第28頁（共28頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷常考題之導(dǎo)數(shù)的概念及其意義一．選擇題（共6小題）1．計(jì)算limΔxA．4 B．6 C．8 D．102．若函數(shù)f(x)=a2x2+blnx的圖象在點(diǎn)M（1，1）處的切線與直線2xA．-254 B．0 C．254 3．已知函數(shù)f（x）在R上的部分圖象如圖所示，則下列不等式正確的是（）A．f′（1）＞f′（2） B．f′（1）＜f′（2） C．f′（1）＝f′（2） D．f′（1）+f′（2）＜04．已知函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象如圖所示，那么下列說法正確的是（）A．f（x）在a到b之間的平均變化率大于g（x）在a到b之間的平均變化率 B．f（x）在a到b之間的平均變化率小于g（x）在a到b之間的平均變化率 C．對于任意x0∈（a，b），函數(shù)f（x）在x＝x0處的瞬時(shí)變化率總大于函數(shù)g（x）在x＝x0處的瞬時(shí)變化率 D．存在x0∈（a，b），使得函數(shù)f（x）在x＝x0處的瞬時(shí)變化率小于函數(shù)g（x）在x＝x0處的瞬時(shí)變化率5．已知曲線f（x）=12x2﹣2上一點(diǎn)（1，y0），記f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，則f（1）+f′（A．32 B．-32 C．126．已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為S＝2t2﹣t，其中S的單位是m，t的單位是s，則該質(zhì)點(diǎn)在4s末的瞬時(shí)速度為（）A．16m/s B．15m/s C．12m/s D．8m/s二．多選題（共3小題）（多選）7．（多選）已知函數(shù)y＝f（x），x∈[a，d]的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A．[a，b]是函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間 B．[b，c]是函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間 C．函數(shù)f（x）在[a，b]∪[c，d]上單調(diào)遞增 D．函數(shù)f（x）在[b，0）∪（0，c]上單調(diào)遞減（多選）8．一個(gè)質(zhì)量為4kg的物體做直線運(yùn)動，該物體的位移y（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為y(t)=13t3-2t2+5t+1，且A．該物體瞬時(shí)速度的最小值為1m/s B．該物體瞬時(shí)速度的最小值為1.5m/s C．該物體在第1秒末的動能為10J D．該物體在第1秒末的動能為8J（多選）9．設(shè)f（x）在x0處可導(dǎo)，下列式子中與f′（x0）相等的是（）A．limΔxB．limΔxC．limΔxD．lim三．填空題（共4小題）10．已知函數(shù)f（x）＝lnx+ex，則limΔx→0f(1+Δx)-11．某高臺跳水運(yùn)動員在運(yùn)動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與跳起后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h（t）＝﹣4.9t2+4.8t+11，h（t）的圖象如圖所示，已知曲線h（t）在t＝t0處的切線l0平行于t軸，根據(jù)圖象，給出下列四個(gè)結(jié)論：①在t＝t0時(shí)高度h關(guān)于時(shí)間t的瞬時(shí)變化率為0；②曲線h（t）在t＝t2附近比在t＝t1附近下降得慢；③曲線h（t）在t＝t3附近比在t＝t4附近上升得快，其中所有正確結(jié)論的序號是．12．一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為s＝2t2+3（s的單位：m，t的單位：s），則該質(zhì)點(diǎn)在t＝3時(shí)的瞬時(shí)速度為．13．已知直線y＝kx+1與曲線f(x)=exx+1相切，則實(shí)數(shù)四．解答題（共2小題）14．對于三次函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）．定義：（1）f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）（也叫f（x）一階導(dǎo)數(shù)）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）為f（x）的二階導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）＝0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)（x0，f（x0））為函數(shù)y＝f（x）的“拐點(diǎn)”；定義：（2）設(shè)x0為常數(shù)，若定義在R上的函數(shù)y＝f（x）對于定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，都有f（x0+x）+f（x0﹣x）＝2f（x0）恒成立，則函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（x0，f（x0））對稱．（1）已知f（x）＝x3﹣3x2+2x+2，求函數(shù)f（x）的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo)；（2）檢驗(yàn)（1）中的函數(shù)f（x）的圖象是否關(guān)于“拐點(diǎn)”A對稱；（3）對于任意的三次函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）寫出一個(gè)有關(guān)“拐點(diǎn)”的結(jié)論（不必證明）．15．已知函數(shù)f(x)=2alnx+x-1x+1的圖象在x＝1（1）求a的值；（2）求不等式f（x2﹣1）＜f（5x﹣7）的解集．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷?？碱}之導(dǎo)數(shù)的概念及其意義參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號123456答案ACBDDB二．多選題（共3小題）題號789答案ABDADAC一．選擇題（共6小題）1．計(jì)算limΔxA．4 B．6 C．8 D．10【考點(diǎn)】含Δx表達(dá)式的極限計(jì)算與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】令f（x）＝x2，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念，可求解．【解答】解：設(shè)函數(shù)f（x）＝x2，f′（x）＝2x，故limΔx→0(2+Δx)2-22Δx即limΔx→0故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題．2．若函數(shù)f(x)=a2x2+blnx的圖象在點(diǎn)M（1，1）處的切線與直線2xA．-254 B．0 C．254 【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)與切線的斜率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】函數(shù)求導(dǎo)得f'(x)=ax+b【解答】解：由題可得：f'依題意，有f(1)=a2則ba故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)知識的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．已知函數(shù)f（x）在R上的部分圖象如圖所示，則下列不等式正確的是（）A．f′（1）＞f′（2） B．f′（1）＜f′（2） C．f′（1）＝f′（2） D．f′（1）+f′（2）＜0【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)及其幾何意義．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解．【解答】解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f'（x）表示函數(shù)f（x）在x處切線的斜率，觀察圖像可知，函數(shù)圖像從左到右上升，且切線斜率逐漸增大，因此，x＝2處的切線斜率大于x＝1處的切線斜率，即f'（1）＜f'（2），故B正確，A，C錯(cuò)誤；f'（1）和f'（2）均為正，其和大于0，D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．4．已知函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象如圖所示，那么下列說法正確的是（）A．f（x）在a到b之間的平均變化率大于g（x）在a到b之間的平均變化率 B．f（x）在a到b之間的平均變化率小于g（x）在a到b之間的平均變化率 C．對于任意x0∈（a，b），函數(shù)f（x）在x＝x0處的瞬時(shí)變化率總大于函數(shù)g（x）在x＝x0處的瞬時(shí)變化率 D．存在x0∈（a，b），使得函數(shù)f（x）在x＝x0處的瞬時(shí)變化率小于函數(shù)g（x）在x＝x0處的瞬時(shí)變化率【考點(diǎn)】變化的快慢與變化率．【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【答案】D【分析】由函數(shù)在某一區(qū)間上的平均變化率的定義，可以判定選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；由函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)在該點(diǎn)處的切線的斜率，可以判定選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確．【解答】解：對于A、B，∵f（x）在a到b之間的平均變化率是f(g（x）在a到b之間的平均變化率是g(∴f(∴選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；對于C、D，∵函數(shù)f（x）在x＝x0處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)f（x）在該點(diǎn)處的切線的斜率，同理函數(shù)g（x）在x＝x0處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)g（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)g（x）在x＝x0處的切線的斜率，由圖形知，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的概念及其應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合平均變化率與瞬時(shí)變化率以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，判定每一個(gè)選項(xiàng)是否正確，是基礎(chǔ)題．5．已知曲線f（x）=12x2﹣2上一點(diǎn)（1，y0），記f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，則f（1）+f′（A．32 B．-32 C．12【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)及其幾何意義．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】求導(dǎo)可得f′（1）＝1，進(jìn)而求解．【解答】解：f(1)=-32，y0=-32，f′（x）＝所以f(1)+故選：D．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．6．已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為S＝2t2﹣t，其中S的單位是m，t的單位是s，則該質(zhì)點(diǎn)在4s末的瞬時(shí)速度為（）A．16m/s B．15m/s C．12m/s D．8m/s【考點(diǎn)】變化的快慢與變化率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】求出S'，將t＝4代入，即可求解．【解答】解：∵S＝2t2﹣t，∴S'＝4t﹣1，當(dāng)t＝4時(shí)，S'＝4×4﹣1＝15，故該質(zhì)點(diǎn)在4s末的瞬時(shí)速度為15m/s．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)數(shù)在物理中的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）7．（多選）已知函數(shù)y＝f（x），x∈[a，d]的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A．[a，b]是函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間 B．[b，c]是函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間 C．函數(shù)f（x）在[a，b]∪[c，d]上單調(diào)遞增 D．函數(shù)f（x）在[b，0）∪（0，c]上單調(diào)遞減【考點(diǎn)】函數(shù)圖象趨勢與導(dǎo)數(shù)大小的關(guān)系．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】利用函數(shù)圖象得到單調(diào)性判斷A，B，利用單調(diào)區(qū)間不能用并集符號連接判斷C，D即可．【解答】解：對于選項(xiàng)A，根據(jù)函數(shù)圖象可知函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)B，根據(jù)函數(shù)圖象可知函數(shù)f（x）在[b，c]上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)B正確，對于選項(xiàng)C，由圖象可知b＜c，f（b）＞f（c），因此不能說函數(shù)f（x）在[a，b]，[c，d]上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，由于函數(shù)[b，c]在x＝0時(shí)有定義，由圖象可知f（0）＝0，則[b，c]為函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，故函數(shù)[b，c]在[b，0），（0，c]上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．（多選）8．一個(gè)質(zhì)量為4kg的物體做直線運(yùn)動，該物體的位移y（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為y(t)=13t3-2t2+5t+1，且A．該物體瞬時(shí)速度的最小值為1m/s B．該物體瞬時(shí)速度的最小值為1.5m/s C．該物體在第1秒末的動能為10J D．該物體在第1秒末的動能為8J【考點(diǎn)】瞬時(shí)變化率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】AD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后結(jié)合配方法可求瞬時(shí)速度的最小值，故可判斷AB的正誤，結(jié)合導(dǎo)數(shù)及題設(shè)中的動能公式計(jì)算后可判斷CD的正誤．【解答】解：對于AB，由位移y（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為y(可得y′（t）＝t2﹣4t+5＝（t﹣2）2+1≥1，則該物體瞬時(shí)速度的最小值為1m/s，A正確，B錯(cuò)誤．對于CD，由y′（1）＝2，得Ek=12×4×22=8故C錯(cuò)誤，D正確．故選：AD．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)在生活中的應(yīng)用，考查導(dǎo)函數(shù)的求解，屬于中檔題．（多選）9．設(shè)f（x）在x0處可導(dǎo)，下列式子中與f′（x0）相等的是（）A．limΔxB．limΔxC．limΔxD．lim【考點(diǎn)】極限及其運(yùn)算．【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義對各項(xiàng)逐一分析，能求出結(jié)果．【解答】解：對于A，limΔx→0f(x0)-對于B，limΔx→0f(x0+Δx)-f對于C，limΔx→0f(x0+2對于D，limΔx→0f(x0故選：AC．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的定義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）10．已知函數(shù)f（x）＝lnx+ex，則limΔx→0f(1+Δx)-【考點(diǎn)】含Δx表達(dá)式的極限計(jì)算與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】e+1．【分析】求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），然后即可得出f′（1）的值，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可得解．【解答】解：f'(x)=1x+e所以limΔx故答案為：e+1．【點(diǎn)評】本題考查了基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，導(dǎo)數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題．11．某高臺跳水運(yùn)動員在運(yùn)動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與跳起后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h（t）＝﹣4.9t2+4.8t+11，h（t）的圖象如圖所示，已知曲線h（t）在t＝t0處的切線l0平行于t軸，根據(jù)圖象，給出下列四個(gè)結(jié)論：①在t＝t0時(shí)高度h關(guān)于時(shí)間t的瞬時(shí)變化率為0；②曲線h（t）在t＝t2附近比在t＝t1附近下降得慢；③曲線h（t）在t＝t3附近比在t＝t4附近上升得快，其中所有正確結(jié)論的序號是①③．【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)與切線的斜率；瞬時(shí)變化率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】①③．【分析】對于①，因?yàn)榍€h（t）在t＝t1處的切線l0平行于t軸，所以切線的斜率為0，即h′（t0）＝0；對于②，比較|h′（t1）|，|h′（t2）|的大小即可；對于③，比較|h′（t3）|，|h′（t4）|的大小即可．【解答】解：因?yàn)閔（t）＝﹣4.9t2+4.8t+11，所以h′（t）＝﹣9.8t+4.8，①，因?yàn)榍€h（t）在t＝t0處的切線l0平行于t軸，所以切線l0的斜率為0，即h′（t0）＝0，所以在t＝t0時(shí)高度h關(guān)于時(shí)間t的瞬時(shí)變化率為0，故①正確；②，由圖可知曲線h（t）在t＝t1處的切線的斜率h′（t1）＜0，在t＝t2處的切線的斜率h′（t2）＜0，又t1＜t2，所以h′（t1）＝﹣9.8t1+4.8＞﹣9.8t2+4.8＝h′（t2），所以|h′（t1）|＜|h′（t2）|，即曲線在t＝t2附近比在t＝t1附近下降得快，故②錯(cuò)誤；③，由圖可知曲線h（t）在t＝t3處的切線的斜率h′（t3）＞0，在t＝t4處的切線的斜率h′（t4）＞0，又t3＜t4，所以h′（t3）＝﹣9.8t3+4.8＞﹣9.8t4+4.8＝h′（t4），所以|h′（t3）|＞|h′（t4）|，即曲線在t＝t3附近比在t＝t4附近上升得快，故③正確；所以所有正確結(jié)論的序號是①③．故答案為：①③．【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12．一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為s＝2t2+3（s的單位：m，t的單位：s），則該質(zhì)點(diǎn)在t＝3時(shí)的瞬時(shí)速度為12m/s．【考點(diǎn)】變化的快慢與變化率；基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】12m/s．【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后把t＝3代入即可求解．【解答】解：因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為s＝2t2+3，所以S′（t）＝4t，當(dāng)t＝3時(shí)的瞬時(shí)速度為12m/s．故答案為：12m/s．【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13．已知直線y＝kx+1與曲線f(x)=exx+1相切，則實(shí)數(shù)【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)與切線的斜率．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】e2【分析】由直線方程得到直線的定點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出斜率建立方程，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得實(shí)數(shù)k的值．【解答】解：由題意直線y＝kx+1與曲線f(可得直線y＝kx+1過定點(diǎn)（0，1），函數(shù)求導(dǎo)可得f'設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x則k=則x0＝2，∴k=故答案為：e2【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，是中檔題．四．解答題（共2小題）14．對于三次函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）．定義：（1）f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）（也叫f（x）一階導(dǎo)數(shù)）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）為f（x）的二階導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）＝0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)（x0，f（x0））為函數(shù)y＝f（x）的“拐點(diǎn)”；定義：（2）設(shè)x0為常數(shù)，若定義在R上的函數(shù)y＝f（x）對于定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，都有f（x0+x）+f（x0﹣x）＝2f（x0）恒成立，則函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（x0，f（x0））對稱．（1）已知f（x）＝x3﹣3x2+2x+2，求函數(shù)f（x）的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo)；（2）檢驗(yàn)（1）中的函數(shù)f（x）的圖象是否關(guān)于“拐點(diǎn)”A對稱；（3）對于任意的三次函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）寫出一個(gè)有關(guān)“拐點(diǎn)”的結(jié)論（不必證明）．【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)及其幾何意義；奇偶函數(shù)圖象的對稱性；函數(shù)恒成立問題．【專題】創(chuàng)新題型．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）＝0求得拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)．（2）因?yàn)閒（1+x）+f（1﹣x）＝2f（1），由定義（2）知：f（x）＝x3﹣3x2+2x+2關(guān)于點(diǎn)（1，2）對稱．（3）將（2）的結(jié)論進(jìn)行合情推理，可得結(jié)論：三次函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）的“拐點(diǎn)”是（-b3a，f（-b3【解答】解：（1）依題意，得：f′（x）＝3x2﹣6x+2，∴f″（x）＝6x﹣6．由f″（x）＝0，即6x﹣6＝0．∴x＝1，又f（1）＝2，∴f（x）＝x3﹣3x2+2x+2的“拐點(diǎn)”坐標(biāo)是（1，2）．（2）由（1）知“拐點(diǎn)”坐標(biāo)是（1，2）．而f（1+x）+f（1﹣x）＝（1+x）3﹣3（1+x）2+2（1+x）+2+（1﹣x）3﹣3（1﹣x）2+2（1﹣x）+2＝2+6x2﹣6﹣6x2+4+4＝4＝2f（1），由定義（2）知：f（x）＝x3﹣3x2+2x+2關(guān)于點(diǎn)（1，2）對稱．（3）一般地，三次函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）的“拐點(diǎn)”是（-b3a，f（-b3（或者：任何一個(gè)三次函數(shù)都有拐點(diǎn)；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心；任何一個(gè)三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù)；都對．）【點(diǎn)評】本題考查一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)的拐點(diǎn)的定義以及函數(shù)圖象關(guān)于某點(diǎn)對稱的條件．15．已知函數(shù)f(x)=2alnx+x-1x+1的圖象在x＝1（1）求a的值；（2）求不等式f（x2﹣1）＜f（5x﹣7）的解集．【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)與切線的斜率；利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）a=（2）(7【分析】（1）根據(jù)題意，f（x）在x＝1處的切線的斜率等于-12，據(jù)此求解（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而利用單調(diào)性解不等式．【解答】解：（1）由函數(shù)f(x)=2又f(x)=2alnx+x-1x+1在x可得f'(1)=2a（2）∵函數(shù)f(x)=2alnx+∴x2﹣1和5x﹣7都大于0，可得x∈又∵f'(x)=-x2+1x又f（x2﹣1）＜f（5x﹣7），故x2﹣1＞5x﹣7，解得：x＜2或x＞3，因此原不等式的解集為(7【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．奇偶函數(shù)圖象的對稱性【知識點(diǎn)的認(rèn)識】奇偶函數(shù)的對稱性是相對于其圖象來說的，具體而言奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，其特點(diǎn)是f（x）＝m時(shí)，f（﹣x）＝﹣m；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，它的特點(diǎn)是當(dāng)f（x）＝n時(shí)，f（﹣x）＝n．【解題方法點(diǎn)撥】由函數(shù)圖象的對稱性可知：①奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．eg：若奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]內(nèi)單調(diào)遞增，且有最大值和最小值，分別是7和4，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣3，﹣1]內(nèi)的最值．解：由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位單調(diào)遞增函數(shù)，那么最小值為f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值為f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4【命題方向】本知識點(diǎn)是高考的一個(gè)重點(diǎn)，同學(xué)首先要熟悉奇偶函數(shù)的性質(zhì)并靈活運(yùn)用，然后要多多總結(jié)，特別是偶函數(shù)與周期性相結(jié)合的試題，現(xiàn)在的一個(gè)命題方式是已知周期偶函數(shù)某一小段內(nèi)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求在更大范圍內(nèi)它與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，同學(xué)們務(wù)必多多留意．2．函數(shù)恒成立問題【知識點(diǎn)的認(rèn)識】函數(shù)恒成立問題是指在定義域或某一限定范圍內(nèi)，函數(shù)滿足某一條件（如恒大于0等），此時(shí)，函數(shù)中的參數(shù)成為限制了這一可能性（就是說某個(gè)參數(shù)的存在使得在有些情況下無法滿足要求的條件），因此，適當(dāng)?shù)姆蛛x參數(shù)能簡化解題過程．【解題方法點(diǎn)撥】﹣分析函數(shù)的定義域和形式，找出使函數(shù)恒成立的條件．﹣利用恒成立條件，確定函數(shù)的行為．一般恒成立問題最后都轉(zhuǎn)化為求最值得問題，常用的方法是分離參變量【命題方向】題目包括判斷函數(shù)恒成立條件及應(yīng)用題，考查學(xué)生對函數(shù)恒成立問題的理解和應(yīng)用能力．關(guān)于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，對x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，對x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴?x∈R，m＜1x∵x2+x+1＝（x+12）2∴0＜1∴m≤0．3．變化的快慢與變化率【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、平均變化率：我們常說的變化的快慢一般指的是平均變化率，拿y＝f（x）來說，當(dāng)自變量x由x1變化到x2時(shí)，其函數(shù)y＝f（x）的函數(shù)值由f（x1）變化到f（x2），它的平均變化率為f(x2)-f(x1)x2-x1．把（x2﹣x1）叫做自變量的改變量，記做△x；函數(shù)值的變化2、瞬時(shí)變化率：變化率的概念是變化快慢的特例，我們記△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），則函數(shù)的平均變化率為：△y△x=f(x13、導(dǎo)數(shù)的概念：函數(shù)f（x）在x＝x0處時(shí)的瞬時(shí)變化率是函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）=【解題方法點(diǎn)撥】瞬時(shí)速度特別提醒：①瞬時(shí)速度實(shí)質(zhì)是平均速度當(dāng)△t→0時(shí)的極限值．②瞬時(shí)速度的計(jì)算必須先求出平均速度，再對平均速度取極限，函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)特別提醒：①當(dāng)△x→0時(shí)，比值△y△x的極限存在，則f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)；若△y△x的極限不存在，則f②自變量的增量△x＝x﹣x0可以為正，也可以為負(fù)，還可以時(shí)正時(shí)負(fù)，但△x≠0．而函數(shù)的增量△y可正可負(fù)，也可以為0．③在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的定義可變形為：f′（x0）=△x→0limf(x導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)：①導(dǎo)數(shù)的定義可變形為：f′（x）=△②可導(dǎo)的偶函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，而可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)；③可導(dǎo)的周期函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)仍為周期函數(shù)；④并不是所有函數(shù)都有導(dǎo)函數(shù)．⑤導(dǎo)函數(shù)f′（x）與原來的函數(shù)f（x）有相同的定義域（a，b），且導(dǎo)函數(shù)f′（x）在x0處的函數(shù)值即為函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值．⑥區(qū)間一般指開區(qū)間，因?yàn)樵谄涠它c(diǎn)處不一定有增量（右端點(diǎn)無增量，左端點(diǎn)無減量）．【命題方向】典例1：一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程是s＝5﹣3t2，則在一段時(shí)間[1，1+△t]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為（）A．3△t+6B．﹣3△t+6C．3△t﹣6D．﹣3△t﹣6分析：分別求出經(jīng)過1秒種的位移與經(jīng)過1+△t秒種的位移，根據(jù)平均速度的求解公式平均速度＝位移÷時(shí)間，建立等式關(guān)系即可．解：V=故選D．點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的平均變化率公式：f(典例2：一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的方程為s＝8﹣3t2．（1）求質(zhì)點(diǎn)在[1，1+△t]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；（2）求質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度（用定義及求導(dǎo)兩種方法）．分析：本題考查的是變化率及變化快慢問題．在解答時(shí)：（1）首先結(jié)合條件求的△s，然后利用平均速度為△s（2）定義法：即對平均速度為△s△t當(dāng)△t趨向于0時(shí)求極限即可獲得解答；求導(dǎo)法：t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度即s＝8﹣3t2在t＝1處的導(dǎo)數(shù)值，故只需求t＝1時(shí)函數(shù)s＝8﹣3解答：由題意可知：（1）∵s＝8﹣3t2∴△s＝8﹣3（1+△t）2﹣（8﹣3×12）＝﹣6△t﹣3（△t）2，∴質(zhì)點(diǎn)在[1，1+△t]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為：v=（2）定義法：質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為v=求導(dǎo)法：質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度v＝s′（t）＝（8﹣3t2）′＝﹣6t，∴當(dāng)t＝1時(shí)，v＝﹣6×1＝﹣6．點(diǎn)評：導(dǎo)數(shù)的物理意義建立了導(dǎo)數(shù)與物體運(yùn)動的瞬時(shí)速度之間的關(guān)系．對位移s與時(shí)間t的關(guān)系式求導(dǎo)可得瞬時(shí)速度與時(shí)間t的關(guān)系．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，誚按照“一差、二比、三極限”的求導(dǎo)步驟來求．值得同學(xué)們體會和反思．4．瞬時(shí)變化率【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、平均變化率：我們常說的變化的快慢一般指的是平均變化率，拿y＝f（x）來說，當(dāng)自變量x由x1變化到x2時(shí)，其函數(shù)y＝f（x）的函數(shù)值由f（x1）變化到f（x2），它的平均變化率為f(x2)-f(x1)x2-x1．把（x2﹣x1）叫做自變量的改變量，記做△x；函數(shù)值的變化2、瞬時(shí)變化率：變化率的概念是變化快慢的特例，我們記△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），則函數(shù)的平均變化率為：△y△x=f(x1【解題方法點(diǎn)撥】函數(shù)f（x）在x＝x0處時(shí)的瞬時(shí)變化率是函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處附近平均變化率的極限：x→【命題方向】常見題型包括計(jì)算函數(shù)在特定點(diǎn)上的瞬時(shí)變化率，分析實(shí)際問題中的瞬時(shí)變化率．函數(shù)f(x)=-6x在解：函數(shù)f（x）在x＝1處的瞬時(shí)變化率為limΔx故答案為：6．5．導(dǎo)數(shù)及其幾何意義【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、導(dǎo)數(shù)的定義如果函數(shù)f（x）在（a，b）中每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱f（x）在（a，b）上可導(dǎo)，則可建立f（x）的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，記為f′（x）；如果f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)a處的右導(dǎo)數(shù)和端點(diǎn)b處的左導(dǎo)數(shù)都存在，則稱f（x）在閉區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，f′（x）為區(qū)間[a，b]上的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)．2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率k．例如：函數(shù)f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：k切線＝f′（x0）=x【解題方法點(diǎn)撥】（1）利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程．求出y＝f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x）；利用直線方程的點(diǎn)斜式寫出切線方程為y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函數(shù)在x＝x0處可導(dǎo)，則圖象在（x0，f（x0））處一定有切線，但若函數(shù)在x＝x0處不可導(dǎo)，則圖象在（x0，f（x0））處也可能有切線，即若曲線y＝f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線，則切線與x軸垂直．（3）注意區(qū)分曲線在P點(diǎn)處的切線和曲線過P點(diǎn)的切線，前者P點(diǎn)為切點(diǎn)；后者P點(diǎn)不一定為切點(diǎn)，P點(diǎn)可以是切點(diǎn)也可以不是，一般曲線的切線與曲線可以有兩個(gè)以上的公共點(diǎn)，（4）顯然f′（x0）＞0，切線與x軸正向的夾角為銳角；f′（x0）＜0，切線與x軸正向的夾角為鈍角；f（x0）＝0，切線與x軸平行；f′（x0）不存在，切線與y軸平行．【命題方向】題型一：根據(jù)切線方程求斜率典例1：已知曲線y=x2A．3B．2C．1D．1解：設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（x0，y0）∵曲線y=x2∴y′=x02-3x0=12，解得x故選A．題型二：求切線方程典例2：已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，x≥-1f(-x-2)，x＜A．y＝﹣2x﹣3B．y＝﹣2x+3C．y＝2x﹣3D．y＝2x+3解：∵圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即為（﹣3，3）∴在點(diǎn)（﹣3，f（﹣3））處的切線過（﹣3，3）將（﹣3，3）代入選項(xiàng)通過排除法得到點(diǎn)（﹣3，3）只滿足A故選A．6．含Δx表達(dá)式的極限計(jì)算與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系【知識點(diǎn)的認(rèn)識】導(dǎo)數(shù)的概念：函數(shù)f（x）在x＝x0處時(shí)的瞬時(shí)變化率是函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）=【解題方法點(diǎn)撥】導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)：①導(dǎo)數(shù)的定義可變形為：f′（x）=△②可導(dǎo)的偶函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，而可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)；③可導(dǎo)的周期函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)仍為周期函數(shù)；④并不是所有函數(shù)都有導(dǎo)函數(shù)．⑤導(dǎo)函數(shù)f′（x）與原來的函數(shù)f（x）有相同的定義域（a，b），且導(dǎo)函數(shù)f′（x）在x0處的函數(shù)值即為函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值．⑥區(qū)間一般指開區(qū)間，因?yàn)樵谄涠它c(diǎn)處不一定有增量（右端點(diǎn)無增量，左端點(diǎn)無減量）．【命題方向】常見題型包括利用極限定義導(dǎo)數(shù)，解決涉及導(dǎo)數(shù)和變化率的實(shí)際問題．已知函數(shù)f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為f′（x0），則limΔxA．2f′（x0）B．﹣2f′（x0）C．12f'(解：根據(jù)題意，limΔx→0f(x故選：C．7．導(dǎo)數(shù)與切線的斜率【知識點(diǎn)的認(rèn)識】導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率k．例如：函數(shù)f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：k切線＝f′（x0）=x【解題方法點(diǎn)撥】（1）利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程．求出y＝f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x）；利用直線方程的點(diǎn)斜式寫出切線方程為y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函數(shù)在x＝x0處可導(dǎo)，則圖象在（x0，f（x0））處一定有切線，但若函數(shù)在x＝x0處不可導(dǎo)，則圖象在（x0，f（x0））處也可能有切線，即若曲線y＝f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線，則切線與x軸垂直．【命題方向】求切線方程典例2：已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，x≥-1f(-x-2)，x＜A．y＝﹣2x﹣3B．y＝﹣2x+3C．y＝2x﹣3D．y＝2x+3解：∵圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即為（﹣3，3）∴在點(diǎn)（﹣3，f（﹣3））處的切線過（﹣3，3）將（﹣3，3）代入選項(xiàng)通過排除法得到點(diǎn)（﹣3，3）只滿足A故選A．8．函數(shù)圖象趨勢與導(dǎo)數(shù)大小的關(guān)系【知識點(diǎn)的認(rèn)識】導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率k．例如：函數(shù)f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：k切線＝f′（x0）=x【解題方法點(diǎn)撥】f′（x0）＞0，切線與x軸正向的夾角為銳角；f′（x0）＜0，切線與x軸正向的夾角為鈍角；f（x0）＝0，切線與x軸平行；f′（x0）不存在，切線與y軸平行．【命題方向】常見題型包括分析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值與圖象趨勢的關(guān)系，解決實(shí)際問題中的圖象分析．函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖所示，f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A．2f'（4）＜2f'（2）＜f（4）﹣f（2）B．2f'（2）＜f（4）﹣f（2）＜2f'（4）C．2f'（2）＜2f'（4）＜f（4）﹣f（2）D．f（4）﹣f（2）＜2f'（4）＜2f'（2）解：由圖象可知f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增故f'(2)＜f(4)-f(2)4-2＜f'(4)，即2f′（2）＜f（故選：B．9．極限及其運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．?dāng)?shù)列極限（1）數(shù)列極限的表示方法：（2）幾個(gè)常用極限：③對于任意實(shí)常數(shù)，當(dāng)|a|＜1時(shí)，n→∞liman＝當(dāng)|a|＝1時(shí)，若a＝1，則n→∞liman＝1；若a＝﹣1，則n→∞liman＝（﹣當(dāng)|a|＞1時(shí)，n→∞lima（3）數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則：如果，那么特別地，如果C是常數(shù)，那么．（4）數(shù)列極限的應(yīng)用：求無窮數(shù)列的各項(xiàng)和，特別地，當(dāng)|q|＜1時(shí)，無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為S=a11-q（|q（化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)方法同上式）注：并不是每一個(gè)無窮數(shù)列都有極限．x→2．函數(shù)極限；（1）當(dāng)自變量x無限趨近于常數(shù)x0（但不等于x0）時(shí)，如果函數(shù)f（x）無限趨進(jìn)于一個(gè)常數(shù)a，就是說當(dāng)x趨近于x0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限為a．記作x→x0limf(x)=a或當(dāng)x→x注：當(dāng)x→x0時(shí)，f（x）是否存在極限與f（x）在x0處是否定義無關(guān)，因?yàn)閤→x0并不要求x＝x0．（當(dāng)然，f（x）在x0是否有定義也與f（x）在x0處是否存在極限無關(guān)．函數(shù)f（x）在x0有定義是x→x0如P（x）=x-1x＞1-x+1x＜（2）函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則：如果，那么特別地，如果C是常數(shù)，那么．注：①各個(gè)函數(shù)的極限都應(yīng)存在．②四則運(yùn)算法則可推廣到任意有限個(gè)極限的情況，但不能推廣到無限個(gè)情況．（3）幾個(gè)常用極限：3．函數(shù)的連續(xù)性：（1）如果函數(shù)f（x），g（x）在某一點(diǎn)x＝x0連續(xù)，那么函數(shù)f（x）±g（x），f（x），g（x），f(x)g(x)（g（x）≠0（2）函數(shù)f（x）在點(diǎn)x＝x0處連續(xù)必須滿足三個(gè)條件：①函數(shù)f（x）在點(diǎn)x＝x0處有定義；②x→x0limf(x)存在；③函數(shù)f（x）在點(diǎn)x＝x（3）函數(shù)f（x）在點(diǎn)x＝x0處不連續(xù)（間斷）的判定：如果函數(shù)f（x）在點(diǎn)x＝x0處有下列三種情況之一時(shí)，則稱x0為函數(shù)f（x）的不連續(xù)點(diǎn)．①f（x）在點(diǎn)x＝x0處沒有定義，即f（x0）不存在；②x→x0limf(x)不存在；③10．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、基本函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)①C′＝0（C為常數(shù)）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）=1xlna（a＞0且a≠1）⑧[lnx2、和差積商的導(dǎo)數(shù)①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)