6.1平均數與方差第2課時教學設計教學設計學科數學年級八年級課型新授課單元六單元課題6.1平均數與方差課時第2課時課標要求本節(jié)課需落實“數據與代數”領域核心目標：理解加權平均數的概念及“權”的本質（數據重要程度），能根據權的不同形式（個數、百分比）計算并解釋其實際意義；初步感知方差與數據穩(wěn)定性的關聯，建立“平均相同需進一步分析波動”的認知；能運用加權平均數解決定價、評分、大數據分布式計算等真實問題，體會權對結果的影響；發(fā)展數據觀念與定量分析意識，為后續(xù)系統(tǒng)學習方差計算奠定基礎，符合新課標“真實情境下數據分析與素養(yǎng)落地”的要求.教材分析本節(jié)課是第1課時算術平均數的延伸，聚焦“加權平均數（含權的意義）”與“方差的初步感知”，是數據分析從“集中趨勢”向“離散程度”過渡的關鍵節(jié)點.教材以三層情境遞進：先借“全家福餛飩定價”（個數權）引出加權平均數，再用“廣播體操評分”（百分比權）深化權的形式，最后通過“網站上網時間”關聯大數據分布式計算；同時以“甲丁射擊平均成績相同但穩(wěn)定性不同”的對比，自然引出方差的需求.既銜接前期知識，又為后續(xù)方差計算鋪墊，體現新課標“問題導向、素養(yǎng)遞進”的編寫思路.學情分析學生已掌握算術平均數計算，但存在兩大認知難點：一是對“權”的本質（數據重要程度）理解模糊，易將“個數權”與“百分比權”割裂，不會轉化；二是面對“平均相同但穩(wěn)定性不同”的情況，習慣憑主觀判斷波動大小，缺乏“定量衡量”的意識.在復雜情境中，部分學生難以確定權的具體形式，個體差異集中在“權的實際意義轉化”與“數據穩(wěn)定性的定量感知”上.教學目標1.理解加權平均數的概念及權的意義，能根據個數、百分比等不同形式的權計算加權平均數，初步感知方差與數據穩(wěn)定性的關聯；2.通過分析餛飩定價、評分方案、射擊成績等情境，經歷“感知權的作用—計算驗證—對比穩(wěn)定性”的過程，提升數據分析與邏輯推理能力；3.體會加權平均數在商業(yè)、體育、大數據中的應用，感受數學與生活的緊密聯系，培養(yǎng)用定量方法分析數據的科學意識.教學重點1.理解加權平均數的概念，能根據不同形式的權準確計算加權平均數；2.初步感知方差與數據穩(wěn)定性的關聯，能結合平均成績判斷數據波動情況.教學難點理解“權”的本質，并能根據實際情境靈活確定權的形式，解釋權對加權平均數結果的影響.教法與學法分析教法采用“情境分層驅動+問題鏈探究”，通過餛飩定價（基礎）、評分方案（進階）、網站計算（拓展）設疑，引導學生拆解權的本質；學法以“小組合作+自主對比分析”為主，通過計算不同權的結果、對比甲丁射擊成績，主動建構知識，落實“做中學”，契合新課標學生主體理念.教學過程教學步驟教學主要內容教師活動學生活動設計意圖環(huán)節(jié)一：依標靠本，獨立研學復習回顧（1）上節(jié)課我們用算術平均數計算了商品的平均日銷量，若某商品3天銷量為5、6、7，算術平均數是6；若第三天銷量變?yōu)?7，平均數變成多少？答案：（5+6+17）÷3=9，（2）這說明算術平均數受什么影響？答案：相對于5，6，7這三個數，17比較大，所以算術平方根易受極端值影響..引導學生復習回顧，引導學生復習算術平方根.獨立計算平均數，同桌交流后舉手回答.喚醒算術平均數舊知，暴露其“易受極端值干擾”的局限，自然引出“需更靈活統(tǒng)計量”的需求，為加權平均數學習鋪墊.探究活動一：某餛飩店每碗有10個餛飩.其中蛋黃鮮肉餛飩15元/碗，蝦仁鮮肉餛飩15元/碗，薺菜鮮肉餛飩12元/碗，玉米鮮肉餛飩10元/碗，香芹鮮肉餛飩10元/碗.現在計劃推出一份“全家?！别Q飩，其中含蛋黃鮮肉餛飩、蝦仁鮮肉餛飩各1個，薺菜鮮肉餛飩2個，玉米鮮肉餛飩、香芹鮮肉餛飩各3個.你認為這種“全家?！别Q飩每碗定價多少元較為合理？你是怎么想的？與同伴進行交流.呈現餛飩單價與“全家?！迸淞蠑盗?，提問，引導學生按數量占比計算.小組討論“算術平均不合理”，嘗試用“單價×數量占比”計算定價，展示結果.以生活情境切入，讓學生自主發(fā)現“數據重要程度不同需加權”，初步感知“個數權”的意義，突破“理解權本質”的難點.環(huán)節(jié)二：同伴分享，互助研學探究活動二：思考交流：（1）小亮認為“全家?！别Q飩每碗定價應為15×110+15×1你認為他的算法合理嗎？為什么？與同伴進行交流.合理，因為每鐘餛飩的價格不相同，需要根據不同種類的數量分別計算.（2）如果“全家?！别Q飩含蛋黃鮮肉餛飩3個，蝦仁鮮肉餛飩3個，薺菜鮮肉餛飩2個，玉米鮮肉餛飩1個，香芹鮮肉餛飩1個，那么該如何定價呢？若每種餛飩各2個，又該如何定價呢？15×310+15×3若每種餛飩各2個，定價為15×210+15×2（3）你認為這種“全家?！别Q飩的定價與什么有關？不同餡料的餛飩個數不同，影響著這碗“全家?！别Q飩的定價.歸納總結：在很多實際問題中，一組數據里各個數據的“重要程度”未必相同，因而，在計算這組數據的平均數時，往往根據各個數據的“重要程度”賦一個“權”.例如，在一碗“全家福”餛飩中，不同餡料的餛飩個數不同，影響著這碗“全家?！别Q飩的定價，因此不同餡料餛飩的占比就是權，我們稱15×110+15×加權平均數的計算公式：x=x1w想一想：加權平均數和算術平均數有什么區(qū)別和聯系？對比維度算術平均數加權平均數權重要求所有數據“權重相等”（默認每個數據重要性相同）數據“權重不同”（需明確每個數據的重要程度/出現次數）計算步驟直接求和→除以數據個數（一步到位）先算“數據×權重”的和→除以權重總和（兩步計算）適用場景數據無差異、無優(yōu)先級的情況數據有差異、需體現“重要性”的情況實例場景計算5次投籃訓練的平均命中數（每次訓練同等重要）計算期末總成績（平時成績占30%、期末成績占70%，權重不同）核心總結：當數據“沒區(qū)別”時，用算術平均數；當數據“有輕重”時，用加權平均數——兩者本質都是“刻畫數據集中趨勢”，只是加權平均數更靈活，能適應更多實際場景.針對小亮的定價算法提問“為何用數量占比當權？”，再給出不同配料數量，讓學生計算并對比“每種各2個”的情況，追問“權相同時是什么平均數？”.計算兩種新定價，發(fā)現“權相等時，加權平均等于算術平均”，總結兩者聯系.通過對比計算，讓學生自主建構“算術平均數是加權平均數的特殊情況”，深化概念理解.環(huán)節(jié)三：全班展學，互動深入探究活動三：例題精講：某校進行廣播操比賽，評分包括以下幾項（每項滿分10分）：服裝統(tǒng)一、進退場有序、動作規(guī)范、動作整齊.其中三個班的成績分別如下：班級評分項服裝統(tǒng)一進退場有序動作規(guī)范動作整齊一班9898二班10978三班8989如果將服裝統(tǒng)一、進退場有序、動作規(guī)范、動作整齊這四項得分依次按10%，20%，30%，40%的比例計算各班的廣播操比賽成績，那么哪個班的成績最高？解：一班的成績?yōu)?×10%+8×20%+9二班的成績?yōu)?0×10%+9×三班的成績?yōu)?×10%+9×20%+8所以，三班成績最高.在例題中，你認為哪個評分項更為重要？請按自己的想法設計一個評分方案，并與同伴進行交流.廣播操比賽的核心是“動作質量與團隊協(xié)作”，因此調整權重時需進一步強化“動作規(guī)范”和“動作整齊”的核心地位，同時保留“服裝統(tǒng)一”“進退場有序”的輔助作用（避免過度側重形式而忽略本質）.具體權重設計如下：評分項權重設計理由服裝統(tǒng)一10%僅需保證整潔統(tǒng)一，不影響動作質量，作為基礎輔助項，權重維持較低水平.進退場有序15%體現班級紀律性，但屬于流程性環(huán)節(jié)，重要性低于動作類項目，適當降低權重.動作規(guī)范35%動作是否符合廣播操標準是“質量底線”，提升權重突出基礎重要性.動作整齊40%團隊動作是否同步是比賽“視覺核心”，維持最高權重，凸顯協(xié)作價值.一班成績：9×10%+8×15%+9×35%+8×40%=0.9+1.2+3.15+3.2=

8.45分二班成績：10×10%+9×15%+7×35%+8×40%=1+1.35+2.45+3.2=

7.95分三班成績：8×10%+9×15%+8×35%+9×40%=0.8+1.35+2.8+3.6=

8.55分新方案下，三班（8.55分）仍為最高，一班（8.45分）次之，二班（7.95分）最低.總結歸納：1.權的設定依據：需緊扣活動核心目的——廣播操比賽本質是“動作質量與團隊協(xié)作”，因此“動作規(guī)范”“動作整齊”權重應高于“服裝統(tǒng)一”“進退場有序”，避免“重形式輕本質”.2.計算關鍵要點：面對百分比權，需先將百分比轉化為小數，再按“得分×對應權重”求和；若權重為比例，需先算總份數，再轉化為“比例/總份數”計算.3.權對結果的影響：權重調整會改變班級排名，因此權的設定需客觀反映評價重點，保證公平性.探究活動四：思考·交流：（1）已知A，B兩家網站客戶的日人均上網時間分別是2h和1h，這兩家網站所有用戶的日人均上網時間是（2+1）÷2=1.5（h）嗎？為什么？與同伴進行交流.不能直接用算術平均數計算，因為日人均上網時間的總平均，需考慮兩家網站的用戶人數（即“權重”）——若A、B網站的用戶人數不同，它們對“總人均時間”的影響程度不同，此時必須用加權平均數計算，而非簡單的算術平均數.（2）設A，B兩家網站用戶的日人均上網時間分別是ah和bh，A，B兩家網站平均每天的上網用戶分別為m人和n人，你能求出這兩家網站所有用戶的日人均上網時間嗎？A，B兩家網站所有用戶的日人均上網時間為ma+nbm+nh，它不是兩個網站各自用戶日人均上網時間ah和bh的算術平均數，而是ah，bh的加權平均數mm+na+nm+n這是分布式計算的最簡單形式，對于多個網站也可以類似計算.在大數據時代，分布式計算具有廣泛的應用.出示各班評分與10%、20%、30%、40%的權重，示范一班成績計算，引導學生計算二、三班成績，再讓小組設計新評分方案并說明理由.模仿計算二、三班成績（8.1分、8.6分），小組討論并設計“強化動作類權重”的方案（如動作規(guī)范35%、整齊40%），計算新成績并分享思路.落實“百分比權計算”的教學重點，讓學生在方案設計中體會“權的設定緊扣活動核心”，提升數據分析能力.環(huán)節(jié)四：鞏固內化，拓展延伸鞏固訓練1.某校為落實作業(yè)、睡眠、手機、讀物、體質等“五項”管理工作有關要求，隨機抽查了部分學生每天的睡眠時間，制定如下統(tǒng)計表.所抽查學生每天睡眠時間的平均數為 （）睡眠時間/h6789人數1020155A.7hB.7.3hC.7.5hD.8h2.學校舉行籃球技能大賽，評委從控球技能和投球技能兩方面為選手打分，各項成績均按百分制計，然后再按控球技能占60%，投球技能占40%計算選手的綜合成績（百分制）.選手李林控球技能得90分，投球技能得80分.李林綜合成績?yōu)椋ǎ〢.170分B.86分C.85分D.84分3.學校廣播站要新招1名廣播員，甲、乙兩名同學經過選拔進入復試環(huán)節(jié)，參加了口語表達、寫作能力兩項測試，成績如表：項目應試者口語表達寫作能力甲8090乙9080學校規(guī)定口語表達按70%，寫作能力按30%計入總成績，根據總成績擇優(yōu)錄取.通過計算，你認為同學將被錄取.

4.為了滿足顧客的需求，某商場將5kg奶糖、3kg酥心糖和2kg水果糖混合成什錦糖出售.已知奶糖的售價為每千克40元，酥心糖的售價為每千克20元，水果糖的售價為每千克15元，混合后什錦糖的售價應為每千克元.

5.某?！皵祵W之星”評比由小論文、說題比賽、其他榮譽、現場考核四部分組成.每班只推薦一位同學.八（2）班小崇、小德兩位同學得分情況如下.姓名小論文說題比賽其他榮譽現場考核小崇809030100小德100903090（1）若各部分在總分中的占比之比為1∶1∶1∶2，分別計算兩位同學的得分；（2）若現場考核在總分中占比為50%，有人認為應推薦小德同學參加校級“數學之星”評比，你認為合理嗎？如不合理，請說出你的推薦人選，并說明理由.巡視課堂迅速掌握學情當堂小測，用所學知識解決問題，學生代表回答.學以致用，及時獲知學生對所學知識的掌握情況，明確哪些學生需要在課后加強輔導，達到全面提高的目的課堂小結通過本節(jié)課的學習你收獲了什么？加權平均數：概念：按數據“重要程度”（權）計算的平均數，公式：x=x1w權的形式：①個數權；②百分比權；③比例權.與算術平均數的聯系：當所有權相等時，加權平均數簡化為算術平均數，即算術平均數是加權平均數的特殊情況.方差初步感知：當兩組數據平均數相同時，需通過“成績波動大小”判斷穩(wěn)定性，為后續(xù)方差計算奠定認知基礎.實際應用：可解決定價、評分、大數據分布式計算等問題，關鍵是根據實際情境確定權的形式.教師以提問的形式小結學生思考自由回答，自我小結課堂小結可以幫助學生理清所學知識的層次結構，掌握其外在的形式和內在聯系，形成知識系列及一定的結構框架.板書設計6.1平均數與方差第2課時加權平均數的概念：公式：x=x1w權的形式：①個數權；②百分比權；③比例權.加權平均數的應用：例：利用簡潔的文字、符號、圖表等呈現本節(jié)課的新知，可以幫助學生理解掌握知識，形成完整的知識體系.作業(yè)設計基礎達標：1.某校舉行校園十佳歌手大賽，小穎同學的初賽成績?yōu)?0分，復賽成績?yōu)?0分.若總成績按初賽成績占30％，復賽成績占70％來計算，則小穎同學的總成績?yōu)椋ǎ〢.83分 B.80分 C.75分 D.70分2.某超市銷售A，B，C，D四種礦泉水，它們的單價依次是5元、3元、2元、1元.某天的銷售情況如圖所示，則這天銷售的礦泉水的平均單價是（）A.1.95元 B.2.15元C.2.25元 D.2.75元3.某班有男生20人，女生18人.在一次測驗中，男生的平均分為a分，女生的平均分為b分，那么這個班級全體學生這次測驗的平均分為（）A.a+b/2分 B.a+b/38分4.一家公司招考某工作崗位，只考數學和物理，計算綜合得分時，按數學占60％，物理占40％計算，如果孔明數學得分為80分，估計綜合得分最少要達到84分才有希望，那么他的物理最少要考（）A.86分 B.88分 C.90分 D.92分能力提升：5.某校舉行“傳承經典文化，誦讀時代心聲”的主題誦讀比賽，八年級（2）班在作品內容、儀表形象、舞臺表現三個方面的得分分別為84，89，90，若將三項得分依次按3∶2∶5的比例計算總成績，則八年級（2）班的總成績?yōu)榉?6.某校競選學生會干部，分學生一日常規(guī)知識筆試和演講比賽兩個環(huán)節(jié)，總分均為100分，并按4∶6比例計算平均成績，小明筆試成績95分，演講成績90分，最終平均成績?yōu)榉?7.《義務教育課程標準》首次把學生學會炒菜納入勞動教育課程，并做出明確規(guī)定.小亮調查了全班同學一周學會炒的菜品數量，結果如圖所示，則全班同學一周學會炒的菜品數量的平均數是.8.一位求職者參加某公司的招聘，面試和筆試的成績分別是86和90，公司給出他這兩項測試的平均成績?yōu)?7.2，可知此次招聘中（填“面試”或“筆試”）的權重較大.拓展遷移：9.為深入學習貫徹習近平法治思想，推動青少年憲法學習宣傳教育走深走實，某校開展了憲法