典型例題：5道導數(shù)在函數(shù)中的應用_第1頁
典型例題：5道導數(shù)在函數(shù)中的應用_第2頁
典型例題：5道導數(shù)在函數(shù)中的應用_第3頁
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2/3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用例1．設f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間。解析：f'(x)=3ax2+1，若a≥0,f'(x)>0，對x∈R恒成立，此時f(x)只有一個單調(diào)區(qū)間，矛盾。若a<0，∵f'(x)=,此時f(x)恰有三個單調(diào)區(qū)間?！郺<0且單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為。例2．求函數(shù)y=2ex+e-x的極值。解析：y'=2ex-e-x，令y'=0,即2e2x=1,列表：xy'-0+y↘極小值↗∴y極小。例3．求函數(shù)f(x)=3x-x3在閉區(qū)間的最大值和最小值。解析：f'(x)=3-3x2,令f'(x)=0，則x1=-1，x2=1。則f(-1)=-2,f(1)=2，又,∴[f(x)]max=2,[f(x)]min=-18。例4．如右圖所示，在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成圖形中有個內(nèi)接矩形ABCD，求這個矩形面積的最大值。解析：設點B的坐標為(x,0)且0<x<2,∵f(x)=4x-x2圖象的對稱軸為x=2,∴點C的坐標為(4-x,0),∴|BC|=4-2x,|BA|=f(x)=4x-x2?！嗑匦蚊娣e為y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3y'=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8)令y'=0，解得，∵0<x<2,∴取?！邩O值點只有一個，當時，矩形面積的最大值。例5．一艘漁艇停泊在距岸9km處，今需派人送信給距漁艇km處的海岸漁站，如果送信人步行每小時5km，船速每小時4km，問應在何處登岸再步行可以使抵達漁站的時間最省？解析：如圖示設A點為漁艇處，BC為海岸線，C為漁站，且AB=9km,設D為海岸線上一點，CD=x，只需將時間T表示為x的函數(shù)，∵，由A到C的時間T，則（0≤x≤15）（0≤x≤15）令T'=0，解得x=3，在x=3附近，T'由負到正，因此在x=3處取得最小值，又，比較可知T(3)最小。

跟蹤訓練題：1．函數(shù)y=4x2(x-2),x∈[-2，2]的最小值是_____。2．一個外直徑為10cm的球，球殼厚度為，則球殼體積的近似值為____。3．函數(shù)f(x)=x4-5x2+4的極大值是______，極小值是_____。4．做一個容積為256升的方底無蓋水箱，問高為多少時最省材料？參考答案：1.–642.19.63cm33.4；4.設高為h，底邊長為a，則所用材料為S=a2+4ah,而a2h=256，a∈(0,+∞),∴,a∈(0,+∞),令S'(a

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