第二節(jié)數(shù)學(xué)題的擬造由已知條件、已知條件展開(kāi)的數(shù)學(xué)邏輯敘述(推理)過(guò)程，及由此得到的結(jié)論這三個(gè)要素組成完整數(shù)學(xué)意義的陳述。隱去或部分隱去真實(shí)、確定的完整數(shù)學(xué)意義陳述的構(gòu)成要素，要求應(yīng)答者構(gòu)造完整數(shù)學(xué)意義的陳述。這種構(gòu)造過(guò)程就是擬造數(shù)學(xué)題。擬題的方法有以下幾種。一、改編陳題習(xí)慣上把數(shù)學(xué)教科書(shū)中的例題、習(xí)題和其他各類書(shū)刊上已有的題目等稱為陳題。根據(jù)陳題擬造新題，所得的新題源于陳題，又有新意，對(duì)作答者要求的針對(duì)性較強(qiáng)。它是擬造新題的一種常用方法。1．變更陳題的結(jié)論擬造新題這種擬造新題的方法是保持陳題的條件不變，變更陳題的結(jié)論。怎樣變更結(jié)論呢？(1)將陳題的結(jié)論特殊化擬造新題例1已知數(shù)列｛an｝滿足其中c≠0，且c≠1，證明這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是(選自高級(jí)中學(xué)課本《代數(shù)》(下冊(cè)))若考察這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)，可擬造如下的題目：已知數(shù)列｛an｝滿足其中c≠0，且c≠1，求a10。(2)將陳題的結(jié)論作為中間結(jié)果擬造新題例2如圖3－1，⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)A，BC是⊙O1和⊙O2的公切線，B、C是切點(diǎn)，求證AB⊥AC。(選自初級(jí)中學(xué)課本《幾何》(第二冊(cè)))將AB⊥AC作為進(jìn)行下一步推理的條件，可擬造如下的題目：如圖3－1，⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)A，BC是⊙O1和⊙O2的公切線，B、C是切點(diǎn)，求證：以BC為直徑的圓必與線段O1O2相切于點(diǎn)A。(3)將陳題的結(jié)論作等價(jià)變換擬造新題例3求證：將等式的右邊作等價(jià)變換，可擬造如下的題目：求證：2．變更陳題的條件擬造新題這種擬造新題的方法是保持結(jié)論不變，變更陳題的條件。變更條件有如下途徑。(1)將陳題的條件作等價(jià)變換擬造新題例4設(shè)(x－3)2＋(y－1)2＝0(x，y為實(shí)數(shù))，求x、y。(選自初級(jí)中學(xué)課本《代數(shù)》(第四冊(cè)))等價(jià)變換本題條件的表述形式，可擬造如下的題目：已知x2－6x＋y2－2y＋10＝0(x，y為實(shí)數(shù))，求x、y。(2)尋找得到陳題條件的條件擬造新題例5已知數(shù)列｛an｝，其中an＝cosnα(0＜α＜π)，求a1－a2＋a3－a4＋…＋(－1)k+1ak＋…－a2n＋a2n+1。由an＝cosnα可得an＝2an-1cosα－an-2，但反之不然。為了能由an＝2an-1cosα－an-2，得出an＝cosnα，顯然還需附加規(guī)定a1＝cosα，a2＝cos2α。這樣可擬造如下的題目：已知數(shù)列｛an｝，其中a1＝cosα，a2＝cos2α，an＝2an-1·cosα－an-2(n≥3，0＜α＜π)，求a1－a2＋a3－a4＋…＋(－1)k+1ak＋…－a2n＋a2n+1。(3)將陳題的條件一般化擬造新題例6如圖3－2，已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM與△CBN均是等邊三角形，求證：AN＝BM。(選自初級(jí)中學(xué)課本《幾何》(第一冊(cè)))該題中C點(diǎn)被限制在AB上。一般地，若C是任意一點(diǎn)，也有同樣的結(jié)論，這樣可擬造如下的題目：如圖3－3，已知點(diǎn)C是任意一點(diǎn)，△ACM與△BCN均是等邊三角形，求證：AN＝BM。(4)將條件特殊化擬造新題例7已知P為定角∠XAY的平分線上的定點(diǎn)，過(guò)P、A兩點(diǎn)任作一圓與AX交于點(diǎn)B，與AY交于點(diǎn)C，求證AB＋AC為定值。過(guò)P、A兩點(diǎn)任作一圓與AX交于點(diǎn)B，與AY交于點(diǎn)C，求證AB＋AC為定值。3．同時(shí)變更陳題的條件和結(jié)論擬造新題同時(shí)變更陳題的條件、結(jié)論是一種較為有效的擬題方法。(1)通過(guò)類比關(guān)系擬造新題將陳題的知識(shí)背景與另一知識(shí)背景建立類比關(guān)系，從而擬造出類似的問(wèn)題(新題的正確性用另外途徑加以證明)。例8證明圓內(nèi)接n(n≥3)邊形中的面積最大者為正n邊形。若已知圓的半徑為R，求出這個(gè)最大面積。有x′2＋b2y′2＝R2，進(jìn)一步可得這樣把圓壓縮(拉伸)為橢圓，從而圓與橢圓可進(jìn)行類比。對(duì)于橢圓，可擬造類似的題目：(2)將陳題的條件和結(jié)論同時(shí)一般化擬造新題例9已知a，b∈R＋，a≠b，求證a4＋b4＞a3b＋ab3。(選自高級(jí)中學(xué)課本《代數(shù)》(下冊(cè)))分別將條件和不等式左、右兩邊各項(xiàng)同時(shí)一般化，有：若ai∈R＋(i＝1，2，…，n)，n，m，p，q均為自然數(shù)，且p＋q＝m，求證：當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時(shí)等號(hào)成立。(3)將陳題的條件和結(jié)論同時(shí)特殊化擬造新題例10如圖3－4，AB和平面α所成的角是θ1，AC在平面α內(nèi)AC和AB的射影AB′成角θ2，設(shè)∠BAC＝θ。求證：cosθ1·cosθ2＝cosθ。(選自高級(jí)中學(xué)課本《立體幾何》(乙種本))令θ＝60°，則可將該題的部分條件和結(jié)論特殊化，并擬造出如下的題目：如圖3－4，AB和平面α所成的角是θ1，AC在平面α內(nèi)，AC和AB的射影AB′成角θ2，若∠BAC＝60°，求證：2cosθ1cosθ2－1＝0。(4)交換陳題中的條件和結(jié)論擬造新題將陳題中的條件與結(jié)論全部交換，或?qū)⒉糠謼l件與部分結(jié)論交換，擬造新題。例11如果f(x)＝ex，求證f(x)f(y)＝f(x＋y)。(選自高級(jí)中學(xué)課本《代數(shù)》(上冊(cè)))將該題的部分條件和結(jié)論互換，可擬造如下的題目：已知f(x)不是常數(shù)函數(shù)且滿足f(x)f(y)＝f(x＋y)，求證f(n)＝［f(1)］n(n∈N)。(5)以陳題作為解題依據(jù)擬造新題有些陳題本身是重要的命題，利用它可以擬造新題。例12如果兩條曲線的方程是f1(x，y)＝0，f2(x，y)＝0，它們的交點(diǎn)是P(x0，y0)，證明方程f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0的曲線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(λ是任意實(shí)數(shù))。(選自高級(jí)中學(xué)課本《平面解析幾何》)利用本題作為解題依據(jù)可擬造如下的題目：求經(jīng)過(guò)圓x2＋y2－10x－10y＝0與圓x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(4，5)的圓的方程；求證三個(gè)圓x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，x2＋y2－6x＋4y＋1＝0，有兩個(gè)公共點(diǎn)。二、編制新題1．利用實(shí)際問(wèn)題擬造數(shù)學(xué)題通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題抽象出新的數(shù)學(xué)問(wèn)題。這類題的結(jié)構(gòu)為：實(shí)際問(wèn)題情景，數(shù)學(xué)模型化，解數(shù)學(xué)模型，從而解答這個(gè)實(shí)際問(wèn)題，其目的是為了測(cè)量被試靈活運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，而解答這類題的關(guān)鍵，是從所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)中選取合適的數(shù)學(xué)知識(shí)，將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，因此擬出的題的本身應(yīng)盡量減少暗示被試采用某種數(shù)學(xué)知識(shí)作答。例13某人想利用樹(shù)影測(cè)樹(shù)高。他在某—時(shí)刻測(cè)得1米長(zhǎng)的竹竿影長(zhǎng)為0.9米。他同時(shí)測(cè)樹(shù)高時(shí)，因樹(shù)靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有部分影子在墻上。他測(cè)得留在地面部分的影長(zhǎng)為2.7米擬造這類題時(shí)，應(yīng)先選定日常生活中的事實(shí)作為背景，然后用合適的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述它。為了便于被試者理解，必要時(shí)需對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)加工。2．利用數(shù)學(xué)自身問(wèn)題擬造新題利用已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)命題間的不同組合進(jìn)行邏輯推導(dǎo)，是擬造新題的主要方法。(1)由給定的條件確定結(jié)論擬造新題先給出題目的已知條件，由已知條件推出其結(jié)論，然后比較其中獨(dú)立結(jié)論得到的途徑，以確定作為新題的結(jié)論。例14如圖3－5，已知三棱錐S－ABC的側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直。由此可得以下結(jié)論：三個(gè)側(cè)面兩兩垂直；底面△ABC是銳角三角形；頂點(diǎn)S在底面的射影H是△ABC的垂心；△SAB的面積是△HAB的面積和△ABC的面積的比例中項(xiàng)；底面積的平方等于各側(cè)面積的平方和；三棱錐S－ABC的體積設(shè)SA＝a，SB＝b，SC＝c，SH＝h，又有：選取上面的結(jié)論與已知條件相匹配即可擬造很多題目。例如：如圖3－5，已知三棱錐S－ABC的側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，求證底面積的平方等于各側(cè)面積的平方和，且其體積(2)由給定的結(jié)論確定條件擬造新題先給定結(jié)論，再尋找結(jié)論成立的充分條件，然后比較其中獨(dú)立條件得到的途徑以確定新題的條件。b的具體值；也可給出a2＋b2與ab的值；或者給出a＋b與ab的值，這樣可擬造如下的題目：(3)利用基本量法擬造新題在一個(gè)系統(tǒng)中，如果任意一個(gè)量都可由幾個(gè)量導(dǎo)出，而這幾個(gè)量又不能相互導(dǎo)出，則稱這幾個(gè)量為該系統(tǒng)的基本量。利用基本量法擬造數(shù)學(xué)題的思路：弄清系統(tǒng)的量，確定系統(tǒng)基本量并給予賦值，設(shè)計(jì)條件擬造題并審定計(jì)算順序。應(yīng)該指出，一個(gè)系統(tǒng)的基本量不一定相同。例如與等差數(shù)列｛an｝相應(yīng)的量有a1、n、an、Sn、公差d等，而a1、d、Sn和d、n、Sn分別可作為它的基本量。利用等差數(shù)列的基本量可擬造如下題目：在等差數(shù)列｛an｝中，a6＋a9＋a12＋a15＝30，求S20。(4)利用新的數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則擬造新題利用新規(guī)定的概念、法則等擬造數(shù)學(xué)題的主要步驟為，首先用中學(xué)數(shù)學(xué)的概念、法則等闡述新概念、法則的意義，然后用新概念、法則提出數(shù)學(xué)題。例如，用中學(xué)數(shù)學(xué)語(yǔ)言揭示不動(dòng)點(diǎn)的意義后，可擬造如下的題目：如果函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集，而實(shí)數(shù)c使得f(c)＝c，則稱c是f(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。設(shè)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)為有限多個(gè)，下述命題“若f(x)是奇(偶)函數(shù)，則它的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)目為奇(偶)數(shù)?！笔欠裾_？若正確請(qǐng)給予證明，若不正確請(qǐng)舉一個(gè)例子說(shuō)明。應(yīng)該指出，本題除對(duì)不動(dòng)點(diǎn)的概念在中學(xué)數(shù)學(xué)范圍內(nèi)作出解釋外，不動(dòng)點(diǎn)數(shù)為有限多個(gè)的條件也極為必要，否則f(x)＝x的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)是不可數(shù)的，當(dāng)然不存在總個(gè)數(shù)的奇偶性問(wèn)題。同樣，f(x)＝|x|的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)也是不可數(shù)的，也就不存在總個(gè)數(shù)的奇偶性問(wèn)題。(5)以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景擬造新題以高等數(shù)學(xué)的思想和知識(shí)為背景，把高等數(shù)學(xué)中的問(wèn)題初等化，可以擬造新題。如(4)中不動(dòng)點(diǎn)的定義和只有有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的條件，可看成構(gòu)造這類題的例子。下面再舉一例。高等幾何中有一個(gè)帕斯卡(Pascal)定理：“二階曲線內(nèi)接六角形的對(duì)邊交點(diǎn)共線”。在這個(gè)定理中，把二階曲線特殊化為圓，內(nèi)接六角形用內(nèi)接六邊形代替，相應(yīng)的對(duì)邊改為對(duì)角線，則可擬造以下的題目：已知圓的內(nèi)接六邊形的頂點(diǎn)為A(－3，4)，B(0，5)，C(4，3)，D(4，－3)，E(－3，－4)，F(xiàn)(－5，0)，求證AE與FB的交點(diǎn)、AD與CF的交點(diǎn)、BD與CE的交點(diǎn)在同一直線上。利用帕斯卡定理的對(duì)偶定理“二階曲線的外切六邊形的對(duì)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)”(這個(gè)定理被稱為布里安桑(Brianchon)定理)，則可擬造如下的題目：已知六邊形HIJKLM與圓相切于點(diǎn)A(－3，4)，B(0，5)，C(4，3)，D(4，－3)，E(－3，－4)，F(xiàn)(－5，0)。求證HK、IL、JM三條直線共點(diǎn)。若把圓改為橢圓，顯然也可得到類似的題目。(6)不完全確定條件或結(jié)論擬造新題到目前為止，我們所探討的數(shù)學(xué)題，其條件和結(jié)論均是完全確定的。但在數(shù)學(xué)教學(xué)中，還經(jīng)常使用結(jié)論或條件不完全確定的題的擬造方法。請(qǐng)看下面幾道例題：例16設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，A＝｛(x，y)｜x＝n，y＝na＋b，n為整數(shù)｝，B＝｛(x，y)｜x＝m，y＝3m2＋15，m是整數(shù)｝，C＝｛(x，y)｜x2＋y2≤144｝是平面內(nèi)點(diǎn)的集合，討論是否存在a和b使得A∩B≠φ，且(a，b)∈C例17求在Acos2θ＋Bcos2(ψ＋θ)＋Ccosθcos(ψ＋θ)的值與θ無(wú)關(guān)的條件。例18設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0。指出S1，S2，…，S12中，哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由。例19設(shè)△ABC的三邊a、b、c滿足an＝bn＋cn(n∈N，n≥2)。試判定△ABC的類型。由這幾個(gè)例題可以看出，擬造這類題需對(duì)所探求的條件或結(jié)論的范圍作限制，而且這個(gè)限制表現(xiàn)在解答過(guò)程需要對(duì)條件或結(jié)論進(jìn)行討論。還應(yīng)指出的是在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，有時(shí)還使用由給定的條件(結(jié)論)所導(dǎo)出的結(jié)論(條件)難以限制的題作新題。這類題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維是有益的。例20任意一直線截ABCD，分別交BC、CD于F、G，交AB、AD的延長(zhǎng)線于E、H，⊙EFC與⊙GHC的