6.2.2線段的比較與運(yùn)算第六章6.2

直線、射線、線段1.會用尺規(guī)作圖，能理解線段的長短、和、差、中點(diǎn)的幾何意義及數(shù)量關(guān)系，并會用文字語言、圖形語言、符號語言進(jìn)行綜合描述.(重點(diǎn))2.會利用線段的和、差、中點(diǎn)等知識進(jìn)行初步的推理與計(jì)算，體會分類討論的思想.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)在實(shí)際生活中，如何比較兩個(gè)人的身高？情境引入(2)怎樣比較兩條線段的長短呢？你能從比身高上受到一些啟發(fā)嗎？一、線段長短的比較問題1

畫在黑板上的線段是無法移動的，在只有圓規(guī)和無刻度的直尺的情況下，如何再畫一條與它相等的線段？求作一條線段使它等于已知線段a(如圖).提示先畫一條射線AB，以A為端點(diǎn)，以a的長度為半徑，在射線上畫弧，交AB于點(diǎn)C，如圖，線段AC即為所求.問題2

比較線段AB和CD的大小：疊合法將點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，再進(jìn)行比較.(1)如圖①，線段AB和CD的大小關(guān)系是AB

CD；

(2)如圖②，線段AB和CD的大小關(guān)系是AB

CD；

(3)如圖③，線段AB和CD的大小關(guān)系是AB

CD.

<>=1.尺規(guī)作圖(1)定義：在數(shù)學(xué)中，我們常限定用

和

作圖，這就是尺規(guī)作圖.知識梳理無刻度的直尺圓規(guī)(2)畫一條線段等于已知線段：畫法一(尺規(guī)作圖)：如圖所示，先用直尺畫射線AC，再用圓規(guī)在射線AC上截取AB=a.畫法二(測量長度)：先量出線段a的長度，再畫一條等于這個(gè)長度的線段.2.線段的長短比較(1)線段長短比較的實(shí)質(zhì)是線段的長度的比較.(2)線段長短的比較方法：①度量法(數(shù))：用刻度尺分別測量出線段的長度，根據(jù)長度大小來比較，長度大的線段較長，長度相等時(shí)兩線段相等.知識梳理②疊合法(形)：如圖，比較兩條線段AB與CD的長短，可以把線段AB移到線段CD上，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B與點(diǎn)D在重合點(diǎn)的同一側(cè).

(1)如圖，用圓規(guī)比較兩條線段AB和A'B'的長短，其中正確的是A.A'B'>ABB.A'B'=ABC.A'B'<ABD.沒有刻度尺，無法確定例1√(2)為比較線段AB，CD的長短，小明將點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，使兩條線段在一條直線上，點(diǎn)B在CD的延長線上，則A.AB<CD B.AB>CDC.AB=CD D.以上都有可能√

在一條直線上，畫出線段AB=6

cm，BC=4

cm.跟蹤訓(xùn)練1解如圖.二、線段的基本事實(shí)和兩點(diǎn)之間的距離問題3

如圖，從A地到B地有四條道路，除它們外能否再修一條從A地到B地的最短道路？如果能，請你聯(lián)系以前所學(xué)的知識，在圖上畫出最短道路.提示如圖所示，連接線段AB，則線段AB最短.1.線段的基本事實(shí)：兩點(diǎn)的所有連線中，

最短.簡單說成：

.2.連接兩點(diǎn)的線段的長度，叫作這兩點(diǎn)間的

.注意點(diǎn)：線段是一個(gè)圖形，兩點(diǎn)間的距離是指線段的長度，是一個(gè)數(shù)值，而不是線段本身，因此不能說“A，B兩點(diǎn)間的距離是線段AB”，而應(yīng)該說“A，B兩點(diǎn)間的距離是線段AB的長度”.知識梳理線段兩點(diǎn)之間，線段最短距離

(1)下列說法正確的是A.過A，B兩點(diǎn)的直線的長度是A，B兩點(diǎn)之間的距離B.線段AB就是A，B兩點(diǎn)之間的距離C.在連接A，B兩點(diǎn)的所有連線中，最短連線的長度是A，B兩點(diǎn)之間的距離D.乘火車從上海到北京要行駛1

463千米，這就是說上海與北京之間的距

離是1

463千米例2√(2)下列四個(gè)現(xiàn)象中，可用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象有①用兩個(gè)釘子就可以把木條固定在墻上；②植樹時(shí)，只要確定兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；③從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能地沿著直線架設(shè)；④把彎曲的公路改直，就能縮短路程.A.①② B.①③

C.②④

D.③④√

(1)如圖，AB+BC

AC，AC+BC

AB，AB+AC____BC(填“>”“<”或“=”).其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是

.

跟蹤訓(xùn)練2>>兩點(diǎn)之間，線段最短>(2)如圖，這是A，B兩地之間的公路，在公路工程改造計(jì)劃時(shí)，為使A，B兩地行程最短，應(yīng)如何設(shè)計(jì)線路？請?jiān)趫D中畫出，并說明理由.解如圖，理由：兩點(diǎn)之間，線段最短.三、線段的和、差、倍、分問題4

如圖，線段AB和AC的大小關(guān)系是怎樣的？線段AC與線段AB的差是哪條線段？你還能從圖中觀察出其他線段之間的和、差關(guān)系嗎？提示AC>AB，AC-AB=BC.AB+BC=AC，AC-BC=AB.問題5

如圖，已知線段a，求作線段AB，使AB=2a.將線段AB折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)？1.線段的和差：在直線上作線段AB=a，再在AB的延長線上作線段BC=b，線段AC就是

的和，記作AC=

，如圖(1).設(shè)線段a>b，如果在線段AB上作線段BD=b，那么線段AD就是a與b的差，記作AD=

，如圖(2).知識梳理a與ba+ba-b

知識梳理中點(diǎn)3.三等分點(diǎn)：知識梳理4.四等分點(diǎn)：

(1)若AB=6

cm，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段CB的中點(diǎn)，則線段AD的長是多少？例3

(2)如圖，B，C是線段AD上兩點(diǎn)，且AB∶BC∶CD=3∶2∶5，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，且EF=24，求線段AB，BC，CD的長.

求線段的長度時(shí)，當(dāng)題目中涉及到線段長度的比例或倍分關(guān)系時(shí)，通?？梢栽O(shè)未知數(shù)運(yùn)用方程的思想求解.反思感悟

跟蹤訓(xùn)練3√(2)如圖，長度為20

cm的線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)C在線段MB上，且MC∶CB=2∶3，則線段AC的長度為

cm.

14

(課本P165例1)如圖，已知線段a，b，作一條線段，使它等于2a-b.例4解

如圖，在直線上作線段AB=a，再在線段AB的延長線上作線段BC=a，則線段AC=2a.在線段AC上作線段CD=b，則線段AD=2a-b.

如圖，已知線段a，b，c，其中a>b>c.(1)尺規(guī)作圖：在射線AP上求作線段AB，使AB=a+c-b；跟蹤訓(xùn)練4解如圖，在射線AP上作線段AC=a，在AC的延長線上作線段CD=c，在線段AD上作BD=b，則AB=a+c-b.(2)若a=4，b=3，c=2，求AB的長.解因?yàn)閍=4，b=3，c=2，所以AB=a+c-b=4+2-3=3.1.有下列說法：①連接兩點(diǎn)的線段的長度，叫作這兩點(diǎn)間的距離；②若2AC=BC，則A是線段BC的中點(diǎn)；③兩點(diǎn)的所有連線中，直線最短；④兩點(diǎn)確定一條直線.其中正確的是A.②③④ B.①②③C.①②④ D.①④√2.A，B，C三點(diǎn)在同一直線上，線段AB=5

cm，BC=4

cm，那么A，C兩點(diǎn)的距離是A.1

cm B.9

cmC.1

cm或9

cm D.以上答案都不對√解析分以下兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)C在AB之間，故AC=AB-BC=1(cm)；②當(dāng)點(diǎn)C在AB的延長線上時(shí)，AC=AB+BC=9(cm).3.如圖，線段AB=10

cm，點(diǎn)N在AB上，NB=2

cm，M是AB的中點(diǎn)，那么線段MN的長為A.6

cm B.5

cmC.4

cm D.3

cm√4.如圖，