湖南省小學六年級下學期數(shù)學第七單元測試卷-圖形的認識與測量專題復習一、平面圖形的認識與測量（一）直線、射線與線段的特征辨析直線沒有端點，可以向兩端無限延伸，無法測量長度；射線有一個端點，只能向一端無限延伸，同樣無法測量長度；線段有兩個端點，不能延伸，能夠測量具體長度。在實際應用中，兩點之間的所有連線中，線段最短，這條線段的長度就是兩點間的距離。例如，從學校到圖書館有三條路可走，其中直線路徑最短，這就是線段性質的實際體現(xiàn)。我們還需要掌握用直尺畫指定長度線段的方法，以及線段的簡單加減計算，比如將兩條分別長5厘米和3厘米的線段首尾相連，總長度為8厘米。（二）角的分類與度量角是由一個頂點和兩條射線組成的圖形，通常用符號“∠”表示。根據(jù)角的度數(shù)大小，可分為銳角、直角、鈍角、平角和周角。銳角是大于0°小于90°的角，例如三角尺上30°和45°的角；直角等于90°，課本的corners就是直角；鈍角大于90°小于180°，像打開的扇子形成的角；平角等于180°，類似于一條直線；周角等于360°，相當于一條射線繞端點旋轉一周形成的角。這些角之間存在明確的大小關系：周角是平角的2倍，平角是直角的2倍，鈍角大于直角和銳角，銳角小于直角。量角時，需將量角器的中心與角的頂點重合，0°刻度線與角的一條邊重合，角的另一條邊所對的量角器刻度就是角的度數(shù)。畫指定度數(shù)的角時，先畫一條射線作為角的一邊，再按照量角器的使用方法確定另一條邊的位置。用三角尺可以直接畫出30°、45°、60°、90°的角，通過這些角的組合，還能畫出15°（45°-30°）、75°（45°+30°）、105°（60°+45°）等角度。（三）三角形的性質與面積計算三角形是由三條線段首尾相連圍成的封閉圖形，具有穩(wěn)定性，生活中自行車車架、屋頂桁架等結構都利用了這一特性。三角形按角分可分為銳角三角形（三個角都是銳角）、直角三角形（有一個角是直角）和鈍角三角形（有一個角是鈍角）；按邊分可分為等腰三角形（兩條邊相等）、等邊三角形（三條邊都相等）和不等邊三角形（三條邊都不相等）。等邊三角形是特殊的等腰三角形，它的三個角都是60°。三角形三邊關系是重要的知識點：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。例如，有三條線段分別長3厘米、4厘米和8厘米，因為3+4=7厘米<8厘米，所以這三條線段不能圍成三角形。三角形的內角和是180°，在一個直角三角形中，兩個銳角的和一定是90°；在等腰三角形中，如果已知一個頂角的度數(shù)，可以用（180°-頂角度數(shù)）÷2求出底角的度數(shù)。三角形的面積計算公式為：面積=底×高÷2，用字母表示為S=ah÷2。這里的底和高必須是相對應的，也就是從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，頂點和垂足之間的線段就是三角形的高，這條對邊就是底。在計算時，要注意單位的統(tǒng)一，比如底是5米，高是4分米，需要先將單位換算一致，再代入公式計算。例如，一個三角形的底是6厘米，高是4厘米，它的面積就是6×4÷2=12平方厘米。（四）四邊形的分類與周長、面積計算四邊形包括平行四邊形、長方形、正方形、梯形等。平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等，對角相等，具有不穩(wěn)定性，容易變形，伸縮門就是利用了平行四邊形的這一特性。長方形是特殊的平行四邊形，它的四個角都是直角，對邊相等；正方形又是特殊的長方形，它的四條邊都相等，四個角都是直角。梯形只有一組對邊平行，這組平行的邊分別叫做梯形的上底和下底，不平行的兩邊叫做梯形的腰，兩腰相等的梯形是等腰梯形，有一個角是直角的梯形是直角梯形。長方形的周長=（長+寬）×2，面積=長×寬；正方形的周長=邊長×4，面積=邊長×邊長。例如，一個長方形的長是8米，寬是5米，它的周長是（8+5）×2=26米，面積是8×5=40平方米；一個正方形的邊長是6分米，周長是6×4=24分米，面積是6×6=36平方分米。平行四邊形的面積=底×高，用字母表示為S=ah。這個公式的推導可以通過割補法將平行四邊形轉化為長方形，轉化后的長方形的長等于平行四邊形的底，寬等于平行四邊形的高，所以面積也就等于底乘高。梯形的面積=（上底+下底）×高÷2，用字母表示為S=（a+b）h÷2。推導時，可以將兩個完全一樣的梯形拼成一個平行四邊形，拼成的平行四邊形的底等于梯形的上底與下底之和，高等于梯形的高，每個梯形的面積就是這個平行四邊形面積的一半。（五）圓的特征與周長、面積計算圓是由一條曲線圍成的封閉圖形，圓中心的一點叫做圓心，用字母O表示；連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑，用字母r表示；通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑，用字母d表示。在同一個圓里，有無數(shù)條半徑，所有半徑的長度都相等；有無數(shù)條直徑，所有直徑的長度也都相等，且直徑的長度是半徑的2倍，即d=2r或r=d÷2。圓的周長是指圍成圓的曲線的長度，圓周率π是圓的周長與直徑的比值，通常取3.14。圓的周長計算公式為C=πd或C=2πr。例如，一個圓的直徑是10厘米，它的周長就是3.14×10=31.4厘米；一個圓的半徑是4分米，周長就是2×3.14×4=25.12分米。圓的面積計算公式為S=πr2。推導時，可以將圓平均分成若干個小扇形，然后拼成一個近似的長方形，這個長方形的長相當于圓周長的一半（πr），寬相當于圓的半徑（r），所以圓的面積就等于πr×r=πr2。比如，一個圓的半徑是5米，它的面積就是3.14×52=78.5平方米。在實際問題中，還會遇到圓環(huán)的面積計算，圓環(huán)的面積等于外圓面積減去內圓面積，即S=π（R2-r2），其中R是外圓半徑，r是內圓半徑。二、立體圖形的認識與測量（一）長方體和正方體的特征與表面積、體積計算長方體和正方體都有6個面、12條棱和8個頂點。長方體的6個面一般都是長方形（特殊情況下有兩個相對的面是正方形），相對的面面積相等；12條棱分為3組，分別是4條長、4條寬和4條高，相對的棱長度相等。正方體的6個面都是正方形，6個面的面積都相等；12條棱的長度都相等，正方體是特殊的長方體。長方體的棱長總和=（長+寬+高）×4，正方體的棱長總和=棱長×12。例如，一個長方體的長是5厘米，寬是4厘米，高是3厘米，它的棱長總和是（5+4+3）×4=48厘米；一個正方體的棱長是6分米，棱長總和是6×12=72分米。長方體的表面積是指長方體6個面的總面積，計算公式為S=2（ab+ah+bh），其中a、b、h分別表示長方體的長、寬、高。正方體的表面積=棱長×棱長×6，用字母表示為S=6a2。在實際生活中，計算物體的表面積時，有時不需要計算所有面的面積，比如計算無蓋長方體水箱的表面積，就只需要計算5個面的面積。體積是指物體所占空間的大小，容積是指容器所能容納物體的體積。常用的體積單位有立方米（m3）、立方分米（dm3）、立方厘米（cm3），容積單位有升（L）和毫升（mL），1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。長方體的體積=長×寬×高，用字母表示為V=abh；正方體的體積=棱長×棱長×棱長，用字母表示為V=a3。長方體和正方體的體積還可以用底面積×高來計算，即V=Sh，其中S是底面積，h是高。例如，一個長方體的長是8厘米，寬是5厘米，高是3厘米，體積就是8×5×3=120立方厘米；一個正方體的棱長是4米，體積就是4×4×4=64立方米。（二）圓柱和圓錐的特征與體積計算圓柱是由兩個大小相等、互相平行的圓形底面和一個曲面?zhèn)让鎳傻膸缀误w。圓柱的兩個底面之間的距離叫做圓柱的高，圓柱有無數(shù)條高，且所有高的長度都相等。圓柱的側面展開圖是一個長方形，這個長方形的長等于圓柱底面的周長，寬等于圓柱的高。如果圓柱的底面周長和高相等，側面展開圖就是一個正方形。圓柱的表面積=側面積+兩個底面積，側面積=底面周長×高，即S側=Ch=2πrh，底面積=πr2，所以圓柱的表面積S=2πrh+2πr2。圓柱的體積=底面積×高，用字母表示為V=Sh=πr2h。例如，一個圓柱的底面半徑是3厘米，高是5厘米，它的側面積是2×3.14×3×5=94.2平方厘米，底面積是3.14×32=28.26平方厘米，表面積是94.2+28.26×2=150.72平方厘米，體積是28.26×5=141.3立方厘米。圓錐是由一個圓形底面和一個曲面?zhèn)让鎳傻膸缀误w，圓錐只有一個頂點，從圓錐的頂點到底面圓心的距離叫做圓錐的高，圓錐只有一條高。圓錐的體積=底面積×高×1/3，用字母表示為V=1/3Sh=1/3πr2h。這個公式可以通過實驗推導得出，等底等高的圓柱和圓錐，圓錐的體積是圓柱體積的1/3。例如，一個圓錐的底面直徑是6分米，高是4分米，底面半徑是3分米，底面積是3.14×32=28.26平方分米，體積就是1/3×28.26×4=37.68立方分米。在解決與圓柱和圓錐相關的實際問題時，要注意區(qū)分體積和表面積的計算，以及根據(jù)具體情況選擇合適的公式。比如，計算圓柱形水桶能裝多少水，是求它的容積，也就是體積；計算制作圓柱形煙囪需要多少鐵皮，是求它的側面積。三、圖形的位置與變換（一）圖形的位置確定在平面上確定物體的位置，可以用數(shù)對來表示。數(shù)對是由兩個數(shù)組成的，中間用逗號隔開，外面用小括號括起來，如（3，5），其中第一個數(shù)表示列數(shù)，第二個數(shù)表示行數(shù)。例如，在教室里，小明坐在第4列第2行，用數(shù)對表示就是（4，2）。我們還可以根據(jù)方向和距離來確定物體的位置，比如“學校在小明家北偏東30°方向，距離200米處”，這里的北偏東30°是方向，200米是距離。（二）圖形的變換圖形的變換包括平移、旋轉和軸對稱。平移是指物體在平面內沿著某個方向移動一定的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置。例如，推拉窗戶的運動就是平移現(xiàn)象。旋轉是指物體繞著一個固定的點或軸轉動一定的角度，旋轉也不改變圖形的形狀和大小，只是改變圖形的方向和位置。像鐘面上指針的轉動、風車的轉動都是旋轉現(xiàn)象。軸對稱圖形是指如果一個圖形沿著一條直線對折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，這條直線就是這個圖形的對稱軸。常見的軸對稱圖形有長方形、正方形、等腰三角形、等邊三角形、圓等。長方形有2條對稱軸，正方形有4條對稱軸，等腰三角形有1條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。在圖形的變換中，我們可以通過平移和旋轉將復雜的圖形轉化為簡單的圖形，或者設計出各種美麗的圖案。例如，很多剪紙作品就是通過軸對稱和旋轉等變換方式創(chuàng)作出來的。四、圖形與生活的聯(lián)系及實際應用圖形的認識與測量在生活中有著廣泛的應用。比如，在建筑設計中，工程師需要精確計算各種平面圖形的面積和立體圖形的體積，以確定建筑物的結構和用料；在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，農(nóng)民需要測量土地的面積來計算播種量和收成；在日常生活中，我們購買圓形的餐桌時，需要根據(jù)餐廳的面積和人數(shù)來選擇合適直徑的餐桌；包裝禮物時，要根據(jù)禮物的形狀和大小選擇合適的包裝盒，計算包裝盒的表面積和體積，以節(jié)省包裝材料。在解決實際問題時，我們需要先明確題目中的已知條件和所求問題，然后選擇合適的圖形公式進行計算。例如，一個圓柱形的蓄水池，底面直徑是10米，深是3米，求這個蓄水池的占地面積和最多能蓄水多少立方米。首先，占地面積就是圓柱的底面積，底面半徑是10÷2=5米，底面積是3.14×52=78.5平方米；蓄水量就是圓柱的體積，體積是78.5×3=235.5立方米。另外，在進行單位換算時，要注意不同單位之間的進率。長度單位中，1千米=1000米，1米=10分米，1分米=10厘米，1厘米=10毫米；面積單位中，1平方千米=100公頃，1公頃=10000平方米，1平方米=100平方分米，1平方分米=100平方厘米；體積單