專題4.2三角形的中線、角平分線、高（舉一反三講義） 【湘教版2024】TOC\o"13"\h\u【題型1中線、角平分線、高概念辨析】 2【題型2利用三角形的中線求長度】 3【題型3利用三角形的中線求面積】 4【題型4依據(jù)高的位置分類討論求角度】 5【題型5等積法求值】 6【題型6與角平分線有關(guān)的求值】 7【題型7與角平分線有關(guān)的證明】 8知識點(diǎn)1三角形的中線在三角形中，連接一個頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線，三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.三角形的重心在三角形內(nèi)部.知識點(diǎn)2三角形的角平分線三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，連接這個角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)的線段叫做三角形的角平分線.任意一個三角形都有三條角平分線，三條角平分線交于一點(diǎn)，且在三角形的內(nèi)部.知識點(diǎn)3三角形的高1.從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊所在直線畫垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高.2.三角形的三條高的特性311直角頂點(diǎn)【題型1中線、角平分線、高概念辨析】【例1】（2425七年級下·四川甘孜·期中）如圖，在△ABC中，關(guān)于高的說法正確的是（）A．線段AD是AB邊上的高 B．線段BE是AC邊上的高C．線段CF是AC邊上的高 D．線段CF是BC邊上的高【變式11】（2425七年級下·上海青浦·階段練習(xí)）下列說法中，正確的是（）A．三角形的高、中線是線段，角平分線是射線B．三角形的三條高中，至少有一條在三角形的內(nèi)部C．鈍角三角形的三條角平分線在三角形的外部D．在三角形中，連接一個頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的直線叫作三角形的中線【變式12】（2025·吉林長春·二模）如圖，根據(jù)下列圖形折疊后的情況，可以判定AD是△ABC的角平分線的是（

）A． B．C． D．【變式13】（2425七年級下·陜西咸陽·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，且AD，AE，BF分別是△ABC的高線，中線和角平分線，且AD與BF相交于點(diǎn)G，下列結(jié)論不一定正確的是（

）A．∠BAD=∠C B．∠AGF=∠AFG C．S△ABE=S【題型2利用三角形的中線求長度】【例2】（2425七年級下·重慶·期中）在△ABC中，AB=AC,AB邊上的中線CD把△ABC的周長分成24和12的兩部分，則AB的長是（

）A．16 B．8 C．16或8 D．8或4【變式21】（2425八年級上·陜西渭南·階段練習(xí)）如圖，AD是△ABC的中線，AE是△ABD的中線，若CE=9cm，則BC=

【變式22】（2425八年級上·福建廈門·期末）如圖，△ABC中，AB=10,AC=8，AD為BC邊上的中線，若△ACD的周長為22，則△ABD的周長是．【變式23】（2425八年級上·廣西·期中）如圖①是一張三角形紙片ABC，將BC對折使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，如圖②所示，折痕與BC的交點(diǎn)記為D．(1)請?jiān)趫D②中畫出△ABC邊BC上的中線；(2)若AB=10cm，AC=15cm，求△ACD與【題型3利用三角形的中線求面積】【例3】（2425八年級上·浙江金華·期中）如圖，已知△ABC的面積為36，點(diǎn)D,E分別在邊BC，AC上，且BD=CD，CE=2AE，AD與BE相交于點(diǎn)F，若△AEF的面積為3，則圖中陰影部分的面積為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【變式31】（2425八年級上·云南昆明·期中）如圖所示，AM是△ABC的中線，CN是△ACM的中線．(1)在△CMN中作CM邊上的高；(2)若△ABC的面積為36，CM=6，則點(diǎn)N到BC邊的距離是多少？【變式32】（2425八年級上·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，△ABC的面積為S，作△ABC的中線AC1，取AB的中點(diǎn)A1，連接A1C1得到第一個△A1BC1；作△A1BC【變式33】（2425八年級上·安徽蚌埠·期中）【問題呈現(xiàn)】三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分．已知：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上的中點(diǎn)，連接AD．求證：S△ABD證明：過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，∵點(diǎn)D是邊BC上的中點(diǎn)，∴BD=CD，∵S△ABD∴S△ABD【拓展探究】（1）如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，若S△ABC=6，則（2）如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的點(diǎn)，且CD=2BD，求S△ABD【問題解決】（3）現(xiàn)在有一塊四邊形土地ABCD，如圖4，甲、乙兩人要均分這塊土地，請通過作圖均分四邊形ABCD的面積．（要求：用不超過三條的線段畫出平分方法，并對作法進(jìn)行說明，可利用帶刻度的直尺．）【題型4依據(jù)高的位置分類討論求角度】【例4】（2425七年級下·河北保定·期末）有一道題目“在△ABC中，AD是邊BC上的高，∠ABC的平分線與邊AC交于點(diǎn)F．若∠ABC=50°，∠CAD=20°，求∠BFA的度數(shù)．”對于其答案．甲答：∠BFA=110°．乙答：∠BFA=95°．丙答：∠BFA=135°．則正確的是（

）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有乙【變式41】（2425八年級上·遼寧盤錦·期中）已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度數(shù)．【變式42】（2425七年級下·北京·階段練習(xí)）在△ABC中，∠B=35°，AD是BC邊上的高且∠CAD=∠B，則∠BCA的度數(shù)是【變式43】（2425八年級上·四川南充·階段練習(xí)）已知：BD、CE是△ABC的高，直線BD、CE相交所成的角中有一個角為56°，則∠BAC的度數(shù)為．（提示：四邊形內(nèi)角和為360°）【題型5等積法求值】【例5】（2425七年級上·四川宜賓·期末）如圖，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，BC=6，點(diǎn)D是邊AB上一動點(diǎn)，作直線MN經(jīng)過點(diǎn)C、點(diǎn)D，分別過點(diǎn)A，B作AF與MN垂直，BE與MN垂直，垂足分別為點(diǎn)F，E．設(shè)線段BE，AF的長度分別為d1，d2，則d1【變式51】（2425七年級下·陜西西安·期中）如圖，AC⊥BC，垂足為C，AC=15，BC=20，AB=25．P是線段AB上的任意一點(diǎn)，連接PC，PC的長不可能是（

）A．11 B．12 C．13 D．16【變式52】（2425七年級下·四川成都·期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°∠A<∠ABC，點(diǎn)D，P分別在邊AB，AC上，且BP=AP，DE⊥BP，DF⊥AP，垂足分別為點(diǎn)E．F．若S△ABC=24，AC=8，則DE+DF

【變式53】（2425八年級上·廣西南寧·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DP⊥AB，DP=3，E為BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM=4.2，則EN=．【題型6與角平分線有關(guān)的求值】【例6】（2425七年級下·江蘇蘇州·期中）如圖，∠1=∠2=∠3=∠4，則AD是△ABC的（

）A．高線 B．角平分線 C．中線 D．以上都不是【變式61】（2425七年級下·四川成都·期中）如圖△ABC中，已知∠ACB=60°，CM平分∠ACB，則∠BCM的度數(shù)是（

）A．15° B．30° C．35° D．45°【變式62】（2425七年級下·重慶巫溪·階段練習(xí)）填寫下列證明過程中的推理根據(jù)：已知：如圖所示，AC，BD相交于O，DF平分∠CDO與AC相交于F，BE平分∠ABO與AC相交于E，求證：∠1=∠2．證明：∵∠A=∠C（

），∴AB∥CD（∴∠ABO=∠CDO（

），∵BE，DF分別是∠ABO和∴∠ABO=2∠2，∠CDO=2∠1，（

）∴2∠2=2∠1（

），即∠2=∠1．【變式63】（2425七年級下·重慶·期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O為∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，連接OA,?OB,?OC，作△AOB的一條角平分線AD．若∠BAC=α，則∠1+∠2的度數(shù)為（

）A．90°+34α B．120°+12α【題型7與角平分線有關(guān)的證明】【例7】（2425八年級上·福建龍巖·期末）如圖，△ABC中，AD是角平分線，BE⊥AD，垂足為E．(1)已知∠ABC=70°，∠C=30°，求∠ADB的度數(shù)；(2)若∠ABC=3∠C，求證：∠DBE=∠C．【變式71】（2425八年級上·河北保定·期末）如圖，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn)，若∠ADE=40°，求證：DE∥AB．

【變式72】（2425八年級上·貴州黔南·期中）在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CF是∠AC