排隊(duì)系統(tǒng)顧客服務(wù)臺服務(wù)電話系統(tǒng)電話呼叫電話總機(jī)接通呼叫或取消呼叫售票系統(tǒng)購票旅客售票窗口收款、售票設(shè)備維修出故障的設(shè)備修理工排除設(shè)備故障防空系統(tǒng)進(jìn)入陣地的敵機(jī)高射炮瞄準(zhǔn)、射擊直至敵機(jī)被擊落或離開9.1基本概念

9.1.1排隊(duì)過程的一般表示舉例：

一般的排隊(duì)過程為：顧客由顧客源出發(fā)，到達(dá)服務(wù)機(jī)構(gòu)(服務(wù)臺、服務(wù)員)前，按排隊(duì)規(guī)則排隊(duì)等待接受服務(wù)，服務(wù)機(jī)構(gòu)按服務(wù)規(guī)則給顧客服務(wù)，顧客接受完服務(wù)后就離開。排隊(duì)過程的一般過程可用下圖表示。在現(xiàn)實(shí)生活中的排隊(duì)現(xiàn)象是多種多樣的，排隊(duì)可以是有形的，也可以是無形的。3單服務(wù)臺單隊(duì)系統(tǒng):隊(duì)列:服務(wù)臺到達(dá)離開4多服務(wù)臺單隊(duì)系統(tǒng)到達(dá)離開5多服務(wù)臺多隊(duì)系統(tǒng)到達(dá)離開6多服務(wù)臺串聯(lián)系統(tǒng)到達(dá)離開9.1基本概念9.1.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征決定排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)程的因素有三個基本的組成部分，這就是輸入過程、排隊(duì)規(guī)則及服務(wù)機(jī)構(gòu)。1)輸入過程：顧客來源以及顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的規(guī)律。包括：

顧客源中顧客的數(shù)量是有限還是無限；顧客到達(dá)的方式是單個到達(dá)還是成批到達(dá)；相繼到達(dá)的間隔時間分布是確定型的還是隨機(jī)型的，分布參數(shù)是什么，是否獨(dú)立，是否平穩(wěn)。2)排隊(duì)規(guī)則：描述顧客排隊(duì)等待的隊(duì)列和接受服務(wù)的次序,包括：即時制還是等待制(即時制又稱損失制)

；等待制下隊(duì)列的情況(是單列還是多列，顧客能不能中途退出，多列時各列間的顧客能不能相互轉(zhuǎn)移)；等待制下顧客接受服務(wù)的次序(先到先服務(wù)，后到先服務(wù)，隨機(jī)服務(wù)，有優(yōu)先權(quán)的服務(wù))。3)服務(wù)機(jī)構(gòu)：描述服務(wù)臺(員)的機(jī)構(gòu)形式和工作情況。包括：服務(wù)臺(員)的數(shù)目和排列情況；服務(wù)臺(員)的服務(wù)方式；服務(wù)時間是確定型的還是隨機(jī)型的，分布參數(shù)是什么，是否獨(dú)立，是否平穩(wěn)。9.1基本概念9.1.3排隊(duì)模型的分類

D.G.Kendall在1953年提出了一個分類方法，按照系統(tǒng)的三個最主要的、影響最大的三個特征要素進(jìn)行分類，它們是：顧客相繼到達(dá)的間隔時間分布、服務(wù)時間的分布、服務(wù)臺數(shù)。按照這三個特征要素分類的排隊(duì)系統(tǒng)，用符號(稱為Kendall記號)表示為:X/Y/Z其中：X處填寫顧客相繼到達(dá)的間隔時間分布；

Y處填寫服務(wù)時間的分布；

Z處填寫并列的服務(wù)臺個數(shù)。常用的表示相繼到達(dá)間隔時間和服務(wù)時間的各種分布如下：M–負(fù)指數(shù)分布(具有Markov性)；D–定常分布；Ek–k階Erlang分布例如M/M/1，表示顧客相繼到達(dá)的間隔時間為負(fù)指數(shù)分布、服務(wù)時間為負(fù)指數(shù)分布、單服務(wù)臺的模型。

后來，在1971年關(guān)于排隊(duì)論符號標(biāo)準(zhǔn)化的會議上決定，將Kendall符號擴(kuò)充為：X/Y/Z/A/B/C

其中前三項(xiàng)意義不變。A處填寫系統(tǒng)容量限制；

B處填寫顧客源中的顧客數(shù)目；C處填寫服務(wù)規(guī)則(如先到先服務(wù)FCFS，后到先服務(wù)LCFS)。

約定，如略去后三項(xiàng)，即指X/Y/Z/∞/∞/FCFS的情形。

后面我們只討論先到先服務(wù)FCFS的情形，所以略去第六項(xiàng)。9.1基本概念9.1.4排隊(duì)系統(tǒng)的求解為了研究排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行的效率、估計服務(wù)質(zhì)量、研究設(shè)計改進(jìn)措施，必須確定一些基本指標(biāo)。1)隊(duì)長：把系統(tǒng)中的顧客數(shù)稱為隊(duì)長，期望值記作Ls。把系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)稱為排隊(duì)長(隊(duì)列長)，期望值記作Lq。

隊(duì)長＝排隊(duì)長＋正被服務(wù)的顧客數(shù)

2)逗留時間：一個顧客從到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)到服務(wù)完畢離去的總停留時間，期望值記作Ws。

一個顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待的時間稱為等待時間，期望值記作Wq。

3)瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的顧客數(shù)稱為系統(tǒng)的狀態(tài)。考慮在t時刻系統(tǒng)的狀態(tài)為n的概率，它是隨時刻t而變化的，用Pn(t)表示，稱為系統(tǒng)的瞬態(tài)。

limPn(t)＝Pn

t→∞稱其為穩(wěn)態(tài)或稱統(tǒng)計平衡狀態(tài)的解。逗留時間＝等待時間＋服務(wù)時間9.2幾個主要概率

9.2.1經(jīng)驗(yàn)分布

在處理實(shí)際排隊(duì)系統(tǒng)時，需要把有關(guān)的原始資料進(jìn)行統(tǒng)計，然后按照統(tǒng)計學(xué)的方法確定符合哪種理論分布。經(jīng)驗(yàn)分布的主要指標(biāo)如下：①平均間隔時間②平均服務(wù)時間③平均到達(dá)率④平均服務(wù)率主要指標(biāo)計算如下：

平均間隔時間=總時間/到達(dá)顧客總數(shù)平均服務(wù)時間=服務(wù)時間總和/顧客總數(shù)平均到達(dá)率=到達(dá)顧客總數(shù)/總時間平均服務(wù)率=顧客總數(shù)/服務(wù)時間總和9.2幾個主要概率分布9.2.2Poisson分布

在概率論中，隨機(jī)變量的Poisson分布

如果一個隨機(jī)變量，概率分布與時間t有關(guān)，則稱這個隨機(jī)變量為一隨機(jī)過程，排隊(duì)系統(tǒng)中顧客到達(dá)的個數(shù)就是一個隨機(jī)過程。

設(shè)N(t)表示在時間區(qū)間[t0,t0+t)內(nèi)到達(dá)的顧客隨機(jī)數(shù)。當(dāng)N(t)滿足下列四個條件時，我們說顧客的到達(dá)符合Poisson分布。這四個條件是：(3)普通性在充分短的時間區(qū)間Δt內(nèi)，到達(dá)多于1個顧客的概率極小，可以忽略不計，即

∞

∑Pn(Δt)＝o(Δt)

n=2

(1)平穩(wěn)性在時間區(qū)間

內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)N(t)，只與區(qū)間長度t有關(guān)而與時間起點(diǎn)

無關(guān)。(2)無后效性

在時間區(qū)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)N(t)，與

以前到達(dá)的顧客數(shù)獨(dú)立。(4)有限性

任意有限個區(qū)間內(nèi)到達(dá)有限個顧客的概率等于1，即

在上述三個條件下可以推出，在[0,t)內(nèi)到達(dá)n個顧客的概率為：(λt)nPn(t)＝———e-λtn=0,1,2,……n!

N(t)的數(shù)學(xué)期望和方差分別是：

E[N(t)]＝λtVar[N(t)]＝λt那么，λ＝E[N(t)]/t

，表示單位時間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)的期望值，即平均到達(dá)的顧客數(shù)，稱為平均到達(dá)率。9.2幾個主要概率分布

9.2.3負(fù)指數(shù)分布

隨機(jī)變量T的概率密度若是

λe-λtt≥0fT(t)＝0t

0則稱T服從負(fù)指數(shù)分布，它的分布函數(shù)是1-e-λtt≥0FT(t)＝0t

0T的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：E[T]＝1/λ，Var(T)＝1/λ2負(fù)指數(shù)分布具有下列性質(zhì)：

(1)無記憶性或馬爾柯夫性，即P{T>t+s|T>s}＝P{T>t}(2)當(dāng)顧客到達(dá)符合Poisson分布時，顧客相繼到達(dá)的間隔時間T必服從負(fù)指數(shù)分布。

對于Poisson

分布，λ表示單位時間平均到達(dá)的顧客數(shù)，所以1/λ表示顧客相繼到達(dá)的平均間隔時間，而這正和E[T]的意義相符。因此，“到達(dá)的顧客數(shù)是一個以λ為參數(shù)的Poisson流”與“顧客相繼到達(dá)的時間間隔服從以λ為參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布”這兩個命題是等價的。服務(wù)時間符合負(fù)指數(shù)分布時，設(shè)它的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

fv(t)＝μe-μt；Fv(t)＝1-e-μt(t≥0)

其中μ表示單位時間能夠服務(wù)完的顧客數(shù)，稱作平均服務(wù)率；而1/μ表示一個顧客的平均服務(wù)時間，正是v的期望值。9.3單服務(wù)臺負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)分析

9.3.1標(biāo)準(zhǔn)M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)

排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)n隨時間變化的過程稱為生滅過程，設(shè)平均到達(dá)率為λ,平均服務(wù)率為μ,負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)(M/M/1/∞/∞)的生滅過程可用下面的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖表示：

穩(wěn)態(tài)概率方程如下:λP0=μP1λPn-1+μPn+1=λPn+μPn01n-1nn+1...λλλλλλμμμμμμ由第1個等式得：由第2個等式，令n＝2，得：代入解得：用遞推方法可以得到：得

令則，否則隊(duì)列將排至無限遠(yuǎn)。由

這里的ρ稱為服務(wù)強(qiáng)度，它是平均到達(dá)率與平均服務(wù)率之比；它刻畫了服務(wù)機(jī)構(gòu)的繁忙程度，所以又稱服務(wù)機(jī)構(gòu)的利用率。上式可表示為：該級數(shù)收斂，有：代入遞推公式，有：

系統(tǒng)的各項(xiàng)運(yùn)行指標(biāo)計算如下：系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)(即對長期望值)

系統(tǒng)中的等待的平均顧客數(shù)(即排隊(duì)長期望值)

顧客在系統(tǒng)中的逗留時間分布函數(shù)：顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間

顧客在系統(tǒng)中的逗留時間X服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，因此X的期望值即平均逗留時間為：顧客在系統(tǒng)中的平均等待時間

顧客在系統(tǒng)中的等待時間的期望值，等于顧客在系統(tǒng)中逗留時間的期望值減去接受服務(wù)的時間的期望值。對于(M/M/1/∞/∞)系統(tǒng)總結(jié)如下：系統(tǒng)中有k個顧客的概率為：系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)為：排隊(duì)的平均長度為：顧客逗留時間分布函數(shù)為：顧客在系統(tǒng)中的平均等待時間為：顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間為：Little公式總結(jié)如下：適用模型：M/M/1λ=2.1μ=2.5解：首先算出每小時病人平均達(dá)到率=2.1人/小時到達(dá)的病人數(shù)出現(xiàn)次數(shù)為病人完成手術(shù)的時間(小時)出現(xiàn)次數(shù)0100.0--0.2381280.2--0.4252290.4—0.6173160.6—0.894100.8—1.06561.0—1.256以上11.2以上0(Model1:M/M/1)例1：醫(yī)院手術(shù)室根據(jù)病人就診和完成手術(shù)時間的記錄，任意抽查100個工作小時，沒小時來就診的病人數(shù)N的出現(xiàn)次數(shù)見表所示。又任意抽查100個完成手術(shù)的病例，所用時間M出現(xiàn)的次數(shù)見表所示。(1)手術(shù)室的空閑率，在病房中的平均病人數(shù)，排隊(duì)等待的平均病人數(shù)，病人在病房中的平均逗留時間和平均等待時間。(2)若希望病人的平均逗留時間減少一半，則每小時平均完成手術(shù)的人數(shù)用該提高多少？

例2汽車按泊松流到達(dá)某高速公路收費(fèi)口，平均每小時90輛。每輛車通過收費(fèi)口的時間服從均值35秒的負(fù)指數(shù)分布。

(1)在收費(fèi)口有多于2輛車排隊(duì)等待的概率是多少？

(2)因司機(jī)們抱怨等待時間太長，管理部門擬采用自動收款裝置使平均收費(fèi)時間縮短到30秒，但條件是原收費(fèi)口平均等待車輛超過6輛，且新裝置的利用率不低于75%時才采用，問新裝置能否被采用？適用模型：M/M/1λ=90μ=3600/35=102.869.3單服務(wù)臺負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)分析

9.3.2系統(tǒng)容量有限制的情形(M/M/1/N/∞)

當(dāng)系統(tǒng)的容量有限制(為N)時，設(shè)平均到達(dá)率為λ、平均服務(wù)率為μ，排隊(duì)系統(tǒng)(M/M/1/N/∞)的生滅過程可用下面的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖表示：01n+1λλλλλλλλμμμμμμμμ

系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時的概率方程如下：

λP0=μP1λPn-1+μPn+1=λPn+μPn(n<N)μPN=λPN-1

設(shè)ρ=λ/μ≠1，考慮到P0+P1+…+PN=1,解得

P0=(1-ρ)/(1-ρN+1)Pn=P0ρn,n≤N...NN-1...nn-1系統(tǒng)的各項(xiàng)運(yùn)行指標(biāo)計算如下：平均隊(duì)長：Ls=ρ/(1-ρ)–(N+1)ρN+1/(1-ρN+1)平均排隊(duì)長：Lq=Ls–(1-P0)有效到達(dá)率：λe=λ(1-PN)=μ(1-P0)平均逗留時間:Ws=Ls/λe平均等待時間:Wq=Ws–1/μ=Lq/λe

(Model2:M/M/1/N)例3某加油站只有一個加油泵，而且場地很小，最多只能停放6輛排隊(duì)等待加油的汽車。設(shè)汽車到達(dá)間隔和加油時間都服從負(fù)指數(shù)分布，平均每小時到達(dá)30輛汽車，每輛汽車加油平均需要1.5分鐘。試問：

(1)來加油的汽車一到達(dá)就能立即加油的概率是多少？

(2)等待加油的汽車平均數(shù)是多少？

(3)平均有效到達(dá)率是多少？

(4)每輛汽車在加油站內(nèi)停留的平均時間是多少？

(5)在可能到達(dá)的汽車中有百分之幾不加油就離開？適用模型：M/M/1/withFiniteSystemSizeλ=30μ=40N=709.3單服務(wù)臺負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)分析

9.3.3顧客源為有限的情形(M/M/1/∞/m)

當(dāng)系統(tǒng)的顧客源為有限(為m)時，設(shè)各個顧客的平均到達(dá)率都為λ、服務(wù)臺的平均服務(wù)率為μ，排隊(duì)系統(tǒng)(M/M/1/∞/m)的生滅過程可用下面的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖表示：01n+1mλ(m-1)λ(m-n+1)λ(m-n)λλμμμμμ系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時的概率方程如下：mλP0=μP1(m-n+1)λPn-1+μPn+1=(m-n)λPn+μPn(n<m)μPm=λPm-1

考慮到P0+P1+…+Pm=1,解得

P0=-1

Pn=(n≤m)...mm-1...nn-1系統(tǒng)的各項(xiàng)運(yùn)行指標(biāo)計算如下：平均隊(duì)長：Ls=m–μ(1-P0)/λ平均排隊(duì)長：Lq=Ls–(1-P0)有效到達(dá)率：λe=λ(m-Ls)=μ(1-P0)平均逗留時間:Ws=Ls/λe平均等待時間:Wq=Ws–1/μ=Lq/λe(Model3:M/M/1withfinitepopulaton)例4某工人負(fù)責(zé)看管5臺機(jī)器，每臺機(jī)器的連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時間服從平均值15分鐘的負(fù)指數(shù)分布。機(jī)器發(fā)生故障后，每次修理時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均為12分鐘。求：

(1)工人空閑的概率；

(2)五臺機(jī)器都出故障的概率；

(3)出故障機(jī)器的平均數(shù)；

(4)等待修理機(jī)器的平均數(shù)；

(5)正常運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)器平均數(shù)；

(6)每臺機(jī)器平均停工時間；

(7)每臺機(jī)器平均待修時間。M/M/1WithFinitePopulation48M/M/S/∞/∞單位時間顧客平均到達(dá)數(shù)

，單位平均服務(wù)顧客數(shù)。1.系統(tǒng)中無顧客的概率2.平均排隊(duì)的顧客數(shù)3.系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)Ls=Lq+/,4.顧客花在排隊(duì)上的平均等待時間Wq=

Lq/,495.顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間Ws=Wq+1/,6.系統(tǒng)中顧客必須排隊(duì)等待的概率7.系統(tǒng)中恰好有n個顧客的概率當(dāng)n≤c時當(dāng)n>c時50

對任一個排隊(duì)模型成立，這里L(fēng)s,Lq,Ws,μ的定義如上所述，而應(yīng)為實(shí)際進(jìn)入系統(tǒng)平均到達(dá)率，對于排隊(duì)長度有限制的模型，我們設(shè)因排隊(duì)長度的限制顧客被拒絕的概率為PN，則實(shí)際進(jìn)入系統(tǒng)平均到達(dá)率應(yīng)為,這時，原來公式中的應(yīng)改為。(Model4:M/M/s)例5運(yùn)煤的汽車不斷地給煤場運(yùn)煤，汽車的到達(dá)是泊松流，平均每小時到達(dá)9輛。煤場設(shè)有三個相同的卸貨點(diǎn)，卸貨時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每小時可卸貨4輛?，F(xiàn)設(shè)汽車到達(dá)后排成一個隊(duì)列，依次到有空的卸貨點(diǎn)卸貨。

模型指標(biāo)M/M/33個M/M/1空閑的概率

0.07480.25(每個子系統(tǒng))顧客必須等待的概率0.56780.75平均隊(duì)長

3.95349(整個系統(tǒng))平均隊(duì)列長

1.70342.25(每個子系統(tǒng))平均逗留時間

0.43931平均等待時間

0.18930.75例6某理發(fā)店有若干名理發(fā)師，并有足夠的位置接待人們排列等待理發(fā)。顧客到達(dá)間隔服從參數(shù)為10(人/小時)的負(fù)指數(shù)分布，每名顧客的理發(fā)時間服從平均值20分鐘的負(fù)指數(shù)分布。理發(fā)店經(jīng)理希望確定滿足下列兩個條件的理發(fā)師人數(shù)：理發(fā)店的利用率不低于60%；一個顧客的平均等待時間少于5分鐘。

M/M/S/N/∞

公式非常復(fù)雜，不再一一列出，直接用軟件求解，M/M/S/NWithafiniteSystemSize(Model5:M/M/s/NWithaFiniteSystemSize)例7某理發(fā)店有4名理發(fā)員，除理發(fā)椅外，尚有16把椅子供等待顧客用。顧客按泊松流到達(dá)，平均每小時25人。當(dāng)所有椅子都坐滿時，到來的顧客將不再進(jìn)入而離去。每名顧客的理發(fā)時間為負(fù)指數(shù)分布，平均時間為11.5分鐘。試求：①新到顧客離去的概率；②顧客一到達(dá)就能立即理發(fā)的概率；③等待理發(fā)的顧客平均數(shù)；④顧客從進(jìn)理發(fā)店起到理完發(fā)的平均時間。若要平均有效到達(dá)率不低于20.8人/小時，理發(fā)店至少應(yīng)增加多少把供等待顧客用的椅子？例8在某風(fēng)景區(qū)準(zhǔn)備建造旅館，已知顧客到達(dá)為泊松流，每天平均到達(dá)6人（假設(shè)每人住一間房間）。顧客逗留時間服從平均值2天的負(fù)指數(shù)分布。試確定旅館的房間數(shù)目使得損失率不超過0.1且每天平均空閑房間數(shù)最小?？头繑?shù)121314151617客滿概率0.19860.15490.11720.08570.06040.0409住人數(shù)9.617210.141210.593510.971211.275011.5092空閑數(shù)2.38282.85883.40654.02884.72505.490862

M/M/S/∞/m

公式非常復(fù)雜，不再一一列出，直接用軟件求解，M/M/SWithfinitePopulation63

M/M/s/∞/m條件：單位時間顧客平均到達(dá)數(shù)

單位平均服務(wù)顧客數(shù)

關(guān)心的項(xiàng)目:1.系統(tǒng)中無顧客的概率P02.系統(tǒng)中平均排隊(duì)的顧客數(shù)Lq3.系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)Ls4.系統(tǒng)中顧客平均的排隊(duì)等待時間Wq5.系統(tǒng)中顧客的平均逗留時間Ws6.系統(tǒng)中顧客必須排隊(duì)等待的概率Pw7.系統(tǒng)中恰好有n個顧客的概率Pn(Model6:M/M/S/∞/m)例9設(shè)有兩名工人負(fù)責(zé)5臺機(jī)器的正常運(yùn)行。每臺機(jī)器的連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均損壞率為1次/小時。兩名工人能以相同的平均修復(fù)率4臺/小時修好機(jī)器，修理時間也服從負(fù)指數(shù)分布。使用計算機(jī)求出各狀態(tài)概率，然后求：（1）等待修理的機(jī)器平均數(shù)；（2）需要修理的機(jī)器平均數(shù)；（3）平均有效損壞率；（4）每臺機(jī)器的平均待修時間；（5）每臺機(jī)器的平均停工時間；（6）損壞的機(jī)器不能馬上獲得修理的概率。M/M/SWithfinitePopulation損壞的機(jī)器不能馬上獲得修理的概率為損壞的機(jī)器不能馬上獲得修理的概率為例10某廠有若干臺機(jī)器，它們連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時間都服從參數(shù)λ=0.5（次/小時）的負(fù)指數(shù)分布。工人修理時間服從同一參數(shù)μ=5（臺/小時）的負(fù)指數(shù)分布。今有兩個方案：方案I為3個工人各自獨(dú)立看管機(jī)器，每人看管6臺機(jī)器。方案II為3個工人共同看管20臺機(jī)器，試比較兩個方案的優(yōu)劣。M/M/1/6/6與M/M/3/20/20比較指標(biāo)方案Ⅰ方案Ⅱ不能馬上修理時間0.5154850.332376等待修理時間0.988992（整個系統(tǒng)）0.338855平均停工時間0.327904（小時）0.237916（小時）平均等待時間0.127904（小時）0.037916（小時）69

M/G/1/∞/∞

單位時間顧客平均到達(dá)數(shù)

，單位平均服務(wù)顧客數(shù)，一個顧客的平均服務(wù)時間1/

，服務(wù)時間的均方差。數(shù)量指標(biāo)公式:1.系統(tǒng)中無顧客的概率P0=1

/2.平均排隊(duì)的顧客數(shù)3.系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)Ls=Lq+/4.顧客花在排隊(duì)上的平均等待時間Wq=

Lq/5.在系統(tǒng)中顧客的平均逗留時間Ws=Wq+1/

6.系統(tǒng)中顧客必須排隊(duì)等待的概率Pw=/7.系統(tǒng)中恰好有n個顧客的概率Pn(MODEL7:M/G/1)例11：設(shè)某電話間的顧客按泊松流達(dá)到，平均每小時到達(dá)6人，通話時間的平均值為8分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為4分鐘。管理人員想知道平均隊(duì)長和顧客平均等待時間是多少？適用模型：M/G/1λ=6μ