圓錐曲線中點問題點差法的應(yīng)用點差法是解決圓錐曲線中點問題的核心方法，核心是“設(shè)點代入方程作差，結(jié)合中點坐標(biāo)與斜率公式推導(dǎo)關(guān)系”，高效解決中點弦斜率、軌跡等問題。一、點差法的核心原理設(shè)圓錐曲線上兩點Ax1y1、Bx2y1.代入方程：將A、B坐標(biāo)分別代入圓錐曲線方程；2.作差變形：兩式相減，利用平方差公式分解（如x13.關(guān)聯(lián)斜率：結(jié)合中點坐標(biāo)公式，推導(dǎo)弦AB的斜率kAB=y二、不同曲線的點差法公式（核心結(jié)論）1.橢圓：x2a2+y(1)作差推導(dǎo)：x1(2)核心公式：kAB?y0x2.雙曲線：x2a2?y同理推導(dǎo)，核心公式：kAB?y0x3.拋物線：y2=2px（p>0）(1)作差推導(dǎo)：y1(2)核心公式：kAB=py0三、點差法的典型應(yīng)用場景1.求中點弦的斜率例：橢圓x216+y29=1中，過點M解：直接套用橢圓公式，kAB2.求過定點的中點弦方程關(guān)鍵：先由點差法求斜率，再用點斜式寫方程，驗證斜率不存在的情況（如垂直于x軸的弦）。3.求中點的軌跡方程例：雙曲線x2?y22解：由雙曲線公式kAB=b2x0a2y0，代入k=2、4.判斷中點弦是否存在關(guān)鍵：求出弦方程后，代入曲線方程，驗證判別式Δ>0（確保弦與曲線有兩個交點）。四、解題步驟（通用模板）1.設(shè)點：設(shè)弦的兩端點Ax1y1、2.代入：將A、B代入圓錐曲線方程，得到兩個等式；3.作差：兩式相減，分解因式，代入中點坐標(biāo)公式；4.求斜率：推導(dǎo)弦的斜率與中點坐標(biāo)的關(guān)系（套用對應(yīng)曲線公式）；5.求解：結(jié)合已知條件（如中點坐標(biāo)、斜率），求方程或軌跡；6.驗證：檢查斜率不存在、判別式正負(fù)等特殊情況。五、易錯點提醒1.遺漏斜率不存在的情況：當(dāng)中點在x軸上（y02.忽略軌跡范圍：中點軌跡需在圓錐曲線內(nèi)部（橢圓內(nèi)、雙曲線兩支之間等），避免增解；3.拋物線公式混淆：不同拋物線形式（如x2=2py）需重新推導(dǎo)，不可直接套用六、點差法解決橢圓中點問題A． B． C． D．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)斜率為的直線與橢圓交于?兩點，若線段的中點為，為坐標(biāo)原點，且直線的斜率存在，試判斷與的乘積是否為定值，若是請求出，若不是請說明理由.變式練習(xí)A． B． C． D．2(1)求橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程；七、點差法解決雙曲線中點問題A． B． C． D．（1）求雙曲線的方程．(1)求雙曲線C的方程；變式練習(xí)(1)求直線的方程；(2)若線段的垂直平分線與相交于，兩點，證明：，，，四點共圓.(1)若離心率為，求的值，的頂點坐標(biāo)、漸近線方程；八、點差法解決拋物線中點問題A． B． C． D．A．的斜率