第二章測(cè)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)所進(jìn)行的數(shù)學(xué)教學(xué)測(cè)量，主要是研究如何對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平提供客觀的、準(zhǔn)確的、穩(wěn)定的度量。數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)測(cè)量的一種工具。當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)改革提出了有關(guān)測(cè)驗(yàn)的類(lèi)型、題型、編制和定量分析等多方面值得探索的課題。本章主要討論測(cè)驗(yàn)的可靠性和有效性，題目的難度和區(qū)分度等問(wèn)題。第一節(jié)信度信度是衡量測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)一致性或可靠性的一個(gè)指標(biāo)，即用一個(gè)或一組測(cè)驗(yàn)對(duì)同一被試群體施測(cè)多次，所得結(jié)果的一致性程度，以及測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)所反映被試真實(shí)水平(即真分?jǐn)?shù))的可靠性程度。如果對(duì)一組學(xué)生用同一個(gè)測(cè)驗(yàn)實(shí)施兩次，測(cè)試的結(jié)果完全一樣，可以認(rèn)為該測(cè)驗(yàn)完全可靠，這時(shí)它的信度系數(shù)為1。但在現(xiàn)實(shí)中這種測(cè)驗(yàn)是很難找到的。在測(cè)量心理屬性的教學(xué)測(cè)量中，與測(cè)量目標(biāo)無(wú)關(guān)的變量(或因素)對(duì)測(cè)量的不準(zhǔn)確和不一致的效應(yīng)，使這類(lèi)測(cè)量產(chǎn)生各種誤差。誤差越大，信度越低；而誤差越小，信度越高。因此，確定測(cè)驗(yàn)的客觀性和可靠性程度的關(guān)鍵在于控制各種誤差，使測(cè)驗(yàn)?zāi)軠y(cè)出心理屬性的客觀量數(shù)，并使其具有良好的穩(wěn)定性。怎樣提高測(cè)驗(yàn)的信度，是值得進(jìn)一步研究的問(wèn)題。一、信度的概念我們知道，影響信度的主要因素是測(cè)量中的誤差。那么誤差又是如何產(chǎn)生的呢？一般情況下，測(cè)量資料存在三種誤差。一是抽樣誤差。它是由機(jī)遇或抽樣變動(dòng)而造成的誤差。它的估計(jì)值Sx是樣本標(biāo)準(zhǔn)差S與樣本容量n的算術(shù)平方根之比。由于測(cè)驗(yàn)取樣容量n總是相當(dāng)大，因此Sx很小，可以忽略不計(jì)。二是隨機(jī)誤差。它是由偶然因素引起的無(wú)規(guī)律的誤差，是由心理屬性的行為反應(yīng)所造成的。三是系統(tǒng)誤差。它是由與測(cè)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)無(wú)關(guān)的某種常定因素所引起的恒定的、有規(guī)律性變化的誤差。由于這種誤差的影響，可使每個(gè)學(xué)生的得分普遍偏高或普遍偏低，但是，它在測(cè)驗(yàn)成績(jī)中不會(huì)引起不一致性。因此，測(cè)驗(yàn)的可靠性主要是研究如何控制隨機(jī)誤差問(wèn)題。為此，我們將通過(guò)真分?jǐn)?shù)、隨機(jī)誤差與所得分?jǐn)?shù)的關(guān)系來(lái)揭示隨機(jī)誤差對(duì)信度的影響程度。1．真分?jǐn)?shù)在無(wú)數(shù)次測(cè)驗(yàn)中所得分?jǐn)?shù)的期望值稱作真分?jǐn)?shù)。由于測(cè)量誤差在測(cè)驗(yàn)中不可避免地存在，因此，真分?jǐn)?shù)只是理論上的概念。根據(jù)真分?jǐn)?shù)理論，我們可以將學(xué)生個(gè)體的測(cè)驗(yàn)實(shí)際得分X表示成真分?jǐn)?shù)T與隨機(jī)誤差分?jǐn)?shù)E的和，即X＝T＋E。真分?jǐn)?shù)理論存在著兩個(gè)假設(shè)：一是真分?jǐn)?shù)與誤差分?jǐn)?shù)相互獨(dú)立，即真分?jǐn)?shù)與誤差分?jǐn)?shù)的相關(guān)系數(shù)rte為零；二是由于隨機(jī)誤差是無(wú)規(guī)律的，不會(huì)傾向于任何一個(gè)方面，所以當(dāng)測(cè)量次數(shù)n足夠大時(shí)，隨機(jī)誤差的總和為零。隨機(jī)誤差反映了在一定條件下，測(cè)驗(yàn)的某一種特性。像X＝T＋E2．信度的定義信度是反映測(cè)驗(yàn)成績(jī)?cè)诓煌瑮l件下一致性程度的指標(biāo)。信度在理論上被定義為：在一組測(cè)驗(yàn)中真分?jǐn)?shù)方差與所得分?jǐn)?shù)方差之比，即這里的rxx也稱為信度系數(shù)。由上述兩式，可得信度反映了在所得分?jǐn)?shù)的方差中，測(cè)驗(yàn)受隨機(jī)誤差影響的程度，也就是測(cè)驗(yàn)的可靠程度。由信度的理論定義可知，信度系數(shù)rxx的范圍是[0，1]。當(dāng)rxx＝0.90時(shí)，可以認(rèn)為測(cè)驗(yàn)所得分?jǐn)?shù)中有90%的方差來(lái)自真分?jǐn)?shù)的方差，僅有10%來(lái)自測(cè)量的隨機(jī)誤差。同時(shí)，所得分?jǐn)?shù)的方差強(qiáng)調(diào)團(tuán)體測(cè)驗(yàn)的一致性，這就說(shuō)明信度不僅與測(cè)量工具有關(guān)，而且還與受測(cè)團(tuán)體有關(guān)。因此討論信度時(shí)，必須明確標(biāo)明在某種條件下，用于某一團(tuán)體的測(cè)驗(yàn)所具有的可靠性程度。信度的另一個(gè)涵義是：測(cè)驗(yàn)所得分?jǐn)?shù)與真分?jǐn)?shù)的相關(guān)系數(shù)rxt之平方，就是rxx＝r2XT。信度和真分?jǐn)?shù)—樣是一個(gè)無(wú)法確切知道的理論概念，只能通過(guò)一些估計(jì)的方法來(lái)推斷。一般情況下，在規(guī)模較大的測(cè)驗(yàn)中，信度系數(shù)應(yīng)不低于0.90，以達(dá)到0.95為好；學(xué)校平時(shí)測(cè)驗(yàn)的信度系數(shù)也應(yīng)不低于0.60。3．影響信度的因素由誤差來(lái)源可知，隨機(jī)誤差是影響信度的因素。它的主要表現(xiàn)，一是測(cè)驗(yàn)內(nèi)容的自身方面，如測(cè)驗(yàn)內(nèi)容取樣的多少，作答時(shí)猜測(cè)的機(jī)率，指導(dǎo)語(yǔ)的清晰程度；二是施測(cè)過(guò)程方面，如測(cè)驗(yàn)環(huán)境，測(cè)驗(yàn)時(shí)間，主試因素，意外干擾，閱卷評(píng)分；三是受測(cè)者自身方面，如應(yīng)試動(dòng)機(jī)，焦慮心理，生理因素，測(cè)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)與技巧等。除了隨機(jī)誤差以外，影響測(cè)驗(yàn)信度的還有如下因素。(1)受測(cè)團(tuán)體的范圍信度系數(shù)與相關(guān)系數(shù)一樣，受到分?jǐn)?shù)分布范圍的影響，受測(cè)團(tuán)體的水平越接近，測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的分布范圍越小，隨機(jī)誤差的影響就越大，信度就越低。反之，分?jǐn)?shù)分布范圍越大，信度就越高。從信度的理論定義可rxx就隨之增大。例如，在數(shù)學(xué)學(xué)科高考和會(huì)考中市重點(diǎn)中學(xué)、區(qū)(縣)重點(diǎn)中學(xué)、普通完全中學(xué)分類(lèi)所得分?jǐn)?shù)方差均小于全市所得分?jǐn)?shù)方差，這三類(lèi)學(xué)校分別的統(tǒng)計(jì)信度低于全市學(xué)校總體的信度。它反映了不同受測(cè)團(tuán)體對(duì)信度的影響。(2)測(cè)驗(yàn)的長(zhǎng)度測(cè)驗(yàn)所含題目的數(shù)量稱作測(cè)驗(yàn)的長(zhǎng)度。測(cè)驗(yàn)的題目越多，測(cè)量學(xué)生水平的可靠性越高，即信度越高。在一般情況下，測(cè)驗(yàn)長(zhǎng)度增加時(shí)信度也隨之提高。如果在某個(gè)測(cè)驗(yàn)中增加與該測(cè)驗(yàn)同質(zhì)的試題，并且它們具有相同的難度，就可以改進(jìn)信度。由斯皮爾曼－布朗(Spearman－Brown)公式可導(dǎo)出計(jì)算測(cè)驗(yàn)長(zhǎng)度的公式其中，n是增加試題后的測(cè)驗(yàn)長(zhǎng)度與原測(cè)驗(yàn)長(zhǎng)度的比率，rtt是原測(cè)驗(yàn)信度系數(shù)，rnn是增加測(cè)驗(yàn)長(zhǎng)度為原測(cè)驗(yàn)的n倍時(shí)的信度系數(shù)。由計(jì)算測(cè)驗(yàn)長(zhǎng)度公式可以確定一個(gè)信度較低的測(cè)驗(yàn)，需要增加多少題目才能使它的信度達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。例如，某測(cè)驗(yàn)的信度系數(shù)是0.75，要增加多少長(zhǎng)度才能使信度達(dá)到0.90？由于所以當(dāng)原測(cè)驗(yàn)信度為0.75時(shí)，測(cè)驗(yàn)題量需增加至原來(lái)的3倍，才可使信度達(dá)到0.90。另一方面，當(dāng)測(cè)驗(yàn)長(zhǎng)度過(guò)長(zhǎng)，需要?jiǎng)h減適當(dāng)題量，而刪減多少才不致對(duì)信度造成較大的影響，這也可利用計(jì)算公式作出斷定。(3)測(cè)驗(yàn)的難度測(cè)驗(yàn)的難易將會(huì)影響分?jǐn)?shù)的分布范圍。測(cè)驗(yàn)太易或太難都會(huì)使分?jǐn)?shù)的分布范圍縮小，隨之使信度降低。這就需要研究，測(cè)驗(yàn)應(yīng)該具有怎樣的難度才能提高信度。本章第三節(jié)將繼續(xù)討論這個(gè)問(wèn)題。我們知道，根據(jù)解釋測(cè)驗(yàn)成績(jī)的參照標(biāo)準(zhǔn)，可以把測(cè)驗(yàn)劃分為常模參照測(cè)驗(yàn)和標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)。在常模參照測(cè)驗(yàn)中，測(cè)驗(yàn)的成績(jī)以常模作為參照標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行解釋。所謂常模，是指參加測(cè)驗(yàn)的全體學(xué)生或者一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化樣本(經(jīng)過(guò)選擇，能代表全體學(xué)生的一個(gè)學(xué)生群體)在測(cè)驗(yàn)中實(shí)際達(dá)到的平均水平。而標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)是以事先制定的標(biāo)準(zhǔn)或表示完成這一標(biāo)準(zhǔn)程度的等級(jí)分?jǐn)?shù)作為參照標(biāo)準(zhǔn)解釋成績(jī)的一種測(cè)驗(yàn)。以下分別討論常模參照測(cè)驗(yàn)和標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)的信度。二、常模參照測(cè)驗(yàn)的信度由于真分?jǐn)?shù)無(wú)法直接測(cè)量，前面所述的信度定義是一種理論概念，所以只能根據(jù)測(cè)驗(yàn)所得分?jǐn)?shù)來(lái)推算信度。對(duì)常模參照測(cè)驗(yàn)來(lái)說(shuō)，主要有穩(wěn)定性信度，等值性信度和內(nèi)在一致性信度。1．穩(wěn)定性信度對(duì)一組受測(cè)者先后兩次施測(cè)同一測(cè)驗(yàn)所得分?jǐn)?shù)的一致性稱作穩(wěn)定性信度，它通常被表示為兩次測(cè)驗(yàn)所得分?jǐn)?shù)的相關(guān)系數(shù)(以下稱穩(wěn)定系數(shù))。由于兩次測(cè)驗(yàn)先后進(jìn)行，所以又稱為再測(cè)信度。計(jì)算穩(wěn)定系數(shù)的方法是求兩次測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的積差相關(guān)系數(shù)。如果收集到的是原始數(shù)據(jù)，可用下列公式計(jì)算：其中，rtt是信度系數(shù)，x1i、x2i是第i個(gè)受測(cè)者先后兩次測(cè)驗(yàn)所得分?jǐn)?shù)，n是受測(cè)人數(shù)。如果收集到的數(shù)據(jù)還有兩次測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，則上式為次測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。在計(jì)算穩(wěn)定系數(shù)時(shí)，首測(cè)與再測(cè)時(shí)間間隔的長(zhǎng)短應(yīng)該依據(jù)測(cè)驗(yàn)的性質(zhì)、題型、題量和受測(cè)者的特點(diǎn)來(lái)決定。穩(wěn)定性信度適用于包含幾個(gè)相關(guān)程度很低的不同性質(zhì)內(nèi)容的測(cè)驗(yàn)。穩(wěn)定性信度適用于速度測(cè)驗(yàn)而不適用于難度測(cè)驗(yàn)。速度測(cè)驗(yàn)的測(cè)題數(shù)量較多，且有一定的時(shí)間限制，受測(cè)者很難記住前一次測(cè)驗(yàn)的內(nèi)容，受記憶影響較小。難度測(cè)驗(yàn)則相反。2．等值性信度兩個(gè)復(fù)份測(cè)驗(yàn)之間分?jǐn)?shù)的一致性稱作等值性信度，通常被表示為兩個(gè)復(fù)份測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的相關(guān)系數(shù)(以下稱等值系數(shù))。所謂復(fù)份測(cè)驗(yàn)是指在測(cè)驗(yàn)性質(zhì)、內(nèi)容、題型、題量、難度等方面均為一致的A、B兩個(gè)測(cè)驗(yàn)，這兩個(gè)測(cè)驗(yàn)中的一個(gè)幾乎是另一個(gè)的復(fù)本，所以等值性信度又稱為復(fù)本信度。計(jì)算等值系數(shù)的方法是，先用A卷施測(cè)，然后在較短的時(shí)間間隔內(nèi)施測(cè)B卷，再求它們得分的積差相關(guān)系數(shù)。例如，以摸底測(cè)試和高中會(huì)考兩份試卷對(duì)高三部分學(xué)生施測(cè)，摸底測(cè)試成績(jī)?nèi)绫?－1中x1所示，高中會(huì)考成績(jī)?nèi)绫?－1中x2所示。測(cè)驗(yàn)的等值性信度可以用這兩類(lèi)成績(jī)的積差相關(guān)系數(shù)表示：為了排除施測(cè)的順序效應(yīng)，可以讓二分之一受測(cè)者先答A卷，再答B(yǎng)卷，另外二分之一受測(cè)者則相反。求得相關(guān)系數(shù)后，需要進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。相關(guān)系數(shù)較高的兩份測(cè)驗(yàn)不一定具有“等值”的意義。由于難度不同、變異幅度不同的兩份試卷之間也可能具有較高的相關(guān)，因此，在對(duì)測(cè)驗(yàn)內(nèi)容定性評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)上，應(yīng)該考察測(cè)驗(yàn)的正確反應(yīng)比率和完成測(cè)驗(yàn)的時(shí)間，觀察它們之間是否存在顯著性差異。等值性信度是考察測(cè)驗(yàn)可靠性的較好方法。它不僅適用于難度測(cè)驗(yàn)，也適用于速度測(cè)驗(yàn)。常用等值性信度作追蹤研究或探討某些影響測(cè)驗(yàn)成績(jī)的因素。3．內(nèi)在一致性信度在一個(gè)測(cè)驗(yàn)中，各個(gè)測(cè)題上所得成績(jī)的一致性稱作內(nèi)在一致性信度。測(cè)驗(yàn)內(nèi)部的一致性是確定測(cè)驗(yàn)中的所有題目是否測(cè)量了同一個(gè)心理屬性。一般情況下，可以用分半相關(guān)、庫(kù)特－理查遜(Kuder－Richardson)公式或α系數(shù)來(lái)計(jì)算內(nèi)在一致性系數(shù)。(1)分半相關(guān)當(dāng)一種測(cè)驗(yàn)既無(wú)復(fù)份，又不可能重復(fù)進(jìn)行時(shí)，通常用分半相關(guān)來(lái)估計(jì)測(cè)驗(yàn)的信度。一個(gè)測(cè)驗(yàn)施測(cè)后，將題目分成兩個(gè)假設(shè)相等但又獨(dú)立的部分，求這兩部分測(cè)驗(yàn)得分的積差相關(guān)系數(shù)。它是一個(gè)測(cè)驗(yàn)的分半相關(guān)量，即分半測(cè)驗(yàn)信度系數(shù)rhh的估計(jì)量。整份測(cè)驗(yàn)的信度系數(shù)可用斯皮爾曼－布朗公式的特殊形式來(lái)測(cè)量，即應(yīng)當(dāng)注意，在應(yīng)用上式時(shí)，分半的兩部分測(cè)驗(yàn)須滿足在平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、分布形態(tài)、測(cè)題間相關(guān)、內(nèi)容、形式和題數(shù)都相似的假設(shè)條件。否則，測(cè)驗(yàn)的信度估計(jì)將會(huì)產(chǎn)生誤差。如果用下列兩個(gè)公式，則不需要滿足上述假設(shè)。弗拉南根(Flanagan)公式：方差。盧龍(Rulon)公式方差。例如，對(duì)初中二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行“相似形”測(cè)驗(yàn)，用0、1評(píng)分法，其測(cè)驗(yàn)結(jié)果如表2－2。試估計(jì)該測(cè)驗(yàn)的信度。將測(cè)驗(yàn)題奇偶分半后，求出每個(gè)學(xué)生奇偶題的分?jǐn)?shù)之差，再計(jì)算其差數(shù)和測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的方差。由盧龍公式，得所以，該年級(jí)學(xué)生“相似形”測(cè)驗(yàn)的信度為0．65。(2)庫(kù)德－理查遜公式由于一個(gè)測(cè)驗(yàn)的兩分方法很多，因此求得的信度系數(shù)也不相同。用庫(kù)德－理查遜公式計(jì)算內(nèi)在一致性信度，可以避免由于任意分半而造成的偏差，當(dāng)題目以0、1評(píng)分時(shí)尤為合適。應(yīng)用庫(kù)德－理查遜公式須滿足的假設(shè)與斯皮爾曼－布朗公式的相同。庫(kù)德－理查遜(K－R20)公式：人數(shù)的比率；qi＝1—pi，是第i題答錯(cuò)人數(shù)的比率；n是題目數(shù)。仍以表2－2的測(cè)驗(yàn)成績(jī)?yōu)槔?，可得到以下統(tǒng)計(jì)結(jié)果：用K－R20公式計(jì)算，可得到：如果題目難度接近，可以應(yīng)用K－R21公式：由于分半信度是根據(jù)被分成相等的兩部分測(cè)驗(yàn)計(jì)算的，它們之間的同質(zhì)性較強(qiáng)；K－R公式是根據(jù)對(duì)測(cè)驗(yàn)試題的答對(duì)與答錯(cuò)兩部分計(jì)算的，它們之間異質(zhì)性較強(qiáng)。因此，所求信度系數(shù)后者較低，尤其是用K－R21公式，所得信度系數(shù)更低些。(3)α系數(shù)當(dāng)測(cè)驗(yàn)題目是多值評(píng)分時(shí)，克倫巴赫(Cronbach)提供了更通用的公式：，在通常情況下，當(dāng)測(cè)驗(yàn)是同質(zhì)性時(shí)，其內(nèi)在一致性信度較高；當(dāng)測(cè)驗(yàn)是異質(zhì)性時(shí)，其穩(wěn)定性信度較高。上述三種估計(jì)信度的方法主要用于衡量學(xué)生的相對(duì)水平，區(qū)分他們之間差異的常模參照測(cè)驗(yàn)。它們都是研究教育測(cè)驗(yàn)的一致性程度，不同的是研究的側(cè)面各不相同。穩(wěn)定性信度是估計(jì)不同時(shí)間測(cè)驗(yàn)的一致性；等值性信度是估計(jì)不同形式測(cè)驗(yàn)的一致性；內(nèi)在一致性信度是估計(jì)一個(gè)測(cè)驗(yàn)中，在不同測(cè)題上所得分?jǐn)?shù)的一致性。三、標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)的信度標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)注重于考查學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容熟練掌握的程度，在教與學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié)處理得較好或較差的情況下，受測(cè)團(tuán)體的水平將比較一致，測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的分布范圍比較小。這樣，既使測(cè)驗(yàn)具有一定的穩(wěn)定性或可靠性，它的信度系數(shù)仍然較低。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)的特點(diǎn)，可用下面較為簡(jiǎn)便的方法估計(jì)信度。1．階段比較法對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部某一分支的標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)，可用階段比較法來(lái)判斷測(cè)驗(yàn)的信度。例如，施測(cè)“不等式”的內(nèi)容。先對(duì)學(xué)生進(jìn)行“不等式的性質(zhì)”的標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)，鑒別出學(xué)生通過(guò)和未通過(guò)的類(lèi)別。學(xué)生經(jīng)過(guò)下一階段的學(xué)習(xí)，再進(jìn)行“不等式證明”的標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)。如果前階段通過(guò)的學(xué)生中后階段未通過(guò)的比率較高，經(jīng)過(guò)考察，發(fā)現(xiàn)這些學(xué)生不會(huì)證明的原因，是由于沒(méi)有真正熟練掌握不等式的性質(zhì)，那么說(shuō)明前階段的測(cè)驗(yàn)可靠性較低。階段比較法還適用于同一知識(shí)內(nèi)容在不同時(shí)期(或不同水平上)的標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)。例如，先對(duì)學(xué)生施測(cè)