專題17等腰三角形與直角三角形（9大考點(diǎn)，精選45題）考點(diǎn)概覽考點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)考點(diǎn)2等腰三角形的判定考點(diǎn)3等腰三角形的性質(zhì)與判定考點(diǎn)4等邊三角形的性質(zhì)考點(diǎn)5等邊三角形的判定考點(diǎn)6等邊三角形的性質(zhì)與判定考點(diǎn)7直角三角形的性質(zhì)考點(diǎn)8直角三角形斜邊的中線考點(diǎn)9三角形綜合問(wèn)題考點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)1．（2025·陜西·中考真題）如圖，在中，，，為邊上的中線，，則圖中與互余的角共有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】該題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，根據(jù)等邊對(duì)等角得出，再結(jié)合根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，最后根據(jù)余角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵在中，，，∴，∵為邊上的中線，∴，∴，∵，∴，∴圖中與互余的角是，共有4個(gè)，故選：C．2．（2025·安徽·中考真題）如圖，在中，，，邊的中點(diǎn)為D，邊上的點(diǎn)E滿足．若，則的長(zhǎng)是（

）A． B．6 C． D．3【答案】B【分析】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)、含角的直角三角形性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握這些性質(zhì)定理，通過(guò)設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理建立方程求解是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出的度數(shù)，再利用中點(diǎn)得到線段關(guān)系，最后在中，結(jié)合含角的直角三角形性質(zhì)及勾股定理求出的長(zhǎng)．【詳解】解：∵在中，，，．是中點(diǎn)，∴設(shè)，則．∵，是直角三角形，且，，∵，則．在中，根據(jù)勾股定理，∴，，，解得（）．，．故選：．3．（2025·浙江·中考真題）如圖，在中，是斜邊上的中線，以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，與的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E．若，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查求弧長(zhǎng)，斜邊上的中線，根據(jù)斜邊上的中線求出得到，進(jìn)而得到，三角形的外角得到的度數(shù)，作圖可知，等邊對(duì)等角求出的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，是斜邊上的中線，，∴，∴，∴，由作圖可知，∴，∴，∴的長(zhǎng)為；故選B．4．（2025·四川涼山·中考真題）如圖，，點(diǎn)E在上，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，等邊對(duì)等角，先證明，再利用可證明得到，利用三角形內(nèi)角和定理可證明，據(jù)此根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理可求出答案．【詳解】解：∵，∴，即，在和中，，∴，∴；如圖所示，設(shè)交于O，∵，，，∴，∵，，∴，故選：C．5．（2025·四川廣安·中考真題）如圖，在等腰中，，，D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為．【答案】【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短，由勾股定理可得，由垂線段最短可得，當(dāng)時(shí)，有最小值，則此時(shí)點(diǎn)D為的中點(diǎn)，則由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得．【詳解】解：∵在等腰中，，，∴，由垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，∵，∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴此時(shí)，故答案為：．6．（2025·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在中，，以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線交于點(diǎn)D．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了角平分線、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟記相關(guān)結(jié)論即可.（1）由題意得，根據(jù)是的角平分線即可求解；（2）求出，得到；求出．．推出．即可求解；【詳解】（1）解：，．由作圖可知，是的角平分線，．（2）解：在中，由三角形內(nèi)角和定理得，，，在中，，．．．．，．考點(diǎn)2等腰三角形的判定7．（2025·吉林·中考真題）如圖，在中，．尺規(guī)作圖操作如下：（1）以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交邊于點(diǎn)M，N；（2）以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交邊于點(diǎn)；再以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，與前一條以點(diǎn)C為圓心的弧相交于三角形內(nèi)部的點(diǎn)；（3）過(guò)點(diǎn)畫射線交邊于點(diǎn)D．下列結(jié)論錯(cuò)誤的為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了等角對(duì)等邊，三角形內(nèi)角和定理，大角對(duì)等邊，作與已知角相等的角的尺規(guī)作圖，由作圖方法可得，則由三角形內(nèi)角和定理和等邊對(duì)等角得到，，由大角對(duì)大邊得到，再由可得．【詳解】解：由作圖方法可得，故A結(jié)論正確，不符合題意；∴，，故B、C結(jié)論都正確，不符合題意；∵，∴，∵，∴，故D結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．8．（2025·四川自貢·中考真題）如圖，，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，先證明，結(jié)合，，證明即可.【詳解】證明：∵，∴，∵，，∴，∴.9．（2025·吉林長(zhǎng)春·中考真題）圖①、圖②、圖③均是的網(wǎng)格，其中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)相等的正方形，其頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．只用無(wú)刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作，使的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(1)在圖①中，是面積最大的等腰三角形；(2)在圖②中，是面積最大的直角三角形；(3)在圖③中，是面積最大的等腰直角三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題主要考查了格點(diǎn)作圖，勾股定理及其逆定理，網(wǎng)格中求三角形面積，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)面積最大，且為等腰三角形，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上；（2）根據(jù)面積最大，且為直角三角形，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上；（3）作個(gè)腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，順次連接A、B、C，則即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解；如圖所示，即為所求；（3）解：如圖所示，即為所求．10．（2025·江蘇揚(yáng)州·中考真題）在如圖的房屋人字梁架中，，點(diǎn)在上，下列條件不能說(shuō)明的是（

）A． B． C． D．平分【答案】B【分析】本題考查三線合一，根據(jù)三線合一，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，∵點(diǎn)在上，∴，∴，∴；故選項(xiàng)A不符合題意；∵，∴，不能得到；故選項(xiàng)B符合題意；∵，∴當(dāng)或平分時(shí)，；故選項(xiàng)C，D均不符合題意；故選B考點(diǎn)3等腰三角形的性質(zhì)與判定11．（2025·甘肅平?jīng)觥ぶ锌颊骖}）如圖1，在等腰直角三角形中，，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)；動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，的面積為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為（

）A．2 B．2.5 C． D．4【答案】A【分析】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖象得到信息，三角形中位線，等腰直角三角形的性質(zhì)，得到當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，的面積最大是解題的關(guān)鍵；根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡可得的面積先增大再減小，可得當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，的面積最大為4，即可求得，再利用三角形中位線定理即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊方向勻速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的面積先增大再減小，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，的面積最大，根據(jù)函數(shù)圖象可得此時(shí)的面積為4，如圖，∵等腰直角三角形，，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，∵點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，∴；故選：A.12．（2025·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上（與點(diǎn)，不重合），四邊形為正方形，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中結(jié)論正確的序號(hào)是（

）A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④【答案】C【分析】由正方形的性質(zhì)得出，證出，由證明，得出，①正確；證明四邊形是矩形，得出，②正確；由等腰直角三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得出，③正確；證出，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，得出，④正確．【詳解】解：∵四邊形為正方形，，，，，，在和中，，，∴，故①正確；，，，，∴四邊形是矩形，，∴，∴，故②正確；，∴，故③正確；∵，∴，，，，，故④正確；∴正確的有①②③④．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)等知識(shí)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．13．（2025·四川廣安·中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：（1）以點(diǎn)A為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)D；（2）分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)F；（3）畫射線交于點(diǎn)E．若，，，則的長(zhǎng)為．【答案】12【分析】本題考查了尺規(guī)作線段的垂線、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，讀懂作圖信息、熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵；易得，連接，如圖，據(jù)題意可得：，垂直平分，可得，，證明，再利用勾股定理即可求出答案.【詳解】解：∵，，∴,連接，如圖，據(jù)題意可得：，垂直平分，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，則在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得；故答案為：12.14．（2025·河南·中考真題）定義：有兩個(gè)內(nèi)角的差為的三角形叫做“反直角三角形”．如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，若為“反直角三角形”，則的長(zhǎng)為．【答案】或【分析】題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，理解“反直角三角形”的定義，利用分類討論的思想解決問(wèn)題是關(guān)鍵．分情況討論：①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)得到，證明，得到，即可求出的長(zhǎng)；②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由等角對(duì)等邊得到，再證明，設(shè)，進(jìn)而得出，，根據(jù)求出的值，即可求出的長(zhǎng)；③當(dāng)時(shí)，利用銳角三角函數(shù)，得出，，即此種情況不存在；④當(dāng)時(shí)，同③理可證，此種情況不存在；即可得解．【詳解】解：，，，，，若為“反直角三角形”，①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，；②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，；③當(dāng)時(shí)，，，且，，，若，則，即，此種情況不存在；④當(dāng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，此時(shí)，同③理可證，此種情況不存在；綜上可知，的長(zhǎng)為或，故答案為：或．15．（2025·山西·中考真題）如圖，在四邊形中，，，，，點(diǎn)在邊上，，連接，且．點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接若，則線段的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，則，由三線合一性質(zhì)可得，然后證明四邊形是矩形，所以，，又，則可證，所以，求出，然后通過(guò)平行線的性質(zhì)和等角對(duì)等邊可得，設(shè)，則，，最后通過(guò)勾股定理求出的值即可，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，則，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，由勾股定理得：，∴，解得：，即，∴，故答案為：．16．（2025·河北·中考真題）如圖．四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，點(diǎn)在上，．(1)求證：；(2)若，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)；（1）先證明，結(jié)合，，即可得到結(jié)論；（2）先證明，結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】（1）證明：∵，∴，即，又∵，，∴；（2）證明：∵，∴，∵，∴，即.考點(diǎn)4等邊三角形的性質(zhì)17．（2025·廣西·中考真題）如圖，點(diǎn)在同側(cè)，，則．

【答案】/【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定以及勾股定理，過(guò)點(diǎn)作垂線交于點(diǎn)，先證明，得到，證明在同一線上，根據(jù)勾股定理得到，最后通過(guò)線段和和差即可求．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作垂線交于點(diǎn)，即，即是的垂直平分線，∵，在同一線上，，故答案為：．

18．（2025·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在中，是線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接，以為邊，在的右側(cè)作等邊三角形，線段與線段交于點(diǎn)F，則線段長(zhǎng)度的最大值為．【答案】/0.75【分析】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，垂線段最短，過(guò)點(diǎn)作于，解得到，證明，可得，根據(jù)可知當(dāng)有最小值時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)H重合，可求出的最小值為，則的最大值為．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，在中，，∴；∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)有最小值時(shí)，有最大值，∴當(dāng)有最小值時(shí)，有最小值，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)H重合，∴的最小值為，∴的最小值為，∴的最大值為，故答案為：．19．（2025·甘肅平?jīng)觥ぶ锌颊骖}）如圖，把平行四邊形紙片沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)E，此時(shí)恰為等邊三角形，若，則cm．【答案】12【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可得，結(jié)合三角形的外角性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，再利用30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得解．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，∵折疊，∴，∵是平行四邊形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：12．20．（2025·四川德陽(yáng)·中考真題）等寬曲線是指在任何方向上的直徑都相等的一種幾何圖形，它在我們的日常生活中應(yīng)用比較廣泛，例如可以利用等寬曲線設(shè)計(jì)自行車的車輪等．如圖，分別以等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫弧，得到的封閉圖形就是等寬曲線（圖中陰影部分），如果，那么這個(gè)等寬曲線的周長(zhǎng)是．【答案】【分析】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，等邊三角形的性質(zhì)，利用弧長(zhǎng)計(jì)算公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∴，∴這個(gè)等寬曲線的周長(zhǎng)為．故答案為：考點(diǎn)5等邊三角形的判定21．（2025·北京·中考真題）如圖，，點(diǎn)A在射線上，以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)B．若分別以點(diǎn)A，B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于點(diǎn)C，連接，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．連接，則由作圖可得，那么為等邊三角形，可證明，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖，連接，由作圖可得，，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，，∴，故選：B．22．（2025·貴州·中考真題）如圖，在中，，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)作圖得到，進(jìn)而推出為等邊三角形，得到，再根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：根據(jù)作圖可知：，∵，∴為等邊三角形，∴，∴；故選D．23．（2025·黑龍江綏化·中考真題）一個(gè)矩形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為10，兩條對(duì)角線的一個(gè)交角為，則這個(gè)矩形的面積是（

）A．25 B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確畫出圖形并靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．如圖：根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等求出，然后判斷出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，再利用勾股定理列式求出，然后根據(jù)矩形的面積公式求解即可．【詳解】解：如圖，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，由勾股定理得，，∴矩形的面積．故選：B．24．（2025·四川南充·中考真題）如圖，，在射線上取一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫??；再以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)．設(shè)，則的長(zhǎng)是．【答案】【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．先確定是等邊三角形，則，再解直角三角形即可求解．【詳解】解：連，由作圖可得，∴是等邊三角形，∴，∴，故答案為：．考點(diǎn)6等邊三角形的性質(zhì)與判定25．（2025·福建·中考真題）如圖，是等邊三角形，D是的中點(diǎn)，，垂足為C，是由沿方向平移得到的．已知過(guò)點(diǎn)A，交于點(diǎn)G．(1)求的大??；(2)求證：是等邊三角形．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、平移的基本性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間觀念、幾何直觀與推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．（1）等邊三角形的性質(zhì)推出，垂直，得到，角的和差關(guān)系求出的大小即可；（2）平移得到，進(jìn)而得到，角的和差關(guān)系推出，進(jìn)而得到，根據(jù)，推出垂直平分，進(jìn)而得到，推出，進(jìn)而得到是等邊三角形即可．【詳解】（1）解：是等邊三角形，．D是的中點(diǎn)，．，，．（2）由平移可知：，，又，，∴，又，垂直平分，，由（1）知，，，，是等邊三角形．26．（2025·浙江·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)O在邊上，以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑的半圓，交于點(diǎn)D，與相切于點(diǎn)E，連接(1)求證：．(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊對(duì)等角導(dǎo)角得到，再結(jié)合圓的切線性質(zhì)得到，即可證明垂直；（2）先得到是等邊三角形，則，解求出，根據(jù)，求出，再由梯形面積公式求解．【詳解】（1）證明：由題意得，∴，∵，∴，∴，∴，∵以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑的半圓與相切于點(diǎn)E，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴四邊形的面積為：．考點(diǎn)7直角三角形的性質(zhì)27．（2025·江蘇蘇州·中考真題）如圖，，以O(shè)為圓心，2為半徑畫弧，分別交于兩點(diǎn)，再分別以為圓心，為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部相交于點(diǎn)C，作射線，連接，則．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】本題考查了求角的正切值、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的判定等知識(shí)，熟練掌握角的正切的定義是解題關(guān)鍵．連接，交于點(diǎn)，先得出垂直平分，再證出是等邊三角形，則可得，然后利用勾股定理可得，最后根據(jù)角的正切的定義求解即可得．【詳解】解：如圖，連接，交于點(diǎn)，由題意得：，，∴垂直平分，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴在中，，故答案為：．28．（2025·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在菱形中，，垂足為E，交于點(diǎn)F，．若，則．【答案】4【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，得，又結(jié)合，，得出是等邊三角形，就可以得知和都是含的直角三角形，解出三角形，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：連接，，，，垂直平分，，菱形，，是等邊三角形，，，，，，．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形，熟練掌握這些性質(zhì)定理是關(guān)鍵．29．（2025·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為4，中心為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圓心角為的扇形，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】連接、、，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)M，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出，，，證明和為等邊三角形，求出，證明，得出，得出，根據(jù)求出結(jié)果即可．【詳解】解：連接、、，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)M，如圖所示：∵六邊形為正六邊形，∴，，，∴和為等邊三角形，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積計(jì)算，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正六邊形的性質(zhì)．30．（2025·四川達(dá)州·中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題提出：探究圖形中線段之間的數(shù)量關(guān)系，通常將一個(gè)圖形分割成幾個(gè)圖形，根據(jù)面積不變，獲得線段之間的數(shù)量關(guān)系．探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，是邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，于，過(guò)點(diǎn)作于．連結(jié)，由圖形面積分割法得：______；則____________．實(shí)踐應(yīng)用：如圖2，是等邊三角形，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連結(jié)．將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連結(jié)交于，過(guò)點(diǎn)作于，于，當(dāng)時(shí)，求的值．拓展延伸：如圖3，已知是半圓的直徑，，是弦，，是上一點(diǎn)，，垂足為，，求的值．【答案】探究發(fā)現(xiàn)：，；實(shí)踐應(yīng)用：；拓展延伸：【分析】探究發(fā)現(xiàn)：圖形面積分割法得出，根據(jù)得出；實(shí)踐應(yīng)用：過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理分別求得，，進(jìn)而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得是等邊三角形，同理求得的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，即可求解；拓展延伸：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)圓周角定理，得出，在，中，根據(jù)勾股定理，求得，進(jìn)而根據(jù)弧與圓周角的關(guān)系，得出，根據(jù)前面的結(jié)論，即可求解．【詳解】解：探究發(fā)現(xiàn)：∵，，∴，∴，∵，∴；故答案為：，，；．實(shí)踐應(yīng)用：如圖，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，∵是等邊三角形，，∴，∵，∴，，∴，∵，則，∴，在中，．∵將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，∴∴是等邊三角形，∴，則，∴由探究發(fā)現(xiàn)可得：．拓展延伸：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，設(shè)，∵是半圓的直徑，∴，∵，在中，，在中，，∴，解得：，∴，∴，∴，∴，∴．∴由探究發(fā)現(xiàn)可得：，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，點(diǎn)到直線的距離，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，弧與圓周角的關(guān)系，熟練掌握等面積法求線段長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)8直角三角形斜邊的中線31．（2025·江蘇連云港·中考真題）如圖，在中，，，平分，，E為垂足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解直角三角形，設(shè)，根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)，得到，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合同高三角形的面積比等于底邊比，得到，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，勾股定理求出的長(zhǎng)，等角的正弦值相等，得到，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：∵，，∴，設(shè)，則：，∵平分，，∴點(diǎn)到的距離相等均為的長(zhǎng)，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即：，∴，∴；故選：A．32．（2025·甘肅蘭州·中考真題）如圖，四邊形是矩形，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，連接交對(duì)角線于點(diǎn)P．若P為的中點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角．根據(jù)矩形的性質(zhì)求得，利用斜邊中線的性質(zhì)求得，求得，利用三角形內(nèi)角和定理以及對(duì)頂角相等即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∵，P為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，故選：C．33．（2025·四川成都·中考真題）正六邊形的邊長(zhǎng)為1，則對(duì)角線的長(zhǎng)為．【答案】2【分析】本題考查正多邊形的內(nèi)角，等邊對(duì)等角，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，如解圖，連接，求出正六邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，等邊對(duì)等角，求出的度數(shù)，進(jìn)而推出為含30度角的直角三角形，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：連接，∵正六邊形，∴，，∴，∴，∵正六邊形為軸對(duì)稱圖形，∴，∴，∴；故答案為：2．34．（2025·北京·中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)E在邊上，，垂足為F．若，，則的面積為．【答案】/0.375【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)F分別作，垂足為M，N，連接，則，先根據(jù)平行線間的距離處處相等得出，繼而得出，通過(guò)解直角三角形得出，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)F分別作，垂足為M，N，連接，則，∵四邊形為正方形，∴，∴，∴，∴，∵,∴，∵，垂足為F，，，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．考點(diǎn)9三角形綜合問(wèn)題35．（2025·遼寧·中考真題）（1）如圖1，在與中，與相交于點(diǎn)，，求證：；（2）如圖2，將圖1中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，與相交于點(diǎn)：若，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，連接，求的面積．【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）利用等邊對(duì)等角求得，再利用證明即可；（2）由題意得，得到，，，作于點(diǎn)，利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得，，證明，推出，利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可求解；（3）設(shè)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，則，利用三角形內(nèi)角和定理以及平角的性質(zhì)求得，，推出，求得，作于點(diǎn)，求得，再求得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴，即，∵，，∴；（2）∵，即，∴，，，作于點(diǎn)，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴；（3）設(shè)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，則，∵，，，∴，，∴，∵，∴，∴，作于點(diǎn)，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，即，∴．36．（2024·青海西寧·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而證明得，再證明，然后由平行四邊形的判定定理即可證明結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得，設(shè)，則，再由含角的直角三角形的性質(zhì)得，然后由勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）證明：，，（等邊對(duì)等角）．，，（兩直線平行，同位角相等）．，（等角對(duì)等邊）．，．又，四邊形是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．（2）解：設(shè)，，在中，，（在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）．（勾股定理），，解得，（舍去），．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵．37．（2025·北京·中考真題）在中，，，點(diǎn)在射線上，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段（點(diǎn)不在直線上），過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．(1)如圖1，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)，都在的延長(zhǎng)線上，用等式表示與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)，得出，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，，進(jìn)而證明四邊形是平行四邊形，得出，；即可得證；（2）在上取一點(diǎn)，使得，證明得出，，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，根據(jù)等角對(duì)等邊可得，則，根據(jù)三線合一可得，進(jìn)而根據(jù)，即可得證．【詳解】（1）證明：∵，∴∵線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，點(diǎn)與點(diǎn)重合∴，，∴，∴∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴；（2），證明：如圖，在上取一點(diǎn)，使得∵∴∴，∴∵將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴∴∴∴∴，又∵∴∵，∴∴∴∴∵，∴∴38．（2025·廣東深圳·中考真題）綜合與探究【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，小軍用兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板拼接成一個(gè)四邊形．【抽象定義】以等腰三角形為邊向外作等腰三角形，使該邊所對(duì)的角等于原等腰三角形的頂角，此時(shí)該四邊形稱為“雙等四邊形”，原等腰三角形稱為四邊形的“伴隨三角形”．如圖2，在中，，，．此時(shí)，四邊形是“雙等四邊形”，是“伴隨三角形”．【問(wèn)題解決】如圖3，在四邊形中，，，．求：①與的位置關(guān)系為：__________：②_____．（填“>”，“”或“”）【方法應(yīng)用】①如圖4，若，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)恰好落在邊上，求證：四邊形是雙等四邊形．②如圖5，在等腰三角形中，，，，在平面內(nèi)找一點(diǎn)，使四邊形是以為伴隨三角形的雙等四邊形，若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】問(wèn)題解決：①互相平行；②=；【方法應(yīng)用】①見解析；②或或【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．問(wèn)題解決：①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，從而可得；②證明得出，即，由可得結(jié)論；方法應(yīng)用：①根據(jù)雙等四邊形的定義進(jìn)行證明；②分，或，或，三種情況討論求解即可．【詳解】解：[問(wèn)題解決]①∵，∴，∴，∴；②∵，，∴，，，，；故答案為：①平行；②＝；方法應(yīng)用：①為旋轉(zhuǎn)得到，，令，則，，，由旋轉(zhuǎn)得，，又，∴，，，，四邊形為雙等四邊形；②作于點(diǎn)，，，，，設(shè)，則：，在中，，即，解得：，，，若，時(shí)，，若，時(shí)，，作于點(diǎn)，∴，，，若，時(shí)，如圖，，，，，．綜上所述：滿足條件時(shí)，或或．39．（2025·上?！ぶ锌颊骖}）小明正在進(jìn)行探究活動(dòng)：分割梯形并將其拼成等腰三角形，請(qǐng)你幫他一起探究．(1)如圖（1）所示，在梯形中，，．設(shè)為邊中點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)的位置，得到的是等腰三角形，其中，設(shè)，求邊的長(zhǎng)（用表示）；(2)如圖（2）所示，已知梯形中，，且，．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種方案，用一條或兩條直線將梯形分割，并使得分割成的幾個(gè)部分可以通過(guò)圖形運(yùn)動(dòng)拼成與剩余部分不重疊無(wú)縫隙的等腰三角形．請(qǐng)寫出兩腰的線段，以及這兩條或一條直線與梯形的交點(diǎn)的位置．（模仿（1）中的論述語(yǔ)言：為邊中點(diǎn)，是梯形的頂點(diǎn)）．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查了變換：