2026屆新高考數(shù)學(xué)沖刺突破復(fù)習(xí)

數(shù)形結(jié)合，探尋問題本質(zhì)——天津卷第15題2025年天津卷第15題一、試題呈現(xiàn)試題傳承2024年天津卷第15題題型上傳承2024年以二次函數(shù)為壓軸方法上傳承了數(shù)形結(jié)合、分類討論能力素養(yǎng)上傳承了邏輯推理、化歸與轉(zhuǎn)化引導(dǎo)教學(xué)上傳承了重視基礎(chǔ)、重視思維、多思少算若a,b∈R，對(duì)

，均有(2a+b)x2+bx

-a

-1≤0恒成立，則2a+b的最小值為

.若函數(shù)

f(x)=a

x2-2x

-|x2-ax+1|

有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則

a的取值范圍為

.以二次函數(shù)（不等式）為背景，綜合性強(qiáng)，更能展現(xiàn)考生的思維能力1.思維分析知識(shí)函數(shù)、不等式思想轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合分類討論、函數(shù)與方程素養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理數(shù)學(xué)建模、直觀想象恒成立問題是高考的熱點(diǎn)問題，解題思路呈現(xiàn)百花齊放的狀態(tài)，符合高考追求的“無思維不命題”、“多思少算”的重要原則二、試題分析2.問題分析2025年天津卷第15題1.試題呈現(xiàn)體現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)化的思想設(shè)

2a+b

=

t，則

b

=

t

-2a，不等式化為

t

x2+(t

-2a)x

-a

-1≤0對(duì)

恒成立.若a,b∈R，對(duì)

，均有(2a+b)x2+bx

-a

-1≤0恒成立，則2a+b的最小值為

.2.問題分析求參數(shù)最值問題分離參數(shù)法函數(shù)最值法數(shù)形結(jié)合法判別式法系數(shù)符號(hào)不確定參數(shù)難以分離構(gòu)造變量函數(shù)，求函數(shù)的最大值變形后視作兩個(gè)函數(shù)，畫出圖象限于二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為：t

x2+(t-2a)

x-a-1≤

0對(duì)

恒成立，求

t的最小值.3.思路分析問題轉(zhuǎn)化取適當(dāng)?shù)?/p>

a

值即可使不等式在[-2,2]上恒成立

.分類討論

t

=0和

t<0當(dāng)

t

=

0時(shí)，-2ax

-a

-1≤

0即

2ax+a+1≥

0當(dāng)

t

<

0時(shí)，可從以下思路進(jìn)行分析t

x2+(t

-2a)

x

-a

-1≤

0對(duì)

恒成立，求

t的最小值.3.思路分析思路一根據(jù)

符號(hào)和對(duì)稱軸位置分類討論函數(shù)最值思路二不等式調(diào)整為思路三取特殊值探路問題轉(zhuǎn)化

時(shí)t

x2+(t-2a)

x-a-1≤

0對(duì)

恒成立，求

t的最小值.4.思維導(dǎo)圖

對(duì)

恒成立，求

t的最小值思路三根據(jù)

符號(hào)和對(duì)稱軸位置分類討論函數(shù)最值約束參數(shù)范圍結(jié)合端點(diǎn)值驗(yàn)證目標(biāo)函數(shù)思路一不等式調(diào)整為拋物線

y=tx2+tx最大值直線

y=2ax+a+1過定點(diǎn)由

得思路二令解得驗(yàn)證

是否成立t的最小值為-4考查邏輯思維能力以及探究、分析和解決問題的能力三、試題解答∴t=0符號(hào)題意從不等式的次數(shù)切入，分析不等式的類型，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)（1）當(dāng)

t

=

0時(shí)，-2ax

-a

-1≤0即

2ax+a+1≥0令

f(x)=2ax+a+1,可知

f(x)的圖象恒過定點(diǎn)

,存在

a∈R（如

a

=

0），使

f(x)

≥

0在[-2,2]上恒成立,設(shè)

2a+b

=

t，則

b

=

t-2a，不等式化為

t

x2+(t-2a)x-a-1≤0對(duì)

恒成立.（2）當(dāng)

t<0時(shí)，記

h(x)

=

t

x2+(t-2a)x-a-1先考慮簡(jiǎn)單的情況從函數(shù)角度研究，這時(shí)函數(shù)表示的是一條開口向下的拋物線，先討論

的符號(hào)解法一：三、試題解答①

時(shí)符合題意，即化簡(jiǎn)得解得又∵t<

0，∴-4≤t<

0設(shè)

2a+b

=

t，則

b

=

t-2a，不等式化為

t

x2+(t-2a)x-a-1≤0對(duì)

恒成立.（2）當(dāng)

t<0時(shí)，記兩個(gè)不等式組均無解，函數(shù)端點(diǎn)的最值三、試題解答可得②時(shí)，對(duì)稱軸或者因此

t

=2a

+

b

的最小值為

-4.綜上可得

-4

≤

t

<

0設(shè)

2a+b

=

t，則

b

=

t-2a，不等式化為

t

x2+(t-2a)x-a-1≤0對(duì)

恒成立.（2）當(dāng)

t<0時(shí)，解法二：（數(shù)形結(jié)合法）三、試題解答不等式可化為

t

x2+t

x

≤

2ax+a+1記

g

(x)=t

x2+t

x

，f(x)

=2ax+a+1g

(x)過定點(diǎn)（-1,0）,（0,0）且最大值為要使g(x)≤f(x)在[-2,2]上恒成立，只要

即

t≥-4當(dāng)且僅當(dāng)

a=0時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)

b=-4，因此

t

=2a

+

b

的最小值為

-4.設(shè)

2a+b

=

t，則

b

=

t-2a，不等式化為

t

x2+(t-2a)x-a-1≤0對(duì)

恒成立.解法三：把

a消去，對(duì)

x取特殊值，先求出

t的下限，然后再驗(yàn)證記特殊值探路三、試題解答即當(dāng)

t=-4時(shí)，不等式化為解得

t≥-4三、試題解答驗(yàn)證結(jié)果是否成立即當(dāng)

a

=

0

時(shí)-(2x+1)2≤0

對(duì)

一定成立設(shè)

2a+b

=

t，則

b

=

t-2a，不等式化為

t

x2+(t-2a)x-a-1≤0對(duì)

恒成立.當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)a=0，

b=-4，說明

t

=

-4時(shí)a,b均存在實(shí)數(shù)可取到，滿足題意，因此

t

=2a

+

b

的最小值為

-4.

解法三結(jié)合了目標(biāo)導(dǎo)向變形、特殊值代入、代數(shù)配方和極端值分析，既符合天津卷“立足基礎(chǔ)，注重本質(zhì)”的命題風(fēng)格，又能高效解決問題.這種解法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的靈活性，在通性通法中通過特殊值簡(jiǎn)化復(fù)雜問題.三、試題解答四、試題研究1.教材回歸

根據(jù)問題解析，我們發(fā)現(xiàn)該題的設(shè)置理念取自教材，解題思路的形成非常自然，與教材的思想一脈相承，（人教A版必修一58頁習(xí)題6）當(dāng)

取什么值時(shí)，一元二次不等式

對(duì)一

切實(shí)數(shù)

都成立？（人教A版必修一100頁習(xí)題4）已知函數(shù)

在[5,20]上具有單調(diào)性，求

實(shí)數(shù)

的取值范圍.（人教A版必修一160頁習(xí)題4）已知函數(shù)

，求使方程

的實(shí)

數(shù)解個(gè)數(shù)分別為1,2,3時(shí)

的相應(yīng)取值范圍.

本考題最早的模型出自于2009年北京大學(xué)自主招生考試中，原題為：已知對(duì)任意實(shí)數(shù)

恒成立，求

的最大值.

考題出自教材，融合教材，內(nèi)化教材，高于教材，突出對(duì)能力的考查，反映的是學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，通過提升學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的能力，選拔出有創(chuàng)新思維和應(yīng)變能力的高校人才.四、試題研究1.教材回歸2025年天津卷第15題若a,b∈R，對(duì)

，均有(2a+b)x2+bx

-a

-1≤0恒成立，則2a+b的最小值為

.2.問題推廣四、試題研究

原考題具有較強(qiáng)的特殊性，在于所求問題恰巧為二次項(xiàng)的系數(shù)，降低了試題難度，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)更具有一般性時(shí)，利用數(shù)形結(jié)合和線性規(guī)劃思想便成為解決問題的最佳途徑.若a,b∈R，對(duì)

，均有(2a+b)x2+bx

-a

-1≤0恒成立，求2a+3b的最大值.解析：①當(dāng)

2a+b=0時(shí)，b=

-2a，此時(shí)不等式化為

-2ax

-a

-1≤0即2ax+a+1≥0

對(duì)

恒成立，

分析：對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論，數(shù)形結(jié)合，列出關(guān)于a,b的不等式組，

再根據(jù)不等式組表示的平面區(qū)域得出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.2.問題推廣若a,b∈R，對(duì)

，均有(2a+b)x2+bx

-a

-1≤0恒成立，求2a+3b的最大值.②當(dāng)

2a+b

>

0

時(shí)，只需將區(qū)間端點(diǎn)代入不等式即可，

由得對(duì)應(yīng)的可行域如圖，此時(shí)

2a+3b=t

過

A(-0.2,0.4)時(shí)取得最大值，即2.問題推廣若a,b∈R，對(duì)

，均有(2a+b)x2+bx

-a

-1≤0恒成立，求2a+3b的最大值.③當(dāng)

2a+b<0時(shí)，函數(shù)

f(x)=(2a+b)x2+bx

-a

-1的對(duì)稱軸

，可分

為三種情況：?。┊?dāng)

時(shí)，滿足

即對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，此時(shí)2a+3b=t過O(0,0)時(shí)取得最大值，即(2a

+3b)max=0?、。┊?dāng)

時(shí)，滿足

即對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，此時(shí)2a+3b=t過

時(shí)取得最大值，即?、、。┊?dāng)

時(shí)，滿足,即對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，此時(shí)2a+3b=t過

A(-0.385,0.615)時(shí)取得最大值，即(2a+3b)max=1.075體現(xiàn)了線性規(guī)劃和數(shù)形結(jié)合的思想方法，更能解決具有一般性的問題3.知識(shí)融合拓展四、試題研究分析：首先用換元法設(shè)

，然后原不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式

恒成立問題，接下來分類討論，從線性規(guī)劃角度思考，畫出可行域，

問題迎刃而解.已知對(duì)任意的

x∈R，3a(sinx

+

cosx)

+2b

sin2x≤3（a,b∈R）恒成立，則當(dāng)

a+b

取得最小值時(shí)，a的值是

.3.知識(shí)融合拓展四、試題研究解析：令

sinx+cosx=t，則

sin2x

=t

2-1，不等式化為

3at+2b(t

2-1)≤3對(duì)任

意的

恒成立：已知對(duì)任意的

x∈R，3a(sinx

+

cosx)

+2b

sin2x≤3（a,b∈R）恒成立，則當(dāng)

a+b

取得最小值時(shí)，a的值是