2025年成人高考專升本高等數(shù)學(xué)二考試真題及參考答案一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。1.函數(shù)y=1ln(xA.(B.(C.(D.(答案：C解析：要使函數(shù)有意義，則對(duì)數(shù)中的真數(shù)須大于(0)，且分母不為(0)，即(x)，由(x-1>0)得(x>1)，由(ln(x-1)≠0)即(x-1≠1)得(x≠2)，所以定義域?yàn)?(1,2)∪2.當(dāng)x→0時(shí)，x2是x?sinxA.高階無(wú)窮小B.低階無(wú)窮小C.同階但非等價(jià)無(wú)窮小D.等價(jià)無(wú)窮小答案：C解析：求(lim$\limits${x→0}x?sinxx2)，使用洛必達(dá)法則，(lim$\limits${x→0}x?sinxx2=lim$\limits${x→0}1?3.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且f′(x0)A.(2)B.(4)C.(1)D.(12答案：B解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，(lim$\limits${h→0}f(x0+2h)?f(x0)h4.曲線y=x3?3x2+1A.(y=-3x+2)B.(y=3x-4)C.(y=-4x+3)D.(y=4x-5)答案：A解析：先對(duì)(y=x^3-3x^2+1)求導(dǎo)，(y^′=3x^2-6x)，將(x=1)代入導(dǎo)數(shù)得切線斜率(k=3×1^2-6×1=-3)，由點(diǎn)斜式可得切線方程為(y-(-1)=-3(x-5.設(shè)函數(shù)f(x)=0x(t2A.(0)B.(1)C.(-1)D.不存在答案：B解析：先對(duì)(f(x))求導(dǎo)，根據(jù)變上限積分求導(dǎo)法則，(f^′(x)=x^2-1)，令(f^′(x)=0)，即(x^2-1=0)，解得(x=±1)。再求二階導(dǎo)數(shù)(f^{′′}(x)=2x)，當(dāng)(x=1)時(shí)，(f^{′′}(1)=2>0)，所以(x=6.若∫f(x)dx=F(A.(F(2x-1)+C)B.(12C.(2F(2x-1)+C)D.(F(12答案：B解析：令(u=2x-1)，則(du=2dx)，(dx=12du)，所以(∫f(2x-1)dx=12∫f(u)du=12F(u)+C=7.設(shè)z=exy，則?z?A.(ye^{xy})B.(xe^{xy})C.(e^{xy})D.(e^{y})答案：A解析：對(duì)(z=e^{xy})關(guān)于(x)求偏導(dǎo)數(shù)，把(y)看作常數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，(?z?8.設(shè)區(qū)域D由(x=0)，(y=0)，(x+y=1)所圍成，則D?dxdyA.(12B.(1)C.(2)D.(3)答案：A解析：(?$\limits$_{D}dxdy)表示區(qū)域(D)的面積，區(qū)域(D)是一個(gè)直角三角形，兩直角邊分別為(1)，根據(jù)三角形面積公式可得面積為(12×1×1=9.下列級(jí)數(shù)中，收斂的是（）A.(∑$\limits$_{n=1}^{∞}1nB.(∑$\limits$_{n=1}^{∞}1nC.(∑$\limits$_{n=1}^{∞}1nD.(∑$\limits$_{n=1}^{∞}n)答案：B解析：根據(jù)(p)級(jí)數(shù)的斂散性，(∑$\limits${n=1}^{∞}1np)，當(dāng)(p>1)時(shí)收斂，當(dāng)(p≤1)時(shí)發(fā)散。選項(xiàng)A、C中(p)分別為(1)、(12)，發(fā)散；選項(xiàng)D中(lim$\limits${n→∞}n10.微分方程y′+y=0A.(y=Ce^x)B.(y=Ce^{-x})C.(y=Cx)D.(y=Cx^{-1})答案：B解析：這是一階線性齊次微分方程，其通解公式為(y=Ce{-∫P(x)dx})，對(duì)于(y′+y=0)，(P(x)=1)，則(∫P(x)dx=∫1dx=x)，所以通解為(y=Ce^{-x})。二、填空題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分。把答案填在題中橫線上。1.limx→0答案：(3)2.設(shè)函數(shù)y=ln(1+x2答案：(2x3.函數(shù)y=x3?3答案：((-1,1))4.∫xcosxd答案：(xsinx+cosx+C)5.設(shè)z=x2y+siny答案：(2x)6.交換二次積分的積分次序：01dxx答案：(∫{0}^{1}dy∫{0}^{y}f(x,y)dx)7.冪級(jí)數(shù)n=0∞xnn!答案：(+∞)8.微分方程y′′?4y答案：(y=(C_1+C_2x)e^{2x})9.設(shè)向量a=(1,?2,3)答案：(0)10.曲線y=1x在點(diǎn)(1,答案：(-1)三、解答題：本大題共8個(gè)小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出推理、演算步驟。1.（本題滿分8分）求limx→(1).本題可使用洛必達(dá)法則，因?yàn)楫?dāng)(x→1)時(shí)，分子(x^2-1→0)，分母(lnx→0(2).對(duì)分子分母分別求導(dǎo)，根據(jù)求導(dǎo)公式((xn)′=nx^{n-1})，((lnx)^′=1x)，則(lim$\limits${x→1}x2?1lnx=lim$\limits$(3).化簡(jiǎn)(lim$\limits${x→1}2x1x=lim$\limits$(4).將(x=1)代入(2x^2)，可得(lim$\limits$_{x→12.（本題滿分8分）設(shè)函數(shù)y=sinxx，求(1).根據(jù)除法求導(dǎo)公式((uv)^′=u′v?uv(2).求(u′)和(v′)，(u^′=(sinx)^′=cosx)，(v^′=(x)^′=1)。(3).代入公式可得(y^′=cosx?x?sin3.（本題滿分8分）求∫1x2(1).先對(duì)分母進(jìn)行配方，(x^2+4x+5=x^2+4x+4+1=(x+2)^2+1)。(2).令(u=x+2)，則(du=dx)，原積分變?yōu)?∫1u(3).根據(jù)積分公式(∫1u2+1(4).把(u=x+2)代回，得到(∫1x2+44.（本題滿分8分）設(shè)z=x2y+y(1).先求(?z?x對(duì)(z)關(guān)于(x)求偏導(dǎo)數(shù)，把(y)看作常數(shù)，(?z?對(duì)(z)關(guān)于(y)求偏導(dǎo)數(shù)，把(x)看作常數(shù)，(?z?(2).根據(jù)全微分公式(dz=?z?xdx+5.（本題滿分8分）計(jì)算二重積分D?xydxdy，其中區(qū)域D(1).先求兩曲線的交點(diǎn)，聯(lián)立(y)，解得(x)和(x)。(2).確定積分次序，選擇先對(duì)(y)積分，再對(duì)(x)積分，積分區(qū)域(D)可表示為(0≤x≤1)，(x^2≤y≤(3).則(?$\limits${D}xydxdy=∫{0}^{1}dx∫_{x2}{x}xydy)。(4).先計(jì)算內(nèi)層積分(∫{x2}{x}xydy=x?12y^2$\big$|{x2}{x}=1(5).再計(jì)算外層積分(∫{0}^{1}12x(x^2-x^4)dx=12(6).根據(jù)積分公式(∫x^ndx=1n+1x^{n+1}+C)，(12∫{0}^{1}(x^3-x^5)dx=12(14x^4-16x^6)$\big$|{0}^{1}=12(16.（本題滿分10分）求冪級(jí)數(shù)n=1∞x(1).求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑(R)，使用比值判別法，(lim$\limits${n→∞}$\left$|an+1an$\right$|=lim$\limits${n→∞}化簡(jiǎn)(lim$\limits${n→∞}$\left$|1(n+1)?2n+11n?2n$\right$|=所以收斂半徑(R=112(2).再討論端點(diǎn)處的斂散性。當(dāng)(x=2)時(shí)，冪級(jí)數(shù)變?yōu)?∑$\limits${n=1}^{∞}2nn?2n=∑$\limits${n=1}^{當(dāng)(x=-2)時(shí)，冪級(jí)數(shù)變?yōu)?∑$\limits${n=1}^{∞}(?2)nn?2n=(3).綜上，冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為([-2,2))。7.（本題滿分10分）求微分方程y′?2y(1).先求對(duì)應(yīng)的齊次方程(y^′-2y=0)的通解。分離變量得(dyy兩邊積分(∫dyy=∫2dx)，得到(ln|y|=2x+C_1)，即(y=Ce^{2x})（(C=(2).再求非齊次方程的一個(gè)特解(y^)，設(shè)(y^=Aex)，代入原方程(y′-2y=e^x)。對(duì)(y^*=Aex)求導(dǎo)得(y{*^′}=Aex)，代入方程得(Aex-2Ae^x=e^x)。即(-Ae^x=e^x)，解得(A=-1)，所以(y^*=-e^x)。(3).原方程的通解為(y=y_h+y^*=Ce^{2x}-e^x)。8.（本題滿分10分）已知平面過(guò)點(diǎn)(M_0(1,-1,2))，且與向量(n=(2,1,-1))垂直，求該平面的方程。(1).根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0)，其中((x_0,y_0,z_0))是平面上一點(diǎn)，((A,B,