié)合數(shù)軸判斷結(jié)論正誤】 21【題型23有理數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】 22【題型24數(shù)軸中的動(dòng)點(diǎn)問題】 24知識(shí)點(diǎn)1正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念1.正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義：定義示例補(bǔ)充正數(shù)大于0的數(shù)叫做正數(shù)．有時(shí)，為了明確表達(dá)意義，在正數(shù)的前面也加上符號(hào)“+”（讀作“正”）3，1.8%，3.5，35正數(shù)前的“+”可以省略不寫負(fù)數(shù)在正數(shù)前加上符號(hào)“-”的數(shù)叫作負(fù)數(shù)-3，-2.7%，-34，-負(fù)數(shù)前的“-”不能省略2.注意：0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)．3.0的意義（1）0是正負(fù)數(shù)的分界；（2）0可以表示“沒有”；（3）0可以用來表示基準(zhǔn)，一般地，高于基準(zhǔn)的量用數(shù)表示，低于基準(zhǔn)的量用負(fù)數(shù)表示．知識(shí)點(diǎn)2具有相反意義的量1.定義：在日常生活中，人們常用正數(shù)、負(fù)數(shù)來表示一對(duì)具有相反意義的量．2.表示方法：一般地，對(duì)于具有相反意義的量，我們可以把其中一種意義的量規(guī)定為正的，并用正數(shù)來表示，把與它意義相反的量規(guī)定為負(fù)的，并用負(fù)數(shù)來表示．例如：若規(guī)定海平面的海拔高度為0m，珠穆朗瑪峰高于海平面8848.86m,記作+8848.86m．知識(shí)點(diǎn)3有理數(shù)1.定義：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)；整數(shù)可以寫成分?jǐn)?shù)的形式；可以寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)稱為有理數(shù)．2.有理數(shù)的分類：按有理數(shù)的定義分類按有理數(shù)的性質(zhì)符號(hào)分類分?jǐn)?shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)整數(shù)正整數(shù)0負(fù)整數(shù)正分?jǐn)?shù)有理數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)有理數(shù)正有理數(shù)0負(fù)有理數(shù)正整數(shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)可以寫成正分?jǐn)?shù)形式的數(shù)可以寫成負(fù)分?jǐn)?shù)形式的數(shù)3.各類數(shù)的含義：名稱描述名稱描述正整數(shù)大于0的整數(shù)負(fù)整數(shù)小于0的整數(shù)正分?jǐn)?shù)大于0的分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)小于0的分?jǐn)?shù)非負(fù)數(shù)正數(shù)和0非正數(shù)負(fù)數(shù)和0非正整數(shù)負(fù)整數(shù)和0非負(fù)整數(shù)正整數(shù)和0知識(shí)點(diǎn)4數(shù)軸

定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫作數(shù)軸，它滿足以下條件：（1）在直線上任取一個(gè)點(diǎn)表示數(shù)0，這個(gè)點(diǎn)叫作原點(diǎn)；（2）通常規(guī)定直線上從原點(diǎn)向右（或上）為正方向，從原點(diǎn)向左（或下）為負(fù)方向；（3）選取適當(dāng)?shù)拈L度為單位長度，直線上從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長度取一個(gè)點(diǎn)，依次表示1，2，3，?；從原點(diǎn)向左，用類似的方法依次表示-1，-2，-3，?．知識(shí)點(diǎn)5數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)之間的關(guān)系1.每個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一點(diǎn)來表示，也可以說，每個(gè)有理數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的一點(diǎn)．2.一般地，設(shè)a是一個(gè)正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)在數(shù)軸的正半軸上，與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長度；表示數(shù)-a的點(diǎn)在數(shù)軸的負(fù)半軸上，與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長度知識(shí)點(diǎn)6相反數(shù)1.相反數(shù)的定義：像3和-3，12和-12.相反數(shù)的表示方法：一般地，a和-a互為相反數(shù)．這里，a表示任意一個(gè)數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)，也可以是0例如：當(dāng)a=1時(shí)，-a=-1，1的相反數(shù)是-1，同時(shí)，特別地，0的相反數(shù)是0.3.相反數(shù)的幾何意義：到數(shù)軸原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．4.求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)：在任意一個(gè)數(shù)前面添上“-”號(hào)，新的數(shù)就表示原數(shù)的相反數(shù)．5.多重符號(hào)的化簡：與“+”號(hào)個(gè)數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個(gè)“-”號(hào)，結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個(gè)“-”號(hào)，結(jié)果為正．知識(shí)點(diǎn)7絕對(duì)值1.定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫作數(shù)a的絕對(duì)值，記作a．2.絕對(duì)值的判斷：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0．即如果a>0,那么a=a；如果a=0，那么a=3.絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用：根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為0”，即若a+b=0，則a知識(shí)點(diǎn)8有理數(shù)的大小比較1.利用數(shù)軸比較大?。涸谒降臄?shù)軸上表示有理數(shù)，它們從左到右的順序，就是從小到大的順序，即左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)．2.利用有理數(shù)的分類比較大小：一般地，正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小．3.作差法:若兩數(shù)分別為a，b，a-b>0，則a>b；若a-b<0知識(shí)點(diǎn)9有理數(shù)加法法則同號(hào)兩數(shù)相加和取相同的符號(hào)，且和的絕對(duì)值等于加數(shù)的絕對(duì)值的和異號(hào)兩數(shù)相加絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，和取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，且和的絕對(duì)值等于加數(shù)的絕對(duì)值中較大者與較小者的差互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0a，b互為相反數(shù)，則a一個(gè)數(shù)與0相加仍得這個(gè)數(shù)0+知識(shí)點(diǎn)10有理數(shù)加法運(yùn)算律1.有理數(shù)的加法中，兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變．加法交換律：a+2.在有理數(shù)的加法中，三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變．加法結(jié)合律：(a知識(shí)點(diǎn)11有理數(shù)減法法則1.減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即a-2.有理數(shù)的減法是有理數(shù)的加法的逆運(yùn)算．3.減法轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，減數(shù)一定要改變符號(hào)．知識(shí)點(diǎn)12有理數(shù)加減混合運(yùn)算1.有理數(shù)加減混合運(yùn)算（1）先將加減法統(tǒng)一成加法，再運(yùn)用加法的交換律和結(jié)合律簡化運(yùn)算．（2）運(yùn)用加法交換律交換加數(shù)的位置時(shí)，要連同前面的符號(hào)一起交換．2.省略加號(hào)的和式及讀法：統(tǒng)一成加法運(yùn)算的算式，可以改寫成省略加號(hào)和括號(hào)的形式，這種形式的算式一般有兩種讀法．例如：-2-3+27-24，可讀作負(fù)2、負(fù)3、正27、負(fù)24的和，也可以讀作負(fù)2減3加27減243.有理數(shù)加減混合運(yùn)算的一般步驟方法一：減法轉(zhuǎn)化成加法方法二：省略括號(hào)法（1）減法變加法:a（1）省略括號(hào)（2）運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律將同號(hào)的數(shù)分別相加（2）同號(hào)的數(shù)相結(jié)合（3）按有理數(shù)加法法則計(jì)算（3）進(jìn)行加減運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)13有理數(shù)乘法法則1.正數(shù)乘正數(shù)，積為正數(shù)；正數(shù)乘負(fù)數(shù)，積為負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)乘正數(shù)，積為負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)，積為正數(shù)．積的絕對(duì)值等于各乘數(shù)的絕對(duì)值的積．2.兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，且積的絕對(duì)值等于乘數(shù)的絕對(duì)值的積；任何數(shù)與0相乘，都得0．3.有理數(shù)乘法法則也可以表示如下：設(shè)a，b為正有理數(shù)，c為任意有理數(shù)，則(+a(-a)×c×0=0，0知識(shí)點(diǎn)14倒數(shù)的概念與求法1.倒數(shù)的概念：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．即若a與b互為倒數(shù)，則a×2.倒數(shù)的求法類型方法真、假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)將分子分母交換位置非0整數(shù)的倒數(shù)整數(shù)作分母，1作分子小數(shù)的倒數(shù)對(duì)于可以除盡的數(shù)的倒數(shù)，可以用1除以這個(gè)數(shù)求倒數(shù)對(duì)于除不盡的數(shù)，轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)，再按照真、假分?jǐn)?shù)求倒數(shù)的方法來進(jìn)行帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，然后將分子分母調(diào)換位置知識(shí)點(diǎn)15有理數(shù)的乘法運(yùn)算律運(yùn)算律文字?jǐn)⑹鲇米帜副硎境朔ń粨Q律兩個(gè)數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置,積不變a乘法結(jié)合律三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不變(乘法分配率一個(gè)數(shù)與兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別與這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加a知識(shí)點(diǎn)16多個(gè)有理數(shù)相乘的符號(hào)法則1.幾個(gè)不為0的數(shù)相乘，負(fù)的乘數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積為2.幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有乘數(shù)為0，那么積為0．知識(shí)點(diǎn)17多個(gè)有理數(shù)相乘的符號(hào)法則1.有理數(shù)除法法則（1）除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．即a÷（2）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，且商的絕對(duì)值等于被除數(shù)的絕對(duì)值除以除數(shù)的絕對(duì)值的商．若ab>0，則ab>0；（3）0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0．2.有理數(shù)除法的兩個(gè)法則要根據(jù)具體情況靈活選用（1）對(duì)于除法的兩個(gè)法則，在計(jì)算時(shí)可根據(jù)具體情況選用，一般在不能整除的情況下選用法則（1）比較簡便，在能整除的情況下，選用法則（2）比較簡便．（2）如果被除數(shù)和除數(shù)都是整數(shù)，且不能整除，或者如果被除數(shù)和除數(shù)中有小數(shù)或分?jǐn)?shù)，一般選用法則（1)進(jìn)行計(jì)算．知識(shí)點(diǎn)18多個(gè)有理數(shù)相乘的符號(hào)法則有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算通常是先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后按照乘法法則，確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果．知識(shí)點(diǎn)19多個(gè)有理數(shù)相乘的符號(hào)法則有理數(shù)的四則運(yùn)算：先算乘除，后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的（先小括號(hào)，再中括號(hào)，最后大括號(hào)），同級(jí)運(yùn)算，按照從左往右的順序進(jìn)行計(jì)算．知識(shí)點(diǎn)20有理數(shù)的乘方1.一般地，n個(gè)相同的乘數(shù)ɑ相乘，即a?a·?·an個(gè)，記作an．a(chǎn)n冪底數(shù)指數(shù)2.an中，a叫作底數(shù)，n叫作指數(shù)，an讀作a的n次方（或a冪底數(shù)指數(shù)乘方運(yùn)算的結(jié)果及符號(hào)的規(guī)律知識(shí)點(diǎn)21有理數(shù)的混合運(yùn)算順序1.先乘方，再乘除，最后加減；2.同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；3.如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行．有理數(shù)運(yùn)算分三級(jí)，加減是第一級(jí)運(yùn)算，乘除是第二級(jí)運(yùn)算，乘方是第三級(jí)運(yùn)算．運(yùn)算順序是先算高級(jí)，再算低級(jí)；同級(jí)運(yùn)算按從左到右的順序進(jìn)行；對(duì)于含有多重括號(hào)的運(yùn)算，一般先算小括號(hào)內(nèi)的，再算中括號(hào)內(nèi)的，最后算大括號(hào)內(nèi)的．知識(shí)點(diǎn)22科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)大于10的數(shù)表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整數(shù)），這種記數(shù)方法叫作科學(xué)記數(shù)法．對(duì)于小于-10的數(shù)也可以類似表示．知識(shí)點(diǎn)23近似數(shù)1.接近實(shí)際數(shù)值的數(shù)，叫作近似數(shù)．2.近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度，我們用精確度來表示．3.一般地，一個(gè)近似數(shù)四舍五人到哪一位，就說這個(gè)數(shù)精確到哪一位．例如π≈3.14（精確到0.01，或叫作精確到百分位）【培優(yōu)篇】【題型1正負(fù)數(shù)的意義】【例1】（24-25六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）在-7，2.5，-0.5，0，+45中負(fù)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-1】（24-25七年級(jí)上·黑龍江綏化·階段練習(xí)）在13.9，-26，+13，0，-0.6，+45這些數(shù)中，正數(shù)有()，負(fù)數(shù)有【變式1-2】在地形圖上表示某地的高度時(shí)，需要以海平面為基準(zhǔn)（規(guī)定海平面的海拔為0m（1）珠穆朗瑪峰的海拔為8848.86m，它表示的含義是（2）吐魯番盆地的海拔為-155m，它表示的含義是【變式1-3】如圖所示的是圖紙上一個(gè)零件的標(biāo)注，現(xiàn)有下列直徑尺寸的產(chǎn)品（單位：mm），其中不合格的是（）A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm【題型2相反意義的量】【例2】（24-25七年級(jí)上·四川成都·期末）我國是最早使用負(fù)數(shù)的國家，東漢初我國著名的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》明確提出了“正負(fù)術(shù)”．如果盈利50元記作+50元，那么虧損100元記作（）A．-100元 B．100元 C．50元 D．-【變式2-1】（2025·湖南長沙·模擬預(yù)測）彈簧與單擺都是物理學(xué)中一個(gè)極具啟發(fā)性的基礎(chǔ)模型．在實(shí)際生活中，彈簧振子廣泛應(yīng)用于各種減震和避震系統(tǒng)，在車船、機(jī)床、建筑、民生乃至航天工業(yè)中都有重要的應(yīng)用．如圖是彈簧振子在工作時(shí)的狀態(tài)，若彈簧振子從自然狀態(tài)向右拉伸3?cm，記作+3?cm，則彈簧振子從自然狀態(tài)向左壓縮A．-5?cm B．-3?cm【變式2-2】（24-25七年級(jí)上·浙江杭州·期末）地球上海拔最高的地點(diǎn)是珠穆朗瑪峰，其海拔高于海平面8848.86米，記作+8848.86米，則地球上海拔最低的地點(diǎn)是我國新疆吐魯番盆地的艾丁湖，其海拔低于海平面154米，記作米．【變式2-3】（24-25七年級(jí)上·廣東茂名·期中）某地提倡“節(jié)約用水，保護(hù)環(huán)境”，如果節(jié)約30L的水記為+30L，那么浪費(fèi)10L的水記為【題型3有理數(shù)的概念及分類】【例3】（2025·貴州貴陽·二模）我國古代用算籌記數(shù)，表示數(shù)的方式有縱、橫兩種（如圖），記數(shù)規(guī)則為：個(gè)位、百位、萬位數(shù)用縱式表示；十位、千位數(shù)用橫式表示；“0”用空位來代替．發(fā)現(xiàn)負(fù)數(shù)后，數(shù)學(xué)家還創(chuàng)造了在這個(gè)數(shù)的最后一個(gè)碼上加一斜杠表示負(fù)數(shù)．如算籌“”表示的數(shù)為-248，則算籌“”表示的數(shù)為（

）A．6037 B．-6037 C．637 D．【變式3-1】下列說法正確的是（

）A．一個(gè)有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)B．一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)C．有理數(shù)是指整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和0這五類D．負(fù)有理數(shù)既是分?jǐn)?shù)，又是負(fù)數(shù)【變式3-2】（24-25七年級(jí)上·江蘇連云港·期中）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號(hào)里，并用“<”把這些數(shù)連接起來．27%，-2.5，13，2024，-(1)負(fù)整數(shù)｛__________…｝(2)正分?jǐn)?shù)｛__________…｝(3)非負(fù)數(shù)｛__________…｝(4)負(fù)有理數(shù)｛__________…｝(5)用“<”把這些數(shù)連接起來為：__________________．【變式3-3】閱讀以下材料：如果一個(gè)無限小數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字，從小數(shù)部分的某一位起，按一定順序不斷重復(fù)出現(xiàn)，那么這樣的小數(shù)叫做無限循環(huán)小數(shù)，簡稱循環(huán)小數(shù)，其中重復(fù)出現(xiàn)的一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字叫做它的一個(gè)循環(huán)節(jié)．例如0.666…的循環(huán)節(jié)是“6”，它可以寫作0.6，像這樣的循環(huán)小數(shù)稱為純循環(huán)小數(shù)．又如0.1333…、0.2456456456…的循環(huán)節(jié)是“3”“456”，它們可以寫作0.13、閱讀材料回答下列問題：（1）0.123是循環(huán)小數(shù)（填“純”或“（2）0.24的循環(huán)節(jié)是【題型4數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)之間的關(guān)系】【例4】（24-25七年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，數(shù)軸上每個(gè)刻度為1個(gè)單位長度上點(diǎn)A表示的數(shù)是-3(1)在數(shù)軸上標(biāo)出原點(diǎn)，并指出點(diǎn)B所表示的數(shù)是______．(2)在數(shù)軸上找一點(diǎn)C，使它與點(diǎn)B的距離為2個(gè)單位長度，那么點(diǎn)C表示的數(shù)為______．【變式4-1】（24-25七年級(jí)下·浙江杭州·開學(xué)考試）下圖中，如果A點(diǎn)表示0，E點(diǎn)表示1，則G點(diǎn)表示；如果D點(diǎn)表示0，G點(diǎn)表示1，則A點(diǎn)表示．【變式4-2】（24-25七年級(jí)上·福建福州·期中）已知P是數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，把P向左移動(dòng)4個(gè)單位后，這時(shí)它到原點(diǎn)的距離是5個(gè)單位，則P點(diǎn)表示的數(shù)是．【變式4-3】（24-25七年級(jí)上·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，把周長為3個(gè)單位長度的圓放到數(shù)軸（單位長度為1）上，A，B，C三點(diǎn)將圓三等分，將點(diǎn)A與數(shù)軸上表示1的點(diǎn)重合，然后將圓沿著數(shù)軸正方向滾動(dòng)，依次為點(diǎn)B與數(shù)軸上表示2的點(diǎn)重合，點(diǎn)C與數(shù)軸上表示3的點(diǎn)重合，點(diǎn)A與數(shù)軸上表示4的點(diǎn)重合，．．．，若當(dāng)圓停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)B正好落到數(shù)軸上，則點(diǎn)A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【題型5相反數(shù)】【例5】（2025·湖北孝感·模擬預(yù)測）請(qǐng)寫出一個(gè)其相反數(shù)是負(fù)數(shù)的數(shù)為．【變式5-1】（24-25七年級(jí)上·廣東深圳·期末）-12025的相反數(shù)是【變式5-2】（24-25七年級(jí)上·山東威?！て谀┤鐖D，a，b，c，d四個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，請(qǐng)將-a，-b，-c，-【變式5-3】（2025·陜西延安·二模）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，B表示的數(shù)互為相反數(shù)，該數(shù)軸的單位長度是1，則點(diǎn)C表示的數(shù)是．【題型6絕對(duì)值】【例6】（24-25七年級(jí)上·天津·階段練習(xí)）下列說法：①若a>b，則a<b；②若-a>-b，則a<b；③若a>b，則A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式6-1】絕對(duì)值小于6的整數(shù)有個(gè)，它們分別是；絕對(duì)值大于3且小于6的整數(shù)是．【變式6-2】寫出一個(gè)絕對(duì)值小于4的負(fù)數(shù)．（寫出一個(gè)即可）【變式6-3】按規(guī)定，食品包裝袋上都應(yīng)標(biāo)明袋內(nèi)裝有食品多少克，下表是幾種餅干的檢驗(yàn)結(jié)果，“+、-”分別表示比標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量多、少，用絕對(duì)值判斷最符合標(biāo)準(zhǔn)的一種食品是餅干．威化咸味甜味酥脆+4-+2-【題型7有理數(shù)的大小比較】【例7】（24-25七年級(jí)上·陜西渭南·期末）在4，-5，1，-2四個(gè)有理數(shù)中，比-7A．4 B．-5 C．1 D．【變式7-1】（24-25七年級(jí)上·山西大同·階段練習(xí)）比大?。?-9，-45-34【變式7-2】比較-20222023，-2223，【變式7-3】（24-25七年級(jí)上·山東菏澤·期中）如圖，數(shù)軸上每個(gè)刻度為1個(gè)單位長度上點(diǎn)A表示的數(shù)是-3(1)在數(shù)軸上標(biāo)出原點(diǎn)，并指出點(diǎn)B所表示的數(shù)是；(2)把這些數(shù)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來：0,112,-3,-(-5),--2【題型8有理數(shù)的加法與減法】【例8】12+14+A．164 B．1128 C．1256【變式8-1】（24-25七年級(jí)上·浙江杭州·期中）若x>0，y<0，x+A．y<-x<-C．-x<y【變式8-2】（24-25七年級(jí)上·全國·期末）根據(jù)圖中程序計(jì)算，若輸入的數(shù)是-9A．-4 B．-1 C．1 D【變式8-3】有一列數(shù)：-2011,-2004,-1997,-1990,?，它們按一定的規(guī)律排列，那么這列數(shù)的前（

A．288 B．289 C．290 D．292【題型9有理數(shù)的乘法與除法】【例9】（24-25七年級(jí)上·重慶·期中）如圖所示，周長為4的圓沿著數(shù)軸無滑動(dòng)地順時(shí)針滾動(dòng)．開始時(shí)，圓上一點(diǎn)A落在數(shù)軸上，滾動(dòng)一圈后，點(diǎn)A落到了數(shù)軸上點(diǎn)A'處，且A'對(duì)應(yīng)數(shù)為1；滾動(dòng)若干圈后，當(dāng)圓上點(diǎn)A恰好落在數(shù)軸上，且它對(duì)應(yīng)的數(shù)為A．2圈 B．3圈 C．4圈 D．5圈【變式9-1】（24-25七年級(jí)上·河北保定·期末）下列各式中，運(yùn)用運(yùn)算律不正確的是（）A．-B．-C．-D．-【變式9-2】如圖，階梯圖的每個(gè)臺(tái)階上都標(biāo)著一個(gè)數(shù)，從下到上的第1個(gè)至第3個(gè)臺(tái)階上依次標(biāo)著-2,-1,-結(jié)論Ⅰ：從下到上前2022個(gè)臺(tái)階上的數(shù)的積是-1結(jié)論Ⅱ：數(shù)“-12”所在的臺(tái)階數(shù)用正整數(shù)kA．Ⅰ對(duì)Ⅱ錯(cuò) B．Ⅰ錯(cuò)Ⅱ?qū)?C．Ⅰ和Ⅱ都對(duì) D．Ⅰ和Ⅱ都錯(cuò)【變式9-3】如圖是一個(gè)計(jì)算程序框圖，若輸入的x值為-4

A．-3 B．-32 C．3【題型10倒數(shù)】【例10】（24-25七年級(jí)上·廣西桂林·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)老師熊老師在課堂上布置了一道思考題“計(jì)算-112原式的倒數(shù)為13-5(1)根據(jù)倒數(shù)的定義我們知道，若a÷c=-11(2)請(qǐng)你運(yùn)用小雷同學(xué)的解法解答下面的問題：計(jì)算：-1【變式10-1】（24-25七年級(jí)上·四川瀘州·階段練習(xí)）學(xué)完《有理數(shù)》之后，甲同學(xué)對(duì)乙同學(xué)說：“a為最小的正整數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c是倒數(shù)等于自身的有理數(shù)，你知道a+b+c等于多少？A．0 B．-1 C．1或-1 D．1【變式10-2】若兩個(gè)數(shù)的積為-1，我們稱它們互為負(fù)倒數(shù)，則3的負(fù)倒數(shù)是【變式10-3】（24-25七年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）若x個(gè)互不相等的正整數(shù)的倒數(shù)和等于1314，那么x的最小值為【題型11有理數(shù)的乘方】【例11】《莊子·天下篇》講到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”意思是說一尺長的木棍，每天截取它的一半，千秋萬代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩12尺，兩天之后剩14尺，那么五天之后，這個(gè)“一尺之棰”還剩（A．14尺 B．18尺 C．116尺 D【變式11-1】計(jì)算：(-4)2021×【變式11-2】有下列各數(shù)：①-12；②-(-1)2；③-13；④A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【變式11-3】（24-25七年級(jí)下·陜西西安·開學(xué)考試）我國古代《易經(jīng)》中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)，由圖可知、孩子自出生后的天數(shù)是（

）A．41 B．65 C．167 D．181【題型12科學(xué)記數(shù)法】【例12】（2025·四川廣元·中考真題）2025年5月29日1時(shí)31分，西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號(hào)乙運(yùn)載火箭發(fā)射天問二號(hào)探測器取得圓滿成功．此次發(fā)射任務(wù)，火箭的入軌速度要達(dá)到11.2千米/秒，用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)速度為米/秒．【變式12-1】（2025·天津南開·三模）2021年我國發(fā)布的《中國應(yīng)對(duì)氣候變化的政策與行動(dòng)》白皮書指出，2020年我國碳排放強(qiáng)度（單位國內(nèi)生產(chǎn)總值二氧化碳排放）比2015年下降18.8%，比2005年下降48.4%，超額完成了我國向國際社會(huì)承諾的“到2020年下降40%~45%”的目標(biāo)，累計(jì)少排放二氧化碳約58億噸，基本扭轉(zhuǎn)了二氧化碳排放快速增長的局面．其中數(shù)據(jù)58億用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為5.8×109，則數(shù)據(jù)5.8×10A．58000000 B．580000000 C．5800000000 D．58000000000【變式12-2】（2025·河北邯鄲·模擬預(yù)測）由DeepSeek開發(fā)的人工智能助手在全球范圍內(nèi)掀起了一股熱潮，據(jù)國內(nèi)AI產(chǎn)品榜統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，這款推理型AI聊天機(jī)器人在上線僅20天后，其日活躍用戶數(shù)達(dá)2215萬．下列說法正確的是（

）A．2215萬＝2.215×106 B．2215C．2215萬是一個(gè)七位數(shù) D．2215萬寫成221500…0的個(gè)數(shù)為4【變式12-3】如表所示的是琳琳作業(yè)中的一道題目，“”處都是0但發(fā)生破損，琳琳查閱后發(fā)現(xiàn)本題答案為1，則破損處“0”的個(gè)數(shù)為（

）已知：60=a×10nA．4 B．5 C．6 D．7【題型13近似數(shù)】【例13】（24-25七年級(jí)上·河南鄭州·開學(xué)考試）[四舍五入]截至2023年1月21日11點(diǎn)，2023河南春晚全網(wǎng)閱讀量約127億．如果這個(gè)閱讀量是一個(gè)兩位小數(shù)，那么這個(gè)兩位小數(shù)最大是，最小是．【變式13-1】（24-25七年級(jí)上·河南駐馬店·期末）近似數(shù)1.50是由數(shù)a四舍五入得到的，那么數(shù)a的取值范圍是（

）A．1.45<a<1.55 BC．1.495≤a<1.505 D【變式13-2】（24-25七年級(jí)上·廣東東莞·期末）47.13≈（精確到0.1）．【變式13-3】（24-25八年級(jí)上·河北石家莊·期末）某種鯨的體重約為1.4×105kg【拔尖篇】【題型14正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】【例14】（24-25七年級(jí)上·甘肅隴南·期中）在活動(dòng)課上，有5名學(xué)生用橡皮泥做了5個(gè)實(shí)心球，直徑可以有±0.02毫米的誤差，超過規(guī)定直徑的毫米數(shù)記作正數(shù)，不足的記作負(fù)數(shù)，檢查結(jié)果如表：做實(shí)心球的同學(xué)李明張兵王敏余佳蔡偉檢測結(jié)果+0.031-+0.023--(1)請(qǐng)你指出哪些同學(xué)做的實(shí)心球是合乎要求的？(2)哪個(gè)同學(xué)做的質(zhì)量最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量？【變式14-1】（24-25七年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期中）近日，某社區(qū)針對(duì)老年人舉辦了“老年智能手機(jī)課堂”，該社區(qū)的王奶奶學(xué)會(huì)了使用智能手機(jī)，并參與了手機(jī)支付的消費(fèi)體驗(yàn)．下表是王奶奶連續(xù)五筆交易的賬單，則這五筆交易中支出最多的是4月日．支付賬單日期交易明細(xì)4.10買菜￥-36.004.11轉(zhuǎn)賬收入￥+300.004.12乘坐公交車￥-2.004.13日常用品￥-75.004.14衣物￥-99.00【變式14-2】（24-25七年級(jí)上·安徽宿州·階段練習(xí)）在一次體檢過程中，七（3）班班長記錄了該班6名學(xué)生的視力情況，若每名學(xué)生的視力以5.0為標(biāo)準(zhǔn)，大于5.0的記為正數(shù)，小于5.0的記為負(fù)數(shù)，記錄數(shù)據(jù)如下：學(xué)生小明小穎小夢小璐小杰小萌視力+0.1-0(1)這6名學(xué)生中哪名學(xué)生的視力最差？用學(xué)過的知識(shí)說明理由；(2)若規(guī)定與標(biāo)準(zhǔn)視力相差大于0.2需要配戴眼鏡，則6名學(xué)生中有幾人需要配戴眼鏡？【變式14-3】（24-25七年級(jí)上·貴州黔東南·階段練習(xí)）一種實(shí)驗(yàn)器材的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量是15g，質(zhì)檢員抽查了7件樣品的質(zhì)量，把超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，結(jié)果記錄如下表．序號(hào)1234567與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差/g-+0.8+0.9--+0.2+0.6(1)哪件實(shí)驗(yàn)器材的質(zhì)量最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量？(2)如果規(guī)定誤差的絕對(duì)值在0.8g（含0.8g）之內(nèi)是合格品；誤差的絕對(duì)值在0.8g～1.0g（含1.0g）之間的是次品；誤差的絕對(duì)值超過【題型15數(shù)軸上整點(diǎn)問題】【例15】若在單位長度1cm的數(shù)軸上隨意畫出一條長100cm的線段AB，則線段AB蓋住的整數(shù)點(diǎn)至少有(A．9個(gè) B．10個(gè) C．100個(gè) D．101個(gè)【變式15-1】（24-25七年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）數(shù)軸上表示-2.5與94的兩點(diǎn)之間，表示整數(shù)點(diǎn)的有（A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【變式15-2】如圖，數(shù)軸上被遮擋的整數(shù)是（

）A．-3 B．-1 C．-4【變式15-3】（24-25七年級(jí)上·河南南陽·期中）小宇不小心將墨水滴在了數(shù)軸上，使部分?jǐn)?shù)軸被墨跡遮蓋，則被遮蓋的部分中表示整數(shù)的點(diǎn)有（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【題型16利用相反數(shù)化簡多重符號(hào)】【例16】（24-25七年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）化簡下列各式的符號(hào)，并回答問題：①-(-2)；②+-18；③-[-(-4)]；④問：（1）當(dāng)+5前面有2024個(gè)負(fù)號(hào)時(shí)，化簡后的結(jié)果是多少？（2）當(dāng)-5前面有2025【變式16-1】化簡【變式16-2】（24-25七年級(jí)上·河南駐馬店·期中）下列各數(shù)：+-1，-+-5，--3A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式16-3】若b為-3，則-+-【題型17絕對(duì)值的非負(fù)性】【例17】（24-25七年級(jí)上·甘肅張掖·階段練習(xí)）若|-a|=-a，則aA．3 B．0 C．-5 D．【變式17-1】若a-1與b-A．3 B．-3 C．0 D．3或【變式17-2】如果x為有理數(shù)，式子2026-x-2026A．2026 B．4049 C．20 D．0【變式17-3】（24-25七年級(jí)上·重慶·期中）若M=x+2+3，A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，1【題型18有理數(shù)大小比較的實(shí)際應(yīng)用】【例18】正式排球比賽對(duì)所使用的排球的質(zhì)量是有嚴(yán)格規(guī)定的，檢查5個(gè)排球的質(zhì)量，超過規(guī)定質(zhì)量的克數(shù)記作正數(shù)，不足規(guī)定質(zhì)量的克數(shù)記作負(fù)數(shù)，檢查結(jié)果如下表（單位：克）：1號(hào)球2號(hào)球3號(hào)球4號(hào)球5號(hào)球+10-+25--哪一個(gè)排球質(zhì)量最接近規(guī)定質(zhì)量？用絕對(duì)值知識(shí)來說明．【變式18-1】黨和國家非常重視青少年的身心健康，采取多種舉措增強(qiáng)青少年體質(zhì)．有數(shù)據(jù)顯示，近幾年，青少年身體健康狀況有一定提升，但肥胖問題仍不容忽視．一種少年兒童的標(biāo)準(zhǔn)體重(單位：kg)的計(jì)算方式為：標(biāo)準(zhǔn)體重=(年齡×7-5)÷2．下表是七年級(jí)某小組7位同學(xué)的體重情況，其中超出標(biāo)準(zhǔn)體重的千克數(shù)記為正數(shù)，少于標(biāo)準(zhǔn)體重的千克數(shù)記為負(fù)數(shù)．編號(hào)1234567體重情況-+5.7+2.2--+9.2+0.8(1)超出標(biāo)準(zhǔn)體重的同學(xué)有

位．(2)哪位同學(xué)的體重最符合這種標(biāo)準(zhǔn)體重？(3)我們可以用標(biāo)準(zhǔn)體重法來判斷是否肥胖．少年兒童：肥胖程度(%)=實(shí)際體重一般地，肥胖程度20%～30%為輕度肥胖；肥胖程度30%～6號(hào)同學(xué)今年12歲，請(qǐng)你判斷一下他屬于哪一類的肥胖．【變式18-2】在活動(dòng)課上，6名同學(xué)用橡皮泥各做了1個(gè)乒乓球，直徑可以有0.02毫米的誤差，超過規(guī)定直徑的毫米數(shù)記作正數(shù)，不足的記作負(fù)數(shù)，檢查結(jié)果如下表所示：做乒乓球的同學(xué)李明張兵王敏余佳趙平蔡偉檢查結(jié)果+0.031-+0.023-+0.022-(1)哪些同學(xué)做的乒乓球是符合要求的？(2)在符合要求的乒乓球中，哪名同學(xué)做的質(zhì)量最好？這6名同學(xué)中，哪名同學(xué)做的質(zhì)量最差？(3)請(qǐng)你對(duì)這6名同學(xué)按照做的乒乓球質(zhì)量從最好到最差排名；(4)請(qǐng)你用學(xué)過的絕對(duì)值知識(shí)來說明解答以上問題的依據(jù)．【變式18-3】已知零件的標(biāo)準(zhǔn)直徑是100?mm，超過標(biāo)準(zhǔn)直徑長度的數(shù)量(mm)記作正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)直徑長度的數(shù)量(mm)記作負(fù)數(shù)，檢驗(yàn)員某次抽查了5件樣品，檢查結(jié)果如下表：樣品編號(hào)12345偏差/mm+0.1-+0.2-+0.25(1)指出哪件樣品的大小最符合要求．(2)如果規(guī)定誤差的絕對(duì)值在0.18?mm之內(nèi)的是正品，誤差的絕對(duì)值在0.18?mm～0.22?mm之間的是次品，誤差的絕對(duì)值超過0.22?mm的是廢品，那么這【題型19絕對(duì)值與乘方的非負(fù)性】【例19】已知a-2+-3+b2A．1225 B．1325 C．4994【變式19-1】已知（x+1）2A．-1 B．1 C．2022 D．1【變式19-2】當(dāng)式子x+32+y【變式19-3】已知x-52+y【題型20絕對(duì)值中的分類討論及最值問題】【例20】有理數(shù)a，b，c都不為零，且a+b+c【變式20-1】若x+a+x+1的最小值為3【變式20-2】（24-25七年級(jí)上·廣東廣州·期中）數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形進(jìn)行完美地結(jié)合，研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了很多重要的規(guī)律，如果數(shù)軸上點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，那么A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB=a-b．例如數(shù)軸上表示4和-(1)已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為-3，點(diǎn)B表示數(shù)為2，則線段AB的長度是______(2)x表示任意一個(gè)有理數(shù)，利用數(shù)軸回答下列問題：①若x+3+x-2=7，求x的值；【變式20-3】已知整數(shù)a，b，c，且c<0，滿足a+10b2-【題型21結(jié)合倒數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值等的計(jì)算】【例21】（24-25七年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）已知x，y互為相反數(shù)且均不為0，a和b互為倒數(shù)，m=-2，那么代數(shù)式x【變式21-1】（24-25七年級(jí)上·北京東城·期中）若a，b互為倒數(shù)，c，d互為相反數(shù)，m=1，則ab-2024【變式21-2】（24-25七年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知有理數(shù)a、b互為相反數(shù)且a≠0，c，d互為倒數(shù)，數(shù)軸上表示有理數(shù)m和-2的兩個(gè)點(diǎn)相距3個(gè)單位長度，求【變式21-3】（24-25七年級(jí)上·四川宜賓·期中）對(duì)于有理數(shù)a、b，定義運(yùn)算：a?(1)填空：3?-2________-2?3（填“>”“<”(2)若m與-15互為倒數(shù)，n與-4(3)求2?-【題型22結(jié)合數(shù)軸判斷結(jié)論正誤】【例22】有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．b2是小于1的正數(shù) B．C．b-a<0【變式22-1】有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)-b<C．b<a+【變式22-2】（24-25七年級(jí)上·陜西延安·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A和B表示的數(shù)分別為a和b，下列式子中錯(cuò)誤的是（

）A．-a>-b B．a(chǎn)+b>0【變式22-3】（24-25七年級(jí)上·陜西西安·期末）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C分別表示數(shù)a，b，c給出下列結(jié)論：①a+b>0；②abc<0；③a-A．①② B．①③ C．②③ D．②③④【題型23有理數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】【例23】（24-25七年級(jí)上·遼寧盤錦·期末）根據(jù)國家衛(wèi)健委發(fā)布的《兒童青少年近視防控適宜技術(shù)指南》，建議中學(xué)生使用電子產(chǎn)品的時(shí)間不超過2小時(shí)，某校想了解該校學(xué)生每天使用電子產(chǎn)品的時(shí)間情況，特制作了調(diào)查表進(jìn)行調(diào)查，下表是該校某學(xué)生某周每天使用電子產(chǎn)品的時(shí)間情況（標(biāo)準(zhǔn)使用時(shí)間為每天2小時(shí)，超過記為正、不超過記為負(fù)）；星期一二三四五六七增減321-0.5-1.556(1)該生周三使用電子產(chǎn)品用了多少個(gè)小時(shí)?(2)該生使用電子產(chǎn)品的時(shí)間最多的一天比時(shí)間最少的一天多多少小時(shí)?(3)該生這一周使用電子產(chǎn)品共用了多少小時(shí)?【變式23-1】（24-25七年級(jí)上·福建泉州·期末）小明與同學(xué)約定好在距家6千米的公園聚會(huì)，可供小明選擇的出行方式如下表所示，其中從小明家往公園方向0.5千米處有公交專線直達(dá)公園．出行方式等待上車時(shí)間（分鐘）速度（千米/小時(shí)）費(fèi)用出租車230不超過3千米超過3千米部分10元里程費(fèi)：2元/千米時(shí)長費(fèi)：0.5元/分鐘公交專線320票價(jià)共3元便民自行車015每15分鐘1元，不足15分鐘按15分鐘計(jì)算步行050元(1)若小明乘坐公交專線前往，則小明需要花費(fèi)的時(shí)間為多少分鐘？(2)下午5∶35同學(xué)聚會(huì)結(jié)束，小明想利用剩余的14元，并在下午6∶00前到家；①若小明選擇乘坐出租車，則小明能否按照計(jì)劃到家并支付費(fèi)用？若能，請(qǐng)計(jì)算出所需要的費(fèi)用和到家的時(shí)間，若不能，請(qǐng)說明理由；②請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)一種用時(shí)最短的返程方案，并計(jì)算出所需要的費(fèi)用和到家時(shí)間．【變式23-2】（24-25九年級(jí)下·北京西城·開學(xué)考試）學(xué)校組織了一次文藝匯演，有四個(gè)節(jié)目需要彩排，分別是A、B、C、D．所有演員到場后節(jié)目彩排開始，一個(gè)節(jié)目彩排完畢，下一個(gè)節(jié)目彩排立即開始，每個(gè)節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時(shí)長（單位：分鐘）如下：節(jié)目ABCD演員人數(shù)85123彩排時(shí)長20152510已知每位演員只參演一個(gè)節(jié)目，一位演員的候場時(shí)間是指從第一個(gè)彩排的節(jié)目彩排開始到這位演員參演的節(jié)目彩排開始的時(shí)間間隔（不考慮換場時(shí)間等其他因素）．若節(jié)目按“A-B-C-D”的先后順序彩排，則節(jié)目D的演員的候場時(shí)間為【變式23-3】（24-25六年級(jí)下·上海虹口·期中）小紅家需要購一臺(tái)冰箱、一臺(tái)洗衣機(jī)和一臺(tái)微波爐，請(qǐng)你來給他們當(dāng)消費(fèi)顧問，幫他們做出選擇．信息一、財(cái)聯(lián)社1月19日電，據(jù)“上海商務(wù)”官方公眾號(hào)，上海進(jìn)一步做好國家家電以舊換新補(bǔ)貼工作．2025年1月20日起，對(duì)購買二級(jí)能效電器給與15%補(bǔ)貼（不超過1500元），對(duì)購買一級(jí)能效電器給與20%的補(bǔ)貼（不超過信息二、小紅家在某商店已經(jīng)看中三種商品各有兩個(gè)不同型號(hào)（見表），另