2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）函數(shù)$f(x)=2^{x+1}$的定義域是（）A.$(-\infty,0)$B.$(0,+\infty)$C.$(-\infty,+\infty)$D.$(-\infty,1)$已知指數(shù)函數(shù)$f(x)=a^x$的圖像經(jīng)過點$(2,4)$，則$a$的值為（）A.$\sqrt{2}$B.2C.4D.$\frac{1}{2}$函數(shù)$f(x)=\log_2(x-1)$的定義域是（）A.$(1,+\infty)$B.$[1,+\infty)$C.$(0,+\infty)$D.$(-\infty,1)$若$\log_a\frac{1}{2}<1$，則$a$的取值范圍是（）A.$(0,\frac{1}{2})\cup(1,+\infty)$B.$(\frac{1}{2},1)$C.$(0,\frac{1}{2})$D.$(\frac{1}{2},+\infty)$函數(shù)$f(x)=e^x+e^{-x}$的奇偶性是（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)函數(shù)$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-4)$的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.$(0,+\infty)$B.$(-\infty,0)$C.$(2,+\infty)$D.$(-\infty,-2)$已知$3^a=5^b=15$，則$\frac{1}{a}+\frac{1}=$（）A.$\frac{1}{2}$B.1C.2D.$\frac{1}{3}$函數(shù)$f(x)=2^x$與$g(x)=\log_2x$的圖像關(guān)于（）對稱A.x軸B.y軸C.直線$y=x$D.原點若$a=2^{0.3}$，$b=0.3^2$，$c=\log_20.3$，則$a$，$b$，$c$的大小關(guān)系是（）A.$a>b>c$B.$b>a>c$C.$c>a>b$D.$a>c>b$函數(shù)$f(x)=\log_a(x+1)+2$（$a>0$且$a\neq1$）的圖像恒過定點（）A.$(0,2)$B.$(1,2)$C.$(0,3)$D.$(1,3)$已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}2^x,x\geq0\\log_2(-x),x<0\end{cases}$，則$f(f(-2))$的值為（）A.-2B.2C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{4}$函數(shù)$f(x)=|\log_2x|$在區(qū)間$[a,b]$上的值域為$[0,2]$，則$b-a$的最小值為（）A.$\frac{3}{4}$B.3C.4D.$\frac{15}{4}$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）計算：$2^{\log_23}+\log_39=$________.函數(shù)$f(x)=a^x$（$a>0$且$a\neq1$）在區(qū)間$[0,1]$上的最大值與最小值的和為3，則$a=$________.已知函數(shù)$f(x)=\log_2(x^2+2x+a)$的值域為$R$，則實數(shù)$a$的取值范圍是________.若函數(shù)$f(x)=2^x+m$的圖像不經(jīng)過第二象限，則$m$的取值范圍是________.三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）計算下列各式的值：（1）$(\log_43+\log_83)(\log_32+\log_92)$；（2）$27^{\frac{2}{3}}-2^{\log_23}\times\log_2\frac{1}{8}+\log_23\times\log_34$.（12分）已知函數(shù)$f(x)=2^x-2^{-x}$.（1）判斷函數(shù)$f(x)$的奇偶性；（2）證明函數(shù)$f(x)$在$R$上單調(diào)遞增；（3）若$f(1-m)+f(1-m^2)<0$，求實數(shù)$m$的取值范圍.（12分）已知函數(shù)$f(x)=\log_a(1-x)+\log_a(x+3)$（$a>0$且$a\neq1$）.（1）求函數(shù)$f(x)$的定義域；（2）若函數(shù)$f(x)$的最小值為$-2$，求$a$的值.（12分）已知函數(shù)$f(x)=e^x-e^{-x}-2x$.（1）判斷函數(shù)$f(x)$的奇偶性；（2）討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性；（3）若對任意$x\geq0$，$f(x)\geqax$恒成立，求實數(shù)$a$的取值范圍.（12分）某公司為了擴大生產(chǎn)規(guī)模，決定購買一批新設(shè)備.現(xiàn)有甲、乙兩種型號的設(shè)備可供選擇，其中甲型設(shè)備每臺價格為8萬元，乙型設(shè)備每臺價格為6萬元.經(jīng)預(yù)算，該公司購買設(shè)備的資金不超過100萬元.（1）若該公司購買甲型設(shè)備$x$臺，乙型設(shè)備$y$臺，寫出$x$，$y$滿足的約束條件；（2）若甲型設(shè)備每臺每年可創(chuàng)造利潤3萬元，乙型設(shè)備每臺每年可創(chuàng)造利潤2萬元，在（1）的條件下，該公司如何購買設(shè)備才能使每年創(chuàng)造的利潤最大？最大利潤是多少？（12分）已知函數(shù)$f(x)=\log_a(ax^2-x+\frac{1}{2})$（$a>0$且$a\neq1$）在區(qū)間$[1,2]$上恒有意義.（1）求實數(shù)$a$的取值范圍；（2）若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[1,2]$上的最大值為2，求$a$的值.參考答案與解析一、選擇題C指數(shù)函數(shù)的定義域為$(-\infty,+\infty)$，因此函數(shù)$f(x)=2^{x+1}$的定義域是$(-\infty,+\infty)$，故選C.B因為指數(shù)函數(shù)$f(x)=a^x$的圖像經(jīng)過點$(2,4)$，所以$a^2=4$，解得$a=2$（$a=-2$舍去，因為指數(shù)函數(shù)的底數(shù)$a>0$且$a\neq1$），故選B.A要使函數(shù)$f(x)=\log_2(x-1)$有意義，需滿足$x-1>0$，即$x>1$，因此函數(shù)的定義域是$(1,+\infty)$，故選A.A當(dāng)$a>1$時，$\log_a\frac{1}{2}<1=\log_aa$，因為函數(shù)$y=\log_ax$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，所以$\frac{1}{2}<a$，即$a>1$；當(dāng)$0<a<1$時，$\log_a\frac{1}{2}<1=\log_aa$，因為函數(shù)$y=\log_ax$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減，所以$\frac{1}{2}>a$，即$0<a<\frac{1}{2}$.綜上，$a$的取值范圍是$(0,\frac{1}{2})\cup(1,+\infty)$，故選A.B函數(shù)$f(x)=e^x+e^{-x}$的定義域為$(-\infty,+\infty)$，且$f(-x)=e^{-x}+e^x=f(x)$，因此函數(shù)$f(x)$是偶函數(shù)，故選B.D要使函數(shù)$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-4)$有意義，需滿足$x^2-4>0$，即$x<-2$或$x>2$.令$t=x^2-4$，則函數(shù)$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}t$，因為$0<\frac{1}{2}<1$，所以函數(shù)$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}t$單調(diào)遞減.又因為函數(shù)$t=x^2-4$在$(-\infty,-2)$上單調(diào)遞減，在$(2,+\infty)$上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的單調(diào)性原則，函數(shù)$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-4)$的單調(diào)遞增區(qū)間是$(-\infty,-2)$，故選D.B因為$3^a=15$，所以$a=\log_315$，則$\frac{1}{a}=\log_{15}3$；因為$5^b=15$，所以$b=\log_515$，則$\frac{1}=\log_{15}5$.因此$\frac{1}{a}+\frac{1}=\log_{15}3+\log_{15}5=\log_{15}(3\times5)=\log_{15}15=1$，故選B.C函數(shù)$f(x)=2^x$與$g(x)=\log_2x$互為反函數(shù)，因此它們的圖像關(guān)于直線$y=x$對稱，故選C.A因為$2^{0.3}>2^0=1$，$0<0.3^2=0.09<1$，$\log_20.3<\log_21=0$，所以$a>b>c$，故選A.C令$x+1=1$，即$x=0$，則$f(0)=\log_a1+2=0+2=2$，因此函數(shù)$f(x)=\log_a(x+1)+2$的圖像恒過定點$(0,2)$，故選A.（注：原題選項設(shè)置可能存在誤差，正確定點應(yīng)為(0,2)，對應(yīng)選項A）B因為$-2<0$，所以$f(-2)=\log_2(-(-2))=\log_22=1$，則$f(f(-2))=f(1)=2^1=2$，故選B.A函數(shù)$f(x)=|\log_2x|$的圖像在$(0,1]$上單調(diào)遞減，在$[1,+\infty)$上單調(diào)遞增，且$f(\frac{1}{4})=|\log_2\frac{1}{4}|=2$，$f(4)=|\log_24|=2$，$f(1)=0$.要使函數(shù)$f(x)=|\log_2x|$在區(qū)間$[a,b]$上的值域為$[0,2]$，則$a$的最大值為$\frac{1}{4}$，$b$的最小值為1，此時$b-a=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$；或$a$的最小值為$\frac{1}{4}$，$b$的最大值為4，此時$b-a=4-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}$.因此$b-a$的最小值為$\frac{3}{4}$，故選A.二、填空題5$2^{\log_23}+\log_39=3+\log_33^2=3+2=5$.2當(dāng)$a>1$時，函數(shù)$f(x)=a^x$在區(qū)間$[0,1]$上單調(diào)遞增，最大值為$f(1)=a$，最小值為$f(0)=1$，則$a+1=3$，解得$a=2$；當(dāng)$0<a<1$時，函數(shù)$f(x)=a^x$在區(qū)間$[0,1]$上單調(diào)遞減，最大值為$f(0)=1$，最小值為$f(1)=a$，則$a+1=3$，解得$a=2$（舍去）.綜上，$a=2$.$(-\infty,1]$要使函數(shù)$f(x)=\log_2(x^2+2x+a)$的值域為$R$，需滿足$x^2+2x+a$能取遍所有正實數(shù)，即方程$x^2+2x+a=0$的判別式$\Delta=4-4a\geq0$，解得$a\leq1$，因此實數(shù)$a$的取值范圍是$(-\infty,1]$.$(-\infty,-1]$函數(shù)$f(x)=2^x+m$的圖像是由函數(shù)$y=2^x$的圖像向上（或向下）平移$|m|$個單位得到的.因為函數(shù)$y=2^x$的圖像經(jīng)過點$(0,1)$，且單調(diào)遞增，所以要使函數(shù)$f(x)=2^x+m$的圖像不經(jīng)過第二象限，需滿足$f(0)=1+m\leq0$，解得$m\leq-1$，因此$m$的取值范圍是$(-\infty,-1]$.三、解答題解：（1）$(\log_43+\log_83)(\log_32+\log_92)$$=(\frac{\log_23}{\log_24}+\frac{\log_23}{\log_28})(\frac{\log_22}{\log_23}+\frac{\log_22}{\log_29})$$=(\frac{\log_23}{2}+\frac{\log_23}{3})(\frac{1}{\log_23}+\frac{1}{2\log_23})$$=(\frac{3\log_23+2\log_23}{6})(\frac{2+1}{2\log_23})$$=(\frac{5\log_23}{6})(\frac{3}{2\log_23})$$=\frac{5}{4}$.（2）$27^{\frac{2}{3}}-2^{\log_23}\times\log_2\frac{1}{8}+\log_23\times\log_34$$=(3^3)^{\frac{2}{3}}-3\times\log_22^{-3}+\log_23\times\frac{\log_24}{\log_23}$$=3^2-3\times(-3)+2$$=9+9+2$$=20$.解：（1）函數(shù)$f(x)=2^x-2^{-x}$的定義域為$R$，且$f(-x)=2^{-x}-2^x=-(2^x-2^{-x})=-f(x)$，因此函數(shù)$f(x)$是奇函數(shù).（2）任取$x_1<x_2$，則$f(x_1)-f(x_2)=(2^{x_1}-2^{-x_1})-(2^{x_2}-2^{-x_2})=(2^{x_1}-2^{x_2})+(\frac{1}{2^{x_2}}-\frac{1}{2^{x_1}})=(2^{x_1}-2^{x_2})+\frac{2^{x_1}-2^{x_2}}{2^{x_1+x_2}}=(2^{x_1}-2^{x_2})(1+\frac{1}{2^{x_1+x_2}})$.因為$x_1<x_2$，所以$2^{x_1}<2^{x_2}$，即$2^{x_1}-2^{x_2}<0$，又$1+\frac{1}{2^{x_1+x_2}}>0$，因此$f(x_1)-f(x_2)<0$，即$f(x_1)<f(x_2)$，所以函數(shù)$f(x)$在$R$上單調(diào)遞增.（3）由$f(1-m)+f(1-m^2)<0$，得$f(1-m)<-f(1-m^2)$.因為函數(shù)$f(x)$是奇函數(shù)，所以$-f(1-m^2)=f(m^2-1)$，則$f(1-m)<f(m^2-1)$.又因為函數(shù)$f(x)$在$R$上單調(diào)遞增，所以$1-m<m^2-1$，即$m^2+m-2>0$，解得$m<-2$或$m>1$.因此實數(shù)$m$的取值范圍是$(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$.解：（1）要使函數(shù)$f(x)=\log_a(1-x)+\log_a(x+3)$有意義，需滿足$\begin{cases}1-x>0\x+3>0\end{cases}$，解得$-3<x<1$，因此函數(shù)$f(x)$的定義域是$(-3,1)$.（2）$f(x)=\log_a(1-x)+\log_a(x+3)=\log_a[(1-x)(x+3)]=\log_a(-x^2-2x+3)$.令$t=-x^2-2x+3$，則$t=-(x+1)^2+4$，因為$x\in(-3,1)$，所以$t\in(0,4]$.當(dāng)$a>1$時，函數(shù)$f(x)=\log_at$在$(0,4]$上單調(diào)遞增，因此$f(x)$的最小值為$\log_a4$，由$\log_a4=-2$，得$a^{-2}=4$，解得$a=\frac{1}{2}$（舍去）；當(dāng)$0<a<1$時，函數(shù)$f(x)=\log_at$在$(0,4]$上單調(diào)遞減，因此$f(x)$的最小值為$\log_a4$，由$\log_a4=-2$，得$a^{-2}=4$，解得$a=\frac{1}{2}$.綜上，$a$的值為$\frac{1}{2}$.解：（1）函數(shù)$f(x)=e^x-e^{-x}-2x$的定義域為$R$，且$f(-x)=e^{-x}-e^x+2x=-(e^x-e^{-x}-2x)=-f(x)$，因此函數(shù)$f(x)$是奇函數(shù).（2）$f'(x)=e^x+e^{-x}-2$，因為$e^x+e^{-x}\geq2\sqrt{e^x\timese^{-x}}=2$，當(dāng)且僅當(dāng)$e^x=e^{-x}$，即$x=0$時等號成立，所以$f'(x)\geq0$，當(dāng)且僅當(dāng)$x=0$時$f'(x)=0$，因此函數(shù)$f(x)$在$R$上單調(diào)遞增.（3）由$f(x)\geqax$，得$e^x-e^{-x}-2x\geqax$，即$e^x-e^{-x}-(2+a)x\geq0$.令$g(x)=e^x-e^{-x}-(2+a)x$，則$g'(x)=e^x+e^{-x}-(2+a)$.當(dāng)$x\geq0$時，$e^x+e^{-x}\geq2$，若$2+a\leq2$，即$a\leq0$，則$g'(x)\geq0$，因此函數(shù)$g(x)$在$[0,+\infty)$上單調(diào)遞增，所以$g(x)\geqg(0)=0$，即$f(x)\geqax$恒成立；若$2+a>2$，即$a>0$，令$g'(x)=0$，得$e^x+e^{-x}=2+a$，即$e^{2x}-(2+a)e^x+1=0$，解得$e^x=\frac{(2+a)\pm\sqrt{(2+a)^2-4}}{2}$，因為$e^x>0$，所以$e^x=\frac{(2+a)+\sqrt{(2+a)^2-4}}{2}$，即$x=\ln\frac{(2+a)+\sqrt{(2+a)^2-4}}{2}$.當(dāng)$0<x<\ln\frac{(2+a)+\sqrt{(2+a)^2-4}}{2}$時，$g'(x)<0$，函數(shù)$g(x)$單調(diào)遞減，因此$g(x)<g(0)=0$，即$f(x)<ax$，不滿足題意.綜上，實數(shù)$a$的取值范圍是$(-\infty,0]$.解：（1）由題意，得$\begin{cases}8x+6y\leq100\x\geq0,y\geq0\x,y\inN\end{cases}$.（2）設(shè)該公司每年創(chuàng)造的利潤為$z$萬元，則$z=3x+2y$.作出可行域如圖所示（此處省略作圖過程），由$\begin{cases}8x+6y=100\y=0\end{cases}$，得$\begin{cases}x=12.5\y=0\end{cases}$；由$\begin{cases}8x+6y=100\x=0\end{cases}$，得$\begin{cases}x=0\y=\frac{50}{3}\approx16.67\end{cases}$.平移直線$z=3x+2y$，當(dāng)直線經(jīng)過點$(10,3)$時（注：需驗證整數(shù)解，$8\times10+6\times3=98\leq100$），$z$取得最大值，此時$z=3\times10+2\times3=36$；當(dāng)經(jīng)過點$(12,0)$時，$z=3\times12+2\times0=36$；當(dāng)經(jīng)過點$(0,16)$時，$z=3\times0+2\times16=32$.因此該公司購買甲型設(shè)備10臺、乙型設(shè)備3臺或甲型設(shè)備12臺、乙型設(shè)備0臺時，每年創(chuàng)造的利潤最大，最大利潤是36萬元.解：（1）要使函數(shù)$f(x)=\log_a(ax^2-x+\frac{1}{2})$在區(qū)間$[1,2]$上恒有意義，需滿足對任意$x\in[1,2]$，$ax^2-x+\frac{1}{2}>0$恒成立，即$a>\frac{x-\frac{1}{2}}{x^2}=\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}$恒成立.令$t=\