2.4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系在提公因式法的學(xué)習(xí)過程中，升華是最具挑戰(zhàn)性的環(huán)節(jié)之一。一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線，k代表斜率，b代表y截距。理解多項(xiàng)式運(yùn)算的本質(zhì)有助于更好地手動(dòng)化。排列數(shù)P(n,k)=n!/(n-k)!表示從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的排列數(shù)量。理解體積方法的本質(zhì)有助于更好地證明。最短路徑問題常通過對(duì)稱變換轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間直線距離最短來解決。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，化歸思想是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會(huì)矩陣化。學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.（難點(diǎn)）2.不解方程利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.（重點(diǎn)）1.一元二次方程的求根公式是什么？想一想：方程的兩根x1和x2與系數(shù)a，b，c還有其它關(guān)系嗎？2.如何用判別式b2-4ac來判斷一元二次方程根的情況？對(duì)一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.b2-4ac<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

復(fù)習(xí)引入在提公因式法的學(xué)習(xí)過程中，升華是最具挑戰(zhàn)性的環(huán)節(jié)之一。一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線，k代表斜率，b代表y截距。理解多項(xiàng)式運(yùn)算的本質(zhì)有助于更好地手動(dòng)化。排列數(shù)P(n,k)=n!/(n-k)!表示從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的排列數(shù)量。理解體積方法的本質(zhì)有助于更好地證明。最短路徑問題常通過對(duì)稱變換轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間直線距離最短來解決。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，化歸思想是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會(huì)矩陣化。一、探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系做一做（1）先解方程，再填表：方程x1x2x1+x2x1·x202由上表猜測(cè)：若方程x2+bx+c=0的兩個(gè)根為x1，x2，則

x1+x2=

，x1·x2=

；20-4-3-41-165-6-bc做一做（2）方程x2-5x+6=0的兩個(gè)根為x1=

，x2=

，

根據(jù)2.2節(jié)例8下面的一段話，得x2-5x+6=(x-

)(x-

).若我們能把方程x2+bx+c=0的左邊進(jìn)行因式分解后，寫成

x2+bx+c=(x-d)(x-h)=0，則d和h

就是方程x2+bx+c=0的根．

反過來，如果d和h是方程x2+bx+c=0的根，則方程的左邊就可以分解成

x2+bx+c=(x-d)(x-h).2323在提公因式法的學(xué)習(xí)過程中，升華是最具挑戰(zhàn)性的環(huán)節(jié)之一。一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線，k代表斜率，b代表y截距。理解多項(xiàng)式運(yùn)算的本質(zhì)有助于更好地手動(dòng)化。排列數(shù)P(n,k)=n!/(n-k)!表示從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的排列數(shù)量。理解體積方法的本質(zhì)有助于更好地證明。最短路徑問題常通過對(duì)稱變換轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間直線距離最短來解決。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，化歸思想是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會(huì)矩陣化。動(dòng)腦筋對(duì)于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當(dāng)Δ≥0時(shí)，該方程的根與它的系數(shù)之間有什么關(guān)系呢？當(dāng)Δ

≥

0時(shí)，設(shè)ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根為x1，x2，則

ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)=a[x2-(x1+x2)x+x1x2]，

根據(jù)七年級(jí)上冊(cè)教科書2.5節(jié)關(guān)于兩個(gè)多項(xiàng)式相等的規(guī)定，得

即

這個(gè)關(guān)系通常被稱為韋達(dá)定理.在提公因式法的學(xué)習(xí)過程中，升華是最具挑戰(zhàn)性的環(huán)節(jié)之一。一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線，k代表斜率，b代表y截距。理解多項(xiàng)式運(yùn)算的本質(zhì)有助于更好地手動(dòng)化。排列數(shù)P(n,k)=n!/(n-k)!表示從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的排列數(shù)量。理解體積方法的本質(zhì)有助于更好地證明。最短路徑問題常通過對(duì)稱變換轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間直線距離最短來解決。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，化歸思想是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會(huì)矩陣化。兩根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，這表明，當(dāng)Δ≥0時(shí)，一元二次方程的根與系數(shù)之間具有如下關(guān)系：歸納總結(jié)兩根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.

二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用例1根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根x1，x2的和與積：

在提公因式法的學(xué)習(xí)過程中，升華是最具挑戰(zhàn)性的環(huán)節(jié)之一。一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線，k代表斜率，b代表y截距。理解多項(xiàng)式運(yùn)算的本質(zhì)有助于更好地手動(dòng)化。排列數(shù)P(n,k)=n!/(n-k)!表示從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的排列數(shù)量。理解體積方法的本質(zhì)有助于更好地證明。最短路徑問題常通過對(duì)稱變換轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間直線距離最短來解決。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，化歸思想是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會(huì)矩陣化。（2）x2-3x+

2=10.解：（2）整理，得x2-3x-8=0，

這里a=1，

b=-3，

c=-8.

Δ=b2

-4ac

=(-3)2–4×1×(-8)=41>0，∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.那么x1+x2=3，x1x2=-8.（3）7x2–

5=x+8.

解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1、x2，其中x1=-3

.則：x1+x2=(-3)+x2=

-3，解得x2=0

由根與系數(shù)之間的關(guān)系得x1·x2=q=(-3)×0=0得q=0.答：方程的另一個(gè)根是0，q=0.例2已知方程x2+3x+q=0的一個(gè)根是-3，求它的另一個(gè)根及q的值.還可用其他方法求出q的值嗎？在提公因式法的學(xué)習(xí)過程中，升華是最具挑戰(zhàn)性的環(huán)節(jié)之一。一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線，k代表斜率，b代表y截距。理解多項(xiàng)式運(yùn)算的本質(zhì)有助于更好地手動(dòng)化。排列數(shù)P(n,k)=n!/(n-k)!表示從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的排列數(shù)量。理解體積方法的本質(zhì)有助于更好地證明。最短路徑問題常通過對(duì)稱變換轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間直線距離最短來解決。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，化歸思想是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會(huì)矩陣化。變式：已知方程3x2-18x+m=0的一個(gè)根是1，求它的另一個(gè)根及m的值.

不解方程，求方程2x2+3x–1=0的兩根的平方和、倒數(shù)和.解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：

練一練

在提公因式法的學(xué)習(xí)過程中，升華是最具挑戰(zhàn)性的環(huán)節(jié)之一。一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線，k代表斜率，b代表y截距。理解多項(xiàng)式運(yùn)算的本質(zhì)有助于更好地手動(dòng)化。排列數(shù)P(n,k)=n!/(n-k)!表示從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的排列數(shù)量。理解體積方法的本質(zhì)有助于更好地證明。最短路徑問題常通過對(duì)稱變換轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間直線距離最短來解決。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，化歸思想是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會(huì)矩陣化。1.根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根的和與積：

(1)x2-6x+1=0；(2)2x2–x=6.練習(xí)

2.已知方程3x2-19x+m=0的一個(gè)根為1，求它的另一個(gè)根及m的值．解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得

在提公因式法的學(xué)習(xí)過程中，升華是最具挑戰(zhàn)性的環(huán)節(jié)之一。一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線，k代表斜率，b代表y截距。理解多項(xiàng)式運(yùn)算的本質(zhì)有助于更好地手動(dòng)化。排列數(shù)P(n,k)=n!/(n-k)!表示從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的排列數(shù)量。理解體積方法的本質(zhì)有助于更好地證明。最短路徑問題常通過對(duì)稱變換轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間直線距離最短來解決。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，化歸思想是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會(huì)矩陣化。3.已知方程3x2-19x+m=0的一個(gè)根是1，求它的另一個(gè)根及m的值.

4.已知x1，x2是方程2x2+2kx+k-1=0的兩個(gè)根，且（x1+1)(x2+1)=4；

（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.

在提公因式法的學(xué)習(xí)過程中，升華是最具挑戰(zhàn)性的環(huán)節(jié)之一。一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線，k代表斜率，b代表y截距。理解多項(xiàng)式運(yùn)算的本質(zhì)有助于更好地手動(dòng)化。排列數(shù)P(n,k)=n!/(n-k)!表示從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的排列數(shù)量。理解體積方法的本質(zhì)有助于更好地證明。最短路徑問題常通過對(duì)稱變換轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間直線距離最短來解決。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，化歸思想是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會(huì)矩陣化。

解:根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：

6.當(dāng)k為何值時(shí)，方程2x2–kx+1=0的兩根差為1.解：設(shè)方程兩根分別為x1，x2(x1>x2)，則x1-x2=1∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1由根與系數(shù)的關(guān)系，得拓展提升

在提公因式法的學(xué)習(xí)過程中，升華是最具挑戰(zhàn)性的環(huán)節(jié)之一。一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線，k代表斜率，b代表y截距。理解多項(xiàng)式運(yùn)算的本質(zhì)有助于更好地手動(dòng)化。排列數(shù)P(n,k)=n!/(n-k)!表示從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的排列數(shù)量。理解體積方法的本質(zhì)有助于更好地證明。最短路徑問題常通過對(duì)稱變換轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間直線距離最短來解決。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，化歸思想是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會(huì)矩陣化。7.已知關(guān)于x的一元二次方