專題4.6角中常用數(shù)學(xué)思想【八大題型】 【滬科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1方程思想之用角的和差列方程】 1【題型2方程思想之用平角、周角列方程】 5【題型3整體思想之設(shè)單角參數(shù)求角度】 10【題型4整體思想之設(shè)雙角參數(shù)求角度】 18【題型5分類討論思想之按角的內(nèi)外部分類】 25【題型6分類討論思想之按順逆時(shí)針分類】 29【題型7分類討論思想之n等分角】 39【題型8數(shù)形結(jié)合求角度】 44知識(shí)點(diǎn)1：角的和差列方程結(jié)論:∠ABE=∠ABC+∠CBD+∠DBE.【題型1方程思想之用角的和差列方程】【例1】（23-24七年級(jí)·山東淄博·期中）已知點(diǎn)O是直線AB上的一點(diǎn)，OC，OE，OF是三條射線，∠COE(1)當(dāng)∠AOC①若射線OC，OE，OF在直線AB的同側(cè)（圖1），②根據(jù)①中的結(jié)果，猜想∠BOE和∠COF的數(shù)量關(guān)系是③當(dāng)OC與OE，OF在直線AB兩旁時(shí)（如圖2），設(shè)∠COF=x，請(qǐng)通過計(jì)算，用x(2)當(dāng)∠AOC>90°，OC與OE，OF在直線AB兩旁時(shí)（如圖3），上述∠BOE和∠COF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)仿照【答案】(1)①50°；②∠BOE=2∠COF(2)∠BOE【分析】（1）①根據(jù)已知角的度數(shù)求出∠EOF，∠AOE，再根據(jù)平角定義求出∠BOE的度數(shù)即可；②由①中求出的結(jié)果即可求解；③根據(jù)已知角的度數(shù)表示出∠EOF，（2）依據(jù)前面③的方法表示出∠EOF，∠AOE，表示出∠BOE，可得本題考查了角的和差，角平分線的定義，正確認(rèn)圖是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：①∵∠COE=90°，∴∠EOF∵OF是∠AOE∴∠AOE=2∠∴∠BOE②由①中的結(jié)果可得∠BOE故答案為：∠BOE③②中的關(guān)系仍然成立，理由如下：∵∠COE=90°，∴∠EOF∵OF是∠AOE∴∠AOE∴∠BOE即∠BOE（2）解：不成立，∠BOE和∠COF的數(shù)量關(guān)系為證明：設(shè)∠COF∵∠COE=90°，∴∠EOF∵OF是∠AOE∴∠AOE∴∠BOE即∠BOE【變式1-1】（23-24七年級(jí)·重慶·期末）如圖，將一副三角尺疊放在一起，使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O，若∠COB=3∠AOD，OE為∠AOD的角平分線，則A．45° B．60° C．65° D．67.5°【答案】D【分析】本題考查了三角板中的角度計(jì)算和角平分線的定義，找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．設(shè)∠AOD=x，則∠COB=3x，得到∠BOC=180°-x【詳解】解：設(shè)∠AOD=x由題意可知，∠AOB∴∠BOC∴180°-解得，x=45°∴∠AOD∵OE為∠AOD∴∠DOE∴∠故選：D．【變式1-2】（23-24七年級(jí)·重慶開州·期末）如圖，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠CODA．40° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】設(shè)∠COB=2∠AOC=2x，則∠AOB=3x，根據(jù)角平分線的定義可以推出【詳解】解：∵∠COB=2∠AOC，OD平分∠∴設(shè)∠COB=2∠AOC∴∠∴∠COD∴0.5x解得：x=40°∴∠AOD故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是角度計(jì)算，涉及到角平分線的定義以及方程思想，熟練掌握角平分線的定義并靈活運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（23-24七年級(jí)·甘肅慶陽·期末）如圖，∠AOB:∠BOC:∠COD=2:3:4，射線OM，ON分別平分∠AOB，∠A．14° B．28° C．42° D．56°【答案】B【分析】本題主要考查角平分線的定義，角的和差倍分，設(shè)未知數(shù)，列出一元一次方程，是解題的關(guān)鍵．首先設(shè)設(shè)∠AOB=2x°，則∠BOC【詳解】解：∵∠AOB設(shè)∠AOB=2x°，則∵射線OM、ON分別平分∠AOB，∠∴∠BOM=1又∵∠MON∴x+3x+2∴∠AOB故選：B．知識(shí)點(diǎn)2：用平角、周角列方程條件:A,B,C三點(diǎn)共線結(jié)論:∠ABD+∠DBC=180°條件:已知射線OA,OB,OC.結(jié)論:∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°【題型2方程思想之用平角、周角列方程】【例2】（23-24七年級(jí)·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥OF，OF平分∠BOD，∠BOF:∠A．45° B．55° C．60° D．65°【答案】C【分析】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計(jì)算，明確題意，準(zhǔn)確得到角與角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵；根據(jù)∠BOF:∠BOC=1:4，設(shè)∠BOF【詳解】解：設(shè)∠BOF=x∵OF平分∠BOD∴∠BOD因?yàn)椤螧OD∴2x解得：x=30所以∠BOF∵OE⊥∴∠EOF∴∠BOE故選：C．【變式2-1】（23-24七年級(jí)·江蘇南京·期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，若∠【答案】132【分析】此題考查了角平分線的定義，平角的定義，垂直的定義，準(zhǔn)確識(shí)圖，理解角平分線的定義，平角的定義，垂直的定義是解決問題的關(guān)鍵．設(shè)∠AOE=α，∠BOF=β，根據(jù)∠AOE+∠BOF=66°，得β=66°-α，再根據(jù)角平分線的定義得∠DOB【詳解】解：設(shè)∠AOE=α∵∠AOE∴α+∴β=66°-∵OF平分∠BOD∴∠DOF∴∠DOB∵OE⊥∴∠EOD∵∠AOE∴α+90°+2∴α+2∴α+2解得：α=42°即∠AOE∴∠AOD∴∠BOC故答案為：132．【變式2-2】（23-24七年級(jí)·湖北恩施·期末）已知∠AOB和∠BOC互為鄰補(bǔ)角，OD平分∠BOC，射線OE在∠AOB內(nèi)部，且4∠BOE+∠BOC=180°【答案】115°或【分析】本題主要考查了垂線，角平分線的定義，鄰補(bǔ)角的定義，根據(jù)等量關(guān)系，利用方程思想求得∠BOE的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．分兩種情況進(jìn)行討論：OM在AC上方，或OM在AC下方，先依據(jù)已知條件求得∠BOE的度數(shù)，再根據(jù)【詳解】解：分兩種情況進(jìn)行討論：①如圖1所示，若OM在AC上方，∵OD平分∠BOC∴∠COD∵4∠BOE∴∠AOB=4∠BOE設(shè)∠BOE=α，則∠∵∠AOC∴∠AOE即3α解得α=25°∴∠BOE又∵OM∴∠MOB∴∠MOE②如圖2所示，若OM在AC下方，同理可得，∠BOE又∵OM∴∠MOB∴∠MOE綜上所述，∠MOE的度數(shù)為115°或65°故答案為：115°或65°．【變式2-3】（23-24七年級(jí)·安徽蚌埠·期末）如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)O,∠AOC=∠BOD，∠EOF=∠COG=90°,OA平分∠A．45° B．60° C．72°或45° D．40°或60°【答案】C【分析】設(shè)∠DOE=x°，∠BOD=2x°或12x°【詳解】解：設(shè)∠DOE=x°，射線OD將∠BOE分成了角度數(shù)之比為2:1當(dāng)∠DOE:∠BOD=2:1時(shí)，∠BOD=12x°，∠AOC=∠BOD∵OA平分∠COF∴∠AOC=∠AOF=∵∠EOF=∠∴12x+12解得，x=45；∠COF=2∠AOC=45°；當(dāng)∠BOD:∠DOE=2:1時(shí)，∠BOD=2x°，∠AOC=∠同理，∠AOC=∠2x+2x+90+x=180，解得：x=18，∠COF=2∠AOC=72°；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角的運(yùn)算、角的度量和角平分線，解題關(guān)鍵是根據(jù)角度比設(shè)未知數(shù)，表示出其他角，然后根據(jù)平角列方程，注意分類討論．【題型3整體思想之設(shè)單角參數(shù)求角度】【例3】（23-24七年級(jí)·福建福州·期末）已知∠AOB=120°，OC、OD是過點(diǎn)O的射線，射線OM、ON分別平分∠AOC和∠(1)如圖①，若OC、OD是∠AOB的三等分線，則∠MON(2)如圖②，若∠COD=40°，∠AOC(3)如圖③，在∠AOB內(nèi)，若∠COD=α(4)將（3）中的∠COD繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到∠AOB的外部（0<∠AOC<180°，0<∠BOD<180°【答案】(1)80(2)80(3)(60+(4)∠MON=120°-【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠AOC=∠COD=∠DOB=1（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠MOC=12∠AOC，∠DON（3）與（2）一樣得到∠AOC+∠DOB=120°-α（4）反向延長OA、OB得到OA'、OB'，然后分類討論：當(dāng)OD、OC在∠AOB'內(nèi)部；當(dāng)OD、OC在當(dāng)OD、OC在∠A'OB內(nèi)部，可計(jì)算得到∠MON=60°+12α；當(dāng)【詳解】（1）解：∵OC、OD是∠∴∠AOC∵射線OM、ON分別平分∠ACO和∠∴∠MOC=1∴∠MON故答案為80；（2）解：∵射線OM、ON分別平分∠ACO和∠∴∠MOC=1∴∠MOC∵∠AOB=120°，∴∠∴∠MOC∴∠MON故答案為80；（3）解：∵射線OM、ON分別平分∠AOC和∠∴∠MOC=12∠AOC∴∠MOC+∠DON=1∵∠AOB=120°，∠COD=α，∴∠AOC+∠DOB=120°-α，∴∠MOC+∠DON=60°-1∴∠MON=60°-1故答案為(60+1（4）解：反向延長OA、OB得到OA'、OB'，如圖，當(dāng)OD、OC在∠AOB'內(nèi)部，設(shè)∠AOD=x，則∠AOC=α+x，∴∠MOC=12∠AOC=∴∠MON=∠BOC-∠COD-∠BON=120°+α+x-1當(dāng)OD、OC在∠A'OB'內(nèi)部，可計(jì)算得到∠MON=120°-1當(dāng)OD、OC在∠A'OB內(nèi)部，可計(jì)算得到∠MON=60°+1當(dāng)OD、OC在∠A'OB'內(nèi)部，可計(jì)算得到∠MON=120°-1【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，也考查了角平分線的定義，熟練掌握角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（23-24七年級(jí)·四川成都·開學(xué)考試）已知∠AOB=110°，∠COD=40°．OE平分∠AOC(1)如圖①，當(dāng)OB，OC重合時(shí)，求(2)當(dāng)∠COD從圖①所示位置繞點(diǎn)O以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)t秒（0<t<10）；在旋轉(zhuǎn)過程中∠【答案】(1)35°；(2)不變，∠AOE【分析】本題考查了角度的計(jì)算以及角的平分線的定義，理解角度之間的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．∠AOE-∠BOF的值是定值，（1）首先根據(jù)角平分線的定義求得∠AOE=1（2）首先由題意可得∠BOC=3t°，再根據(jù)角平分線的定義得出【詳解】（1）解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠∴∠AOE=1∴∠AOE（2）解：∠AOE由題意：∠BOC則∠AOC=∠AOB∵OE平分∠AOC，OF平分∠∴∠AOE∠BOF∠AOE∴∠AOE-∠BOF【變式3-2】（23-24七年級(jí)·湖北武漢·期末）已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE，OF分別平分∠AOD，∠BOD．(1)如圖1，當(dāng)OA，OC重合時(shí)，求∠EOF的度數(shù)；(2)若將∠COD的從圖1的位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角∠AOC＝α，且0°＜α＜90°.①如圖2，試判斷∠BOF與∠COE之間滿足的數(shù)量關(guān)系并說明理由.②在∠COD旋轉(zhuǎn)過程中，請(qǐng)直接寫出∠BOE，∠COF，∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)∠EOF=50°；(2)①∠BOF+∠COE＝90°；理由見解析；②∠COF+∠AOC﹣∠BOE＝30°.【分析】(1)由題意得出∠AOD＝∠COD＝40°，∠BOD＝∠AOB+∠COD＝140°，由角平分線定義得出∠EOD＝12∠AOD＝20°，∠DOF＝12∠BOD＝(2)①由角平分線定義得出∠EOD＝∠AOE＝12∠AOD＝20°+12α，∠BOF＝12∠BOD＝70°+12α，求出∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝20°②由①得∠EOD＝∠AOE＝20°+12α，∠DOF＝∠BOF＝70°+12當(dāng)∠AOC＜40°時(shí)，求出∠COF＝∠DOF﹣∠COD＝30°+12α，∠BOE＝∠BOD﹣∠EOD＝∠AOB+∠COD+α﹣∠EOD＝120°+12當(dāng)40°＜∠AOC＜90°時(shí)，求出∠COF＝∠DOF+∠DOC＝150°﹣12α，∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝120°+12【詳解】解：(1)∵OA，OC重合，∴∠AOD＝∠COD＝40°，∠BOD＝∠AOB+∠COD＝100°+40°＝140°，∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，∴∠EOD＝12∠AOD＝12×40°＝20°，∠DOF＝12∠BOD＝12∴∠EOF＝∠DOF﹣∠EOD＝70°﹣20°＝50°；(2)①∠BOF+∠COE＝90°；理由如下：∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，∴∠EOD＝∠AOE＝12∠AOD＝12(40°+α)＝20°+12α，∠BOF＝12∠BOD＝12(∠AOB+∠COD+α)＝12∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝20°+12α﹣α＝20°﹣12∴∠BOF+∠COE＝70°+12α+20°﹣12α＝②由①得：∠EOD＝∠AOE＝20°+12α，∠DOF＝∠BOF＝70°+12當(dāng)∠AOC＜40°時(shí)，如圖2所示：∠COF＝∠DOF﹣∠COD＝70°+12α﹣40°＝30°+12∠BOE＝∠BOD﹣∠EOD＝∠AOB+∠COD+α﹣∠EOD＝100°+40°+α﹣(20°+12α)＝120°+12∴∠BOE+∠COF﹣∠AOC＝120°+12α+30°+12α﹣α＝當(dāng)40°＜∠AOC＜90°時(shí)，如圖3所示：∠COF＝∠DOF+∠DOC＝12(360°﹣140°﹣α)+40°＝150°﹣12∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝140°+α﹣(20°+12α)＝120°+1∴∠COF+∠AOC﹣∠BOE＝150°﹣12α+α﹣(120°+12α綜上所述，∠BOE，∠COF，∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系為∠BOE+∠COF﹣∠AOC＝150°或∠COF+∠AOC﹣∠BOE＝30°.

【點(diǎn)睛】此題主要考查角度的求解，解題的關(guān)鍵是熟知角度的和差關(guān)系及角平分線的性質(zhì).【變式3-3】（23-24七年級(jí)·江蘇泰州·期末）（1）將一副直角三角板ABC，ADE按如圖1所示位置擺放，∠BAC=45°，∠EAD=60°．分別作∠BAE，∠CAD的平分線（2）將三角板ADE從圖1位置開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，AM、AN仍然是∠BAE，∠CAD的平分線．試求（3）將三角板ADE從圖1位置開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°0°<α<360°，AM、AN仍然是∠BAE【答案】（1）∠MAN=52.5°；（2）∠MAN=52.5°；（3）當(dāng)【分析】本題考查三角板中角度的計(jì)算，與角平分線有關(guān)的計(jì)算．找準(zhǔn)角度之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．（1）結(jié)合角平分線的定義以及∠MAN（2）設(shè)∠BAD=x°，則∠CAD（3）分0°<α<120°，120°≤α【詳解】解：（1）∵AM、AN分別平分∠BAE、∠∴∠MAE=1∴∠===52.5°；（2）設(shè)∠BAD=x°，則∵AM、AN分別平分∠BAE、∠∴∠BAM∠DAN∴∠=∠=1（3）∠MAN當(dāng)0°<α如圖，設(shè)∠CAE=x°，則∵AM、AN分別平分∠BAE、∠∴∠MAE=1∴∠=∠MAE當(dāng)120°≤α設(shè)∠BAN=x∵AM、AN分別平分∠BAE、∠∴∠BAM∠BAD∴∠=360°-=210-2∠BAE∴∠BAM∴∠MAN當(dāng)135°<α<360°時(shí)，如圖2，綜上所述，當(dāng)120°≤α≤135°時(shí)，【題型4整體思想之設(shè)雙角參數(shù)求角度】【例4】（23-24七年級(jí)·河南駐馬店·期末）如圖，O為直線AC上一點(diǎn)，OD是∠AOB的平分線，OE在∠BOC的內(nèi)部，∠BOE=1A．70° B．72° C．75° D．80°【答案】B【分析】本題考查求角度，涉及角平分線性質(zhì)、角度和差倍分關(guān)系、解方程等知識(shí)，由角平分線定義及題中條件，設(shè)∠AOD=∠BOD=α【詳解】解：∵OD是∠AOB∴∠AOD∵∠BOE∴∠DOE=∠BOD設(shè)∠AOD=∠BOD=α∴α+β∴由①-②得β=36°，即∠故選：B．【變式4-1】（23-24七年級(jí)·福建龍巖·期末）學(xué)習(xí)千萬條，思考第一條。請(qǐng)你用本學(xué)期所學(xué)知識(shí)探究以下問題：（1）已知點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，將直角三角板MON的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，并在∠MON內(nèi)部作射線OC①如圖1，三角板的一邊ON與射線OB重合，且∠AOC=150°，若以點(diǎn)O為觀察中心，射線OM表示正北方向，求射線②如圖2，將三角板放置到如圖位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON=2∠NOC（2）已知點(diǎn)A、O、B不在同一條直線上，∠AOB=α,∠BOC=β，OM平分【答案】（1）①射線OC表示的方向?yàn)楸逼珫|60°；②45°；（2）∠MON為a+β2或a【分析】（1）①根據(jù)∠MOC=∠AOC-∠AOM代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即得出射線OC表示的方向；②根據(jù)角的倍分關(guān)系以及角平分線的定義即可求解；（2）分射線OC在∠AOB內(nèi)部和外部?jī)煞N情況討論即可．【詳解】（1）∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，∴射線OC表示的方向?yàn)楸逼珫|60°；（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，∴3∠NOC+∠NOC＝90°，∴4∠NOC＝90°，∴∠BON＝2∠NOC＝45°，∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°；Ⅱ、①如圖1：∵∠AOB＝α，∠BOC＝β∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，∴∠AOM＝∠BOM＝12∠AOB＝12α，∠CON＝∠BON＝12∠COB＝∴∠MON＝∠BOM+∠CON＝a+β②如圖2，∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝a-③如圖3，∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝β-α∴∠MON為a+β2或a【點(diǎn)睛】此題考查了角的計(jì)算，余角和補(bǔ)角，本題難度較大，關(guān)鍵是熟練掌握角的和差倍分關(guān)系．【變式4-2】（23-24七年級(jí)·湖北武漢·期末）已知，∠AOB＝3∠COD，∠COD＝α，OE，OF分別平分∠AOC和∠BOD，∠COD繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)若α＝45°．①如圖1，當(dāng)∠COD旋轉(zhuǎn)到OC與OB重合時(shí)，求∠EOF的度數(shù)；②如圖2，當(dāng)∠COD從圖1的位置開始繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°，其中0＜n＜45，求∠EOF的度數(shù)；(2)若0°＜α＜60°，∠COD從圖3的位置（OC與OB重合）開始繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，則∠BOF的度數(shù)為．【答案】(1)①90°；②90°(2)2α或180°?2α．【分析】（1）①由α＝45°，OC與OB重合，OE，OF分別平分∠AOC和∠BOD，可得∠EOC＝67.5°，∠BOF＝22.5°，即得∠EOF＝∠EOC＋∠BOF＝90°；②根據(jù)∠COD從圖1的位置開始繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°，其中0＜n＜45，可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝135°＋n°，∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝n°＋45°，而OE，OF分別平分∠AOC和∠BOD，可得∠EOC，∠DOF，根據(jù)∠COF＝∠COD?∠DOF，即得∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝90°；（2）設(shè)∠COD從圖3的位置（OC與OB重合）開始繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度數(shù)是x，分三種情況：①當(dāng)∠AOB＋x≤180°時(shí)，根據(jù)∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝3α＋x，∠BOD＝∠BOC＋COD＝x＋α，OE，OF分別平分∠AOC和∠BOD，可得∠EOC，∠DOF，即得∠COF＝∠DOF?∠COD，故∠EOF＝∠EOC?∠COF＝2α，②當(dāng)∠AOB＋x＞180°而x＋∠COD≤180°時(shí)，由∠AOC＝360°?（∠AOB＋∠BOC）＝360°?3α?x，∠BOD＝∠BOC＋COD＝x＋α，OE，OF分別平分∠AOC和∠BOD，同理可得∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝180°?2α，③當(dāng)∠AOB＋x＞180°而x＋∠COD＞180°時(shí)，同理可得∠EOF＝∠DOF?∠DOE＝2α．【詳解】（1）解：①∵α＝45°，∴∠COD＝45°，∠AOB＝3α＝135°，∵OC與OB重合，∴∠BOD＝45°，∠AOC＝135°，∵OE，OF分別平分∠AOC和∠BOD，∴∠EOC＝12∠AOC＝67.5°，∠BOF＝12∠BOD＝∴∠EOF＝∠EOC＋∠BOF＝90°；②∵∠COD從圖1的位置開始繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°，其中0＜n＜45，∴∠BOC＝n°，∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝135°＋n°，∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝n°＋45°，∵OE，OF分別平分∠AOC和∠BOD，∴∠EOC＝12∠AOC＝67.5°＋12n°，∠DOF＝12∠BOD＝12n∴∠COF＝∠COD?∠DOF＝45°?（12n°＋22.5°）＝22.5°?12n∴∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝67.5°＋12n°＋22.5°?12n°＝（2）設(shè)∠COD從圖3的位置（OC與OB重合）開始繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度數(shù)是x，①當(dāng)∠AOB＋x≤180°時(shí)，如圖：∵∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝3α＋x，∠BOD＝∠BOC＋COD＝x＋α，OE，OF分別平分∠AOC和∠BOD，∴∠EOC＝12∠AOC＝32α+12x，12∴∠COF＝∠DOF?∠COD＝12x+12∴∠EOF＝∠EOC?∠COF＝32②當(dāng)∠AOB＋x＞180°而x＋∠COD≤180°時(shí)，如圖：∵∠AOC＝360°?（∠AOB＋∠BOC）＝360°?3α?x，∠BOD＝∠BOC＋COD＝x＋α，OE，OF分別平分∠AOC和∠BOD，∴∠EOC＝12∠AOC＝180°-12x-32α，∠∴∠COF＝∠DOF?∠COD＝1∴∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝180°-③當(dāng)∠AOB＋x＞180°而x＋∠COD＞180°時(shí)，如圖：∵∠AOC＝360°?（∠AOB＋∠BOC）＝360°?3α?x，∠BOD＝360°?（∠BOC＋COD）＝360°?x?α，OE，OF分別平分∠AOC和∠BOD，∴∠EOC＝12∠AOC＝180°?180°-32α-∠BOD＝180°-1∴∠DOE＝∠EOC?∠COD＝180°-3∴∠EOF＝∠DOF?∠DOE＝180°-1綜上所述，∠EOF為2α或180°?2α．故答案為：2α或180°?2α．【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)動(dòng)的角，解題的關(guān)鍵是分類畫出圖形，數(shù)形結(jié)合，利用角平分線及角的和差解決問題．【變式4-3】（23-24七年級(jí)·陜西西安·階段練習(xí)）已知射線OB，OC在∠AOD內(nèi)部，其中OB為∠AOC的三等分線，OE，OF分別平分∠BOD和【答案】84°或42°【分析】本題主要考查了角平分線和角三等分線的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．OB為∠AOC的三等分線，設(shè)∠AOC=3x，則∠BOC=x或2x，再由OF平分∠COD，設(shè)【詳解】解：∵OB為∠AOC的三等分線，設(shè)∠AOC=3x，則∠∵OF平分∠COD，設(shè)∠COD=2則∠BOD=∠BOC∵OE平分∠BOD∴∠DOE=∠BOE∴∠EOF=∠DOE∵∠EOF∴x=28°或14°∴∠AOC=3x故答案為：84°或42°．知識(shí)點(diǎn)3：按角的內(nèi)外部分類條件:已知∠AOB,射線OC,∠AOB>∠AOC.結(jié)論:當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)部時(shí),∠BOC1=∠AOB-∠AOC1；當(dāng)OC在∠AOB外部時(shí),∠BOC2=∠AOB+∠AOC2【題型5分類討論思想之按角的內(nèi)外部分類】【例5】（23-24七年級(jí)·浙江臺(tái)州·期末）已知OC是∠AOB的平分線，∠BOD=13∠COD，OE平分∠A．516α或18α B．516α或16α C【答案】A【分析】本題考查角平分線的定義，角的和與差，角的n等分線．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．分類討論：當(dāng)OD位于∠BOC內(nèi)部時(shí)和當(dāng)OD位于∠【詳解】解：如圖1，當(dāng)OD位于∠BOC∵∠AOB=α，OC∴∠COB∵∠BOD∴∠BOD=1∵OE平分∠COD∴∠EOD∴∠BOE如圖2，當(dāng)OD位于∠BOC∵∠AOB=α，OC∴∠COB∵∠BOD∴∠BOD=1∵OE平分∠COD∴∠EOD∴∠BOE綜上可知∠BOE=516故選：A．【變式5-1】（23-24七年級(jí)·江蘇南京·期末）以∠AOB的頂點(diǎn)O為端點(diǎn)引射線OC，使∠AOC：∠BOC=5：4，若∠AOB=27°，則∠AOC=．【答案】15°或135°．【分析】分射線OC在∠AOB的內(nèi)部和外部?jī)煞N情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】分兩種情況：①如圖1，當(dāng)射線OC在∠AOB的內(nèi)部時(shí)，設(shè)∠AOC=5x，∠BOC=4x，∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=27°，∴5x+4x=27，解得：x=3，∴∠AOC=15°；②如圖2，當(dāng)射線OC在∠AOB的外部時(shí)，設(shè)∠AOC=5x，∠BOC=4x，∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，又∠AOB=27°，∴5x=27+4x，解得：x=27∴∠AOC=135°，故答案為15°或135°．【點(diǎn)睛】考查了角的計(jì)算．屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是分兩種情況進(jìn)行討論．【變式5-2】（23-24七年級(jí)·山西運(yùn)城·期末）已知點(diǎn)A，O，B依次在同一直線上，射線OC平分∠AOB，∠COD=20°，OE平分∠BOD，則A．50° B．35° C．55° D．55°或35°【答案】D【分析】本題考查了平角的定義，角平分線的定義，角的和差，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵，由角平分線的定義得∠BOC為平角的一半，即90°，然后分OD在∠BOC內(nèi)部和外部?jī)煞N情況，分別求出∠BOD【詳解】∵點(diǎn)A，O，B依次在同一直線上，∴∠∵射線OC平分∠AOB∴∠當(dāng)OD在∠BOC內(nèi)部時(shí)，如圖1，∵OE平分∠∴∠∴∠當(dāng)OD在∠BOC外部時(shí)，如圖2，∵OE平分∠∴∠∴∠∴∠COE的度數(shù)是55°或故選：D．【變式5-3】（23-24七年級(jí)·重慶渝中·開學(xué)考試）已知∠AOB=120°，OC為∠AOB的角平分線，過點(diǎn)O作射線OD，若∠AOD=3∠A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90°【答案】C【分析】分當(dāng)OD在∠AOB內(nèi)部時(shí)，當(dāng)OD在∠AOB外部時(shí)，分別求出【詳解】解：如圖1所示，當(dāng)OD在∠AOB∵∠AOB=120°，∴∠BOD∵OC為∠AOB∴∠BOC∴∠COD如圖2所示，當(dāng)OD在∠AOB∵∠AOB=120°，∴∠BOD∵OC為∠AOB∴∠BOC∴∠COD綜上所述，∠COD的角度是30度或120故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)4：按順逆時(shí)針分類條件:已知∠AOB,射線OC,∠AOB<∠AOC.結(jié)論:(1)∠BOC1=∠AOC1-∠AOB；(2)∠BOC2=∠AOB+∠AOC2；(3)∠AOC3+∠BOC3+∠AOB=360°．【題型6分類討論思想之按順逆時(shí)針分類】【例6】（23-24七年級(jí)·福建泉州·期末）如圖，∠AOB=100°，射線OC以2°/s的速度從OA位置出發(fā)，射線OD以10°/s的速度從OB位置出發(fā)，設(shè)兩條射線同時(shí)繞點(diǎn)(1)當(dāng)t=10時(shí)，求∠(2)若0≤t①當(dāng)三條射線OA、OC、OD構(gòu)成的三個(gè)度數(shù)大于0°的角中，有兩個(gè)角相等，求此時(shí)t的值；②在射線OD，OC轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，射線OE始終在∠BOD內(nèi)部，且OF平分∠AOC，當(dāng)∠EOF【答案】(1)∠(2)①t=253s或【分析】（1）根據(jù)題意求得OD與OA重合，∠AOC＝20°，即可得到∠COD的度數(shù)；（2）①分三種情況，列出方程，解方程即可得到答案；②先證明OD運(yùn)動(dòng)至∠AOB外部．由∠AOB=∠AOE+∠BOE=100°，∠EOF=∠AOE+∠AOF=110°【詳解】（1）解：依題意，當(dāng)t=10s時(shí)，射線OD運(yùn)動(dòng)的度數(shù)為∵∠AOB∴此時(shí)OD與OA重合，射線OC運(yùn)動(dòng)的度數(shù)為2t即∠AOC∴當(dāng)t=10s時(shí)，（2）①若0≤t（i）如圖1，當(dāng)∠DOA=∠COA∴t=253（ii）如圖2，當(dāng)∠AOD=∠COD∴t=1009（iii）如圖3，當(dāng)∠AOC=∠COD∴t=503綜上所得t=253②如圖4，∵0≤t∴0°≤2t≤30°，∴∠AOC最大度數(shù)為30°，∠BOD最大度數(shù)為∵∠AOB∴當(dāng)∠EOF=110°時(shí)，∴∠AOC>20°，即∴OD運(yùn)動(dòng)至∠AOB此時(shí)，∠AOB=∠AOE∴∠AOF∵OF平分∠AOC∴∠AOF∴∠BOE又∠AOD∴∠BOE【點(diǎn)睛】此題主要考查了與角平分線有關(guān)的計(jì)算、圖形的旋轉(zhuǎn)、角之間計(jì)算、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列方程．【變式6-1】（23-24七年級(jí)·湖北武漢·期末）已知∠COD在∠AOB的內(nèi)部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°．(1)如圖1，求∠AOD+∠BOC的大??；(2)如圖2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小．(3)如圖3，若∠AOC＝30°，射線OC繞點(diǎn)O以每秒10°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)與射線OB重合后，再以每秒15°的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；同時(shí)射線OD以每秒30°的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．設(shè)射線OD，OC運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（0＜t≤22），當(dāng)∠COD＝120°時(shí)，直接寫出t的值．【答案】(1)∠AOD+∠BOC=170°(2)∠MON的大小為65°(3)t的值為5或11或1689【分析】（1）∠AOD+∠BOC可化為∠AOB+∠COD，計(jì)算即可；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠AON=12AOD，∠BOM=12∠BOC，進(jìn)而得到∠MON=∠AOB-12(∠AOD+∠（3）根據(jù)射線的運(yùn)動(dòng)可知，需要分四種情況：當(dāng)OC未到達(dá)OB時(shí)，分兩種情況；當(dāng)OC到達(dá)OB后返回時(shí)，分兩種情況；分別畫出圖形列方程解答．【詳解】（1）解：∵∠AOB＝150°，∠COD＝20°．∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=170°；（2）∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，∴∠AON=12AOD，∠BOM=12∠∴∠MON=∠AOB-∠AON-∠BOM=∠AOB-12(∠AOD+∠BOC)=150°-85°=65°（3）當(dāng)OC未到達(dá)OB時(shí)，分兩種情況：①如圖：此時(shí)30t+20-10t=120，解得t=5；②如圖：360-30t-20+10t=120，解得t=11；當(dāng)OC到達(dá)OB后返回時(shí)，分兩種情況：①如圖：此時(shí)30t-360-（300-15t-20）=120，解得t=168②如圖：此時(shí)（720-30t）-20+（300-15t）=120，解得t=195綜上，t的值為5或11或1689或【點(diǎn)睛】此題考查了角的旋轉(zhuǎn)，角平分線的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)概念，能用含t的代數(shù)式表示旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．【變式6-2】（23-24七年級(jí)·廣東佛山·期末）已知：∠（1）如圖1，∠AOC（2）如圖2，直線MN平分∠AOD，直線MN平分∠（3）若∠BOD=150°，∠BOE【答案】（1）∠AOC=∠BOD，見解析；（2）直線MN平分∠BOC，見解析；（3【分析】（1）根據(jù)角的和差關(guān)系可得結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義求解即可；（3）分OE在∠AOB【詳解】解：（1）∠AOC∵∠∴∠即∠（2）直線MN平分∠BOC∵∠AOB+∠又∵∠∴∠∵直線MN平分∠∴∠∴∠即直線MN平分∠BOC（3）∵∠BOD=150°∴∠AOD=70°①當(dāng)OE在∠AOB∠COE②當(dāng)OE在∠AOB∠COE綜上所述，∠COE的度數(shù)為150°或110°【點(diǎn)睛】本題考查了解度的計(jì)算，角平分線的定義，正確識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（23-24七年級(jí)·貴州遵義·期末）請(qǐng)閱讀以下信息：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所組成的角等于這個(gè)角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個(gè)角的“內(nèi)半角”．如圖①，若射線OC，OD在∠AOB的內(nèi)部，且∠COD=12∠AOB，則稱∠請(qǐng)根據(jù)以上信息，解決下面的問題：(1)如圖①，∠AOB=50°，∠BOD=10°．若∠COD是∠AOB的“(2)如圖②，已知∠AOB=60°，將∠AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α0<α<60°至∠COD，即∠COD=∠AOB=60°，其中∠AOC(3)把一塊含60°的三角板COD按如圖③方式放置，使OC邊與OA邊重合，OD邊與OB邊重合．如圖④，將三角板COD繞頂點(diǎn)O以每秒6°的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．當(dāng)射線OA，OB，OC，OD構(gòu)成“內(nèi)半角”時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．【答案】(1)15°(2)20°(3)t的值為103或【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算：（1）根據(jù)題意算出∠COD的度數(shù)，利用∠AOC=∠（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可推出∠AOC=∠BOD=α和∠COD=∠AOB=60°，然后可用含有α的式子表示∠（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成內(nèi)半角的情況總共有兩種，分別畫出圖形，求出對(duì)應(yīng)t值即可．【詳解】（1）解：∵∠COD是∠AOB的內(nèi)半角，∴∠COD∴∠AOC故答案為：15°；（2）解：∵∠AOC∴∠AOD∵∠COB是∠∴∠AOD=2∠COB解得：α=20°∴α的值為20°；（3）解：①如圖所示，此時(shí)∠COB是∠由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：∠AOC∴∠AOD∵∠COB是∠∴∠AOD=2∠COB解得：t=②如圖所示，此時(shí)∠BOC是∠由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：∠AOC∴∠AOD∵∠BOC是∠∴∠AOD=2∠BOC解得：t=30綜上所述：當(dāng)射線OA、OB、OC、OD構(gòu)成內(nèi)半角時(shí)，知識(shí)點(diǎn)5：按順逆時(shí)針分類條件:∠AOC=∠BOC結(jié)論:∠AOC1=12∠AOB或∠AOC2=180°-12條件:∠AOC=1n結(jié)論:∠AOC1=1n+1∠AOB或∠AOC2【題型7分類討論思想之n等分角】【例7】（23-24七年級(jí)·浙江湖州·期末）定義：從∠AOB的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線OC，把∠AOB分成1:2的兩部分，射線OC叫做∠AOB的三等分線．若在∠MON中，射線OP是∠MON的三等分線，射線OQ是∠MOP的三等分線，設(shè)A．94x或3x或92x B．94x或3x或9x C．94x【答案】C【分析】分四種情況，分別計(jì)算，即可求解．【詳解】解：如圖：射線OP是∠MON∠MOP=2∠NOP則∠QOP=2x∴∠MON如圖：射線OP是∠MON∠MOP=2∠NOP則∠QOP=1∴∠MON如圖：射線OP是∠MON∠NOP=2∠MOP則∠QOP=1∴∠MON如圖：射線OP是∠MON∠NOP=2∠MOP則∠QOP=2x∴∠MON綜上，∠MON為94x或9故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角的有關(guān)計(jì)算，畫出圖形，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．【變式7-1】（23-24七年級(jí)·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖①，射線OC在∠AOB內(nèi)部，圖中共有三個(gè)角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有兩個(gè)角的度數(shù)之比為1:2，則稱射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”．如圖②，若∠MON=120°，射線OP為【答案】40°,60°,80°【分析】本題考查了角的和差，正確分情況討論是解題關(guān)鍵．分四種情況：∠MON∠MON=2∠NOP時(shí)，∠【詳解】解：由題意，分以下四種情況：①當(dāng)∠MON=2∠MOP時(shí)，射線OP是∠MON的∵∠MON∴∠MOP②當(dāng)∠MON=2∠NOP時(shí)，射線OP是∠MON的∵∠MON∴∠NOP∴∠MOP③當(dāng)∠MOP=2∠NOP時(shí)，射線OP是∠MON的∵∠MON=120°，∴∠MOP解得∠MOP④當(dāng)∠NOP=2∠MOP時(shí)，射線OP是∠MON的∵∠MON=120°，∴∠MOP解得∠MOP綜上，∠MOP的度數(shù)為60°或80°或40°故答案為：60°或80°或40°．【變式7-2】（23-24七年級(jí)·陜西咸陽·階段練習(xí)）【問題背景】新定義：如果∠MON的內(nèi)部有一條射線OP將∠MON分成的兩個(gè)角，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的n倍，那么我們稱射線OP為∠MON的n倍分線，例如，如圖1，∠MOP=4∠NOP，則OP為∠MON【問題再現(xiàn)】（1）若∠AOB=60°，OP為∠AOB的二倍分線，且∠【問題推廣】（2）如圖2，點(diǎn)A，O，B在同一條直線上，OC為直線AB上方的一條射線．若OP，OQ分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線（∠COP①若∠AOC=120°，求②若∠AOC=α【拓展提升】（3）如圖3，點(diǎn)A，O，B在同一條直線上，OC為直線AB上方的一條射線．已知∠MON=90°，且OM，ON所在射線恰好分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線（【答案】（1）40°；（2）①135°；②不變，見解析；（3）90°【分析】本題考查了新定義，幾何圖形中角度的計(jì)算．（1）根據(jù)題意可得：∠BOP=2∠AOP（2）①由題意可得：∠COP=3∠AOP，∠COQ=3∠BOQ，根據(jù)②不變，根據(jù)題意得出∠COP=3（3）設(shè)∠MOC=α，則∠NOC=90°-α，根據(jù)題意得出∠COM=3∠AOM【詳解】解：（1）因?yàn)椤螦OB=60°，OP為∠AOB所以∠BOP=2∠AOP所以∠AOP所以∠BOP（2）①因?yàn)镺P，OQ分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線（∠COP所以∠COP=3∠AOP因?yàn)椤螦OC所以∠BOC所以∠AOP=30°，所以∠COP=90°，所以∠POQ②不變．理由如下：因?yàn)镺P，OQ分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線，∠COP所以∠COP=3所以∠=3（3）設(shè)∠MOC因?yàn)椤螹ON所以∠NOC因?yàn)镺M，ON所在射線恰好分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線，所以∠COM=3∠AOM因?yàn)椤螦OM所以13所以α=67.5°所以∠MOC=67.5°，所以∠AOC【變式7-3】（23-24七年級(jí)·江蘇南通·階段練習(xí)）定義：如圖1，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是(1)如圖1，若∠AOB=90°，且射線OC是∠AOB的“妙分線”(2)如圖2，若∠MPN=60°，射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒4°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，射線PM繞點(diǎn)P以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PQ與PN成180°時(shí)，射線PQ，射線PM同時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒，求t為何值時(shí)，射線PQ是∠MPN的“【答案】(1)60°或30°或45°；(2)當(dāng)t為203或12或20時(shí)，射線PQ是∠MPN的“【分析】本題考查了本題考查了角度的計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用，妙分線定義；（1）根據(jù)妙分線定義即可求解；（2）分3種情況：當(dāng)∠MPQ=2∠NPQ時(shí)，當(dāng)∠【詳解】（1）解：∵∠AOB=90°，且射線OC在∠AOB的“∴∠AOC=2∠BOC或∠∴∠AOC=60°或30°或（2）解：根據(jù)題意得：當(dāng)∠MPQ4t解得t=當(dāng)∠MPN4t解得t=12當(dāng)2∠MPQ4t解得t=20故當(dāng)t為203或12或20時(shí)，射線PQ是∠MPN的“妙分線【題型8數(shù)形結(jié)合求角度】【例8】（23-24七年級(jí)·廣東佛山·期末）數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”．?dāng)?shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的．請(qǐng)你利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解決以下的問題：（1）如圖1：射線OC是∠AOB的平分線，這時(shí)有數(shù)量關(guān)系：∠AOB（2）如圖2：∠AOB被射線OP分成了兩部分，這時(shí)有數(shù)量關(guān)系：∠AOB（3）如圖3：直線AB上有一點(diǎn)M，射線MN從射線MA開始繞著點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直到與射線MB重合才停止．①請(qǐng)直接回答∠AMN與∠②∠AMN與∠【答案】（1）2∠AOC（答案不唯一）；（2）∠AOP+∠BOP；（3）①∠AMN逐漸增大，【分析】（1）根據(jù)角平分線定義容易得出結(jié)論；（2）根據(jù)圖形解答；（3）①由射線MN從射線MA開始繞著點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)可知∠AMN逐漸增大，∠BMN逐漸減??；②由∠【詳解】解：（1）∵射線OC是∠AOB∴∠AOB故答案為：2∠AOC（或2∠（2）由圖可知，∠AOB故答案為：∠AOP（3）①∠AMN逐漸增大，∠②∠AMN證明：∵∠AMB=180°，∴∠AMN【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義，角的有關(guān)計(jì)算，注意利用數(shù)形結(jié)合的思想．【變式8-1】（23-24七年級(jí)·山東濟(jì)寧·期末）材料閱讀角是一種基本的幾何圖像，如圖1角可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形．鐘面上的時(shí)針與分針給我們以角的形象．如果把圖2作為鐘表的起始狀態(tài)，對(duì)于一個(gè)任意時(shí)刻時(shí)針與分針的夾角度數(shù)可以用下面的方法確定．因?yàn)闀r(shí)針繞鐘面轉(zhuǎn)一圈（360°）需要12小時(shí)，所以時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)過30°．如圖3中05:00時(shí)針就轉(zhuǎn)過30×5=150°．因?yàn)榉轴樌@鐘面轉(zhuǎn)一圈（360°）需要60分鐘，所以分針每分鐘轉(zhuǎn)過6°．如圖4中00:28分針就轉(zhuǎn)過6×28=168°．再如圖5中6:40時(shí)針轉(zhuǎn)過的度數(shù)為30×6+4060=200°，分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)記為6×40=240°，此時(shí)，分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)大于時(shí)針轉(zhuǎn)過的度數(shù)，所以知識(shí)應(yīng)用請(qǐng)使用上述方法，求出7:20時(shí)針與分針的夾角．拓廣探索張老師某周六上午7點(diǎn)多去菜市場(chǎng)買菜，走時(shí)發(fā)現(xiàn)家中鐘表時(shí)鐘與分針的夾角是直角，買菜回到家發(fā)現(xiàn)鐘表時(shí)針與分針的夾角還是直角，可以確定的是張老師家的鐘表沒有故障，走時(shí)正常，且回家時(shí)間還沒到上午8點(diǎn)，請(qǐng)利用上述材料所建立數(shù)學(xué)模型列方程，求出張老師約7點(diǎn)多少分出門買菜？約7點(diǎn)多少分回到家？（結(jié)果用四舍五入法精確到分．）【答案】知識(shí)應(yīng)用：100°；拓廣探索：張老師約7點(diǎn)22分出門買菜，約7點(diǎn)55分回到家【分析】知識(shí)應(yīng)用：根據(jù)題干中的思路先求出時(shí)針轉(zhuǎn)過的度數(shù)，然后再求出分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)，然后讓大的度數(shù)減小的度數(shù)即可得出答案；拓廣探索：根據(jù)材料可以確定張老師出門時(shí)時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度比分針轉(zhuǎn)過的角度多90°，而張老師回家時(shí)分針轉(zhuǎn)過的角度比時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度多90°，據(jù)此可列出兩個(gè)方程，分別解方程即可．【詳解】知識(shí)應(yīng)用：解:7:20