專題06平面向量與解三角形

目錄

題型一：平面向量

易錯(cuò)點(diǎn)01對(duì)平面向量的基本概念理解不到位

易錯(cuò)點(diǎn)02忽略平面向量夾角的范圍與方向性

易錯(cuò)點(diǎn)03忽略向量共線時(shí)的兩種情況

易錯(cuò)點(diǎn)04錯(cuò)用平面向量的運(yùn)算律

題型二：解三角形

易錯(cuò)點(diǎn)05解三角形時(shí)錯(cuò)判解的個(gè)數(shù)

易錯(cuò)點(diǎn)06忽略邊角互化條件

易錯(cuò)點(diǎn)07忽略三角形中的隱含條件

題型一：平面向量

易錯(cuò)點(diǎn)01：對(duì)平面向量的基本概念理解不到位

典例（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）在下列結(jié)論中，其中正確的是（）

A．若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行

B．若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面

C．若三個(gè)向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面

D．已知空間的兩個(gè)不共線向量a，b，對(duì)于空間的一個(gè)向量p，存在實(shí)數(shù)x，y，使得pxayb，則

向量p與向量a，b共面

【答案】D

【分析】根據(jù)向量共線共面的判斷，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】選項(xiàng)A，向量a,b共線，則向量a,b所在的直線平行或重合，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B，根據(jù)空間向量的意義知，空間任意兩個(gè)向量a,b都共面，故B錯(cuò)誤.

選項(xiàng)C，由于三個(gè)向量a,b,c兩兩共面，但是a,b,c不一定共面，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D，已知向量a,b是空間的一個(gè)基底，若pxayb，則向量a,b,p共面，D選項(xiàng)正確.

故選：D.

【易錯(cuò)剖析】

在解題時(shí)容易混淆向量平行與直線平行的不同而出錯(cuò)，另外也容易忽略零向量的特殊性.

【避錯(cuò)攻略】

1．向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量統(tǒng)稱為向量，向量的大小叫作向量的模．

(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作0.

(3)單位向量：模等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量．

(4)共線向量：若兩個(gè)非零向量a，b的方向相同或相反，則稱這兩個(gè)向量為共線向量或平行向量，規(guī)定：

零向量與任一向量共線．

(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．

2．向量的線性運(yùn)算

向量

定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

運(yùn)算

(1)交換律：

a＋b＝b＋a；

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算

(2)結(jié)合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

求a與b的相反向量－b

減法的和的運(yùn)算叫做a與b的a－b＝a＋(－b)

差

(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa

λ(μa)＝(λμ)a；

求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0

數(shù)乘(λ＋μ)a＝λa＋μa；

運(yùn)算時(shí)，λa的方向與a的方向相反；

λ(a＋b)＝λa＋λb

當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0

【解讀】(1)利用三角形法則時(shí)，兩向量要首尾相連，利用平行四邊形法則時(shí)，兩向量要有相同的起點(diǎn)．

(2)當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，三角形法則仍然適用，而平行四邊形法則不適用．

3．共線向量定理

向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.

【解讀】共線向量定理中規(guī)定a≠0原因：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，若b≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，但此時(shí)

向量a與b共線；(2)當(dāng)a＝0時(shí)，若b＝0，則對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，都有b＝λa，與有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ矛盾．

因此限定a≠0的目的是保證實(shí)數(shù)λ的存在性和唯一性．

易錯(cuò)提醒：(1)注意0與0的區(qū)別，0是一個(gè)實(shí)數(shù)，0是一個(gè)向量，且|0|＝0；(2)單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它

們的模相等，但方向不一定相同；(3)零向量和單位向量是兩個(gè)特殊的向量，它們的模是確定的，但是方向

不確定，因此在解題時(shí)要注意它們的特殊性；(4)任一組平行向量都可以平移到同一直線上；（5）向量平行

與向量共線是完全相同的一個(gè)概念，指兩個(gè)向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直線可以平行，也可

以重合；但直線平行不包含直線重合的情況．

1．（2024高三·北京·專題練習(xí)）給出下列命題：①任一非零向量都可以平行移動(dòng)，零向量的長(zhǎng)度為零，方向

是任意的；②若a，b都是單位向量，則ab；③向量AB與BA相等.其中正確命題的序號(hào)為（）

A．①B．③C．①③D．①②

【答案】A

【分析】由向量的有關(guān)概念逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】因?yàn)橥较蚯夷Ｏ嗟鹊南蛄肯嗟龋c位置無(wú)關(guān)，故任一非零向量都可以平行移動(dòng)，

且零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的，故①正確；

根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，

故兩個(gè)單位向量不一定相等，故②錯(cuò)誤；

向量AB與BA互為相反向量，故③錯(cuò)誤.

故選：A.

2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列命題錯(cuò)誤的是（）

A．若a與b都是單位向量，則ab.

B．“ab”是“ab”的必要不充分條件.

ab

C．若a,b都為非零向量，則使+0成立的條件是與反向共線.

abab

D．若ab,bc，則ac.

【答案】A

【分析】根據(jù)平面向量的定義以及向量共線的概念一一判斷.

【詳解】對(duì)A，a,b都是單位向量，則a,b模長(zhǎng)相等，但方向不一定相同，

所以得不到ab，A錯(cuò)誤；

對(duì)B，“ab”推不出“ab”，但“ab”能推出“ab”，

所以“ab”是“ab”的必要不充分條件，B正確；

對(duì)C，因?yàn)閍與b反向共線，

abab

且，都為單位向量，則+0，C正確；

|a||b|ab

對(duì)D，若ab,bc，則ac，D正確，

3．（23-24高一下·四川·期中）下列命題正確的是（）

A．若a與b都是單位向量，則ab

B．方向?yàn)槟掀?0的向量與北偏東60的向量是共線向量

C．若a與b是平行向量，則ab

D．若用有向線段表示的向量AM與AN不相等，則點(diǎn)M與N不重合

【答案】BD

【分析】利用向量相等的條件，可判斷出選項(xiàng)A和C的正誤，利用共線向量的定義可判斷出選項(xiàng)B的正誤，

根據(jù)向量的幾何表示，可判斷出選項(xiàng)D的正誤，從而得出結(jié)果.

r

r

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若a與b都是單位向量，則ab1，但a與b可以方向不同，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)榉较驗(yàn)槟掀?0的向量與北偏東60的向量方向相反，所以選項(xiàng)B正確，

對(duì)于選項(xiàng)C，若a與b是平行向量，但當(dāng)ab或a與b方向相反，不滿足ab，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)D，由向量的幾何表示知，選項(xiàng)D正確，

故選：BD.

1．（2024高三·北京·專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）

A．長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量

B．共線向量是在同一條直線上的向量

C．零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的

D．AB∥CD就是AB所在的直線平行于CD所在的直線

【答案】C

【分析】AB根據(jù)相等向量和共線向量的定義作出判斷；C選項(xiàng)，根據(jù)零向量的定義得到C正確；D選項(xiàng)，

舉出反例.

【詳解】A選項(xiàng)，長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正確；

B選項(xiàng)，方向相同或相反的非零向量叫做共線向量，共線向量不一定在同一條直線上，故B不正確；

C選項(xiàng)，零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的，C正確；

D選項(xiàng)，當(dāng)AB∥CD時(shí)，AB所在的直線與CD所在的直線可能重合，故D不正確．

故選：C．

2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知非零向量a與b共線，下列說(shuō)法不正確的是（）

A．a(chǎn)b或ab

B．a(chǎn)與b平行

C．a(chǎn)與b方向相同或相反

D．存在實(shí)數(shù)，使得ab

【答案】A

【分析】根據(jù)共線向量的概念，以及向量共線定理，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.

【詳解】非零向量a與b共線，

對(duì)于A，ab，0，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，∵向量a與b共線，∴向量a與b平行，故B正確；

對(duì)于C，∵向量a與b共線，∴a與b方向相同或相反，故C正確；

對(duì)于D，∵a與b共線，∴存在實(shí)數(shù)，使得ab，故D正確．

故選：A．

3．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（）

A．若ab，則abB．若ab，則ab

C．若ab，則a//bD．若a//b,b//c，則a//c

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷.

【詳解】對(duì)于A：若ab，則a,b只是大小相同，并不能說(shuō)方向相同，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：向量不能比較大小，只能相同，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若ab，則a,b方向相同，C正確；

對(duì)于D：若a//b,b//c，如果b為零向量，則不能推出a,c平行，D錯(cuò)誤.

故選：C.

4．設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A．a(chǎn)與a的方向相反B．a(chǎn)與2a的方向相同

C．a(chǎn)aD．a(chǎn)a

【答案】B

【分析】由平面向量的基本概念及數(shù)乘運(yùn)算一一判定即可.

【詳解】對(duì)于A，當(dāng)0時(shí)，a與a的方向相同，當(dāng)0時(shí)，a與a的方向相反，故A不正確；對(duì)于B，

顯然20，即B正確；

r

對(duì)于C，aa，由于與1的大小不確定，故a與a的大小關(guān)系不確定，故C不正確；

對(duì)于D，a是向量，而a表示長(zhǎng)度，兩者不能比較大小，故D不正確．

故選：B

5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）下列命題中錯(cuò)誤的有（）

A．平行向量就是共線向量

B．相反向量就是方向相反的向量

C．a(chǎn)與b同向，且ab，則ab

D．兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件

【答案】BC

【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念，即可得出答案.

【詳解】對(duì)于A，由平行向量和共線向量的定義可知，A正確；

對(duì)于B，因?yàn)橄喾聪蛄渴欠较蛳喾?，長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?，所以任何兩個(gè)向量都不能比較大小，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，因?yàn)閮蓚€(gè)向量平行不能推出兩個(gè)向量相等，而兩個(gè)向量相等可以推出這兩個(gè)向量平行，

因此兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件，所以D正確．

故選：BC.

6．（23-24高二上·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）（多選）給出下列命題，其中假命題為（）

A．向量AB的長(zhǎng)度與向量BA的長(zhǎng)度相等

B．向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反

C．a(chǎn)baba與b方向相反

?

D．若非零向量a與非零向量b的方向相同或相反，則ab與a，b之一的方向相同

【答案】BCD

【分析】根據(jù)平面向量的定義與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A，向量AB與向量BA，長(zhǎng)度相等，方向相反，命題成立；

對(duì)于B，當(dāng)a0時(shí)，命題不成立；

對(duì)于C，當(dāng)a，b之一為零向量時(shí)，命題不成立；

對(duì)于D，當(dāng)ab0時(shí)，ab的方向是任意的，它可以與a，b的方向都不相同，命題不成立；

故選：BCD.

7．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）（多選）下列說(shuō)法不正確的是（）

A．若a0,b0,a//b，則a與b的方向相同或者相反

ab

B．若，b為非零向量，且，則與b共線

aaba

C．若a//b，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得ab

D．若e1,e2是兩個(gè)單位向量，且e1e21，則e1e22

【答案】CD

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合零向量的性質(zhì)，共線向量的概念，以及向量的線性運(yùn)算法則，逐項(xiàng)判定，即可求

解.

【詳解】對(duì)于A中，若a0,b0,a//b，則a與b的方向相同或相反，所以A正確；

ab

對(duì)于B中，由a,b為非零向量，表示與a方向相同的單位向量，表示與b方向相同的單位相同，因?yàn)?/p>

ab

ab

，所以與b共線，所以B正確；

aba

對(duì)于C中，當(dāng)b0，且a為非零向量時(shí)，此時(shí)不存在，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D中，由e1e21，可得112e1e21,2e1e21，

2

所以，所以錯(cuò)誤．

e1e2e1e2112e1e23D

故選：CD．

8．（多選）下列敘述中正確的是（）

rr

A．若a//b,b//c，則a//c

B．若ab，則3a2b

C．已知非零向量a與b且a//b，則a與b的方向相同或相反

a

D．對(duì)任一非零向量a,是一個(gè)單位向量

a

【答案】CD

【分析】A注意b0即可判斷；B根據(jù)向量的性質(zhì)判斷；C由共線向量的定義判斷；D由單位向量的定義

判斷.

rr

【詳解】A：若b0時(shí)，a//b,b//c不一定有a//c，錯(cuò)誤；

B：向量不能比較大小，錯(cuò)誤；

C：非零向量a與b且a//b，則a與b的方向相同或相反，正確；

a

D：非零向量a，則是一個(gè)單位向量，正確.

a

故選：CD

9．（多選）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A．AB//CD就是AB所在的直線平行于CD所在的直線

B．長(zhǎng)度相等的向量叫相等向量

C．零向量的長(zhǎng)度等于0

D．ABCABC0

【答案】AB

【分析】對(duì)于A，利用平行向量的定義即可判斷；

對(duì)于B，利用相等向量的定義即可判斷；

對(duì)于C，根據(jù)零向量的定義即可判斷；

對(duì)于D，根據(jù)向量的加法即可求解.

uuuruuur

【詳解】對(duì)于A，若AB//CD，則AB,CD的方向相同或相反，AB所在的直線與CD所在的直線平行或在同

一直線上，故A不正確；

對(duì)于B，長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量，故B不正確；

對(duì)于C，長(zhǎng)度為0的向量為零向量，故C正確；

對(duì)于D，ABCABCABBCCAACCA0，故D正確.

故選：AB.

易錯(cuò)點(diǎn)02：忽略平面向量夾角的范圍與方向性

典例（23-24高三上·山東聊城·期末）已知向量a3t1,2，b1,t，若a與b所成的角為鈍角，則實(shí)數(shù)

t的取值范圍：.

1

【答案】,11,

5

【分析】a與b所成的角為鈍角即ab0且a與b不平行，列式求解即可.

【詳解】a與b所成的角為鈍角即ab0且a與b不平行，

1

3t12t0t

即5，

3t1t22

3tt20

1

所以t,11,.

5

1

故答案為：,11,.

5

【易錯(cuò)剖析】

本題容易誤認(rèn)為ab0是a與b夾角為鈍角的充要條件而出錯(cuò)，因?yàn)楫?dāng)ab0時(shí)a與b夾角可能為.

【避錯(cuò)攻略】

1.向量的模

（）向量的大小叫向量的模向量的模為a22

1.ax1,y1x1y1.

22

（）若Ax,y,Bx,y，則向量的模

21122ABABx1x2y1y2.

2.向量的夾角

→→

（1）已知兩個(gè)非零向量a，b(如圖)，O是平面上的任意一點(diǎn)，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)

叫做向量a與b的夾角．

（2）當(dāng)θ＝0時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ＝π時(shí)，a與b反向．

（）設(shè)是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，則abx1x2y1y2

3ax1,y1,bx2,y2cos

2222

abx1y1x2y2

π

3．垂直：如果a與b的夾角是，則稱a與b垂直，記作a⊥b.

2

易錯(cuò)提醒：（1）兩個(gè)向量只有起點(diǎn)重合時(shí)所對(duì)應(yīng)的角才是向量的夾角（2）向量的夾角是指向量方向的夾

角；（3）向量的夾角范圍是0,，這一點(diǎn)是與直線的夾角范圍是不同的，要注意區(qū)分.

1．（23-24高三下·湖南湘潭·階段練習(xí)）已知向量a(m1,m)，b(2,1)，若a與b所成的角為銳角，則

實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

11

【答案】2,,

33

【分析】根據(jù)數(shù)量積為正可求參數(shù)的取值范圍，注意a與b不共線同向.

【詳解】因?yàn)閍與b所成的角為銳角，故ab0且a,b不共線同向.

故2m1m0即m2.

1

若a,b共線，則(m1)2m即m，

3

11

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為2,,.

33

11

故答案為：2,,.

33

2．（24-25高三上·北京順義·期中）設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“AB與AC的夾角為銳角”是

“|ABAC||ABAC|”的（）

A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】將向量的模用向量的數(shù)量積來(lái)表示，化簡(jiǎn)后結(jié)合向量夾角的范圍，即可判斷.

【詳解】|ABAC||ABAC|

|ABAC|2|ABAC|2

22

ABACABAC

ABAC0

cosAB,AC0

由題意知A，B，C不共線，所以AB,AC0,π，

所以cosAB,AC0AB與AC的夾角為銳角，

故“AB與AC的夾角為銳角”是“|ABAC||ABAC|”的充分必要條件；

故選：C.

3．（24-25高三上·湖南常德·階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，D為BC的中點(diǎn)，AB3AE，

則ADCE（）

44

A．2B．C．2D．

33

【答案】C

【分析】應(yīng)用向量加減法的幾何意義及數(shù)量積的運(yùn)算律，將ADCE作轉(zhuǎn)化，再應(yīng)用數(shù)量積的定義求結(jié)果.

【詳解】由題設(shè)ADCE(ACCD)(CAAE)(ACCD)(AEAC)

2

ACAECDAEACCDAC

1121

ACABCBABACCBAC

362

111111

22222222()

326222

21

41

33

2.

故選：C

1．（23-24高三上·北京·開學(xué)考試）已知不共線的兩個(gè)非零向量a，b，則“a+b與ab所成角為鈍角”是

“|a||b|”的（）

A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算即可.

22

【詳解】因?yàn)椤癮+b與ab所成角為鈍角,所以(ab)(ab)0abab，

所以“a+b與ab所成角為鈍角”是“|a||b|”的充要條件.

故選：C.

2．（24-25高三上·河南安陽(yáng)·期中）設(shè)非零向量a,b的夾角為，若a1,b2，則“為鈍角”是“ab5”

的（）

A．充要條件B．必要不充分條件

C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)量積和模長(zhǎng)關(guān)系分析可知ab5等價(jià)于cos0，進(jìn)而結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【詳解】因?yàn)閍1,b2，

22

則abab2ab54cos5，解得cos0，

即ab5等價(jià)于cos0，

若為鈍角，則cos0，即充分性成立；

若cos0，則為鈍角或平角，即必要性不成立；

綜上所述：“為鈍角”是“ab5”的充分不必要條件.

故選：C.

π

3．（24-25高三上·山西大同·期中）已知向量a,b,c滿足abc0,a2,b3，且a與b的夾角為，則

6

cosb,c（）

213213239239

A．B．C．D．

13131313

【答案】D

r

【分析】根據(jù)條件計(jì)算出bc以及c，結(jié)合夾角余弦公式求解出結(jié)果.

3

【詳解】因?yàn)閏ab,ab233，

2

2

所以bcb(ab)abb336，

2222

因?yàn)椋?/p>

caba2abb46313

bc6239

所以c13,cosb,c，

bc31313

故選：D．

4．（24-25高三上·湖南·階段練習(xí)）已知VABC為單位圓O的內(nèi)接正三角形，則OBBC（）

33

A．B．C．1D．1

22

【答案】A

【分析】先根據(jù)內(nèi)接正VABC各邊以及OA,OB,OC與單位圓O半徑的關(guān)系，求出各邊長(zhǎng)度，再根據(jù)OB,BC

的模長(zhǎng)與夾角代入平面向量數(shù)量積公式求解答案.

【詳解】如圖所示:

因?yàn)閱挝粓AO半徑為1，VABC為單位圓O的內(nèi)接正三角形，

可得OAOBOC1，又O也是正VABC的中心，延長(zhǎng)OA交BC于D，

113

可得ODOA，ADOAOD，ADBC，

222

設(shè)VABC的邊長(zhǎng)為a，則由勾股定理得|AB|2|AD|2|BD|2，

13

即a2(a)2()2，解得a3.

22

所以|OB|1，|BC|3.又因?yàn)镺B,BC的夾角為OBC的補(bǔ)角，

π5π

OBC，所以O(shè)B,BC的夾角為，

66

5π3

所以O(shè)BBC|OB||BC|cos.

62

故選：A.

5．（2024·云南貴州·二模）設(shè)向量a1,2,bm,1，且abab，則m，a和b所成角為

【答案】290

【分析】將abab化簡(jiǎn)變形，并將坐標(biāo)代入求出m，根據(jù)ab0判斷兩個(gè)向量夾角為直角．

22

【詳解】因?yàn)閍bab，所以abab，

化簡(jiǎn)整理得ab0，所以1m210，所以m2．

因?yàn)閍b0，所以a和b所成角為90．

故答案為：2；90.

6．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）平面向量a與b相互垂直，已知a(6,8)，|b|5，且b與向量(1,0)的夾角

是鈍角，則b.

【答案】(4,3)

【分析】設(shè)b(x,y)，根據(jù)向量垂直和向量模的坐標(biāo)表示得到方程組，再結(jié)合b與向量(1,0)的夾角為鈍角

得到x0，最后解出方程組即可.

22

【詳解】設(shè)b(x,y),ab，ab0，6x8y0，①，|b|xy5，②，

因?yàn)閎與向量(1,0)夾角為鈍角，x0，③，

x4

由①②③解得，b(4,3).

y3

故答案為：(4,3).

7．（24-25高三上·福建福州·期中）已知a6，e為單位向量，且a在e上的投影向量為32e，則a與e的

夾角為.

3π

【答案】

4

【分析】利用投影向量的意義，結(jié)合向量的夾角公式計(jì)算即得.

rrr

【詳解】依題意，a在e上的投影向量為(ae)e，則ae32，

ae322

cosa,e，而0a,eπ，

|a||e|612

3π

所以a,e.

4

3π

故答案為：

4

8．（24-25高三上·福建福州·階段練習(xí)）已知a1,2，bx,4，若a與b的夾角是鈍角，則實(shí)數(shù)x的取

值范圍是．

【答案】,22,8

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及平行坐標(biāo)公式判斷鈍角即可求出參數(shù)范圍.

【詳解】因?yàn)閍與b夾角為鈍角，

可以得出a·b1x24x80，解得：x8，

且a,b不平行，則142x,x2，

即x8且x2，即x,22,8.

故答案為：,22,8

易錯(cuò)點(diǎn)03：忽略向量共線時(shí)的兩種情況

典例（24-25高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知單位向量a與向量b(1,2)共線，則向量a的坐標(biāo)

是．

525525

【答案】(,)或(－,－).

5555

【解析】根據(jù)與向量共線的單位向量的計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】由題意，單位向量a與向量b(1,2)共線，

b1525525

則向量ab，即向量a的坐標(biāo)是(,)或(－,－).

b55555

【易錯(cuò)剖析】共線向量的定義指出方向相同或相反的非零向量稱為共線向量，并規(guī)定零向量與任意向量共

線，本題容易忽略方向相反的情況而造成漏解.

【避錯(cuò)攻略】

1.向量數(shù)乘的定義

規(guī)定實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作：a，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如

下：①|(zhì)a|＝|||a|；②當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相

反.當(dāng)0或a0時(shí)，a0.

2.向量共線（平行）定理

向量a(a0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba.

3.平面向量共線的坐標(biāo)表示

，，，，，

（1）設(shè)a(x1y1)b(x2y2)，其中b0ab共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使ab.

，

（2）如果用坐標(biāo)表示，向量ab(b0)共線的充要條件是x1y2x2y10.

易錯(cuò)提醒：處理平面向量的共線問題一般有兩個(gè)思路：一是從幾何的角度，二是從坐標(biāo)的角度，這類問題

的求解過(guò)程有兩類特殊情況需要特別注意，一種是向量為零向量的情況；二是要考慮向量方向相同或相反

的情況.

1．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量a,b不共線，且cab,da(21)b，若c與d反共線，則

實(shí)數(shù)λ的值為（）

111

A．1B．C．1或D．1或

222

【答案】B

k

【分析】根據(jù)題意設(shè)ckd(k0)，然后將c，d代入化簡(jiǎn)，可得，從而可求出實(shí)數(shù)λ的值.

2kk1

【詳解】解：由于c與d反向共線，則存在實(shí)數(shù)k使ckd(k0)，

于是abk[a(21)b]，

整理得abka(2kk)b．

k

由于a,b不共線，所以有，整理得2k2k10，

2kk1

1

解得k1或k．

2

1

又因?yàn)閗0，故．

2

故選：B．

2．（24-25高二上·河南·階段練習(xí)）已知直線l1的方向向量為a1k,1，直線l2的方向向量為a22k,k，

若l1∥l2，則k（）

A．2B．1C．2或1D．0或2

【答案】C

【分析】根據(jù)直線平行可得a1∥a2，結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)閍1k,1，a22k,k，

若l1∥l2，可知a1∥a2，

則k22k，解得k2或k1.

故選：C.

3．（24-25高一下·四川瀘州·期中）（多選）與a(3,4)共線的單位向量有（）

3434

A．b,B．b(,)

5555

r34r34

C．b(,)D．b(,)

5555

【答案】BC

1

【分析】設(shè)ba，結(jié)合模長(zhǎng)公式可得，即可得結(jié)果.

5

rrr

221

【詳解】設(shè)ba3,4,R，且b341，解得，

5

r1r34r1r34

所以ba,或ba,.

555555

故選：BC.

1．（24-25高三上·山東日照·階段練習(xí)）已知向量a，b不共線，且cab，da21b，若c與d同

向共線，則實(shí)數(shù)的值為（）

1

A．1B．

2

11

C．1或D．1或

22

【答案】B

【分析】先根據(jù)向量平行求參數(shù)，再根據(jù)向量同向進(jìn)行取舍.

1

【詳解】因?yàn)閏與d共線，所以2110，解得1或.

2

若1，則cab，dab，所以dc，所以c與d方向相反，故舍去；

111

若，則cab，da2b，所以d2c，所以c與d方向相同，故為所求.

222

故選：B

2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量a(3,1)，單位向量c與向量b(2,1)同向共線，則向量c在向量a方向

上的投影向量為（）

355355232322

A．,B．,C．,D．,

101010102222

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由投影向量的定義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

b255

【詳解】由已知得c,，

b55

aaca

ccosc,a