2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建試題一、集合與函數(shù)概念綜合應(yīng)用1.集合運(yùn)算與函數(shù)定義域設(shè)集合(A={x|\log_2(x-1)<2})，集合(B={y|y=x^2-4x+5,x\in[0,3]})。（1）求(A\capB)和(\complement_{\mathbb{R}}(A\cupB))；（2）若函數(shù)(f(x)=\sqrt{kx^2+2kx+1})的定義域?yàn)?\mathbb{R})，求實(shí)數(shù)(k)的取值范圍。2.函數(shù)性質(zhì)與分段函數(shù)已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2^x-1&(x\geq0)\x^2+mx&(x<0)\end{cases})是奇函數(shù)。（1）求實(shí)數(shù)(m)的值；（2）判斷函數(shù)(f(x))在區(qū)間((-\infty,0))上的單調(diào)性，并證明；（3）解不等式(f(x)+f(x-1)>0)。二、基本初等函數(shù)與導(dǎo)數(shù)初步3.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)綜合已知函數(shù)(f(x)=a^x+\log_a(x+1))（(a>0)且(a\neq1)）在區(qū)間([0,1])上的最大值與最小值之和為(a)。（1）求(a)的值；（2）若函數(shù)(g(x)=f(x)-2^x)，求(g(x))在區(qū)間([0,2])上的值域。4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義與應(yīng)用（1）求函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2x)在點(diǎn)((2,f(2)))處的切線方程；（2）已知函數(shù)(h(x)=x^2-a\lnx)在區(qū)間((1,e))上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍；（3）利用導(dǎo)數(shù)證明：當(dāng)(x>0)時(shí)，(x-\frac{x^3}{6}<\sinx<x)。三、三角函數(shù)與三角恒等變換5.三角函數(shù)圖像與性質(zhì)已知函數(shù)(f(x)=2\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)((0,1))和((\frac{\pi}{3},0))，且相鄰對(duì)稱軸之間的距離為(\frac{\pi}{2})。（1）求函數(shù)(f(x))的解析式；（2）求函數(shù)(f(x))在區(qū)間([-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}])上的單調(diào)遞增區(qū)間和最值。6.三角恒等變換與解三角形（1）化簡(jiǎn)：(\frac{\sin(2\alpha+\beta)}{\sin\alpha}-2\cos(\alpha+\beta))；（2）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，已知(a=2\sqrt{3})，(b=2)，(\cosA=-\frac{1}{2})。①求角(B)的大?。虎谌?D)為(BC)的中點(diǎn)，求(AD)的長(zhǎng)度。四、數(shù)列與不等式7.等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合已知數(shù)列({a_n})是等差數(shù)列，數(shù)列({b_n})是等比數(shù)列，且(a_1=b_1=2)，(a_4+b_4=27)，(a_5-b_5=10)。（1）求數(shù)列({a_n})和({b_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(c_n=a_n\cdotb_n)，求數(shù)列({c_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)；（3）若不等式((-1)^n\lambda<S_n+\frac{4}{b_n})對(duì)任意(n\in\mathbb{N}^*)恒成立，求實(shí)數(shù)(\lambda)的取值范圍。8.不等式證明與線性規(guī)劃（1）已知(a>0)，(b>0)，且(a+2b=1)，求證：(\frac{1}{a}+\frac{1}\geq3+2\sqrt{2})；（2）設(shè)變量(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\leq5\2x-y\leq4\-x+y\leq1\y\geq0\end{cases})，求目標(biāo)函數(shù)(z=x^2+y^2)的取值范圍。五、立體幾何與空間向量9.空間幾何體的體積與表面積如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)的中點(diǎn)。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求三棱錐(A_1-ADC_1)的體積；（3）求二面角(A-DC_1-C)的余弦值。10.空間向量與線面位置關(guān)系在四棱錐(P-ABCD)中，底面(ABCD)是正方形，(PA\perp)底面(ABCD)，(PA=AB=2)，(E)是(PC)的中點(diǎn)。（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求向量(\overrightarrow{DE})和(\overrightarrow{PB})的坐標(biāo)；（2）求證：(DE\perp)平面(PBD)；（3）求直線(DE)與平面(PAB)所成角的正弦值。六、解析幾何初步11.直線與圓的方程已知圓(C:x^2+y^2-4x-6y+12=0)。（1）求過(guò)點(diǎn)(A(3,5))且與圓(C)相切的直線方程；（2）若直線(l:y=kx+2)與圓(C)相交于(M,N)兩點(diǎn)，且(|MN|=2\sqrt{3})，求(k)的值；（3）設(shè)(P)是圓(C)上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)(P)到直線(3x+4y+8=0)的距離的最大值和最小值。12.圓錐曲線與軌跡方程已知橢圓(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過(guò)點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓交于(A,B)兩點(diǎn)，且(OA\perpOB)（(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：原點(diǎn)(O)到直線(l)的距離為定值。七、概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)建模13.統(tǒng)計(jì)圖表與概率計(jì)算某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績(jī)調(diào)查，得到如下頻率分布直方圖：（1）求頻率分布直方圖中(a)的值，并估計(jì)這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）若從成績(jī)?cè)?[80,90))和([90,100])的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選取2人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，求至少有1人成績(jī)?cè)?[90,100])的概率。14.數(shù)學(xué)建模與實(shí)際應(yīng)用某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本為40元，銷售單價(jià)為60元，每月可銷售300件。為了提高利潤(rùn)，工廠決定改進(jìn)生產(chǎn)工藝，降低成本。經(jīng)測(cè)算，每降低1元成本，月銷售量可增加20件。（1）設(shè)每件產(chǎn)品的成本降低(x)元（(x\in\mathbb{N})），月利潤(rùn)為(y)元，求(y)關(guān)于(x)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的成本降低多少元時(shí)，月利潤(rùn)最大？最大月利潤(rùn)是多少？八、數(shù)學(xué)思想方法與創(chuàng)新題型15.數(shù)形結(jié)合與分類討論已知函數(shù)(f(x)=|x^2-4x+3|)。（1）作出函數(shù)(f(x))的圖像，并寫出其單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于(x)的方程(f(x)=m)有4個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)(m)的取值范圍；（3）若函數(shù)(g(x)=f(x)-kx)有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)(k)的取值范圍。16.新定義與探究性問(wèn)題定義：對(duì)于函數(shù)(f(x))，若存在實(shí)數(shù)(a,b)，使得函數(shù)(g(x)=f(x-a)+b)為奇函數(shù)，則稱函數(shù)(f(x))為“可變換奇函數(shù)”。（1）判斷函數(shù)(f(x)=x^3+x^2+1)是否為“可變換奇函數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)(f(x)=\log_2(x+\sqrt{x^2+t}))是“可變換奇函數(shù)”，求