24.2.2直線和圓的位置關(guān)系（第4課時）（教學(xué)設(shè)計）1.教學(xué)內(nèi)容本課時是人教版九年級上冊教材第二十四章圓，24.2點和圓、直線和圓的位置關(guān)系,24.2.2直線和圓的位置關(guān)系第4課時,內(nèi)容為三角形內(nèi)切圓及直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用。內(nèi)容解析這節(jié)課是在給出了切線長的概念，探索并證明了切線長定理，并結(jié)合作圖問題后，介紹三角形的內(nèi)切圓。結(jié)合一個在三角形鐵片上截出一個圓的問題，給出了三角形內(nèi)切圓和內(nèi)心的概念，分析如何作三角形的內(nèi)切圓時，要抓住“確定圓心的位置和半徑”這個作圓的關(guān)鍵，這樣學(xué)生就會根據(jù)圓與三邊均相切這個條件分析得出：圓心到三邊的距離必相等，并且這個距離就是半徑，而如何確定圓心的位置，則可引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)角的平分線的性質(zhì)得出。用“三角形內(nèi)切圓的圓心”定義三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，注意把三角形的內(nèi)心和三角形的外心，內(nèi)切圓和外接圓進行比較，讓學(xué)生明確“切”和“接”的含義，在對比中加深理解?；谝陨戏治觯_定本節(jié)課教學(xué)重點是:三角形內(nèi)切圓及直線與圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用。1.教學(xué)目標(biāo)(1)了解三角形內(nèi)切圓、內(nèi)心的定義，理解三角形內(nèi)切圓與外接圓的區(qū)別，明確“切”和“接”的含義。(2)能作出三角形的內(nèi)切圓，并能運用切線的性質(zhì)解決問題，進一步滲透方程的思想，熟悉用代數(shù)的方法解幾何題。(3)在探究三角形內(nèi)切的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。2.目標(biāo)解析(1)從生活一個在三角形鐵片上截出一個圓的問題三角形和圓的位置關(guān)系，抽象出三角形內(nèi)切圓和內(nèi)心的概念，類比三角形的外接圓，理解三角形內(nèi)切圓與外接圓的區(qū)別，明確“切”和“接”的含義。(2)抓住“確定圓心的位置和半徑”這個作圓的關(guān)鍵，這樣學(xué)生就會根據(jù)圓與三邊均相切這個條件分析得出：圓心到三邊的距離必相等，并且這個距離就是半徑，而如何確定圓心的位置，則可引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)角的平分線的性質(zhì)得出。能作出三角形的內(nèi)切圓，并能運用切線的性質(zhì)解決問題，進一步滲透方程的思想，熟悉用代數(shù)的方法解幾何題。(3)在探究三角形內(nèi)切的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗，在直線和圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用中，學(xué)生學(xué)習(xí)是有困難的，鍛煉學(xué)習(xí)克服困難的意志，建立自信心。這節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的切線長的概念，探索并證明了切線長定理，并結(jié)合作圖問題后，介紹三角形的內(nèi)切圓。結(jié)合一個在三角形鐵片上截出一個圓的問題，給出了三角形內(nèi)切圓和內(nèi)心的概念，分析如何作三角形的內(nèi)切圓時，要抓住“確定圓心的位置和半徑”這個作圓的關(guān)鍵，這樣學(xué)生就會根據(jù)圓與三邊均相切這個條件分析得出：圓心到三邊的距離必相等，并且這個距離就是半徑，而如何確定圓心的位置，則可引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)角的平分線的性質(zhì)得出。用“三角形內(nèi)切圓的圓心”定義三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，注意把三角形的內(nèi)心和三角形的外心，內(nèi)切圓和外接圓進行比較，讓學(xué)生明確“切”和“接”的含義，在對比中加深理解。根據(jù)三角形內(nèi)切圓中圓和三角形的關(guān)系，綜合應(yīng)用切線的判定與性質(zhì)解決問題?；谝陨戏治?，確定本節(jié)課的教學(xué)難點為三角形內(nèi)切圓及直線與圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用。創(chuàng)設(shè)情景，引入新課復(fù)習(xí)：1.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。2.角平分線和性質(zhì)與判定：①到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上；②性質(zhì)：角的平分線上任意一點到角的兩邊距離相等。（設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)相關(guān)知識點，引入新課.）探究點1三角形的內(nèi)切圓問題：如圖是一塊三角形的鐵皮，如何在它上面截下一塊圓形的用料，并且使截下來的圓與三角形的三條邊都相切？追問1.如果最大圓存在，它與三角形三邊應(yīng)有怎假設(shè)符合條件的圓？最大的圓與三角形三邊都相切。追問2.假設(shè)已經(jīng)作出，那么這個圓的圓心到三角形的三條邊的距離都等于半徑，如何找到這個圓心呢？根據(jù)角平分線的性質(zhì)與判定定理知，這個圓的圓心為內(nèi)角的平分線交點。追問3.如何作一個圓與三角形的各邊相切?已知：△ABC.求作：和△ABC的各邊都相切的圓。分析：我們以前學(xué)過，三角形的三條角平分線交于一點，并且這個點到三條邊的距離相等，因此，分別作∠B、∠C的平分線BM和CN，設(shè)它們相交于點，那么點I到AB，BC，CA的距離都相等。以點為圓心，點I到BC的距離為半徑作圓，則與△ABC的三條邊都相切，就是所求作的圓.作法：1.作∠B和∠C的平分線BM和CN，交點為.2.過點作D⊥BC，垂足為D.3.以為圓心，D為半徑作圓.就是所求的圓。抽象歸納:與三角形三邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓。三角形內(nèi)切圓的圓心叫做這個三角形的內(nèi)心。這個三角形叫做這個圓的外切三角形。（設(shè)計意圖：探究三角形內(nèi)切圓.）典型例題例1.如圖，已知點O是△ABC的內(nèi)心，且∠ABC=60°，∠ACB=80°，求∠BOC的度數(shù)?！痉治觥奎cO是△ABC的內(nèi)心，則OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以求出。【詳解】∵點O是△ABC的內(nèi)心，則OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC=∠ABC=60°=30°，∠OCB=∠ACB=80°=40°，∴∠BOC=180°∠OBC∠OCB=180°30°40°=110°.（設(shè)計意圖：強化三角形內(nèi)切圓.）探究點2三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)追問1.從以上作圖中，你能歸納出三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)？三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上；三角形的內(nèi)心到三角形的三邊距離相等。追問2.你能對三角形外接圓與內(nèi)切圓按下表進行比較嗎？名稱確定方法圖形性質(zhì)外心：三角形外接圓的圓心三角形三邊中垂線的交點1.0A=OB=OC；2.外心不一定在三角形的內(nèi)部.內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心三角形三條角平分線的交點1.到三邊的距離相等;2.0A、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；3.內(nèi)心在三角形內(nèi)部。（設(shè)計意圖：探究三角形內(nèi)切圓的性質(zhì).）例2如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的長.【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)和切線長定理求.【詳解】解：設(shè)AF=r，則AE=r，CD=CE=ACAE=13r,BD=BF=ABAF=9r.由BD+CD=BC，可得(13r)+(9r)=14.解得：r=4.因此AF=4，BD=5，CE=9.（設(shè)計意圖：強化三角形內(nèi)切圓的性質(zhì).）探究點3.直線與圓相切的綜合應(yīng)用直線與相切，通常通作輔助線，建立直角三角形、將圓心角、圓周角、三角形、四邊形等聯(lián)系起來，利用圓心角、圓周角、三角形（特別是等腰三角形、直角三角形）、四邊形（特別是平行四邊、矩形、菱形）等性質(zhì)綜合解決問題。證切線時輔助線的添加方法：(1）有交點，連半徑，證垂直；(2）無交點，作垂直，證半徑.有切線時常用輔助線添加方法：見切點，連半徑，得垂直。(1)求證：是半圓O的切線；【詳解】（1）解：連接，如圖，∴是半圓O的切線；（2）解：連接，設(shè)半圓O的半徑長為r，即半圓O的半徑長為．（設(shè)計意圖：探究直線圓與相切的綜合應(yīng)用.）課本練習(xí)1.如圖，∠ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，點O是△ABC的內(nèi)心，求∠BOC的度數(shù)。2.△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，△ABC的周長為l，求△ABC的面積.（提示：設(shè)人ABC的內(nèi)心為O，連接OA，OB，OC.）（設(shè)計意圖：學(xué)完新知識后及時進行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強化學(xué)生對新知的記憶，加深學(xué)生對新知的理解，還可以及時反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補缺，幫助教師及時調(diào)整教學(xué)策略）

(2)若點F為的中點，的半徑為2，求的長是______．【詳解】（1）解：連接，

∵直線與相切于點D，∵為直徑，即：的長為2，故答案為：2．（設(shè)計意圖：強化圓的切線的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用。）

與相切于點E，（2）證明：為的直徑，與相切于點E，3.（2025.山東棗莊等）如圖，在△OAB中，點A在⊙O上，邊OB交⊙O于點C，AD⊥OB于點D．AC是∠BAD的平分線．（1）求證：AB為⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，∠AOB＝45°，求CB的長．【解答】（1）證明：∵AD⊥OB于點D，∴∠ADB＝90°，∵AC是∠BAD的平分線，∴∠DAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝∠OAD+∠BAC，∠OCA＝∠B+∠BAC，∴∠OAD+∠BAC＝∠B+∠BAC，∴∠OAD＝∠B，∴∠OAB＝∠OAD+∠BAD＝∠B+∠BAD＝90°，∵OA是⊙O的半徑，且AB⊥OA，∴AB為⊙O的切線．（2）解：∵∠OAB＝90°，∠AOB＝45°，∴∠B＝∠AOB＝45°，∴AB＝OA，∵⊙O的半徑為2，∴AB＝OA＝OC＝2，∴OB=AB2∴CB＝OB﹣OC＝22?∴CB的長是22?（設(shè)計意圖：在學(xué)習(xí)完知識后加入中考等真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動力）1.與三角形三邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓。三角形內(nèi)切圓的圓心叫做這個三角形的內(nèi)心。這個三角形叫做這個圓的外切三角形。2.三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上；三角形的