第44頁（共44頁）2025年湖北省武漢市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個(gè)正確答案。1．（3分）（2025?武漢）現(xiàn)實(shí)世界中，對(duì)稱現(xiàn)象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對(duì)稱性．下列美術(shù)字是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）（2025?武漢）擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的小正方體，小正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有1到6的數(shù)字．下列事件是必然事件的是（）A．向上兩面的數(shù)字和為5 B．向上兩面的數(shù)字和大于1 C．向上兩面的數(shù)字和大于12 D．向上兩面的數(shù)字和為偶數(shù)3．（3分）（2025?武漢）如圖是由五個(gè)相同的小正方體組成的幾何體，它的俯視圖是（）A． B． C． D．4．（3分）（2025?武漢）2025年“五一”期間，全國旅游市場火爆．據(jù)文化和旅游部數(shù)據(jù)中心統(tǒng)計(jì)，國內(nèi)旅游消費(fèi)超過1800億元（1億＝108），同比增長8%．將數(shù)據(jù)1800億用科學(xué)記數(shù)法表示是（）A．0.18×1012 B．1.8×1011 C．18×1010 D．1.8×10125．（3分）（2025?武漢）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．（﹣a3）2＝a6 D．a(chǎn)8÷a2＝a46．（3分）（2025?武漢）“漏壺”是中國古代一種全天候計(jì)時(shí)儀器，在它內(nèi)部盛一定量的水，水從壺下的小孔漏出，壺內(nèi)壁有刻度，人們根據(jù)壺中水面的位置計(jì)算時(shí)間．壺中水面高度y（單位：cm）隨漏水時(shí)間t（單位：h）的變化規(guī)律如圖所示（不考慮水量變化對(duì)壓力的影響）．水面高度從48cm變化到42cm所用的時(shí)間是（）A．3h B．4h C．6h D．12h7．（3分）（2025?武漢）某商場開展購物抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，抽獎(jiǎng)盒中裝有三個(gè)小球，它們分別標(biāo)有10元、20元、30元，一次性隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，摸出的兩球上金額的和為50元的概率是（）A．16 B．14 C．13 8．（3分）（2025?武漢）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是邊AB上的點(diǎn)，將△BCD沿直線CD折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊AC上．若∠A＝34°，則∠ADE的大小是（）A．35° B．37° C．39° D．41°9．（3分）（2025?武漢）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=2CD．若AB＝6，CD=13，則⊙A．134 B．72 C．92 10．（3分）（2025?武漢）如圖1，在△ABC中，D是邊AC上的定點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，依次沿AB，BC兩邊勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，DP的長為y，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，其中M，N分別是兩段曲線的最低點(diǎn)．點(diǎn)N的縱坐標(biāo)是（）A．11617 B．12017 C．11215 二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）（2025?武漢）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，四種物質(zhì)的凝固點(diǎn)如表所示，其中凝固點(diǎn)最低的物質(zhì)是．物質(zhì)鐵酒精液態(tài)氧水凝固點(diǎn)（單位：℃）1535﹣117﹣218012．（3分）（2025?武漢）在平面直角坐標(biāo)系中，某反比例函數(shù)y=kx的圖象分別位于第一、第三象限．寫出一個(gè)滿足條件的k的值是13．（3分）（2025?武漢）方程1x-1=4x14．（3分）（2025?武漢）某科技小組用無人機(jī)測量一池塘水面兩端A，B的距離，具體過程如下：如圖，將無人機(jī)垂直上升至距水面120m的P處，測得A處的俯角為45°，B處的俯角為22°，則A，B之間的距離是m．（tan22°取0.4）15．（3分）（2025?武漢）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝210，點(diǎn)D在邊AC上，CD＝3．若點(diǎn)E在邊AB上，滿足CE＝BD，則AE的長是．16．（3分）（2025?武漢）已知二次函數(shù)y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a為常數(shù)，且a≠0）．下列五個(gè)結(jié)論：①該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0）；②若a＝﹣1，則當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而減?。虎墼摵瘮?shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；④若a＞2，則關(guān)于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一個(gè)根大于0且小于1；⑤若a＞2，則關(guān)于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正數(shù)根只有一個(gè)．其中正確的是（填寫序號(hào)）．三、解答題（共8小題，共72分）下列各題需寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形。17．（8分）（2025?武漢）解不等式組3x18．（8分）（2025?武漢）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，AD∥BC．若______，則AD＝CB．從①OA＝OC，②∠ABC＝∠CDA，③AB＝CD這三個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件，使結(jié)論成立，并說明理由．19．（8分）（2025?武漢）某校開展“中國詩詞”競賽，學(xué)生成績?yōu)檎麛?shù)，滿分為5分．為了解本次競賽的情況，從該校隨機(jī)抽取m名學(xué)生的成績作為樣本，將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）m的值是，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“5分”對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角大小是．（2）該校共有1000名學(xué)生參加競賽，估計(jì)成績超過3分的學(xué)生人數(shù)．（3）從樣本的眾數(shù)、中位數(shù)中選擇一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，寫出它的值并說明它的實(shí)際意義．20．（8分）（2025?武漢）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，BD是直徑，∠BAC＝45°，過點(diǎn)C作CE∥BD交AB的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：CE是⊙O的切線．（2）若BD＝4，tan∠ABD＝2，求圖中陰影部分的面積．21．（8分）（2025?武漢）如圖是由小正方形組成的3×4網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn)，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無刻度直尺在給定網(wǎng)格中完成如下兩個(gè)問題，每個(gè)問題的畫線不得超過五條．（1）如圖1，E是格點(diǎn)，先將點(diǎn)E繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫對(duì)應(yīng)點(diǎn)F，再畫直線FG交AB于點(diǎn)G，使直線FG平分矩形ABCD的面積．（2）如圖2，先畫點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)M，再畫射線MN交BD于點(diǎn)N，使MN∥AD．22．（10分）（2025?武漢）某校數(shù)學(xué)小組開展以“羽毛球飛行路線”為主題的綜合實(shí)踐活動(dòng)．研究背景羽毛球飛行路線所在的平面與球網(wǎng)垂直．收集數(shù)據(jù)某次羽毛球飛行的高度y（單位：m）與距發(fā)球點(diǎn)的水平距離x（單位：m）的對(duì)應(yīng)值如表（不考慮空氣阻力）．水平距離x/m02356…高度y/m1.12.32.62.62.3…探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)小組借助計(jì)算機(jī)畫圖軟件，建立平面直角坐標(biāo)系、描點(diǎn)、連線（如圖），發(fā)現(xiàn)羽毛球飛行路線是拋物線y＝ax2+bx+1.1的一部分．建立模型求y與x的函數(shù)解析式（不要求寫自變量取值范圍）．（1）羽毛球在此次飛行過程中，飛行的高度能否達(dá)到2.8m？請(qǐng)說明理由．（2）保持羽毛球飛行路線對(duì)應(yīng)的拋物線的形狀不變，改變發(fā)球方式，使其解析式變?yōu)閥＝ax2+kx+1.1，發(fā)球點(diǎn)與球網(wǎng)的水平距離是5m．若羽毛球飛過球網(wǎng)正上方時(shí)，飛行的高度超過2.1m，且球的落地點(diǎn)與球網(wǎng)的水平距離小于6m．求k的取值范圍．23．（10分）（2025?武漢）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊BC的延長線上，DE＝CF，射線AE交對(duì)角線BD于點(diǎn)G，交線段DF于點(diǎn)H．（1）求證：DH＝GH．（溫馨提示：若思考有困難，可嘗試證明△ADE≌△DCF）（2）求證：AG?EH＝EG?GH．（3）若GEEH=n，直接寫出DHDF24．（12分）（2025?武漢）拋物線y=14x2-3與直線y＝x交于A，B（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）如圖1，若P是直線AB下方拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作y軸的平行線交線段AB于點(diǎn)N，滿足PM＝PN，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．（3）如圖2，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線CD交拋物線于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在第二象限），連接AC，BD分別交x軸于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．若S△DOF=34S

2025年湖北省武漢市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案DBDB．CACCAB一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個(gè)正確答案。1．（3分）（2025?武漢）現(xiàn)實(shí)世界中，對(duì)稱現(xiàn)象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對(duì)稱性．下列美術(shù)字是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀．【答案】D【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：選項(xiàng)A、B、C的美術(shù)字都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；選項(xiàng)D的美術(shù)字能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）（2025?武漢）擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的小正方體，小正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有1到6的數(shù)字．下列事件是必然事件的是（）A．向上兩面的數(shù)字和為5 B．向上兩面的數(shù)字和大于1 C．向上兩面的數(shù)字和大于12 D．向上兩面的數(shù)字和為偶數(shù)【考點(diǎn)】隨機(jī)事件．【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】B【分析】事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的；在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件；據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【解答】解：擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的小正方體，小正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有1到6的數(shù)字，向上兩面的數(shù)字和為5是隨機(jī)事件，則A不符合題意，向上兩面的數(shù)字和大于1是必然事件，則B符合題意，向上兩面的數(shù)字和大于12是不可能事件，則C不符合題意，向上兩面的數(shù)字和為偶數(shù)是隨機(jī)事件，則D不符合題意，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查隨機(jī)事件，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．3．（3分）（2025?武漢）如圖是由五個(gè)相同的小正方體組成的幾何體，它的俯視圖是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】簡單組合體的三視圖．【專題】投影與視圖；空間觀念．【答案】D【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中．【解答】解：從上面看易得底層是兩個(gè)正方形，上層是兩個(gè)正方形，類似于應(yīng)該“田”字．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三視圖的知識(shí)，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．4．（3分）（2025?武漢）2025年“五一”期間，全國旅游市場火爆．據(jù)文化和旅游部數(shù)據(jù)中心統(tǒng)計(jì)，國內(nèi)旅游消費(fèi)超過1800億元（1億＝108），同比增長8%．將數(shù)據(jù)1800億用科學(xué)記數(shù)法表示是（）A．0.18×1012 B．1.8×1011 C．18×1010 D．1.8×1012【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【專題】實(shí)數(shù)；符號(hào)意識(shí)．【答案】B．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：1800億＝180000000000＝1.8×1011．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．5．（3分）（2025?武漢）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．（﹣a3）2＝a6 D．a(chǎn)8÷a2＝a4【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的除法；合并同類項(xiàng)；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】利用同底數(shù)冪乘法及除法，合并同類項(xiàng)，冪的乘方法則逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：a2與a3不是同類項(xiàng)，無法合并，則A不符合題意，a2?a3＝a5，則B不符合題意，（﹣a3）2＝a6，則C符合題意，a8÷a2＝a6，則D不符合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同底數(shù)冪乘法及除法，合并同類項(xiàng)，冪的乘方，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．6．（3分）（2025?武漢）“漏壺”是中國古代一種全天候計(jì)時(shí)儀器，在它內(nèi)部盛一定量的水，水從壺下的小孔漏出，壺內(nèi)壁有刻度，人們根據(jù)壺中水面的位置計(jì)算時(shí)間．壺中水面高度y（單位：cm）隨漏水時(shí)間t（單位：h）的變化規(guī)律如圖所示（不考慮水量變化對(duì)壓力的影響）．水面高度從48cm變化到42cm所用的時(shí)間是（）A．3h B．4h C．6h D．12h【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【專題】函數(shù)及其圖象；應(yīng)用意識(shí)．【答案】A【分析】根據(jù)題意求出“漏壺”的漏水速度，即可求出水面高度從48cm變化到42cm所用的時(shí)間．【解答】解：“漏壺”的漏水速度為：4824=2（cm/∴水面高度從48cm變化到42cm所用的時(shí)間是48-422=3（故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．7．（3分）（2025?武漢）某商場開展購物抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，抽獎(jiǎng)盒中裝有三個(gè)小球，它們分別標(biāo)有10元、20元、30元，一次性隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，摸出的兩球上金額的和為50元的概率是（）A．16 B．14 C．13 【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式．【專題】概率及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】用樹狀圖表示從標(biāo)有10元、20元、30元的三個(gè)小球中，隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：從標(biāo)有10元、20元、30元的三個(gè)小球中，隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：共有6種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩球上金額的和為50元的有2種，所以兩球上金額的和為50元的概率是26故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法和樹狀圖法，列舉出從標(biāo)有10元、20元、30元的三個(gè)小球中，隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的關(guān)鍵．8．（3分）（2025?武漢）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是邊AB上的點(diǎn)，將△BCD沿直線CD折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊AC上．若∠A＝34°，則∠ADE的大小是（）A．35° B．37° C．39° D．41°【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】C【分析】由AB＝AC，得∠B＝∠ACB，而∠A＝34°，則2∠ACB+34°＝180°，求得∠B＝∠ACB＝73°，由折疊得∠CED＝∠B＝73°，則∠BDE＝360°﹣∠B﹣∠ACB﹣∠CED＝141°，所以∠ADE＝180°﹣∠BDE＝39°，于是得到問題的答案．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B+∠ACB+∠A＝180°，且∠A＝34°，∴2∠ACB+34°＝180°，∴∠B＝∠ACB＝73°，∵將△BCD沿直線CD折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊AC上，∴∠CED＝∠B＝73°，∴∠BDE＝360°﹣∠B﹣∠ACB﹣∠CED＝360°﹣3×73°＝141°，∴∠ADE＝180°﹣∠BDE＝180°﹣141°＝39°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、四邊形的內(nèi)角和等于360°等知識(shí)，求得∠B＝∠ACB＝73°是解題的關(guān)鍵．9．（3分）（2025?武漢）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=2CD．若AB＝6，CD=13，則⊙A．134 B．72 C．92 【考點(diǎn)】弧長的計(jì)算．【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)垂徑定理，圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為F，交⊙O于點(diǎn)E，連接OA，AE，則AE=BE，AF＝BF=12∵AB=2CD∴AE∴AE＝CD=13在Rt△AEF中，AE=13，AF＝3∴EF=AE設(shè)半徑為R，在Rt△AOF中，OA＝R，OF＝R﹣2，AF＝3，由勾股定理得，OA2＝OF2+AF2，即R2＝（R﹣2）2+32，解得R=13故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，勾股定理，掌握垂徑定理，圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，勾股定理是正確解答的關(guān)鍵．10．（3分）（2025?武漢）如圖1，在△ABC中，D是邊AC上的定點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，依次沿AB，BC兩邊勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，DP的長為y，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，其中M，N分別是兩段曲線的最低點(diǎn)．點(diǎn)N的縱坐標(biāo)是（）A．11617 B．12017 C．11215 【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象．【專題】幾何動(dòng)點(diǎn)問題；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】由圖2可知AD、CD、BD的長度及點(diǎn)D到AB的距離，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)表示點(diǎn)D到BC的距離，再根據(jù)勾股定理及其逆定理、三角形面積公式求出點(diǎn)D到BC的距離即可．【解答】解：根據(jù)圖2，AD＝20，CD＝8，BD＝15，點(diǎn)D到AB的距離DE＝12，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)表示點(diǎn)D到BC的距離DF．如圖：在Rt△ADE中利用勾股定理，得AE=AD在Rt△BDE中利用勾股定理，得BE=BD則AB＝AE+BE＝16+9＝25，∵AD2+BD2＝202+152＝625，AB2＝252＝625，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，在Rt△BCD中利用勾股定理，得BC=BD則12BD?CD=12BC解得DF=BD∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)是12017故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖2得到AD、CD、BD的長度及點(diǎn)D到AB的距離，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)表示點(diǎn)D到BC的距離，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）（2025?武漢）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，四種物質(zhì)的凝固點(diǎn)如表所示，其中凝固點(diǎn)最低的物質(zhì)是液態(tài)氧．物質(zhì)鐵酒精液態(tài)氧水凝固點(diǎn)（單位：℃）1535﹣117﹣2180【考點(diǎn)】正數(shù)和負(fù)數(shù)．【專題】實(shí)數(shù)；數(shù)感．【答案】液態(tài)氧．【分析】根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的實(shí)際意義得出最小的數(shù)即可．【解答】解：由題意可得最小的數(shù)為﹣218，則凝固點(diǎn)最低的物質(zhì)為液態(tài)氧，故答案為：液態(tài)氧．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，理解其實(shí)際意義是解題的關(guān)鍵．12．（3分）（2025?武漢）在平面直角坐標(biāo)系中，某反比例函數(shù)y=kx的圖象分別位于第一、第三象限．寫出一個(gè)滿足條件的k的值是1（答案不唯一）【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)的圖象．【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；幾何直觀．【答案】1（答案不唯一）．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象分布確定k的取值范圍，在k的取值范圍內(nèi)選取一個(gè)數(shù)即可．【解答】解：∵反比例函數(shù)y=kx的∴k＞0，不妨令k＝1．故答案為：1（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．13．（3分）（2025?武漢）方程1x-1=4x2【考點(diǎn)】解分式方程．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】x＝3．【分析】將原方程去分母后化為整式方程，解得x的值后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解答】解：原方程去分母得：x+1＝4，解得：x＝3，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝3時(shí)，（x+1）（x﹣1）≠0，故原方程的解為x＝3，故答案為：x＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．14．（3分）（2025?武漢）某科技小組用無人機(jī)測量一池塘水面兩端A，B的距離，具體過程如下：如圖，將無人機(jī)垂直上升至距水面120m的P處，測得A處的俯角為45°，B處的俯角為22°，則A，B之間的距離是180m．（tan22°取0.4）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】180．【分析】根據(jù)題意可得：PD∥CB，從而可得∠PAC＝∠DPA＝45°，∠DPB＝∠PBC＝22°，然后分別在Rt△PAC和Rt△PBC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC和BC的長，從而進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：PD∥CB，∴∠PAC＝∠DPA＝45°，∠DPB＝∠PBC＝22°，在Rt△PAC中，PC＝120m，∴AC=PCtan45°=在Rt△PBC中，∠PBC＝22°，∴BC=PCtan22°≈∴AB＝BC﹣AC＝300﹣120＝180（m），∴A，B之間的距離約是180m，故答案為：180．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．15．（3分）（2025?武漢）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝210，點(diǎn)D在邊AC上，CD＝3．若點(diǎn)E在邊AB上，滿足CE＝BD，則AE的長是7或9．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；三角形的面積．【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】7或9．【分析】過A作AM⊥BC于M，過C作CH⊥AB于H，由等腰三角形的性質(zhì)得到BM=12BC=10，由勾股定理求出AM＝310，由三角形的面積公式求出CH＝6由勾股定理求出BH＝2，如果E在H的上面，求出AE＝AB﹣BE＝10﹣3＝7；如果E在H的下面，求出AE′＝AH+E′H＝8+1【解答】解：過A作AM⊥BC于M，過C作CH⊥AB于H，∵AB＝AC＝10，∴BM=12BC=1∴AM=AB2∵△ABC的面積=12AB?CH=12∴10×CH＝210×310∴CH＝6，∴BH=BC如果E在H的上面，當(dāng)BE＝CD＝3時(shí)，CE＝BD，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣3＝7；如果E在H的下面，∵CE′＝CE，CH⊥EE′，∴HE′＝HE，∵EH＝BE﹣BH＝3﹣2＝1，∴AE′＝AH+E′H＝8+1＝9，綜上所述：AE的長是7或9．故答案為：7或9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，關(guān)鍵是要分兩種情況討論．16．（3分）（2025?武漢）已知二次函數(shù)y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a為常數(shù)，且a≠0）．下列五個(gè)結(jié)論：①該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0）；②若a＝﹣1，則當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小；③該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；④若a＞2，則關(guān)于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一個(gè)根大于0且小于1；⑤若a＞2，則關(guān)于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正數(shù)根只有一個(gè)．其中正確的是①②④⑤（填寫序號(hào)）．【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力．【答案】①②④⑤．【分析】把x＝﹣1代入二次函數(shù)y＝ax2+（a﹣2）x﹣2中，得y＝0，即可判斷①；當(dāng)a＝﹣1時(shí)，該二次函數(shù)開口向下，求出對(duì)稱軸為直線x=-32，則可根據(jù)增減性判斷②；利用判別式的值可直接判斷由①可知關(guān)于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一個(gè)根為﹣1，設(shè)另一個(gè)根為x2，由韋達(dá)定理可知x2=2a，當(dāng)a＞2時(shí)，有0＜⑤當(dāng)a＞2時(shí)，對(duì)稱軸為直線x=1a-12＜0，則關(guān)于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝﹣2有兩個(gè)非正解，將y＝ax2+（a﹣2）x﹣2在x軸下方的圖象沿x軸翻折可得到函數(shù)y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|的圖象，令y＝2，則直線y＝2與y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|共有4個(gè)不同交點(diǎn)，其中只有一個(gè)最右側(cè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為正，其余都為負(fù)，即關(guān)于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝【解答】解：把x＝﹣1代入二次函數(shù)y＝ax2+（a﹣2）x﹣2中，得y＝a+2﹣a﹣2＝0，故該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），故①正確；當(dāng)a＝﹣1時(shí)，該二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為直線x=-b故當(dāng)x＞-32時(shí)，y因此當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小，故②正確；∵Δ＝b2﹣4ac＝（a﹣2）2+8a＝（a+2）2≥0，∴該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同公共點(diǎn)或只有一個(gè)公共點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；由①可知關(guān)于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一個(gè)根為﹣1，設(shè)另一個(gè)根為x2，由韋達(dá)定理可知-1?∴x2當(dāng)a＞2時(shí)，有0＜即關(guān)于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一個(gè)根大于0且小于1，故④正確；當(dāng)a＞2時(shí)，對(duì)稱軸為直線x=2-a則關(guān)于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝﹣2有兩個(gè)非正解，將y＝ax2+（a﹣2）x﹣2在x軸下方的圖象沿x軸翻折可得到函數(shù)y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|的圖象，令y＝2，則直線y＝2與y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|共有4個(gè)不同交點(diǎn)，其中只有一個(gè)最右側(cè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為正，其余都為負(fù)，即關(guān)于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正數(shù)根只有一個(gè)，故⑤正確．故答案為：①②④⑤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象、增減性質(zhì)、對(duì)稱性質(zhì)、根的判別式、韋達(dá)定理、二次函數(shù)圖象的軸對(duì)稱變換、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，熟練掌握以上內(nèi)容并能數(shù)形結(jié)合分析題意是解題關(guān)鍵．三、解答題（共8小題，共72分）下列各題需寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形。17．（8分）（2025?武漢）解不等式組3x【考點(diǎn)】解一元一次不等式組．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】﹣1＜x≤2．【分析】解各不等式得到對(duì)應(yīng)的解集后求得它們的公共部分即可．【解答】解：解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞﹣1，故原不等式組的解集為﹣1＜x≤2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元一次不等式組，熟練掌握解不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．18．（8分）（2025?武漢）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，AD∥BC．若______，則AD＝CB．從①OA＝OC，②∠ABC＝∠CDA，③AB＝CD這三個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件，使結(jié)論成立，并說明理由．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；推理能力．【答案】選擇①OA＝OC，理由見解答．（答案不唯一）【分析】由AD∥BC，得∠ODA＝∠OBC，∠ACB＝∠CAD，若選擇①OA＝OC，可根據(jù)“AAS”證明△AOD≌△COB，得AD＝CB；若選擇②∠ABC＝∠CDA，可證明△ABC≌△CDA，得AD＝CB．【解答】解：選擇①OA＝OC，理由：∵AD∥BC，∴∠ODA＝∠OBC，在△AOD和△COB中，∠AOD∴△AOD≌△COB（AAS），∴AD＝CB．注：答案不唯一．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，適當(dāng)選擇全等三角形的判定定理證明△AOD≌△COB（或△ABC≌△CDA）是解題的關(guān)鍵．19．（8分）（2025?武漢）某校開展“中國詩詞”競賽，學(xué)生成績?yōu)檎麛?shù)，滿分為5分．為了解本次競賽的情況，從該校隨機(jī)抽取m名學(xué)生的成績作為樣本，將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）m的值是100，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“5分”對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角大小是72°．（2）該校共有1000名學(xué)生參加競賽，估計(jì)成績超過3分的學(xué)生人數(shù)．（3）從樣本的眾數(shù)、中位數(shù)中選擇一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，寫出它的值并說明它的實(shí)際意義．【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì)圖；中位數(shù)；眾數(shù)；統(tǒng)計(jì)量的選擇；總體、個(gè)體、樣本、樣本容量；用樣本估計(jì)總體；扇形統(tǒng)計(jì)圖．【專題】數(shù)據(jù)的收集與整理；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】（1）100，72°；（2）520人；（3）樣本的眾數(shù)中位數(shù)為4分，說明大部分學(xué)生成績達(dá)到或超過3分．（答案不唯一）．【分析】（1）用“3分”的人數(shù)以及它所占百分比可得m的值；用360°乘“5分”所占百分比可得扇形統(tǒng)計(jì)圖中“5分”對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角大小；（2）利用樣本估計(jì)總體即可；（3）利用中位數(shù)、眾數(shù)的定義即可求出答案．【解答】解：（1）m＝36÷36%＝100，“5分”的人數(shù)為：100﹣2﹣10﹣36﹣32＝20，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“5分”對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角大小是：360°×20100故答案為：100，72°；（2）1000×32+20100答：估計(jì)成績超過3分的學(xué)生人數(shù)為520人；（3）樣本的眾數(shù)中位數(shù)為4分，說明大部分學(xué)生成績達(dá)到或超過3分．（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體以及中位數(shù)、眾數(shù)等統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)，明確相關(guān)統(tǒng)計(jì)量表示的意義及相關(guān)計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．20．（8分）（2025?武漢）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，BD是直徑，∠BAC＝45°，過點(diǎn)C作CE∥BD交AB的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：CE是⊙O的切線．（2）若BD＝4，tan∠ABD＝2，求圖中陰影部分的面積．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算；解直角三角形；圓周角定理．【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；與圓有關(guān)的計(jì)算；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）證明見解答；（2）陰影部分的面積為5﹣π．【分析】（1）連接OC，由∠BAC＝45°，得∠BOC＝2∠BAC＝90°，因?yàn)镃E∥BD，所以∠OCE＝180°﹣∠BOC＝90°，即可證明CE是⊙O的切線；（2）作BF⊥CE于點(diǎn)F，由BD是⊙O的直徑，且BD＝4，求得OC＝OB＝2，可證明四邊形BOCF是正方形，則BF＝OB＝2，因?yàn)椤螮＝∠ABD，所以BFEF=tanE＝tan∠ABD＝2，則EF=12BF＝1，即可由S陰影＝S△BEF+S正方形BOCF﹣S扇形BOC求得S陰影＝【解答】（1）證明：連接OC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，∵CE∥BD，∴∠OCE＝180°﹣∠BOC＝90°，∵OC是⊙O的半徑，且CE⊥OC，∴CE是⊙O的切線．（2）解：作BF⊥CE于點(diǎn)F，則∠BFE＝∠BFC＝90°，∵∠BFC＝∠OCF＝∠BOC＝90°，∴四邊形BOCF是矩形，∵BD是⊙O的直徑，且BD＝4，∴OC＝OB=12AB＝∴四邊形BOCF是正方形，∴BF＝OB＝2，∵∠E＝∠ABD，tan∠ABD＝2，∴BFEF=tanE＝tan∠ABD＝∴EF=12BF＝∴S陰影＝S△BEF+S正方形BOCF﹣S扇形BOC=12×1×2+22-90∴陰影部分的面積為5﹣π．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行線的性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定、正方形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、扇形的面積公式等知識(shí)，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．21．（8分）（2025?武漢）如圖是由小正方形組成的3×4網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn)，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無刻度直尺在給定網(wǎng)格中完成如下兩個(gè)問題，每個(gè)問題的畫線不得超過五條．（1）如圖1，E是格點(diǎn)，先將點(diǎn)E繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫對(duì)應(yīng)點(diǎn)F，再畫直線FG交AB于點(diǎn)G，使直線FG平分矩形ABCD的面積．（2）如圖2，先畫點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)M，再畫射線MN交BD于點(diǎn)N，使MN∥AD．【考點(diǎn)】作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換；平行線的判定；作圖﹣軸對(duì)稱變換．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】見解析．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)作出點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F即可，連接AC交網(wǎng)格線于點(diǎn)O，作直線FO交AB于點(diǎn)G即可；（2）取格點(diǎn)J，K，連接AK，CJ交于點(diǎn)M，連接KJ交網(wǎng)格線于點(diǎn)P，取格點(diǎn)W，連接PW，延長PW交BD于點(diǎn)N，作直線MN即可．【解答】解：（1）如圖1中，點(diǎn)F，直線FG即為所求；（2）如圖，點(diǎn)M，直線MN即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，軸對(duì)稱變換，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．22．（10分）（2025?武漢）某校數(shù)學(xué)小組開展以“羽毛球飛行路線”為主題的綜合實(shí)踐活動(dòng)．研究背景羽毛球飛行路線所在的平面與球網(wǎng)垂直．收集數(shù)據(jù)某次羽毛球飛行的高度y（單位：m）與距發(fā)球點(diǎn)的水平距離x（單位：m）的對(duì)應(yīng)值如表（不考慮空氣阻力）．水平距離x/m02356…高度y/m1.12.32.62.62.3…探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)小組借助計(jì)算機(jī)畫圖軟件，建立平面直角坐標(biāo)系、描點(diǎn)、連線（如圖），發(fā)現(xiàn)羽毛球飛行路線是拋物線y＝ax2+bx+1.1的一部分．建立模型求y與x的函數(shù)解析式（不要求寫自變量取值范圍）．（1）羽毛球在此次飛行過程中，飛行的高度能否達(dá)到2.8m？請(qǐng)說明理由．（2）保持羽毛球飛行路線對(duì)應(yīng)的拋物線的形狀不變，改變發(fā)球方式，使其解析式變?yōu)閥＝ax2+kx+1.1，發(fā)球點(diǎn)與球網(wǎng)的水平距離是5m．若羽毛球飛過球網(wǎng)正上方時(shí)，飛行的高度超過2.1m，且球的落地點(diǎn)與球網(wǎng)的水平距離小于6m．求k的取值范圍．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】（1）羽毛球在此次飛行過程中，飛行的高度不能達(dá)到2.8m，理由見解析；（2）k的取值范圍為0.7＜k＜1．【分析】（1）把（2，2.3），（3，2.6）代入y＝ax2+bx+1.1，用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大值與2.8比較即可；（2）根據(jù)題意知，當(dāng)x＝5時(shí)，y＞2.1，當(dāng)x＝11時(shí)，y＜0，解不等式組求出k的取值范圍．【解答】解：（1）把（2，2.3），（3，2.6）代入y＝ax2+bx+1.1得：4a解得a=-0.1∴y＝﹣0.1x2+0.8x+1.1＝﹣0.1（x﹣4）2+2.7，∵﹣0.1＜0，∴當(dāng)x＝4時(shí)，y有最大值，最大值為2.7，∵2.8＞2.7，∴羽毛球在此次飛行過程中，飛行的高度不能達(dá)到2.8m；（2）∵保持羽毛球飛行路線對(duì)應(yīng)的拋物線的形狀不變，∴a＝﹣0.1，∴解析式為y＝﹣0.1x2+kx+1.1，當(dāng)x＝5時(shí)，y＝﹣0.1×52+5k+1.1＞2.1，解得k＞0.7；∵球的落地點(diǎn)與球網(wǎng)的水平距離小于6，∴當(dāng)x＝11時(shí)，y＝﹣0.1×112+11k+1.1＜0，解得k＜1，∴k的取值范圍為0.7＜k＜1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（10分）（2025?武漢）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊BC的延長線上，DE＝CF，射線AE交對(duì)角線BD于點(diǎn)G，交線段DF于點(diǎn)H．（1）求證：DH＝GH．（溫馨提示：若思考有困難，可嘗試證明△ADE≌△DCF）（2）求證：AG?EH＝EG?GH．（3）若GEEH=n，直接寫出DHDF【考點(diǎn)】相似形綜合題．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）證明過程詳見解答；（2）證明過程詳見解答；（3）n+1【分析】（1）可證得△ADE≌△DCF，從而∠DAE＝∠CDF，進(jìn)而證得∠HDG＝∠DGH，從而DH＝GH；（2）作HW⊥DF，交DC的延長線于W，根據(jù)△ADE≌△DCF，GH＝DH，從而的粗∠AED＝∠F，可證得∠W＝∠F，∠W＝∠HEW，進(jìn)而得出HW＝EH，可證得△ABG∽△EDG，進(jìn)而證得AGEG=ABDE=ADDE=tan∠（3）由（1）知△ADE≌△DCF，DH＝GH，從而得出DF＝AE，由（2）知，AG?EH＝EG?GH，從而得出GEEH=AGGH=n，根據(jù)比例的性質(zhì)得出GEGE+EH=AGAG+GH=nn+1，從而得出GEGH=AGAH=nn+1，設(shè)GE＝na，DH＝GH＝（n+1）a，AG＝nb，AH＝（n+1）b，則EH＝GH﹣GE＝a，AE＝AG+GE＝na+【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝∠DCF＝90°，∠ADB＝∠BDC＝45°，∵DE＝CF，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠HDG＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°，∠DGH＝∠DAE+∠ADB＝∠CDF+45°，∴∠HDG＝∠DGH，∴DH＝GH；（2）證明：如圖，作HW⊥DF，交DC的延長線于W，由（1）知，△ADE≌△DCF，GH＝DH，∴∠AED＝∠F，∵∠WHF＝∠OCW＝90°，∠FOH＝∠COW，∴∠W＝∠F，∵∠HEW＝∠AED，∴∠W＝∠HEW，∴HW＝EH，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝AD，∴△ABG∽△EDG，∴AGEG=AB∵GHEH=DH∴AGEG∴AG?EH＝EG?GH；（3）解：由（1）知，△ADE≌△DCF，DH＝GH，∴DF＝AE，∠CDF＝∠DAE，由（2）知，AG?EH＝EG?GH，∴GEEH=∴GEGE∴GEGH設(shè)GE＝na，DH＝GH＝（n+1）a，AG＝nb，AH＝（n+1）b，∴EH＝GH﹣GE＝a，AE＝AG+GE＝na+nb，∵AH﹣AG＝GH＝（n+1）b﹣bn＝b，∴b＝（n+1）a，∴DHDF【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，比例的性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是弄清數(shù)量之間的關(guān)系．24．（12分）（2025?武漢）拋物線y=14x2-3與直線y＝x交于A，B（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）如圖1，若P是直線AB下方拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作y軸的平行線交線段AB于點(diǎn)N，滿足PM＝PN，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．（3）如圖2，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線CD交拋物線于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在第二象限），連接AC，BD分別交x軸于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．若S△DOF=34S【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）A（﹣2，﹣2），B（6，6）；（2）2或6﹣43；（3）y=-14【分析】（1）當(dāng)x=14x2-3（2）設(shè)P（t，14t2-3），則M（﹣t，14t2-3），N（t，t），由PM＝PN，可得|2t|＝t-14t（3）設(shè)C（c，14c2-3），D（d，14d2-3），直線CD的解析式為y＝（14c+14d）x-14cd﹣3，由題可知cd＝﹣12，同理直線AC的解析式為y＝（14c-12）x+12c﹣3，直線BD的解析式為y＝（14d+32）x-32d﹣3，分別求出E（12-2cc-【解答】解：（1）當(dāng)x=14x2-3時(shí)，解得x＝﹣2∴A（﹣2，﹣2），B（6，6）；（2）設(shè)P（t，14t2-3），則M（﹣t，14t2-∴PM＝|2t|，PN＝t-14∵PM＝PN，∴|2t|＝t-14解得t＝2或t＝6﹣43，∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為2或6﹣43；（3）設(shè)C（c，14c2-3），D（d直線CD的解析式為y＝（14c+14d）x-1∵CD經(jīng)過原點(diǎn)，∴-14cd﹣3＝解得cd＝﹣12，同理直線AC的解析式為y＝（14c-12）x+12c﹣3，直線BD的解析式為y＝（14d+3∴F（6d+12d+6，0），E（∵cd＝﹣12，∴F（2c-12∴OF＝OE，∵S△DOF=3∴12×OF×|yd|=34×1∴|1解得：c＝﹣4，d＝3，∴C（﹣4，1），∴直線CD的解析式為y=-14【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．正數(shù)和負(fù)數(shù)1、在以前學(xué)過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負(fù)號(hào)“﹣”，叫做負(fù)數(shù)，一個(gè)數(shù)前面的“+”“﹣”號(hào)叫做它的符號(hào)．2、0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是小于0的數(shù)．3、用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量．具有相反意義的量都是互相依存的兩個(gè)量，它包含兩個(gè)要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量．2．科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】（2）規(guī)律方法總結(jié)：①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對(duì)值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個(gè)負(fù)號(hào)．3．合并同類項(xiàng)（1）定義：把多項(xiàng)式中同類項(xiàng)合成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)．（2）合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．（3）合并同類項(xiàng)時(shí)要注意以下三點(diǎn)：①要掌握同類項(xiàng)的概念，會(huì)辨別同類項(xiàng)，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類項(xiàng)的兩條標(biāo)準(zhǔn)：帶有相同系數(shù)的代數(shù)項(xiàng)；字母和字母指數(shù)；②明確合并同類項(xiàng)的含義是把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，經(jīng)過合并同類項(xiàng)，式的項(xiàng)數(shù)會(huì)減少，達(dá)到化簡多項(xiàng)式的目的；③“合并”是指同類項(xiàng)的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類項(xiàng)的字母和字母的指數(shù)不變．4．同底數(shù)冪的乘法（1）同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．a(chǎn)m?an＝am+n（m，n是正整數(shù)）（2）推廣：am?an?ap＝am+n+p（m，n，p都是正整數(shù)）在應(yīng)用同底數(shù)冪的乘法法則時(shí)，應(yīng)注意：①底數(shù)必須相同，如23與25，（a2b2）3與（a2b2）4，（x﹣y）2與（x﹣y）3等；②a可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式；③按照運(yùn)算性質(zhì)，只有相乘時(shí)才是底數(shù)不變，指數(shù)相加．（3）概括整合：同底數(shù)冪的乘法，是學(xué)習(xí)整式乘除運(yùn)算的基礎(chǔ)，是學(xué)好整式運(yùn)算的關(guān)鍵．在運(yùn)用時(shí)要抓住“同底數(shù)”這一關(guān)鍵點(diǎn)，同時(shí)注意，有的底數(shù)可能并不相同，這時(shí)可以適當(dāng)變形為同底數(shù)冪．5．冪的乘方與積的乘方（1）冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘．（am）n＝amn（m，n是正整數(shù)）注意：①冪的乘方的底數(shù)指的是冪的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是冪的指數(shù)與乘方的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)冪的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別．（2）積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．（ab）n＝anbn（n是正整數(shù)）注意：①因式是三個(gè)或三個(gè)以上積的乘方，法則仍適用；②運(yùn)用時(shí)數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)乘方的意義，計(jì)算出最后的結(jié)果．6．同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減．a(chǎn)m÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整數(shù)，m＞n）①底數(shù)a≠0，因?yàn)?不能做除數(shù)；②單獨(dú)的一個(gè)字母，其指數(shù)是1，而不是0；③應(yīng)用同底數(shù)冪除法的法則時(shí)，底數(shù)a可是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，但必須明確底數(shù)是什么，指數(shù)是什么．7．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．8．根與系數(shù)的關(guān)系（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=-ba，x1x2=ca，反過來也成立，即ba=-（x1+x2），（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根．②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號(hào)．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮a≠0，△≥0這兩個(gè)前提條件．9．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)．10．解一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的解集：幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個(gè)不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．11．函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象定義對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每一對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形就是這個(gè)函數(shù)的圖象．注意：①函數(shù)圖形上的任意點(diǎn)（x，y）都滿足其函數(shù)的解析式；②滿足解析式的任意一對(duì)x、y的值，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)一定在函數(shù)圖象上；③判斷點(diǎn)P（x，y）是否在函數(shù)圖象上的方法是：將點(diǎn)P（x，y）的x、y的值代入函數(shù)的解析式，若能滿足函數(shù)的解析式，這個(gè)點(diǎn)就在函數(shù)的圖象上；如果不滿足函數(shù)的解析式，這個(gè)點(diǎn)就不在函數(shù)的圖象上．．12．動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．用圖象解決問題時(shí)，要理清圖象的含義即會(huì)識(shí)圖．13．反比例函數(shù)的圖象用描點(diǎn)法畫反比例函數(shù)的圖象，步驟：列表﹣﹣﹣描點(diǎn)﹣﹣﹣連線．（1）列表取值時(shí)，x≠0，因?yàn)閤＝0函數(shù)無意義，為了使描出的點(diǎn)具有代表性，可以以“0”為中心，向兩邊對(duì)稱式取值，即正、負(fù)數(shù)各一半，且互為相反數(shù)，這樣也便于求y值．（2）由于函數(shù)圖象的特征還不清楚，所以要盡量多取一些數(shù)值，多描一些點(diǎn)，這樣便于連線，使畫出的圖象更精確．（3）連線時(shí)要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函數(shù)圖象永遠(yuǎn)不會(huì)與x軸、y軸相交，只是無限靠近兩坐標(biāo)軸．14．反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的（2）當(dāng)k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減?。唬?）當(dāng)k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．注意：反比例函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)．15．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-b2a，4ac-b24a），對(duì)稱軸直線x=-b2a，二次函數(shù)y＝①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜-b2a時(shí)，y隨x的增大而減??；x＞-b2a時(shí)，y隨x②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜-b2a時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞-b2a時(shí)，y隨x③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|-b2a|個(gè)單位，再向上或向下平移|416．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-b2a①拋物線是關(guān)于對(duì)稱軸x=-b2a②拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析式中的c值．③拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別是（x1，0），（x2，0），則其對(duì)稱軸為x=x17．拋物線與x軸的交點(diǎn)求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．18．二次函數(shù)的應(yīng)用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．19．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題解決此類問題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項(xiàng)．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題從實(shí)際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問題有意義．20．平行線的判定（1）定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：同位角相等，兩直線平行．（2）定理2：兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．（3）定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．（4）定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．（5）定理5：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時(shí)垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．21．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△=12×（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．22．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．23．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．24．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．25．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．26．切線的判定與性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（3）常見的輔助線的：①判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”；②有切線時(shí)，常常“遇到切點(diǎn)連圓心得半徑”．27．弧長的計(jì)算（1）圓周長公式：C＝2πR（2）弧長公式：l=nπR180（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為①在弧長的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長．③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．28．扇形面積的計(jì)算（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR2或S扇形=12（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補(bǔ)法．（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．29．軸對(duì)稱圖形（1）軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱．（2）軸對(duì)稱圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對(duì)稱軸折疊時(shí)，互相重合；軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數(shù)條．（3）常見的軸對(duì)稱圖形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．30．作圖-軸對(duì)稱變換幾何圖形都可看做是由點(diǎn)組成，我們?cè)诋嬕粋€(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)開始的，一般的方法是：①由已知點(diǎn)出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；②直線的另一側(cè)，以垂足為一端點(diǎn)，作一條線段使之等于已知點(diǎn)和垂足之間的線段的長，得到線段的另一端點(diǎn)，即為對(duì)稱點(diǎn)；③連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就得到原圖形的軸對(duì)稱圖形．④作出的垂線為最短路徑．31．翻折變換（折疊問題）1、翻折變換（折疊問題）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換．2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．3、在解決實(shí)際問題時(shí)，對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關(guān)系．首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．我們運(yùn)用方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)出正確的未知數(shù)．32．作圖-旋轉(zhuǎn)變換（1）旋轉(zhuǎn)圖形的作法：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．（2）旋轉(zhuǎn)作圖有自己獨(dú)特的特點(diǎn)，決定圖形位置的因素較多，旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)中心，任意不同，位置就不同，但得到的圖形全等．33．相似形綜合題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，其中穿插全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例等知識(shí)，難度大．34．解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系：sinA=∠A的對(duì)邊斜邊=ac，cos（a，b，c分別是∠A