2025年考研數(shù)學(xué)三概率論專項(xiàng)訓(xùn)練試卷及答案考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項(xiàng)：1.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效。2.字跡工整，卷面整潔。3.考試時(shí)間為180分鐘。一、選擇題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙上。1.設(shè)事件A和B滿足P(A|B)=P(A)，且P(B)>0，則下列選項(xiàng)中一定成立的是（）。（A）P(A|B^c)=P(A^c|B)（B）A與B相互獨(dú)立（C）P(A)>P(B)（D）P(A∪B)=P(A)+P(B)2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，則下列關(guān)于F(x)的說法中，正確的是（）。（A）F(x)一定單調(diào)不減（B）F(x)一定是連續(xù)函數(shù)（C）F(x)一定有界，且F(-∞)=0，F(xiàn)(+∞)=1（D）F(x)的導(dǎo)數(shù)一定是隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)3.設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立同分布，均服從參數(shù)為λ（λ>0）的泊松分布，則E[X(Y-X)]等于（）。（A）λ^2（B）λ（C）0（D）2λ4.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)，且f(x,y)關(guān)于x和y對(duì)稱，即f(x,y)=f(y,x)。若E[X]=1，E[Y]=2，則E[X+Y]等于（）。（A）3（B）4（C）1（D）無法確定5.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差σ(X,Y)=1，X和Y的方差分別為Var(X)=4，Var(Y)=9，則X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ(X,Y)等于（）。（A）1/3（B）1/2（C）3/4（D）4/3二、填空題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。請(qǐng)將答案寫在答題紙上。6.設(shè)事件A和B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.5，則P(A∪B^c)=。7.一個(gè)袋中有5個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中不放回地依次取出兩個(gè)球，則取出的兩個(gè)球顏色不同的概率為。8.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n=10，p=0.2的二項(xiàng)分布，則P{X≥2}=。9.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=(k+1)/20,k=1,2,3。則E[X]=。10.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)={c(x-1),1<x<30,其他則常數(shù)c=。11.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)={2x,0<x<10,其他則P{X^2<0.25}=。12.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)={e^{-(x+y)},x>0,y>00,其他則P{X<Y}=。13.設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立，且X均勻分布于(0,1)，Y服從指數(shù)分布E(2)，則E[XY]=。14.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差為σ(X,Y)=2，則Var(2X-3Y)=。15.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ(X,Y)=0.5，Var(X)=9，Var(Y)=16，則Cov(X,Y)=。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.（本小題滿分12分）甲、乙兩人約定在下午1點(diǎn)到2點(diǎn)之間在某地會(huì)面。他們約定先到者等待另一人15分鐘，過時(shí)就離開。假設(shè)兩人在下午1點(diǎn)到2點(diǎn)之間（60分鐘內(nèi)）的任何時(shí)刻到達(dá)都是等可能的，求兩人能會(huì)面的概率。17.（本小題滿分12分）設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)={0,x≤0x^2,0<x<11,x≥1（1）求X的密度函數(shù)f(x)；（2）求P{X<1/2}。18.（本小題滿分14分）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)={kxy,0<x<1,0<y<x0,其他（1）確定常數(shù)k；（2）求邊緣密度函數(shù)f_X(x)和f_Y(y)；（3）判斷X和Y是否相互獨(dú)立。19.（本小題滿分15分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布N(0,1)。令Z=X^2+Y^2。求Z的密度函數(shù)f_Z(z)。20.（本小題滿分16分）設(shè)總體X的均值E[X]=μ，方差Var(X)=σ^2（σ^2>0）未知。X1,X2,...,Xn是來自總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本?？紤]如下兩個(gè)估計(jì)量：\(\hat{\mu}_1=\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\)\(\hat{\mu}_2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2\)（1）證明\(\hat{\mu}_1\)是μ的無偏估計(jì)量；（2）證明\(\hat{\mu}_2\)不是μ的無偏估計(jì)量，并指出其期望值表達(dá)式（用σ^2表示）；（3）比較\(\hat{\mu}_1\)和\(\hat{\mu}_2\)作為μ估計(jì)量的有效性。---試卷答案一、選擇題1.B2.C3.C4.A5.B二、填空題6.0.77.15/288.1-36C_10^1(0.8)^1(0.2)^9-36C_10^0(0.8)^0(0.2)^10(或1-10*0.8^9*0.2-1*0.2^10)9.5/410.1/211.3/1612.1/2-e^(-1)13.1/414.2215.12三、解答題16.解析：設(shè)X表示甲到達(dá)時(shí)刻，Y表示乙到達(dá)時(shí)刻，X,Y～U(0,60)。兩人能會(huì)面意味著|X-Y|≤15。記A為兩人能會(huì)面的事件，則P(A)=P(|X-Y|≤15)=P(-15≤X-Y≤15)=P(X-15≤Y≤X+15)。在(0,60)×(0,60)的正方形區(qū)域內(nèi)，|X-Y|≤15表示一個(gè)寬30，長(zhǎng)60的帶狀區(qū)域，其面積為30×60-45×45=900。故P(A)=900/3600=3/4。答案：3/417.解析：f(x)=F'(x)={2x,0<x<10,其他P{X<1/2}=F(1/2)=(1/2)^2=1/4。答案：1/418.解析：（1）∫_0^1∫_0^xkxydydx=1。∫_0^1kx(0.5x^2)dx=∫_0^10.5kx^3dx=0.5k(1/4)=1。解得k=8。（2）f_X(x)=∫_0^x8xydy=8x(0.5y^2|_0^x)=4x^3,0<x<1;f_X(x)=0,其他。f_Y(y)=∫_y^18xydx=8y(x^2|_y^1)=8y(1-y^2-y^2)=8y(1-2y^2),0<y<1;f_Y(y)=0,其他。（3）f_X(x)f_Y(y)={32x^3y(1-2y^2),0<x<1,0<y<x0,其他顯然f_X(x)f_Y(y)≠f(x,y)，故X和Y不獨(dú)立。答案：（1）k=8（2）f_X(x)={4x^3,0<x<10,其他;f_Y(y)={8y(1-2y^2),0<y<10,其他（3）X和Y不獨(dú)立19.解析：Z=X^2+Y^2。由于X和Y獨(dú)立且N(0,1)，則X^2和Y^2獨(dú)立且同分布χ^2(1)。故Z=X^2+Y^2～χ^2(2)。其密度函數(shù)f_Z(z)={(1/2)e^(-z/2),z>00,z≤0答案：f_Z(z)={(1/2)e^(-z/2),z>00,z≤020.解析：（1）E[\bar{X}]=E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE[X_i]=\frac{1}{n}nμ=μ。故\(\hat{\mu}_1\)是μ的無偏估計(jì)量。（2）E[\hat{\mu}_2]=E[\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2]=E[\frac{1}{n-1}(S^2)]。對(duì)于樣本方差S^2，有E[S^2]=σ^2。但這里乘了系數(shù)\(\frac{1}{n-1}\)，其期望為\(\frac{1}{n-1}E[S^2]=\frac{1}{n-1}σ^2\)。故E[\hat{\mu}_2]=σ^2，不是μ的無偏估計(jì)量。答案：E[\hat{\mu}_2]=σ^2（3）有效性比較：Var(\(\hat{\mu}_1\))=Var(\(\bar{X}\))=\(\frac{1}{n^2}\)Var(\(\sum_{i=1}^nX_i\))=\(\frac{1}{n^2}\)nσ^2=\(\frac{σ^2}{n}\)。Var(\(\hat{\mu}_2\))=Var(\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2\))。由于\(\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2\)是n-1個(gè)獨(dú)立同分布χ^2(1)的和，故其分布為χ^2(n-1)，期望為n-1，方差為2(n-1)。Var(\(\hat{\mu}_2\))=\(\frac{1}{(n-1)^2}\)Var(\(\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2\))=\(\frac{1}{(n-1)^2}\)×2(n-1)