哈三十二中2025～2026學(xué)年度高二上學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試題

一、單選題:本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個

正確選項.

1.已知兩個向量，且，則（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量共線定理，可得的值，即可得到結(jié)果.

【詳解】向量，且，則存在實數(shù)，使得，

即，所以,解得,

故，

故選：B

2.以為頂點的四邊形是（）

A.平行四邊形，但不是矩形B.矩形C.梯形，但不是直角梯形

D.直角梯形

【答案】D

【解析】

【分析】先在坐標系內(nèi)畫出ABCD點，再根據(jù)對邊和鄰邊的位置關(guān)系判斷四邊形ABCD的形狀.

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【詳解】

在坐標系中畫出ABCD點，大致如上圖，其中

，

，

，

所以四邊形ABCD是直角梯形；

故選：D.

3.過點，直線方程是（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用直線方程的兩點式寫出直線方程即可.

【詳解】因為直線過點，，所以直線方程為，

故選：B.

4.點到直線的距離（）

A.B.C.D.2

【答案】A

【解析】

【分析】利用點到直線的距離公式求解即可.

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【詳解】點到直線的距離

故選：A

5.已知點，，則以線段為直徑的圓的方程為（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)直徑求出圓心、半徑即可得解.

【詳解】因為為直徑，所以圓心為，

半徑，

所以圓的方程為.

故選：C.

6.已知是橢圓的左、右焦點，過的直線交于兩點，若，則

（）

A.B.3C.D.2

【答案】B

【解析】

【分析】利用橢圓的定義可得，結(jié)合已知即可得答案.

【詳解】由橢圓的定義，知，

所以，即，

又，所以．

故選：B

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7.在平面直角坐標系中，拋物線的焦點到坐標原點的距離為（）

A.3B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用拋物線性質(zhì)得出焦點，再根據(jù)坐標求兩點之間距離即可.

【詳解】在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，

點到坐標原點的距離為.

故選：B.

8.若雙曲線雙曲線兩條漸近線的夾角為60°，則該雙曲線的離心率e為（）

A.B.2C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線夾角可求出漸近線斜率，利用間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為間關(guān)系得解.

【詳解】由雙曲線方程可知，該雙曲線的漸近線方程為，

因為雙曲線兩條漸近線的夾角為60°，，

所以，即，

所以，即，即，

所以，則.

故選：C.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

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要求，全部選對的得6分，部分選對按比例得分，錯選不得分.

9.關(guān)于直線，則下列結(jié)論正確的是（）

A.傾斜角為B.斜率為

C.在y軸上的截距為D.與直線垂直

【答案】BC

【解析】

分析】直接求出直線斜率，截距，傾斜角即可判斷.

【詳解】直線變形得，

直線斜率，又傾斜角范圍為，故傾斜角為，A錯誤，B正確；

令，，即直線在y軸上的截距為，C正確

又直線的斜率為，與直線不垂直，D錯誤

故選：BC.

10.若過點可以作出圓的兩條切線，則實數(shù)可能的值為（）

A.B.C.D.

【答案】AD

【解析】

【分析】首先分析出點在圓外，則代入得到不等式，解出即可.

【詳解】過可作圓的兩條切線，說明點在圓的外部，

所以，解得或，

故選：AD.

11.對拋物線，下列描述正確的是（）

A.開口向下，準線方程為

B.開口向下，焦點為

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C.開口向左，焦點為

D.開口向左，準線方程為

【答案】AB

【解析】

【分析】先化為標準方程，求得焦點坐標和準線方程即可判斷.

【詳解】由題設(shè)，拋物線可化為，

開口向下，焦點為，準線方程為.所以AB正確，CD錯誤.

故選：AB.

三、填空題：本題3個小題，每題5分，共15分.

12.直線與圓相交所得的弦長為__________.

【答案】

【解析】

【分析】首先確定圓心和半徑，應(yīng)用點線距離公式求圓心到直線的距離，再利用幾何法求相交弦長即可.

【詳解】由，可知圓心為，半徑為，

所以到的距離，

則直線與圓相交所得的弦長為.

故答案為：.

13.已知拋物線上一點的橫坐標為3，則點到拋物線焦點的距離是__________.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線定義直接求得答案.

【詳解】拋物線的準線為，

所以該拋物線上點到其焦點的距離為.

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故答案為：4

14.我們把離心率為的雙曲線稱為“黃金雙曲線”．已知“黃金雙曲線”

，則的虛軸長為__________．

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)條件及離心率的定義，得到，即可求解.

【詳解】因為，即，解得，所以

的虛軸長為，

故答案為：.

四、解答題：本題共四個小題，共47分

15.若直線經(jīng)過直線與的交點，且與直線平行.

（1）求直線的方程；

（2）求直線與的距離.

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】（1）先求得兩直線的交點，再由直線與直線平行求解；

（2）利用兩直線間的距離公式求解.

【小問1詳解】

因為直線過直線和的交點，

由，解得，即點，

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因為直線的斜率為2，且直線與直線平行，

所以直線的方程為，即.

【小問2詳解】

直線與直線的距離為.

16.如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形．

（1）證明：；

（2）若，求二面角的正弦值．

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

【分析】（1）只需證明平面，再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理即可得證；

（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，求出平面、平面的法向量，結(jié)合向量夾角的余弦公式、平方

關(guān)系即可求解.

【小問1詳解】

因為底面為正方形，所以，

又因為平面，平面，

所以，

又因為，，平面，

所以平面，

又因為平面，

所以；

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【小問2詳解】

由題意以為坐標原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為，所以，

所以，

設(shè)平面、平面的法向量分別為，

則，，

令，解得，

故可取，

所以，

所以二面角的正弦值為.

17.已知的頂點坐標分別為.圓為的外接圓.

（1）求圓方程；

（2）若直線，求證：不論為何值，直線與圓相交.

【答案】（1）

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）設(shè)圓的方程為一般方程，代入三點坐標可得答案；

（2）判斷出直線過定點，且定點在圓內(nèi)可得答案.

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【小問1詳解】

設(shè)圓的方程為，

因為在圓上，

所以，解得，滿足，

所以圓的方程為；

【小問2詳解】

直線，對于，

可得，解得