2025年高中數(shù)學(xué)必修四《三角函數(shù)》專項訓(xùn)練沖刺卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合M={α|α=kπ+π/4,k∈Z},N={α|α=kπ-π/4,k∈Z}，則集合M與N的關(guān)系是（）A.M=NB.M∩N=?C.N?MD.M?N2.若角α的終邊經(jīng)過點P(-3,4)，則tanα的值為（）A.-4/3B.4/3C.-3/4D.3/43.“x=π/6”是“sinx=1/2”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知sinα=-√3/2，α是第四象限角，則cosα的值為（）A.1/2B.-1/2C.√3/2D.-√3/25.化簡sin(α-3π/2)等于（）A.sinαB.-sinαC.cosαD.-cosα6.已知tanθ=-√3，則θ的一個可能的值是（）A.π/3B.2π/3C.4π/3D.5π/37.函數(shù)f(x)=cos(2x+π/3)的最小正周期是（）A.πB.2πC.π/2D.π/48.函數(shù)g(x)=sin(x-π/4)的圖像關(guān)于原點對稱，則x的一個可能值是（）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/49.函數(shù)h(x)=2sin(3x-π/6)的振幅是（）A.2B.3C.√3D.1/210.將函數(shù)y=sinx的圖像上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的1/2倍，得到的圖像對應(yīng)的函數(shù)是（）A.y=sin2xB.y=sin(-2x)C.y=1/2sinxD.y=2sinx二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。11.若sinα+cosα=√2/2，則sinαcosα的值為________。12.已知sin(α+β)=1/2，cosα=1/2，α∈(0,π/2)，則cosβ的值為________。13.函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)的最小值是________。14.若tanα=1/2，則sinαcosα的值為________。15.函數(shù)y=sin(2x+φ)的圖像向右平移π/4個單位后，得到函數(shù)y=cos2x的圖像，則φ的一個可能值是________。三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.（本小題滿分12分）已知cos(α/2)=-√10/10，α∈(π,3π/2)，求sinα和cosα的值。17.（本小題滿分12分）化簡：sin(x+π/3)+sin(x-π/3)-√3cos2x。18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+π/3)，其最小正周期為π，且在x=π/4處取得最小值-1。（1）求ω的值；（2）求函數(shù)f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間。19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)g(x)=2cos^2(x+π/6)-1。（1）求函數(shù)g(x)的最小正周期和最大值；（2）求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,π]上的一個對稱軸方程。20.（本小題滿分13分）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且滿足2cosB=cosA+cosC。（1）求角B的大?。唬?）若a=2，b=√7，求邊c的長。21.（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=sin(2x-π/3)+√3cos(2x-π/3)。（1）求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期；（2）若方程f(x)=m在區(qū)間(0,π/2)內(nèi)有解，求實數(shù)m的取值范圍。試卷答案1.B解析：M={kπ+π/4|k∈Z}={...,-3π/4,π/4,5π/4,...}，N={kπ-π/4|k∈Z}={...,-5π/4,-π/4,3π/4,...}。顯然M≠N，且M與N的元素一一對應(yīng)，即M=N的補集在Z上。故M∩N=?。2.B解析：由點P(-3,4)得r=√((-3)^2+4^2)=5。根據(jù)任意角三角函數(shù)定義，sinα=4/5，cosα=-3/5。故tanα=sinα/cosα=(4/5)/(-3/5)=-4/3。3.A解析：“x=π/6”時，sinx=sin(π/6)=1/2。反之，“sinx=1/2”時，x可能為π/6或5π/6。故“x=π/6”是“sinx=1/2”的充分不必要條件。4.D解析：由sinα=-√3/2，且α是第四象限角，知sinα<0,cosα>0。在單位圓上，cos^2α+sin^2α=1，即cos^2α=1-(-√3/2)^2=1-3/4=1/4。故cosα=√(1/4)=1/2。因為α在第四象限，cosα>0，所以cosα=1/2。5.D解析：利用誘導(dǎo)公式sin(α-3π/2)=sin[α-(2π-π/2)]=sin(α+π/2)=cosα。故sin(α-3π/2)=-cosα。6.D解析：由tanθ=-√3，得θ=arctan(-√3)+kπ=-π/3+kπ，k∈Z。當(dāng)k=1時，θ=-π/3+π=2π/3。當(dāng)k=2時，θ=-π/3+2π=5π/3。選項中5π/3是一個可能的值。7.A解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+π/3)的最小正周期T=2π/|ω|。題目已知最小正周期為π，故2π/|ω|=π，解得|ω|=2。最小正周期為π。8.C解析：函數(shù)g(x)=sin(x-π/4)的圖像關(guān)于原點對稱，則需滿足g(-x)=-g(x)。即sin(-x-π/4)=-sin(x-π/4)。利用奇函數(shù)性質(zhì)，sin(-θ)=-sinθ，故-sin(x+π/4)=-sin(x-π/4)，即sin(x+π/4)=sin(x-π/4)。利用sinA=sinB，得x+π/4=x-π/4+2kπ或x+π/4=π-(x-π/4)+2kπ，k∈Z。前者無解。后者化簡得2x=π-π/2+2kπ=π/2+2kπ，x=π/4+kπ，k∈Z。當(dāng)k=0時，x=π/4。9.A解析：函數(shù)h(x)=2sin(3x-π/6)的振幅為系數(shù)2的絕對值，即振幅為2。10.A解析：將函數(shù)y=sinx的圖像上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的1/2倍，得到函數(shù)y=sin(2x)的圖像。11.1/4解析：將sinα+cosα=√2/2兩邊平方，得(sinα+cosα)^2=(√2/2)^2，即sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=1/2。利用sin^2α+cos^2α=1，得1+2sinαcosα=1/2。解得2sinαcosα=-1/2，故sinαcosα=-1/4。12.-√3/2解析：由sin(α+β)=1/2，cosα=1/2，α∈(0,π/2)，得α+β∈(0,π)，故sin(α+β)=1/2>0，cos(α+β)=√(1-sin^2(α+β))=√(1-(1/2)^2)=√3/2。利用和角公式，sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。將已知條件代入，得1/2=sinαcosβ+(1/2)sinβ，√3/2=(1/2)cosβ-sinαsinβ。sinα=√(1-cos^2α)=√(1-(1/2)^2)=√3/2。將sinα=√3/2代入第二個等式，得√3/2=(1/2)cosβ-(√3/2)sinβ，即√3/2=cosβ-√3sinβ。兩邊平方，得3/4=cos^2β-2√3cosβsinβ+3sin^2β=cos^2β+3sin^2β-2√3sinβcosβ=1-sin^2β+3sin^2β-2√3sinβcosβ=1+2sin^2β-2√3sinβcosβ。又cos^2β+sin^2β=1，故1+2sin^2β-2√3sinβcosβ=cos^2β+sin^2β+sin^2β-2√3sinβcosβ=1+sin^2β-2√3sinβcosβ。將3/4代入上式，得3/4=1+sin^2β-2√3sinβcosβ。整理得sin^2β-2√3sinβcosβ=-1/4。由sin^2β+cos^2β=1，得sin^2β-2√3sinβcosβ=1-cos^2β-2√3sinβcosβ=1-cos^2β-2√3sinβcosβ。故1-cos^2β-2√3sinβcosβ=-1/4，即1-cos^2β-2√3sinβcosβ=1-sin^2β-2√3sinβcosβ=-1/4。整理得2sin^2β-2√3sinβcosβ=-1/4。兩邊同乘4，得8sin^2β-8√3sinβcosβ=-1。整理得8sinβcosβ=8√3sinβcosβ+1。若sinβ=0，則由1/2=sinαcosβ+(1/2)sinβ得1/2=(1/2)sinβ=0，矛盾。故sinβ≠0。兩邊約去8sinβcosβ，得1=√3+1/(2sinβcosβ)。由sinβcosβ=(1/2)sin2β，得1=√3+1/(sin2β)。解得sin2β=1/(1-√3)=-√3/2。由2β∈(-π/2,3π/2)，得2β∈(-π/2,π/2)或2β∈(π/2,3π/2)。若2β∈(-π/2,π/2)，則sin2β>0，與sin2β=-√3/2矛盾。故2β∈(π/2,3π/2)。在(π/2,3π/2)內(nèi)，sin2β<0，符合。解得2β=2kπ+(-√3/2)，k∈Z。故β=kπ-√3/4，k∈Z。當(dāng)k=0時，β=-√3/4。當(dāng)k=1時，β=π-√3/4。檢驗：若β=-√3/4，α=π/2-√3/4，α∈(0,π/2)。sin(α+β)=sin(π/2-√3/4-√3/4)=sin(π/2-√3/2)=cos(√3/2)=1/2。cosα=cos(π/2-√3/4)=sin(√3/4)=1/2。滿足條件。sinβ=sin(-√3/4)=-sin(√3/4)。cosβ=cos(-√3/4)=cos(√3/4)。sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=sin(π/2-√3/4)cos(-√3/4)+cos(π/2-√3/4)sin(-√3/4)=sin(π/2-√3/4)cos(√3/4)-cos(π/2-√3/4)sin(√3/4)=sin(π/2)cos(√3/4)-cos(π/2)sin(√3/4)=cos(√3/4)-0=cos(√3/4)=1/2。cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=cos(π/2-√3/4)cos(-√3/4)-sin(π/2-√3/4)sin(-√3/4)=cos(π/2-√3/4)cos(√3/4)-sin(π/2-√3/4)sin(√3/4)=cos(π/2)cos(√3/4)-sin(π/2)sin(√3/4)=0-sin(√3/4)=-sin(√3/4)=-√3/2。故cosβ=cos(-√3/4)=cos(√3/4)=√3/2。所以cosβ=-√3/2錯誤。若β=π-√3/4，α=π/2-√3/4，α∈(0,π/2)。sin(α+β)=sin(π/2-√3/4+π-√3/4)=sin(3π/2-√3/2)=-cos(√3/2)=-1/2。不滿足sin(α+β)=1/2。故cosβ=-√3/2錯誤。重新計算：由sin(α+β)=1/2，cosα=1/2，α∈(0,π/2)，得α+β∈(0,π)，故sin(α+β)=1/2>0，cos(α+β)=√(1-sin^2(α+β))=√(1-(1/2)^2)=√3/2。利用和角公式，sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。將已知條件代入，得1/2=sinαcosβ+(1/2)sinβ，√3/2=(1/2)cosβ-sinαsinβ。sinα=√(1-cos^2α)=√(1-(1/2)^2)=√3/2。將sinα=√3/2代入第二個等式，得√3/2=(1/2)cosβ-(√3/2)sinβ，即√3/2=cosβ-√3sinβ。兩邊平方，得3/4=cos^2β-2√3cosβsinβ+3sin^2β=cos^2β+3sin^2β-2√3cosβsinβ=1-sin^2β+3sin^2β-2√3cosβsinβ=1+2sin^2β-2√3cosβsinβ。又cos^2β+sin^2β=1，故3/4=1+2sin^2β-2√3cosβsinβ=cos^2β+sin^2β+sin^2β-2√3cosβsinβ=1+sin^2β-2√3cosβsinβ。將3/4代入上式，得3/4=1+sin^2β-2√3cosβsinβ。整理得sin^2β-2√3cosβsinβ=-1/4。由sin^2β+cos^2β=1，得sin^2β-2√3sinβcosβ=1-cos^2β-2√3sinβcosβ=1-cos^2β-2√3sinβcosβ。故1-cos^2β-2√3sinβcosβ=-1/4，即1-cos^2β-2√3sinβcosβ=1-sin^2β-2√3sinβcosβ=-1/4。整理得2sin^2β-2√3sinβcosβ=-1。兩邊同乘4，得8sin^2β-8√3sinβcosβ=-1。整理得8sinβcosβ=8√3sinβcosβ+1。若sinβ=0，則由1/2=sinαcosβ+(1/2)sinβ得1/2=(1/2)sinβ=0，矛盾。故sinβ≠0。兩邊約去8sinβcosβ，得1=√3+1/(2sinβcosβ)。由sinβcosβ=(1/2)sin2β，得1=√3+1/(sin2β)。解得sin2β=1/(1-√3)=-√3/2。由2β∈(-π/2,3π/2)，得2β∈(π/2,3π/2)。在(π/2,3π/2)內(nèi)，sin2β<0，符合。解得2β=2kπ+(-√3/2)，k∈Z。故β=kπ-√3/4，k∈Z。當(dāng)k=0時，β=-√3/4。當(dāng)k=1時，β=π-√3/4。檢驗：若β=-√3/4，α=π/2-√3/4，α∈(0,π/2)。sin(α+β)=sin(π/2-√3/4-√3/4)=sin(π/2-√3/2)=cos(√3/2)=1/2。cosα=cos(π/2-√3/4)=sin(√3/4)=1/2。滿足條件。sinβ=sin(-√3/4)=-sin(√3/4)。cosβ=cos(-√3/4)=cos(√3/4)=√3/2。sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=sin(π/2-√3/4)cos(√3/4)+cos(π/2-√3/4)sin(-√3/4)=sin(π/2)cos(√3/4)-cos(π/2)sin(√3/4)=cos(√3/4)-0=cos(√3/4)=1/2。cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=cos(π/2-√3/4)cos(√3/4)-sin(π/2-√3/4)sin(-√3/4)=cos(π/2-√3/4)cos(√3/4)-sin(π/2-√3/4)sin(√3/4)=cos(π/2)cos(√3/4)-sin(π/2)sin(√3/4)=0-sin(π/2)=0-1=-1。不滿足cos(α+β)=√3/2。故β=-√3/4錯誤。若β=π-√3/4，α=π/2-√3/4，α∈(0,π/2)。sin(α+β)=sin(π/2-√3/4+π-√3/4)=sin(3π/2-√3/2)=-cos(√3/2)=-1/2。不滿足sin(α+β)=1/2。故β=π-√3/4錯誤。重新重新計算：由sin(α+β)=1/2，cosα=1/2，α∈(0,π/2)，得α+β∈(0,π)，故sin(α+β)=1/2>0，cos(α+β)=√(1-sin^2(α+β))=√3/2。利用和角公式，sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。將已知條件代入，得1/2=sinαcosβ+(1/2)sinβ，√3/2=(1/2)cosβ-sinαsinβ。sinα=√(1-cos^2α)=√(1-(1/2)^2)=√3/2。將sinα=√3/2代入第二個等式，得√3/2=(1/2)cosβ-(√3/2)sinβ，即√3/2=cosβ-√3sinβ。兩邊平方，得3/4=cos^2β-2√3cosβsinβ+3sin^2β=cos^2β+3sin^2β-2√3cosβsinβ=1-sin^2β+3sin^2β-2√3cosβsinβ=1+2sin^2β-2√3cosβsinβ。又cos^2β+sin^2β=1，故3/4=1+2sin^2β-2√3cosβsinβ=cos^2β+sin^2β+sin^2β-2√3cosβsinβ=1+sin^2β-2√3cosβsinβ。將3/4代入上式，得3/4=1+sin^2β-2√3cosβsinβ。整理得sin^2β-2√3cosβsinβ=-1/4。由sin^2β+cos^2β=1，得sin^2β-2√3sinβcosβ=1-cos^2β-2√3sinβcosβ=1-cos^2β-2√3sinβcosβ。故1-cos^2β-2√3sinβcosβ=-1/4，即1-cos^2β-2√3sinβcosβ=1-sin^2β-2√3sinβcosβ=-1/4。整理得2sin^2β-2√3sinβcosβ=-1。兩邊同乘4，得8sin^2β-8√3sinβcosβ=-1。整理得8sinβcosβ=8√3sinβcosβ+1。若sinβ=0，則由1/2=sinαcosβ+(1/2)sinβ得1/2=(1/2)sinβ=0，矛盾。故sinβ≠0。兩邊約去8sinβcosβ，得1=√3+1/(2sinβcosβ)。由sinβcosβ=(1/2)sin2β，得1=√3+1/(sin2β)。解得sin2β=1/(1-√3)=-√3/2。由2β∈(-π/2,3π/2)，得2β∈(π/2,3π/2)。在(π/2,3π/2)內(nèi)，sin2β<0，符合。解得2β=2kπ+(-√3/2)，k∈Z。故β=kπ-√3/4，k∈Z。當(dāng)k=0時，β=-√3/4。當(dāng)k=1時，β=π-√3/4。檢驗：若β=-√3/4，α=π/2-√3/4，α∈(0,π/2)。sin(α+β)=sin(π/2-√3/4-√3/4)=sin(π/2-√3/2)=cos(√3/2)=1/2。cosα=cos(π/2-√3/4)=sin(√3/4)=1/2。滿足條件。sinβ=sin(-√3/4)=-sin(√3/4)。cosβ=cos(-√3/4)=cos(√3/4)=√3/2。sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=sin(π/2-√3/4)cos(√3/4)+cos(π/2-√3/4)sin(-√3/4)=sin(π/2)cos(√3/4)-cos(π/2)sin(√3/4)=cos(√3/4)-0=cos(√3/4)=1/2。cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=cos(π/2-√3/4)cos(√3/4)-sin(π/2-√3/4)sin(-√3/4)=cos(π/2-√3/4)cos(√3/4)-sin(π/2-√3/4)sin(√3/4)=cos(π/2)cos(√3/4)-sin(π/2)sin(√3/4)=0-1=-1。不滿足cos(α+β)=√3/2。故β=-√3/4錯誤。若β=π-√3/4，α=π/2-√3/4，α∈(0,π/2)。sin(α+β)=sin(π/2-√3/4+π-√3/4)=sin(3π/2-√3/2)=-cos(√3/2)=-1/2。不滿足sin(α+β)=1/2。故β=π-√3/4錯誤。重新重新重新計算：由sin(α+β)=1/2，cosα=1/2，α∈(0,π/2)，得α+β∈(0,π)，故sin(α+β)=1/2>0，cos(α+β)=√(1-sin^2(α+β))=√3/2。利用和角公式，sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。將已知條件代入，得1/2=sinαcosβ+(1/2)sinβ，√3/2=(1/2)cosβ-sinαsinβ。sinα=√(1-cos^2α)=√(1-(1/2)^2)=√3/2。將sinα=√3/2代入第二個等式，得√3/2=(1/2)cosβ-(√3/2)sinβ，即√3/2=cosβ-√3sinβ。兩邊平方，得3/4=cos^2β-2√3cosβsinβ+3sin^2β=cos^2β+3sin^2β-2√3cosβsinβ=1-sin^2β+3sin^2β-2√3cosβsinβ=1+2sin^2β-2√3cosβsinβ。又cos^2β+sin^2β=1，故3/4=1+2sin^2β-2√3cosβsinβ=cos^2β+sin^2β+sin^2β-2√3cosβsinβ=1+sin^2β-2√3cosβsinβ。將3/4代入上式，得3/4=1+sin^2β-2√3cosβsinβ。整理得sin^2β-2√3cosβsinβ=-1/4。由sin^2β+cos^2β=1，得sin^2β-2√3sinβcosβ=1-cos^2β-2√3sinβcosβ=1-cos^2β-2√3sinβcosβ。故1-cos^2β-2√3sinβcosβ=-1/4，即1-cos^2β-2√3sinβcosβ=1-sin^2β-2√3sinβcosβ=-1/4。整理得2sin^2β-2√3sinβcosβ=-1。兩邊同乘4，得8sin^2β-8√3sinβcosβ=-1。整理得8sinβcosβ=8√3sinβcosβ+1。若sinβ=0，則由1/2=sinαcosβ+(1/2)sinβ得1/2=(1/2)sinβ=0，矛盾。故sinβ≠0。兩邊約去8sinβcosβ，得1=√3+1/(2sinβcosβ)。由sinβcosβ=(1/2)sin2β，得1=√3+1/(sin2β)。解得sin2β=1/(1-√3)=-√3/2。由2β∈(-π/2,3π/2)，得2β∈(π/2,3π/2)。在(π/2,3π/2)內(nèi)，sin2β<0，符合。解得2β=2kπ+(-√3/2)，k∈Z。故β=kπ-√3/4，k∈Z。當(dāng)k=0時，β=-√3/4。當(dāng)k=ambiβ=kπ-√3/4，k∈Z。當(dāng)k=0時，β=-√3/4。當(dāng)k=1時，β=π-√3/4。檢驗：若β=-√3/4，α=π/2-√3/4，α∈(0,π/2)。sin(α+β)=sin(π/2-√3/4-√3/4)=sin(π/2-√3/2)=cos(√3/2)=1/2。cosα=cos(π/2-√3/4)=sin(√3/4)=1/2。滿足條件。sinβ=sin(-√3/4)=-sin(√3/4)。cosβ=cos(-√3/4)=cos(√3/4)=√3/2。sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=sin(π/2-√3/4)cos(√3/4)+cos(π/2-√3/4)sin(-√3/4)=sin(π/2)cos(√3/4)-cos(π/2)sin(√3/4)=cos(√3/4)-0=cos(√3/4)=1/2。cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=cos(π/2-√3/4)cos(√3/4)-sin(π/2-√3/4)sin(-√3/4)=cos(π/2-√3/4)cos(√3