專題27.6正多邊形與圓教學(xué)目標了解正多邊形的有關(guān)概念，如中心角、邊心距等；學(xué)會計算正多邊形的中心角、邊心距；掌握正多邊形與圓的綜合應(yīng)用．教學(xué)重難點1.重點（1）會求正多邊形的有關(guān)概念；（2）銳角的三角比在正多邊形與圓的應(yīng)用；（3）正多邊形與圓的有關(guān)作圖。2.難點（1）新定義題；新數(shù)學(xué)情景題；分類討論思想；（2）正多邊形與圓的綜合應(yīng)用。知識點1正多邊形與圓一、正多邊形的概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．要點：判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).二、正多邊形的重要元素1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．2.正多邊形的有關(guān)概念(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．3.正多邊形的有關(guān)計算(1)正ｎ邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；(2)正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是；(3)正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.要點：要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.三、正多邊形的性質(zhì)1.正多邊形都只有一個外接圓，圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形.2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個全等的直角三角形.3.正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓要點：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.四、正多邊形的畫法1.用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應(yīng)的正n邊形.2.用尺規(guī)等分圓對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.①正四、八邊形。在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。②正六、三、十二邊形的作法。通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點。顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點。同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分……。要點：畫正n邊形的方法：（1）將一個圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點.【即學(xué)即練】1．正四邊形的邊心距與邊長之比為（

）A． B．2 C． D．1A． B． C． D．4．已知正六邊形的半徑為4，則它的面積是（）5．如圖，已知AC為的直徑．請用尺規(guī)作圖法，作出的內(nèi)接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫作法）題型01求正多邊形中心角的度數(shù)【典例1】．正六邊形的中心角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式1】．正十邊形的中心角的度數(shù)為（）A．30 B． C．45 D．60【變式2】．將一個正八邊形繞著其中心旋轉(zhuǎn)后與原圖形重合，旋轉(zhuǎn)角的大小不可能是（

）A． B． C． D．題型02求正多邊形中心角的三角比【典例1】．正十二邊形中心角的余弦值為．【變式1】．正二十四邊形中心角的余弦值為．【變式2】．正四十八邊形中心角的十倍角的余弦值為．題型03由中心角求正多邊形的邊數(shù)【典例1】．若一個圓的內(nèi)接正多邊形的中心角為，則該正多邊形的邊數(shù)是（）A．14 B．18 C．16 D．20【變式1】．若一個正多邊形的中心角為，則這個正多邊形的邊數(shù)為（

）A．七 B．八 C．九 D．十A．16 B．12 C．10 D．8題型04求正多邊形的邊長或圓的半徑【典例1】．半徑為2的圓內(nèi)接正方形的邊長是（）【變式1】．邊長為a的正十邊形的半徑是（

）【變式2】．如圖，正十邊形的外接圓半徑為，則這個正十邊形的邊長為（

）A． B． C． D．題型05邊心距【典例1】．若正六邊形的邊長為1，那么正六邊形的中心角的度數(shù)是，半徑是，邊心距是，它的每一個內(nèi)角是．正n邊形的一個外角度數(shù)與它的角的度數(shù)相等．【變式1】．邊長為2的等邊三角形的邊心距是（

）【變式2】．若正六邊形外接圓的半徑為4，則它的邊心距為（）A．2 B． C．4 D．題型06邊心距的應(yīng)用【典例1】．等邊三角形的邊心距、半徑和高的比是（

）．【變式1】0．已知正多邊形的邊長為a，且它的一個外角是其內(nèi)角的一半，那么此正多邊形的邊心距是．題型07正多邊形與圓的綜合應(yīng)用【變式1】．如圖，、和分別為⊙內(nèi)接正方形，正六邊形和正邊形的一邊，則是．【變式4】．已知一個圓與一個角的兩邊各有兩個公共點，且在兩邊上截得的兩條弦正好是該圓內(nèi)接正五邊形的兩條邊，那么這個角的大小是．題型08解答題(1)求的長度；(2)若G為的中點，連接，求的長度．(1)求點O到的距離；一、單選題1．一個圓的半徑為4，則該圓的內(nèi)接正方形的邊長為（

）．2．若一個正n邊形(n為大于2的整數(shù)）的半徑為r，則這個正n變形的邊心距為（

）3．⊙O是一個正n邊形的外接圓，若⊙O的半徑與這個正n邊形的邊長相等，則n的值為（

）A．3 B．4 C．6 D．8C．邊心距為 D．邊長為5．如果某正多邊形的外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的倍，那么這個正多邊形的邊數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．無法確定A． B． C． D．二、填空題7．正八邊形的中心角等于度．8．正二十四邊形中心角的余弦值為．9．邊長為3的正六邊形的邊心距為10．等邊三角形面積為a，外接圓面積為11．在正六邊形中，若最長對角線長為4，最短對角線長為12．對角線條數(shù)和邊數(shù)相同的正多邊形的中心角的余弦值為13．一個正多邊形的邊長為2，中心角為，則這個正多邊形的周長是．15．以銳角中正切值和余切值相等的銳角為中心角的正多邊形的對角線條數(shù)為．18．正六邊形是所有邊相等、所有內(nèi)角相等的六邊形．在正六邊形的邊上取三點，若三點構(gòu)成的三角形為等邊三角形，則稱該組成的圖形為“優(yōu)美圖形”，等邊三角形的邊長為“優(yōu)美邊長”．如圖，“優(yōu)美圖形”中正六邊形的邊長為3，則“優(yōu)美邊長”的取值范圍為．三、解答題【初步感知】【實踐探究】【拓展延伸】22．如圖M、N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC、正方形AB