第45頁（共45頁）2026年中考數(shù)學(xué)解密之圓一．選擇題（共10小題）1．（2025?湖北三模）如圖，由7個形狀、大小完全相同的正六邊形組成的網(wǎng)格，正六邊形的頂點稱為格點．若每個正六邊形的邊長為1，△ABC的頂點都在格點上，則△ABC的面積是（）A．2 B．23 C．4 D．2．（2025?富民縣三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，M為邊CB延長線上一點．若∠AOC＝100°，則∠ABM的度數(shù)是（）A．50° B．45° C．40° D．30°3．（2025?威海一模）如圖1是山西平遙推光漆器，圖2是選取該漆器上的部分圖案并且放大后的示意圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，分別以正方形的四個頂點為圓心，對角線長的一半為半徑在正方形內(nèi)畫弧，四條弧相交于點O．則圖中陰影部分的面積為（）A．2π﹣4 B．π﹣2 C．2π D．14．（2025?南山區(qū)校級模擬）如圖，A，B，C是某社區(qū)的三棟樓，若在AC中點D處建一個5G基站，其覆蓋半徑為300m，則這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是（）A．A，B，C都不在 B．只有B C．只有A，C D．A，B，C5．（2025?晉中二模）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上兩點，若∠C＝40°，則∠ABD的度數(shù)為（）A．50° B．40° C．45° D．35°6．（2025?洛江區(qū)模擬）如圖，將一把兩邊都帶有刻度的直尺放在半圓形紙片上，使其一邊經(jīng)過圓心O，另一邊所在直線與半圓相交于點D，E，量出半徑OC＝5cm，弦DE＝8cm，則直尺的寬度為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm7．（2025?丹徒區(qū)一模）如圖，平行四邊形ABCD中，∠D＝60°，AD＝10，以BC為直徑的⊙O交AB于點E，則BE的長為（）A．π B．53π C．5 D8．（2025?陽泉模擬）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，延長AB，DC交于點E，延長AD，BC交于點F．若∠A＝40°，∠E＝55°，則∠F的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．55°9．（2025?淮南二模）如圖，AB是半圓的直徑，點D是AC的中點，連接DA，AC，DE⊥AO于點E．若∠DAC＝22.5°，DE＝1，則陰影部分的面積為（）A．π4-22 B．π2-2210．（2025?西寧一模）如圖，△BCD內(nèi)接于⊙O，點B是CD的中點，CD是⊙O的直徑．若∠ABC＝30°，AC＝5，則BC的長為（）A．5 B．42 C．43 D二．填空題（共10小題）11．（2025?定西二模）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，已知CD＝8，EB＝2，則⊙O的半徑為．12．（2025?哈爾濱模擬）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于E點，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，則CD的長為．13．（2025?深圳校級模擬）如圖，這是用于液體蒸餾或分餾物質(zhì)的玻璃容器，其底部是圓球形．球的半徑為10cm，瓶內(nèi)液體的最大深度CD＝4cm，則截面圓中弦AB的長為cm．14．（2025?無錫一模）如圖，BD是⊙O的直徑，點A、C在同一半圓上，∠CBD＝27°，則∠A的度數(shù)為．15．（2025?東河區(qū)校級自主招生）如圖，在矩形ABCD中，BC＝1，AB＝2．以點A為圓心，AB的長為半徑畫弧交DC于點F．以點D為圓心，DA的長為半徑畫弧交DC于點E．則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）16．（2025?祿豐市一模）某節(jié)活動課上，安安用一張半徑為18cm的扇形紙板做了一個圓錐形帽子（如圖，接縫處忽略不計）．若圓錐形帽子的半徑為10cm，則這張扇形紙板的面積為cm2．17．（2025?灌南縣一模）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，連接AE、BE，EA平分∠DEB，點O是△BCE的內(nèi)心，連接AO，AO＝AB，若AD＝5，則AB的長為．18．（2025?宜秀區(qū)二模）已知一次函數(shù)y＝k（x﹣3）+1圖象與一圓心為（0，1），半徑為1的圓相切，則切點坐標(biāo)為．19．（2025?沭陽縣校級二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝2，將Rt△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△DEC，點B經(jīng)過的路徑為BE，將線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后，點B恰好落在CE上的點F處，點B經(jīng)過的路徑為BF，則圖中陰影部分的面積是．20．（2025?鹽都區(qū)模擬）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝30°，點C為半徑OA上一點，現(xiàn)以點O為圓心，OC長為半徑作弧，該弧交半徑OB于點D，記AB的長為m，BD的長度為d，則CD的長為．（用含m，d的式子表示）三．解答題（共5小題）21．（2025?南關(guān)區(qū)校級二模）【問題初探】（1）如圖1，動點A在半徑為2的⊙O上，若OB＝3，直接寫出AB的最小值．由于OA和OB都是定長，當(dāng)點A，B，O形成三角形時，霖霖想到了“三角形兩邊之差小于第三邊”，由此可知當(dāng)點A在OB上時對應(yīng)的就是AB最小的情形．按照霖霖的思路，請直接寫出AB最小值．【類比分析】（2）如圖2，點E和F分別是邊長為4的正方形ABCD邊CD和AD上的兩個動點，且CE＝DF，連接AE和BF交于點G，連接DG，求DG的最小值．霖霖嘗試著繪制了點E在不同位置的幾張圖，目測∠AGB始終都是直角，于是聯(lián)想到了“90°圓周角所對的弦是直徑”，也就是說“點G是正方形ABCD內(nèi)以AB為直徑的圓弧上的點”，進(jìn)而本題可以類比圖1獲解，清按照霖霖的思路完成求DG最小值的解題過程．以下是證明∠AGB＝90°的部分過程證明：∴∠AGB＝90°，∴可判斷點G的軌跡，即DG的最小值為．請補全缺失的證明過程．【學(xué)以致用】（3）如圖3，是兩塊等腰直角三角板，∠C＝∠DEF＝90°，CA＝CB，ED＝EF＝4．當(dāng)點D和E同時在邊AC和AB上滑動時，點F也隨之移動，若連接AF，則AF的最大值是．22．（2025?香洲區(qū)模擬）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格圖中，建立平面直角坐標(biāo)系，一圓弧經(jīng)過點A，B，C，D，其中A，B，C為網(wǎng)格點．（1）請直接寫出圖中弧ABC所在圓的圓心P的坐標(biāo)；（2）求圓周角∠ADC的度數(shù)．23．（2025?碑林區(qū)校級一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠DAB＝90°，點E在BC的延長線上，且∠CED＝∠CAB．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AC∥DE，當(dāng)AB＝4，DC＝2時，求AC的長．24．（2025?蜀山區(qū)校級三模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD＝CB，CE⊥AB于點E，連接BD交CE于點F．（1）求證：CF＝BF．（2）若CD＝45，AC＝85，求弦BD的長．25．（2025?清遠(yuǎn)一模）如圖1，獨輪車俗稱“手推車”，又名輦、鹿車等，是交通運輸工具史上的一項重要發(fā)明，至今在我國農(nóng)村和一些邊遠(yuǎn)地區(qū)仍然廣泛使用．如圖2所示為從獨輪車中抽象出來的幾何模型．在△ABC中，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交AC于點P，PD是⊙O的切線，且PD⊥BC，垂足為點D．（1）求證：∠A＝∠C；（2）若PD＝2BD＝4，求⊙O的半徑．

2026年中考數(shù)學(xué)解密之圓參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案BAADAABBAD一．選擇題（共10小題）1．（2025?湖北三模）如圖，由7個形狀、大小完全相同的正六邊形組成的網(wǎng)格，正六邊形的頂點稱為格點．若每個正六邊形的邊長為1，△ABC的頂點都在格點上，則△ABC的面積是（）A．2 B．23 C．4 D．【考點】正多邊形和圓；解直角三角形．【專題】正多邊形與圓；運算能力．【答案】B【分析】由正六邊形的性質(zhì)可知，格點A、B、G、D四點共線，格點C、E、F、D四點共線，過格點P和M分別作EF的垂線，垂足分別為Q、N，求出∠PEQ＝60°，解直角三角形得到EQ=12，PQ=32，NF=12，證明四邊形PQNM是矩形，得到QN＝PM＝1，則EF＝2，進(jìn)而得到AB＝EF＝DG＝2，則AD＝AB+BG+DG＝5，求出點A到CD的距離為【解答】解：如圖所示，由題意得，格點A、B、G、D共線，格點C、E、F、D共線，分別過P、M作PQ⊥CD于Q，MN⊥CD于N，∴∠CEP=180°×(6-2)∴∠PEQ＝60°，∴EQ=EP?cos∠PEQ=12，∠EPQ＝30°，同理可得，NF=12，∠EPM＝∴∠QPM＝90°，∴四邊形PQNM是矩形，∴QN＝PM＝1，∴EF＝EQ+QN+NF＝2，∴AB＝EF＝DG＝2，∴AD＝AB+BG+DG＝5，∵PQ=3∴A到CD的距離為：2×2×3∴S△ACD∵ABAD∴S△ABC故選：B．【點評】本題主要考查了解直角三角形，正六邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定等，解題時要熟練掌握并能靈活運用解直角三角形的方法是關(guān)鍵．2．（2025?富民縣三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，M為邊CB延長線上一點．若∠AOC＝100°，則∠ABM的度數(shù)是（）A．50° B．45° C．40° D．30°【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠ADC，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ABM．【解答】解：由圓周角定理得：∠ADC=12∠AOC=12∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ABM+∠ABC＝180°，∴∠ABM＝∠ADC＝50°，故選：A．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．3．（2025?威海一模）如圖1是山西平遙推光漆器，圖2是選取該漆器上的部分圖案并且放大后的示意圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，分別以正方形的四個頂點為圓心，對角線長的一半為半徑在正方形內(nèi)畫弧，四條弧相交于點O．則圖中陰影部分的面積為（）A．2π﹣4 B．π﹣2 C．2π D．1【考點】扇形面積的計算；正方形的性質(zhì)．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)．【答案】A【分析】由題意得半徑為2，陰影部分面積＝圓的面積﹣正方形的面積，代入計算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形，∴正方形的對角線的長為22∴半徑的長為2，∵陰影部分面積＝圓的面積﹣正方形的面積，∴陰影部分面積=π(故選：A．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)和圓，組合圖形陰影部分面積，解題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積之間的關(guān)系．4．（2025?南山區(qū)校級模擬）如圖，A，B，C是某社區(qū)的三棟樓，若在AC中點D處建一個5G基站，其覆蓋半徑為300m，則這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是（）A．A，B，C都不在 B．只有B C．只有A，C D．A，B，C【考點】點與圓的位置關(guān)系；勾股定理的應(yīng)用．【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理證得△ABC是直角三角形，可以根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得BD的長，然后與300m比較大小，即可解答本題．【解答】解：∵AB＝300m，BC＝400m，AC＝500m，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，∵點D是斜邊AC的中點，∴AD＝CD＝250m，BD=12AC＝250∵250＜300，∴點A、B、C都在圓內(nèi)，∴這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是A，B，C．故選：D．【點評】本題考查點和圓的位置關(guān)系，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是求出三角形三個頂點到D點的距離．5．（2025?晉中二模）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上兩點，若∠C＝40°，則∠ABD的度數(shù)為（）A．50° B．40° C．45° D．35°【考點】圓周角定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運算能力．【答案】A【分析】連接AD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，∠DAB＝∠C＝40°，再由互余關(guān)系求解．【解答】解：連接AD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠C＝40°，∴∠DAB＝∠C＝40°（同弧所對的圓周角相等），∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝50°，即∠ABD的度數(shù)為50°，故選：A．【點評】本題主要考查了圓周角定理，直角三角形兩銳角互余，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2025?洛江區(qū)模擬）如圖，將一把兩邊都帶有刻度的直尺放在半圓形紙片上，使其一邊經(jīng)過圓心O，另一邊所在直線與半圓相交于點D，E，量出半徑OC＝5cm，弦DE＝8cm，則直尺的寬度為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【考點】垂徑定理；勾股定理．【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力．【答案】A【分析】連接OD，過點O作OH⊥DE，垂足為H，在Rt△DHO中，有勾股定理即可求出結(jié)果．【解答】解：連接OD，過點O作OH⊥DE，垂足為H，∴DH=1在Rt△DHO中，OH=52∴直尺的寬度為3cm．故選：A．【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理，根據(jù)垂徑定理作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（2025?丹徒區(qū)一模）如圖，平行四邊形ABCD中，∠D＝60°，AD＝10，以BC為直徑的⊙O交AB于點E，則BE的長為（）A．π B．53π C．5 D【考點】弧長的計算；平行四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】運算能力．【答案】B【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出BC的長，再連接EO求出∠BOE的度數(shù)，最后根據(jù)弧長公式即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AD＝10，∠D＝60°，∴BC＝AD＝10，∠ABC＝60°．連接EO，∵BO＝EO，∴△BOE是等邊三角形，∴∠BOE＝60°．又∵BO=1∴BE=故選：B．【點評】本題主要考查了弧長的計算、平行四邊形的性質(zhì)及圓周角定理，熟知弧長的計算公式及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2025?陽泉模擬）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，延長AB，DC交于點E，延長AD，BC交于點F．若∠A＝40°，∠E＝55°，則∠F的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．55°【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的計算；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠CDF，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)計算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠A＝40°，∠E＝55°，∴∠CDF＝∠A+∠E＝95°，∵∠A＝40°，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝140°，∴∠F＝∠BCD﹣∠CDF＝45°，故選：B．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．9．（2025?淮南二模）如圖，AB是半圓的直徑，點D是AC的中點，連接DA，AC，DE⊥AO于點E．若∠DAC＝22.5°，DE＝1，則陰影部分的面積為（）A．π4-22 B．π2-22【考點】扇形面積的計算；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理．【專題】與圓有關(guān)的計算；推理能力．【答案】A【分析】連接OD，OC．由圓周角定理可得∠COD＝2∠DAC＝45°，根據(jù)點D是AC的中點，可知∠AOD＝∠COD＝45°，即可證△ODE為等腰直角三角形，結(jié)合勾股定理可求出OD=2DE=2，最后根據(jù)S陰影＝S扇形AOD﹣S【解答】解：如圖，連接OD，OC，∵∠DAC＝22.5°，DE＝1，∴∠COD＝2∠DAC＝45°．∵點D是AC的中點，∴AD=∴∠AOD＝∠COD＝45°，∴△ODE為等腰直角三角形，∴OD=2∴S扇形AOD=∴S陰影故選A．【點評】本題考查圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，扇形的面積，能正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2025?西寧一模）如圖，△BCD內(nèi)接于⊙O，點B是CD的中點，CD是⊙O的直徑．若∠ABC＝30°，AC＝5，則BC的長為（）A．5 B．42 C．43 D【考點】三角形的外接圓與外心；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】D【分析】連接AD，根據(jù)圓周角定理得到∠DBC＝∠DAC＝90°，∠ADC＝∠ABC＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出CD，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到BC＝BD，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計算即可．【解答】解：如圖，連接AD，∵CD是⊙O的直徑，∴∠DBC＝∠DAC＝90°，由圓周角定理得：∠ADC＝∠ABC＝30°，∴CD＝2AC＝2×5＝10，∵點B是CD的中點，∴BC=∴BC＝BD=22CD＝5故選：D．【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共10小題）11．（2025?定西二模）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，已知CD＝8，EB＝2，則⊙O的半徑為5．【考點】垂徑定理；勾股定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】連接OC，設(shè)⊙O的半徑為R，根據(jù)垂徑定理求出CE，根據(jù)勾股定理列式計算，得到答案．【解答】解：連接OC，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE＝R﹣2，∵CD⊥AB，∴CE=12CD＝由勾股定理得，OC2＝OE2+CE2，即R2＝（R﹣2）2+42，解得，R＝5，則⊙O的半徑為5，故答案為：5．【點評】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?2．（2025?哈爾濱模擬）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于E點，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，則CD的長為42．【考點】垂徑定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運算能力．【答案】42．【分析】過O作OF⊥DC于F，連接OC，求出OA＝OB＝OC＝3，根據(jù)垂直定義得出∠OFE＝∠OFC＝90°，求出OE，根據(jù)勾股定理求出OF，再根據(jù)勾股定理求出CF，根據(jù)垂徑定理得出DF＝CF，再求出答案即可．【解答】解：過O作OF⊥DC于F，連接OC，則∠OFE＝∠OFC＝90°，∵BE＝1，AE＝5，∴AB＝BE+AE＝6，∴OB＝OA＝OC＝3，∴OE＝3﹣1＝2，∵∠AEC＝30°，∴OF=12OE＝∴CF=OC2∵OF⊥CD，OF過圓心O，∴DF＝CF＝22，∴CD＝CF+DF＝42，故答案為：42．【點評】本題考查了勾股定理和垂徑定理，能熟記垂徑定理是解此題的關(guān)鍵，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦．13．（2025?深圳校級模擬）如圖，這是用于液體蒸餾或分餾物質(zhì)的玻璃容器，其底部是圓球形．球的半徑為10cm，瓶內(nèi)液體的最大深度CD＝4cm，則截面圓中弦AB的長為16cm．【考點】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理．【專題】與圓有關(guān)的計算；應(yīng)用意識．【答案】16．【分析】根據(jù)勾股定理、垂徑定理進(jìn)行計算即可．【解答】解：球的半徑為10cm，瓶內(nèi)液體的最大深度CD＝4cm，∴OA＝10cm，則OC＝10﹣4＝6（cm），由勾股定理得，AC=OA2-O∴AB＝2AC＝16cm，故答案為：16．【點評】本題考查的是勾股定理、垂徑定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．14．（2025?無錫一模）如圖，BD是⊙O的直徑，點A、C在同一半圓上，∠CBD＝27°，則∠A的度數(shù)為117°．【考點】圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】求出∠D，再利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補求解．【解答】解：∵BD的直徑，∴∠BCD＝90°，∵∠CBD＝27°，∴∠D＝90°﹣27°＝63°，∵∠A+∠D＝180°，∴∠A＝180°﹣63°＝117°．故答案為：117°．【點評】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識解決問題．15．（2025?東河區(qū)校級自主招生）如圖，在矩形ABCD中，BC＝1，AB＝2．以點A為圓心，AB的長為半徑畫弧交DC于點F．以點D為圓心，DA的長為半徑畫弧交DC于點E．則圖中陰影部分的面積為32+π12【考點】扇形面積的計算；矩形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；與圓有關(guān)的計算；幾何直觀；運算能力．【答案】32【分析】先連接AF，根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以求得AF的長、DE的長、∠FAB的度數(shù)，然后根據(jù)圖形可知S陰影＝S△AFD+S扇形ABF﹣S扇形ADE，代入數(shù)據(jù)計算即可．【解答】解：連接AF，如圖所示，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∠D＝90°，∵BC＝1，AB＝2，AF＝AB，∴AF＝2，∴sin∠AFD=ADAF=1∴∠AFD＝30°，∵DC∥AB，∴∠AFD＝∠FDB＝30°，∴S陰影＝S△AFD+S扇形ABF﹣S扇形ADE=1×=3=3故答案為：32【點評】本題考查扇形面積的計算、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)S陰影＝S△AFD+S扇形ABF﹣S扇形ADE．16．（2025?祿豐市一模）某節(jié)活動課上，安安用一張半徑為18cm的扇形紙板做了一個圓錐形帽子（如圖，接縫處忽略不計）．若圓錐形帽子的半徑為10cm，則這張扇形紙板的面積為180πcm2．【考點】圓錐的計算；扇形面積的計算．【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力．【答案】180π．【分析】根據(jù)扇形面積公式計算可得答案．【解答】解：這張扇形紙板的面積為12π×2×10×18=180π（cm故答案為：180π．【點評】本題主要考查圓錐的側(cè)面積，熟練掌握圓錐側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．17．（2025?灌南縣一模）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，連接AE、BE，EA平分∠DEB，點O是△BCE的內(nèi)心，連接AO，AO＝AB，若AD＝5，則AB的長為254【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】254【分析】連接OB、OE，設(shè)AO交BE于點L，由矩形的性質(zhì)得BC＝AD＝5，AB＝CD，CD∥AB，則∠AED＝∠EAB，因為∠AED＝∠AEB，所以∠EAB＝∠AEB，則AB＝EB＝CD，由AO＝AB，得∠AOB＝∠ABO，則∠BAO＝180°﹣2（∠ABE+∠OBE），因為點O是△BCE的內(nèi)心，所以∠OBE＝OBC=12∠CBE，可證明∠BAO＝90°﹣∠ABE，則∠ALE＝∠BAO+∠AEB＝90°，進(jìn)而證明△AED≌△AEL，得EL＝ED，AL＝AD＝5，推導(dǎo)出∠AEO＝90°，再證明△ALE∽△ELO，得ALEL=ELOL，則EL2＝5OL，作△BCE的內(nèi)切圓與BC、CE分別相切于點F、H，則圓心為點O，連接OF、OH，可證明OL＝OF＝OH，且點L為切點，推導(dǎo)出CH＝CF＝2CH＝BC+CE﹣EB＝5﹣EL，再證明OL＝OH＝CH，則2OL＝5﹣EL，所以EL＝5﹣2OL，由（5﹣2OL）2＝5OL，求得OL=【解答】解：連接OB、OE，設(shè)AO交BE于點L，∵四邊形ABCD是矩形，AD＝5，∴BC＝AD＝5，AB＝CD，CD∥AB，∠ABC＝∠D＝∠C＝90°，∴∠AED＝∠EAB，∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°，∵EA平分∠DEB，∴∠AED＝∠AEB，∴∠EAB＝∠AEB，∴AB＝EB＝CD，∵AO＝AB，∴∠AOB＝∠ABO，∴∠BAO＝180°﹣2∠ABO＝180°﹣2（∠ABE+∠OBE），∵點O是△BCE的內(nèi)心，∴∠OBE＝OBC=12∠∴∠BAO＝180°﹣2（∠ABE+12∠CBE）＝180°﹣∠ABE﹣（∠ABE+∠CBE）＝90°﹣∠∴∠ALE＝∠BAO+∠AEB＝90°，∵∠AEL＝∠AED，∠ALE＝∠D＝90°，AE＝AE，∴△AED≌△AEL（AAS），∴EL＝ED，AL＝AD＝5，∵∠AEL＝∠AED=12∠DEL，∠OEL＝∠OEC=1∴∠AEO＝∠AEL∠OEL=12（∠DEL+∠CEL）=12∴∠ALE＝∠ELO＝90°，∠EAL＝∠OEL＝90°﹣∠AEL，∴△ALE∽△ELO，∴ALEL∴EL2＝AL?OL＝5OL，作△BCE的內(nèi)切圓與BC、CE分別相切于點F、H，則圓心為點O，連接OF、OH，∵⊙O與BE相切，且OL⊥BE于點L，∴OL＝OF＝OH，且點L為切點，∴EH＝EL，BL＝BF，CH＝CF，∴CH＝CF＝2CH＝BC+CE﹣EB＝5+CD﹣ED﹣AB＝5﹣EL，∵CE⊥OH，BC⊥OF，∴∠OHC＝∠OFC＝∠C＝90°，∴四邊形OFCH是矩形，∵CH＝CF，∴四邊形OFCH是正方形，∴OL＝OH＝CH，∴2OL＝5﹣EL，∴EL＝5﹣2OL，∴（5﹣2OL）2＝5OL，∴解得OL=54或OL＝∴AB＝AO＝AL+OL＝5+5故答案為：254【點評】此題重點考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、切線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．（2025?宜秀區(qū)二模）已知一次函數(shù)y＝k（x﹣3）+1圖象與一圓心為（0，1），半徑為1的圓相切，則切點坐標(biāo)為(13，1+2【考點】切線的性質(zhì)；一次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運算能力．【答案】(13，【分析】先得到一次函數(shù)y＝k（x﹣3）+1圖象過定點P（3，1），設(shè)切點坐標(biāo)為H（x，y），圓心為E（0，1），根據(jù)切線定義、勾股定理以及兩點坐標(biāo)距離公式列方程求解即可．【解答】解：對于y＝k（x﹣3）+1，當(dāng)x＝3時，y＝1，∴一次函數(shù)y＝k（x﹣3）+1圖象過定點P（3，1），設(shè)切點坐標(biāo)為H（x，y），圓心為E（0，1），則EH＝1，EH⊥PH，PE＝3，∴（x﹣0）2+（y﹣1）2＝1①，∴12+（x﹣3）2+（y﹣1）2＝32②，由①②解得x=13，∴切點坐標(biāo)為(13，故答案為：(13，【點評】本題考查切線的性質(zhì)、兩點坐標(biāo)距離公式、勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．19．（2025?沭陽縣校級二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝2，將Rt△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△DEC，點B經(jīng)過的路徑為BE，將線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后，點B恰好落在CE上的點F處，點B經(jīng)過的路徑為BF，則圖中陰影部分的面積是32+π【考點】扇形面積的計算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；圓周角定理．【專題】與圓有關(guān)的計算；解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】32【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可以求得AC和BC的長，再觀察圖形可知，陰影的面積＝△ABC的面積+扇形CBE的面積﹣扇形ABF的面積，然后代入數(shù)據(jù)計算即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝2，∴∠ABC＝30°，∴AC＝1，BC=2∴陰影的面積＝△ABC的面積+扇形CBE的面積﹣扇形ABF的面積=12×=3=3故答案為：32【點評】本題考查扇形面積的計算、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．20．（2025?鹽都區(qū)模擬）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝30°，點C為半徑OA上一點，現(xiàn)以點O為圓心，OC長為半徑作弧，該弧交半徑OB于點D，記AB的長為m，BD的長度為d，則CD的長為6m-πd6．（用含m，d【考點】弧長的計算．【專題】運算能力．【答案】6m-πd6【分析】先根據(jù)弧長公式表示出OB的長，進(jìn)一步得出OD的長，再結(jié)合弧長公式即可解決問題．【解答】解：由題知，30?π?OB180則OB=6m因為BD＝d，所以O(shè)D=6m所以CD的長為：30?π?(6m故答案為：6m-πd6【點評】本題主要考查了弧長的計算，熟知弧長的計算公式是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）21．（2025?南關(guān)區(qū)校級二模）【問題初探】（1）如圖1，動點A在半徑為2的⊙O上，若OB＝3，直接寫出AB的最小值．由于OA和OB都是定長，當(dāng)點A，B，O形成三角形時，霖霖想到了“三角形兩邊之差小于第三邊”，由此可知當(dāng)點A在OB上時對應(yīng)的就是AB最小的情形．按照霖霖的思路，請直接寫出AB最小值．【類比分析】（2）如圖2，點E和F分別是邊長為4的正方形ABCD邊CD和AD上的兩個動點，且CE＝DF，連接AE和BF交于點G，連接DG，求DG的最小值．霖霖嘗試著繪制了點E在不同位置的幾張圖，目測∠AGB始終都是直角，于是聯(lián)想到了“90°圓周角所對的弦是直徑”，也就是說“點G是正方形ABCD內(nèi)以AB為直徑的圓弧上的點”，進(jìn)而本題可以類比圖1獲解，清按照霖霖的思路完成求DG最小值的解題過程．以下是證明∠AGB＝90°的部分過程證明：∴∠AGB＝90°，∴可判斷點G的軌跡，即DG的最小值為25-2請補全缺失的證明過程．【學(xué)以致用】（3）如圖3，是兩塊等腰直角三角板，∠C＝∠DEF＝90°，CA＝CB，ED＝EF＝4．當(dāng)點D和E同時在邊AC和AB上滑動時，點F也隨之移動，若連接AF，則AF的最大值是210+22【考點】圓的綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）1；（2）25（3）210【分析】（1）連接OA和AB，OB﹣OA≤AB，則當(dāng)O、A、B三點共線時，則AB最?。絆B﹣OA＝1；（2）先證明△ADE≌△BAF，推導(dǎo)出∠BGA＝90°，取AB中點O，連接OG和OD，根據(jù)勾股定理求得OD=25，由OG+GD≥OD，得到當(dāng)O，G，D三點共線時，DG取得最小值，因此D（3）作△ADE的外接圓⊙O，連接OA，OD，OE，OF，由圓周角定理得∠EOD＝2∠EAD＝90°，可得∠ODF＝∠ODE+∠EDF＝90°，解直角三角形得到AO=OD=OE=22，DF=42，Rt△ODF中，由勾股定理得：OF=210，由OA+AF≥OF，得AF≤22+210，當(dāng)點A，O，【解答】解：（1）AB最小值為1；理由如下：如圖1，連接OA和AB，則OB﹣OA≤AB，∴當(dāng)O、A、B三點共線時，AB取得最小值，∴AB最?。絆B﹣OA＝3﹣2＝1；（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD，∠ADE＝90°＝∠BAF．∵CE＝DF，∴CD﹣CE＝AD﹣DF，即DE＝AF，在△ADE和△BAF中，AD=BA∠ADE=∠BAF∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠EAD＝∠FBA，∴∠FBA+∠BAG＝∠EAD+∠BAG＝∠BAF＝90°，∴∠BGA＝90°，如圖2，取AB中點O，連接OG和OD，則OG=OA=1∴OD=O∵OG+GD≥OD，即DG≥OD﹣OG，當(dāng)O，G，D三點共線時，DG取得最小值，∴DG故答案為：25（3）如圖3，作△ADE的外接圓⊙O，連接OA，OD，OE，OF，∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠EAD＝45°，同理∠EDF＝45°，∴∠EOD＝2∠EAD＝90°，∵OD＝OE，∴∠ODE＝45°，∴∠ODF＝∠ODE+∠EDF＝90°，在Rt△ODE中，OE=DE?sin∠ODE=22∴AO=OD=OE=22同理可求在Rt△DEF中，DF=2∴在Rt△ODF中，由勾股定理得：OF=O∵OA+AF≥OF，即AF≤22當(dāng)點A，O，F(xiàn)三點共線時，AF取得最大值，∴AF故答案為：210【點評】本題屬于三角形綜合題，主要考查了利用三角形三邊關(guān)系求最值，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．22．（2025?香洲區(qū)模擬）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格圖中，建立平面直角坐標(biāo)系，一圓弧經(jīng)過點A，B，C，D，其中A，B，C為網(wǎng)格點．（1）請直接寫出圖中弧ABC所在圓的圓心P的坐標(biāo)（2，0）；（2）求圓周角∠ADC的度數(shù)．【考點】圓周角定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；垂徑定理．【專題】與圓有關(guān)的計算；推理能力．【答案】（1）（2，0）；（2）45°．【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格特征和垂徑定理可知AB，AC的垂直平分線的交點即為圓心；（2）根據(jù)可得∠ADC=12∠APC，連接PA，PC，AC，根據(jù)勾股定理逆定理可得【解答】解：（1）AB，AC的垂直平分線的交點即為圓心點P，所以圓心P的坐標(biāo)為（2，0）；故答案為：（2，0）；（2）由條件可知∠ADC=1連接PA，PC，AC，∴AP2＝20，PC2＝20，AC2＝40，∴AP2+PC2＝AC2，PC＝AC，∴△APC是等腰直角三角形，∠APC＝90°，∴∠ADC=1【點評】本題主要考查垂徑定理、勾股定理及其逆定理：熟練掌握以上知識點是關(guān)鍵．23．（2025?碑林區(qū)校級一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠DAB＝90°，點E在BC的延長線上，且∠CED＝∠CAB．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AC∥DE，當(dāng)AB＝4，DC＝2時，求AC的長．【考點】切線的判定與性質(zhì)；圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運算能力；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）先判斷出BD是圓O的直徑，再判斷出BD⊥DE，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出AC⊥BD，進(jìn)而求出BC＝AB＝4，再用勾股定理求出BD，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖，連接BD，∵∠DAB＝90°，∴BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠CED＝∠CAB，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，∵OD為⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：設(shè)BD與AC交于點F，由（1）知：BD⊥DE，∵DE∥AC，∴BD⊥AC，∴CB＝AB＝4，AF=CF=1在Rt△BCD中，BD=B∵S△BCD=1∴CF=BC?CD∴AC=2CF=8【點評】此題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，三角形的面積公式，切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，求出BC＝4是解本題的關(guān)鍵．24．（2025?蜀山區(qū)校級三模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD＝CB，CE⊥AB于點E，連接BD交CE于點F．（1）求證：CF＝BF．（2）若CD＝45，AC＝85，求弦BD的長．【考點】圓周角定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）要證明CF＝BF，可以證明∠ECB＝∠DBC；AB是⊙O的直徑，則∠ACB＝90°，又知CE⊥AB，則∠CEB＝90°，則∠DBC＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠ECB＝∠A，則∠ECB＝∠DBC；（2）連接OC，交BD于點G，先求出圓的半徑，再利用勾股定理列方程求出OG的長，進(jìn)而求得BG的長和BD的長．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，∴∠ECB＝∠A．又∵CD＝CB，∴CD=∴∠DBC＝∠A，∴∠ECB＝∠DBC，∴CF＝BF；（2）解：連接OC，交BD于點G，∵BC＝CD，∴OC⊥BD，BD＝2BG，∵∠ACB＝90°，BC＝CD=45，AC=8∴AB=AC∴⊙O的半徑為10，設(shè)OG＝x，則CG＝10﹣x，由勾股定理，得BG2＝OB2﹣OG2＝BC2﹣CG2，即102﹣x2＝（45）2﹣（10﹣x）2解得x＝6，∴BG=10∴BD＝16．【點評】本題考查了圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理．注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．25．（2025?清遠(yuǎn)一模）如圖1，獨輪車俗稱“手推車”，又名輦、鹿車等，是交通運輸工具史上的一項重要發(fā)明，至今在我國農(nóng)村和一些邊遠(yuǎn)地區(qū)仍然廣泛使用．如圖2所示為從獨輪車中抽象出來的幾何模型．在△ABC中，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交AC于點P，PD是⊙O的切線，且PD⊥BC，垂足為點D．（1）求證：∠A＝∠C；（2）若PD＝2BD＝4，求⊙O的半徑．【考點】切線的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）連接OP，如圖2，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到OP⊥PD，則可判斷OP∥BC，所以∠OPA＝∠C，然后利用∠OPA＝∠A可得到結(jié)論；（2）連接PB，如圖2，先利用勾股定理計算出PB＝25，再根據(jù)圓周角定理得到∠APB＝90°，接著證明△BDP∽△BPC，則利用相似比可計算出BC＝10，然后利用∠A＝∠C得到BA＝10，從而得到⊙O的半徑．【解答】（1）證明：連接OP，如圖2，∵PD是⊙O的切線，∴OP⊥PD，∵PD⊥BC，∴OP∥BC，∴∠OPA＝∠C，∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠A，∴∠A＝∠C；（2）解：連接PB，如圖2，在Rt△PBD中，∵PD＝2BD＝4，∴PB=22+∵AB為直徑，∴∠APB＝90°，∵∠BDP＝∠BPC，∠DBP＝∠PBC，∴△BDP∽△BPC，∴BP：BC＝BD：BP，即25：BC＝2：25，解得BC＝10，∵∠A＝∠C，∴BA＝BC＝10，∴⊙O的半徑為5．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了勾股定理、圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．

考點卡片1．坐標(biāo)與圖形性質(zhì)1、點到坐標(biāo)軸的距離與這個點的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時，需要加上恰當(dāng)?shù)姆枺?、有圖形中一些點的坐標(biāo)求面積時，過已知點向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補”法去解決問題．2．一次函數(shù)的圖象（1）一次函數(shù)的圖象的畫法：經(jīng)過兩點（0，b）、（-bk，0）或（1，k+b）作直線y＝kx+注意：①使用兩點法畫一次函數(shù)的圖象，不一定就選擇上面的兩點，而要根據(jù)具體情況，所選取的點的橫、縱坐標(biāo)盡量取整數(shù)，以便于描點準(zhǔn)確．②一次函數(shù)的圖象是與坐標(biāo)軸不平行的一條直線（正比例函數(shù)是過原點的直線），但直線不一定是一次函數(shù)的圖象．如x＝a，y＝b分別是與y軸，x軸平行的直線，就不是一次函數(shù)的圖象．（2）一次函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系：直線y＝kx+b，可以看做由直線y＝kx平移|b|個單位而得到．當(dāng)b＞0時，向上平移；b＜0時，向下平移．注意：①如果兩條直線平行，則其比例系數(shù)相等；反之亦然；②將直線平移，其規(guī)律是：上加下減，左加右減；③兩條直線相交，其交點都適合這兩條直線．3．一次函數(shù)的性質(zhì)一次函數(shù)的性質(zhì)：k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降．由于y＝kx+b與y軸交于（0，b），當(dāng)b＞0時，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b＜0時，（0，b）在y軸的負(fù)半軸，直線與y軸交于負(fù)半軸．4．三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．5．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．6．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE7．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)30°的角所對的直角邊，點明斜邊．8．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．9．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應(yīng)用：運用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊．10．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．11．矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．12．正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．13．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?4．垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．15．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧．（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．16．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角．17．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對角互補．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時要注意是對角，而不是鄰角互補．18．點與圓的位置關(guān)系（1）點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓