/1.1探索勾股定理一、單選題1．“勾股定理”被稱為“千古第一定理”，其證明的方法多種多樣．中國(guó)漢代數(shù)學(xué)家在注釋《周髀算經(jīng)》時(shí)給出一個(gè)圖形，后來(lái)人們稱它為“趙爽弦圖”．這個(gè)圖形是（

）A． B． C． D．2．如圖1是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”，它是由4個(gè)全等的直角三角形與中間的1個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．已知圖1中的，將其重新拼接后，恰可以拼成如圖2所示的平行四邊形，則此時(shí)對(duì)角線的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．如圖，x軸、y軸上分別有兩點(diǎn)A(3，0)、B(0，2)，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的弧交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）A．(﹣1，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(3，0)4．如圖，是的角平分線，，則點(diǎn)D到的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．55．如圖，《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，問(wèn)折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折斷后，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，求折斷處離地面的高度．設(shè)竹子折斷處離地面尺，根據(jù)題意，列出的正確方程為（

）A． B．C． D．6．如圖，已知中，點(diǎn)D，E分別為直角邊，上的點(diǎn)，已知，若，，則知道下列哪個(gè)代數(shù)式的值便可求出四邊形的面積（

）A． B． C． D．7．在中，，且，，則的值是（

）A．1 B． C．5 D．78．下列各數(shù)中，能與6，10構(gòu)成一組勾股數(shù)的是（

）A．6 B．8 C．10 D．129．如圖，圓柱的底面直徑為，高為，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路徑是（注：取3）（

）A． B． C． D．10．直角三角形的斜邊為20cm，兩條直角邊之比為3∶4，那么這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為（

）A．27cm B．30cm C．40cm D．48cm11．已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)的平方是（

）A．25 B．14 C．7 D．7或2512．學(xué)完勾股定理之后，同學(xué)們想利用升旗的繩子、卷尺，測(cè)算出學(xué)校旗桿的高度．愛(ài)動(dòng)腦筋的小明這樣設(shè)計(jì)了一個(gè)方案：將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端5米處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約1米．則小明算出旗桿的高度為（

）A．10米 B．12米 C．13米 D．15米二、填空題13．如圖，菱形的邊長(zhǎng)為5，，E是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C、D重合），把沿著直線翻折，如果點(diǎn)D落在菱形一條邊的延長(zhǎng)線上，那么的長(zhǎng)為．14．如圖，在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，將線段繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，則的長(zhǎng)是．15．如圖所示，是一塊由花園小道圍成的邊長(zhǎng)為12米的正方形綠地，在離處5米的綠地旁邊處有健身器材，為保護(hù)綠地，不直接穿過(guò)綠地從到，而是沿小道從，這樣多走了米．16．如圖，在中，，分別以，為邊在外部作正方形和正方形，連接，若，，則的值為．17．《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)．問(wèn)甲、乙行各幾何．”大意是說(shuō)：已知甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲每單位時(shí)間走7步，乙每單位時(shí)間走3步．乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．那么相遇時(shí)，甲、乙各走了多遠(yuǎn)？若設(shè)二人從出發(fā)到相遇用x個(gè)單位時(shí)間，則根據(jù)題意列方程為．三、解答題18．如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)．點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，．(1)求證：；(2)若，，求的面積．19．項(xiàng)目式學(xué)習(xí)任務(wù)名稱利用勾股定理測(cè)量隧道高度工具配備皮尺、計(jì)算器、記錄本數(shù)據(jù)測(cè)量在筆直的公路旁有一座山，為方便交通，現(xiàn)要從公路邊上用盾構(gòu)機(jī)開(kāi)通一條隧道，已知隧道上端點(diǎn)到的距離為13米，到的距離為20米，長(zhǎng)度為21米，且．模型構(gòu)建任務(wù)解決（1）求的長(zhǎng)度；（2）若在點(diǎn)向公路垂直樹(shù)立一根長(zhǎng)10米的撐桿，請(qǐng)問(wèn)是否可以做到？20．如圖，為上一點(diǎn)，，，，，交于點(diǎn)，且．(1)判斷線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)連接，，若設(shè)，，，利用此圖驗(yàn)證勾股定理．21．如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的邊長(zhǎng)為．(1)求A，B，C，D四個(gè)正方形的面積之和．(2)若其中每個(gè)直角三角形的最短邊與最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度之比都為3：5，求正方形A，B，C，D的面積．22．如圖，在中，，D是上的一點(diǎn)，．求的面積．23．如圖，有四個(gè)斜邊為c的全等直角三角形，已知其直角邊長(zhǎng)為a，b．拼接成以c為邊長(zhǎng)的正方形，試?yán)眠@個(gè)圖形驗(yàn)證勾股定理．24．【問(wèn)題情境】某數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．【實(shí)踐發(fā)現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組實(shí)地勘查發(fā)現(xiàn)：系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子的長(zhǎng)度未知．【實(shí)踐探究】設(shè)計(jì)測(cè)量方案：第一步：先測(cè)量比旗桿多出的部分繩子的長(zhǎng)度，測(cè)得多出部分繩子的長(zhǎng)度是；第二步：把繩子向外拉直，繩子的底端恰好接觸地面的點(diǎn)，再測(cè)量繩子底端與旗桿根部點(diǎn)之間的距離，測(cè)得距離為．【解決問(wèn)題】設(shè)旗桿的高度為，通過(guò)計(jì)算即可求得旗桿的高度．(1)用含的式子表示為_(kāi)____；(2)請(qǐng)你求出旗桿的高度．《1.1探索勾股定理》參考答案題號(hào)12345678910答案ABDBCABBBD題號(hào)1112答案DB1．A【分析】本題考查“趙爽弦圖”的圖形特征，對(duì)選項(xiàng)中的圖形進(jìn)行判斷．“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形組成的大正方形圖案．【詳解】解：A、是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形組成的大正方形，符合“趙爽弦圖”的特征；B、是由四個(gè)直角三角形組成的大正方形，但直角三角形的排列方式與“趙爽弦圖”不符；C、是由正方形和三角形組成的圖形，不符合“趙爽弦圖”的特征；D、是由三角形組成的大三角形，不符合“趙爽弦圖”的特征；故選：A．2．B【分析】此題考查了勾股定理和完全平方式，設(shè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)邊為、短邊為，則，根據(jù)面積得，則，由圖可知，，，則計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)邊為、短邊為，結(jié)合圖1和圖2可知，連接,過(guò)點(diǎn)G作交的延長(zhǎng)線與點(diǎn)M，∵，∴，∴，由圖可知，，，則，故選：．3．D【分析】根據(jù)勾股定理求得AB，然后根據(jù)圖形推知AC＝AB，則OC＝AC﹣OA，所以由點(diǎn)C位于x軸的負(fù)半軸來(lái)求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，∵A（3，0）、B（0，2），∴OA＝3，OB＝2，∴在直角△AOB中，由勾股定理得AB．又∵以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的弧交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，∴AC＝AB＝，∴OC＝AC﹣OA3．又∵點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，∴C（3，0）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．解題時(shí)，注意點(diǎn)C位于x軸的負(fù)半軸，所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)．4．B【分析】本題主要考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)D作于E，先利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作于E，在中，，由勾股定理得，∵是的角平分線，，，∴，∴D到的距離為3，故選：B．5．C【分析】本題考查了利用勾股定理建立方程解決實(shí)際問(wèn)題．根據(jù)題目設(shè)出的未知數(shù)，將直角三角形的斜邊的長(zhǎng)度表示為，再利用勾股定理建立方程．【詳解】解：∵竹子原高十尺，竹子折斷處離地面x尺，∴圖中直角三角形的斜邊長(zhǎng)尺，根據(jù)勾股定理建立方程得：，故選：C．6．A【分析】本題考查了勾股定理、代數(shù)式以及三角形面積等知識(shí)，設(shè)，，，則，，根據(jù)勾股定理得：，，再求出四邊形的面積的面積的面積，，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：設(shè)，，，則，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，四邊形的面積，且四個(gè)選項(xiàng)中只有，知道的值便可求出四邊形的面積，故選：A．7．B【分析】本題考查了勾股定理，正確應(yīng)用勾股定理確定各邊長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵．直接利用勾股定理得出的值即可．【詳解】解：在中，，且，，∴，故選：B．8．B【分析】本題考查勾股數(shù)的定義，即三個(gè)正整數(shù)滿足兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方．需逐一驗(yàn)證選項(xiàng)中的數(shù)是否與6、10構(gòu)成勾股數(shù)．【詳解】勾股數(shù)要求三個(gè)正整數(shù)滿足（其中為最大數(shù)）．A：三個(gè)數(shù)為6、6、10，最大數(shù)為10．，不符合條件．B：三個(gè)數(shù)為6、8、10，最大數(shù)為10．，符合條件．C：三個(gè)數(shù)為6、10、10，最大數(shù)為10．，不符合條件．D：三個(gè)數(shù)為6、10、12，最大數(shù)為12．，不符合條件．綜上，只有選項(xiàng)B滿足勾股數(shù)的條件，故選B．9．B【分析】此題考查的是平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，此題最直接的解法就是將圓柱側(cè)面進(jìn)行展開(kāi)，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】在側(cè)面展開(kāi)圖中，的長(zhǎng)等于底面圓周長(zhǎng)的一半，即，∵根據(jù)勾股定理得：，∴從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路徑長(zhǎng)，故選：B．10．D【詳解】試題分析：可根據(jù)一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)的比是3：4，得出兩直角邊為3x，4x，再利用勾股定理，直接代入即可求得結(jié)果．∵一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)的比是3：4，∴設(shè)兩條直角邊長(zhǎng)的長(zhǎng)是3x，4x，∴（3x）2+（4x）2=202，解得：x=4或-4（不合題意舍去）∴3x=12，4x=16，∴這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是：12+16+20=48cm．故選D.考點(diǎn)：本題考查的是勾股定理的應(yīng)用點(diǎn)評(píng)：利用兩直角邊的比值表示出兩直角邊的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．11．D【分析】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想求解．已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，所以求第三邊的長(zhǎng)必須分類討論，即4是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解．【詳解】解：①若4是直角邊，則第三邊x是斜邊，由勾股定理，得，所以；②若4是斜邊，則第三邊x為直角邊，由勾股定理，得，所以；故或7，故選：D．12．B【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程，再求解．設(shè)旗桿長(zhǎng)為x米，則繩長(zhǎng)為米，根據(jù)勾股定理即可列方程求解．【詳解】解：設(shè)旗桿長(zhǎng)為x米，則繩長(zhǎng)為米，則由勾股定理可得：，解得，答：旗桿的高度為12米．故選：B．13．或1【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，由折疊得，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)G，得由菱形的性質(zhì)得，可得，設(shè)則由勾股定理得由折疊得而，在中由勾股定理得，解方程求出的值即可解決問(wèn)題；當(dāng)點(diǎn)F落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，由折疊的性質(zhì)得，由菱形的性質(zhì)得，利用，求的得利用即可求出．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)D落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)G，點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，如圖，由折疊得，∴，∵，∴∴∴∵四邊形是菱形，∴∴∴設(shè)則，由折疊得，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴解得，，∴當(dāng)點(diǎn)F落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，由折疊的性質(zhì)得，由菱形的性質(zhì)得，∴，即∴，綜上，的長(zhǎng)為或1．故答案為：或1．14．【分析】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，可求，，因?yàn)樾D(zhuǎn)，可知，，易證四邊形和四邊形為矩形，則，，，，進(jìn)而可求，，在中，勾股定理可求的長(zhǎng)．本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，，，將線段繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，在四邊形中，，，，四邊形是矩形，，，，在四邊形中，，，，四邊形為矩形，，，，，在中，由勾股定理得，．故答案為：．15．4【分析】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確的運(yùn)用勾股定理求．在直角中，為斜邊，已知，，則根據(jù)勾股定理可以求斜邊，根據(jù)少走的距離為可以求解．【詳解】解：在中，為斜邊，米，少走的距離為（米），故答案為：4．16．【分析】本題考查三角形全等，勾股定理，正方形的性質(zhì)：過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于，構(gòu)造，得到，根據(jù)，，結(jié)合勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于，則，又∵，∵四邊形和四邊形是正方形，中，故答案為：．17．【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題列一元二次方程、勾股定理的應(yīng)用，由題意得出，，，，由勾股定理即可解答．【詳解】解：如圖：設(shè)二人從出發(fā)到相遇用x個(gè)單位時(shí)間，由題意得：，，，，由勾股定理可得：，∴，故答案為：．18．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得，再根據(jù)在同圓中，相等的弧所對(duì)的圓周角相等得，再根據(jù)相似三角形的判定定理證明，由相似三角形的性質(zhì)便可得出結(jié)論；（2）先求得的面積，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求得結(jié)果．【詳解】（1）證明：是的直徑，弦，，，，，，；（2）解：點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，于點(diǎn)，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是在于證明．19．（1）的長(zhǎng)度為米；（2）可以做到．【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．（1）設(shè)的長(zhǎng)度為x米，用兩種方法表示，進(jìn)而聯(lián)立求解即可；（2）求出的長(zhǎng)，然后比較即可．【詳解】（1）設(shè)的長(zhǎng)度為x米，則米，由題意知，，，，，解得：，即的長(zhǎng)度為米；（2）由勾股定理可知，（米），∵，∴可以做到．20．(1)，理由見(jiàn)解析(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的證明，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)可證明，則，．又因?yàn)?，代換線段可得答案；（2）根據(jù)列出等式，化簡(jiǎn)即可得到答案．【詳解】（1）解：結(jié)論：．理由：如圖，，，．又，．，，．在和中，，，，．又，．（2）證明：，∴，由（1）得，，作于，，，，，由平行線間距離處處相等可知，∴，，．21．(1)(2)正方形，，，的面積分別為：，，，【分析】（1）按照?qǐng)D形，根據(jù)勾股定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理，列方程解答即可．【詳解】（1）解：如圖所示：依次設(shè)三個(gè)空白正方形為，，由勾股定理可得：正方形的面積正方形的面積正方形的面積，正方形的面積正方形的面積正方形的面積；正方形的面積正方形的面積正方形的面積，，，，四個(gè)正方形的面積之和正方形的面積，答：，，，四個(gè)正方形的面積之和為；（2）解：每個(gè)直角三角形的最短邊與最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度之比都為，設(shè)中間的直角三角形的較短