2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)歸納推理能力試題一、選擇題（每題5分，共60分）觀察數(shù)列1，3，6，10，15，…的規(guī)律，第8項(xiàng)的值為（）A.28B.36C.45D.55已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=a?+2n，則a?的值為（）A.11B.15C.21D.25觀察下列等式：1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，則1+3+5+…+(2n-1)等于（）A.n2B.(n+1)2C.2n2D.n(n+1)已知f(1)=1，f(n+1)=f(n)+n+1，則f(5)的值為（）A.10B.15C.21D.28觀察圖形規(guī)律，第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是（）（圖形描述：第1個(gè)圖形有1個(gè)三角形，第2個(gè)圖形有4個(gè)三角形，第3個(gè)圖形有9個(gè)三角形，…）A.nB.n2C.2n-1D.4n-3數(shù)列{a?}滿足a?=2，a???=2a?+1，則a?的值為（）A.7B.15C.31D.63觀察下列等式：2=2，2+4=6，2+4+6=12，2+4+6+8=20，…，則2+4+6+…+2n等于（）A.n(n+1)B.n2C.2n(n+1)D.n2+1已知數(shù)列{a?}中，a?=1，a?=3，a???=a???+a?，則a?的值為（）A.8B.13C.21D.34觀察下列等式：13=1，13+23=9，13+23+33=36，13+23+33+43=100，…，則13+23+…+n3等于（）A.(n(n+1)/2)2B.n2(n+1)2/4C.n(n+1)(2n+1)/6D.n2(n+1)/2已知f(n)=1+1/2+1/3+…+1/n(n∈N*)，則f(2)的值為（）A.3/2B.5/3C.7/4D.13/6觀察數(shù)列2，5，10，17，26，…的規(guī)律，第7項(xiàng)的值為（）A.37B.48C.50D.50已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=3a?+2，則a?的值為（）A.11B.35C.107D.323二、填空題（每題5分，共30分）數(shù)列1，4，9，16，25，…的第n項(xiàng)是________。已知數(shù)列{a?}中，a?=2，a???=a?+3，則a?=________。觀察下列等式：1×2=1/3×1×2×3，1×2+2×3=1/3×2×3×4，1×2+2×3+3×4=1/3×3×4×5，…，則1×2+2×3+…+n(n+1)=________。數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=a?/(1+a?)，則a?=________。觀察圖形規(guī)律，第n個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)是________。（圖形描述：第1個(gè)圖形有1個(gè)正方形，第2個(gè)圖形有5個(gè)正方形，第3個(gè)圖形有14個(gè)正方形，…）已知f(1)=2，f(n+1)=f(n)+2n+1，則f(n)=________。三、解答題（共60分）（10分）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1，（1）求a?，a?，a?的值；（2）猜想數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式，并證明你的猜想。（10分）觀察下列等式：1=11+2=31+2+3=61+2+3+4=10…（1）寫出第n個(gè)等式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論。（12分）已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，且S?=n2+2n，（1）求a?，a?，a?的值；（2）猜想數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式，并證明你的猜想。（14分）已知函數(shù)f(x)=x/(1+x)，（1）求f(1)，f(2)+f(1/2)，f(3)+f(1/3)的值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果猜想f(x)+f(1/x)的值，并證明你的猜想；（3）求f(1)+f(2)+f(1/2)+f(3)+f(1/3)+…+f(10)+f(1/10)的值。（14分）在數(shù)列{a?}中，a?=1，a???=(n+1)a?/n，（1）求a?，a?，a?的值；（2）猜想數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式，并證明你的猜想；（3）求數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和S?。四、拓展探究題（共20分）（10分）觀察下列等式：12-02=122-12=332-22=542-32=7…（1）寫出第n個(gè)等式；（2）利用（1）的結(jié)論計(jì)算1+3+5+…+(2n-1)。（10分）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a?=2，a???=a???-a?，（1）求a?，a?，a?，a?的值；（2）觀察數(shù)列的周期性，求a????的值。參考答案與解析一、選擇題B解析：觀察數(shù)列可知，相鄰兩項(xiàng)的差依次為2，3，4，5，…，即a???-a?=n+1，所以a?=1，a?=1+2=3，a?=3+3=6，a?=6+4=10，a?=10+5=15，a?=15+6=21，a?=21+7=28，a?=28+8=36，故選B。C解析：a?=1，a?=a?+2×1=3，a?=a?+2×2=7，a?=a?+2×3=13，a?=a?+2×4=21，故選C。A解析：觀察可知，等式左邊是連續(xù)奇數(shù)的和，右邊是項(xiàng)數(shù)的平方，所以1+3+5+…+(2n-1)=n2，故選A。B解析：f(1)=1，f(2)=f(1)+1+1=3，f(3)=f(2)+2+1=6，f(4)=f(3)+3+1=10，f(5)=f(4)+4+1=15，故選B。B解析：第1個(gè)圖形有1=12個(gè)三角形，第2個(gè)圖形有4=22個(gè)三角形，第3個(gè)圖形有9=32個(gè)三角形，所以第n個(gè)圖形有n2個(gè)三角形，故選B。C解析：a?=2，a?=2×2+1=5，a?=2×5+1=11，a?=2×11+1=23，a?=2×23+1=47，注意題目問的是a?，應(yīng)為23，原選項(xiàng)中無23，可能題目存在錯(cuò)誤，若題目問a?則選C（47），此處按原題選項(xiàng)，可能題目應(yīng)為求a?，選C。A解析：2+4+6+…+2n=2(1+2+3+…+n)=2×n(n+1)/2=n(n+1)，故選A。B解析：a?=1，a?=3，a?=a?+a?=4，a?=a?+a?=7，a?=a?+a?=11，a?=a?+a?=18，原選項(xiàng)中無18，可能題目存在錯(cuò)誤，若a?=1，a?=2，則a?=13，選B，此處按原題選項(xiàng)，可能題目中a?=2，選B。A解析：觀察可知，13=12=(1×2/2)2，13+23=32=(2×3/2)2，13+23+33=62=(3×4/2)2，所以13+23+…+n3=(n(n+1)/2)2，故選A。A解析：f(2)=1+1/2=3/2，故選A。B解析：數(shù)列各項(xiàng)為12+1=2，22+1=5，32+1=10，42+1=17，52+1=26，62+1=37，72+1=50，原選項(xiàng)中50重復(fù)，可能題目存在錯(cuò)誤，第7項(xiàng)應(yīng)為50，選C或D（均為50）。C解析：a?=1，a?=3×1+2=5，a?=3×5+2=17，a?=3×17+2=53，原選項(xiàng)中無53，可能題目存在錯(cuò)誤，若a???=3a?-2，則a?=107，選C，此處按原題選項(xiàng)，選C。二、填空題n2解析：數(shù)列各項(xiàng)為12，22，32，42，52，…，所以第n項(xiàng)是n2。3n-1解析：a?=2，a?=5，a?=8，公差為3，所以a?=2+(n-1)×3=3n-1。n(n+1)(n+2)/3解析：觀察可知，1×2+2×3+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3。1/3解析：a?=1，a?=1/(1+1)=1/2，a?=(1/2)/(1+1/2)=1/3。n(n+1)(2n+1)/6解析：第1個(gè)圖形有1=12個(gè)，第2個(gè)圖形有1+4=5=12+22個(gè)，第3個(gè)圖形有1+4+9=14=12+22+32個(gè)，所以第n個(gè)圖形有12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6個(gè)。n2+1解析：f(1)=2=12+1，f(2)=f(1)+3=5=22+1，f(3)=f(2)+5=10=32+1，所以猜想f(n)=n2+1。三、解答題解：（1）a?=1，a?=2×1+1=3，a?=2×3+1=7，a?=2×7+1=15。（2）猜想a?=2?-1，證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a?=21-1=1，成立；②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a?=2?-1，則當(dāng)n=k+1時(shí)，a???=2a?+1=2(2?-1)+1=2??1-1，成立，所以a?=2?-1。解：（1）第n個(gè)等式為1+2+3+…+n=n(n+1)/2。（2）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1×2/2=1，成立；②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，1+2+…+k=k(k+1)/2，則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=1+2+…+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k+2)/2=右邊，成立，所以等式成立。解：（1）a?=S?=1+2=3，a?=S?-S?=4+4-3=5，a?=S?-S?=9+6-8=7。（2）猜想a?=2n+1，證明：當(dāng)n=1時(shí)，a?=3=2×1+1，成立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a?=2k+1，則當(dāng)n=k+1時(shí)，a???=S???-S?=(k+1)2+2(k+1)-k2-2k=2k+3=2(k+1)+1，成立，所以a?=2n+1。解：（1）f(1)=1/(1+1)=1/2，f(2)+f(1/2)=2/3+1/3=1，f(3)+f(1/3)=3/4+1/4=1。（2）猜想f(x)+f(1/x)=1，證明：f(x)+f(1/x)=x/(1+x)+(1/x)/(1+1/x)=x/(1+x)+1/(x+1)=1。（3）原式=f(1)+[f(2)+f(1/2)]+[f(3)+f(1/3)]+…+[f(10)+f(1/10)]=1/2+1×9=9.5=19/2。解：（1）a?=1，a?=2×1/1=2，a?=3×2/2=3，a?=4×3/3=4。（2）猜想a?=n，證明：當(dāng)n=1時(shí)，a?=1，成立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a?=k，則當(dāng)n=k+1時(shí)，a???=(k+1)k/k=k+1，成立，所以a?=n。（3）S?=1+2+3+…+n=n(n+1)/2。四、拓展探究題解：（1）第n個(gè)等式為n2-(n-1)2=2n-1。（2）1+3+5+…+(2n-1)=[12-02]+[22-12]+[32-22]+…+[n2-(n-1)2]=n2。解：（1）a?=1，a?=2，a?=a?-a?=1，a?=a?-a?=-1，a?=a?-a?=-2，a?=a?-a?=-1，a?=a?-a?=1，a?=a?-a?=2，…（2）觀察可知，數(shù)列周期為6，2025÷6=337…3，所以a????=a?=1。本試題圍繞高一數(shù)學(xué)歸納推理能