第1頁（共1頁）2025-2026學(xué)年廣東省深圳市南山外國語學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一.選擇題（每題3分，共24分）1．（3分）如圖是物理學(xué)中經(jīng)常使用的U型磁鐵示意圖，其俯視圖是（）A． B． C． D．2．（3分）將一元二次方程2x2+4＝3x化為一般形式為（）A．2x2+4﹣3x＝0 B．2x2﹣3x﹣4＝0 C．2x2﹣3x+4＝0 D．2x2+3x+4＝03．（3分）下列四個命題中，錯誤的命題是（）A．四條邊都相等的四邊形是菱形 B．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形 C．一條線段一定有兩個黃金分割點 D．一組對邊平行且相等，對角線垂直且相等的四邊形是正方形4．（3分）如圖，一條線段AB在平面Q內(nèi)的正投影為A'B'，AB＝2，則AB與A'B'的夾角為（）A．45° B．30° C．60° D．以上都不對5．（3分）生物學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，人體許多特征都是由基因決定的．如人的卷舌性狀由常染色體上的一對基因決定，決定能卷舌的基因R是顯性的，因此決定能否卷舌的一對基因有RR，Rr，其中基因為RR和Rr的人能卷舌，基因為rr的人不能卷舌，則他們的子女可以卷舌的概率為（）A． B． C． D．6．（3分）深圳前海某工地有一塊長方形空地，長比寬多10米．施工隊在這塊空地的四周鋪設(shè)了一條寬度為2米的硬化路面，路面的面積恰好是216平方米．設(shè)這塊空地的寬為x米（）A．（x+4）（x+14）﹣x（x+10）＝216 B．（x+2）（x+12）﹣x（x+10）＝216 C．（x+4）（x+12）﹣x（x+10）＝216 D．（x+2）（x+14）﹣x（x+10）＝2167．（3分）如圖1，將邊長為2的正方形剪成四塊，將這四塊圖形恰好無縫隙無重疊地拼成如圖2所示的圖形（點D，G，H，C在同一直線上，點D，F(xiàn)，B在同一直線上）（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，E為AB的中點，F(xiàn)為EC上一動點，連接PB，則PB的最小值是（）A． B．3 C． D．4二.填空題（每題3分，共15分）9．（3分）如圖，已知面積為20的正方形二維碼，為估算二維碼中黑色部分的面積，若有65個點在黑色部分，則二維碼中黑色部分的面積約為．10．（3分）已知關(guān)于x的方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是．11．（3分）開封鐵塔，又稱“開寶寺塔”，是北宋時期（公元960﹣1127年），被譽(yù)為“天下第一塔”．某小組用自制的菱形測高儀ABCD測量塔高，其邊長為0.5m，OB＝0.4m，當(dāng)測角儀的頂點D，系在頂點A處的鉛垂線恰好過點O和頂點C．經(jīng)測量點B到EF的距離為63.2m，點B到地面的距離為1.2m米．12．（3分）已知四邊形ABCD，∠ABC＝90°，∠ACB+∠BCD＝90°，若AB＝1，BD＝5．13．（3分）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個直角三角形，在剩下的紙片中再沿一條直線剪掉一個直角三角形（剪掉的兩個直角三角形相似），其中∠A＝90°，AB＝9，CD＝6，AD＝2．三.解答題（共61分，14題8分，15題6分，16題9分，17題8分，18題8分，19題10分，20題12分）14．（8分）解下列方程：（1）x2﹣4x+2＝0；（2）3x（x﹣1）＝2x﹣2．15．（6分）如圖，△ABC三個頂點坐標(biāo)分別為A（﹣4，0）、B（0，2）（﹣2，4）．（1）如圖，△A1B1C1三個頂點坐標(biāo)分別為A1（2，0）、B1（0，﹣1）、C1（1，﹣2），△A1B1C1是△ABC通過位似變換得到的，請寫出位似中心；△A1B1C1和△ABC位似比為；（2）作圖：請在線段AB上找一點M使得AM：BM＝2：3．16．（9分）某校為了解學(xué)生身體健康狀況，從全校1000名學(xué)生的體質(zhì)健康測試結(jié)果登記表中，隨機(jī)選取了部分學(xué)生的測試數(shù)據(jù)進(jìn)行初步整理（如表）（如圖）．學(xué)生體質(zhì)健康統(tǒng)計表成績頻數(shù)百分比不及格3a及格b20%良好45c優(yōu)秀3232%（1）a＝、b＝、c＝；（2）估計該校學(xué)生體質(zhì)健康測試結(jié)果為“不及格”的總?cè)藬?shù)；（3）為聽取測試建議，學(xué)校選出了3名“良好”和1名“優(yōu)秀”學(xué)生，再從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參加學(xué)校體質(zhì)健康測試交流會．請用列表或畫樹狀圖的方法，一名“優(yōu)秀”的概率．17．（8分）芯片目前是全球緊缺資源，某市政府通過招商引進(jìn)“芯屏汽合、集終生智”等優(yōu)勢產(chǎn)業(yè)，發(fā)展新興產(chǎn)業(yè)，開工第一季度生產(chǎn)200萬個，第三季度生產(chǎn)288萬個．試回答下列問題：（1）已知每季度生產(chǎn)量的平均增長率相等，求前三季度生產(chǎn)量的平均增長率；（2）經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，1條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是600萬個/季度，若每增加1條生產(chǎn)線，現(xiàn)該公司要保證每季度生產(chǎn)內(nèi)存芯片2600萬個，在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入成本的條件下（生產(chǎn)線越多，投入成本越大）18．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是AD和BC的中點，連接OG，使得．（1）求證：四邊形AFCE為菱形；（2）若AC＝8，EF＝6，求OG的長．19．（10分）【閱讀理解】在不等式領(lǐng)域中有一個重要結(jié)論叫“均值不等式”，表述如下：對于任意的正數(shù)a，b，都有a+b≥2，等號成立，這個結(jié)論是解決最值問題的有力工具．例如：若x＞0時，即x+≥2”，即x＝1時，等號成立有最小值為2．【類比求值】（1）填空：若x＞0，則x+，此時x＝；【拓展應(yīng)用】（2）若x＞0，求代數(shù)式；【問題解決】（3）現(xiàn)有一個面積為1.5的銳角三角形ABC，按照如圖所示的方式裁剪正方形DEFG設(shè)DE＝x，AC＝a，AC邊上的高BH＝h．①請你補(bǔ)充該小組的推導(dǎo)過程；②該小組發(fā)現(xiàn)要使得內(nèi)接正方形面積S最大，也就是求x的最大值，只需使分母a+h最小即可．由S△ABC為定值，即ah＝3，可得h＝，則底邊長a為時，內(nèi)接正方形面積S最大，最大值為．20．（12分）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝8，點E，F(xiàn)分別是AB，EF∥BD．將△AEF沿直線EF對折，點A對應(yīng)點為點G（1）如圖2，當(dāng)點G落在對角線BD上時，求DG的長；（2）如圖3，當(dāng)∠DGF＝90°時，求AF的長；（3）若直線FG交BD于點H，在點E的運(yùn)動過程中，是否存在某一位置，H，G為頂點的三角形與△AEF相似？若存在，請求出AE的長，請說明理由．

2025-2026學(xué)年廣東省深圳市南山外國語學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案DCBBDACA一.選擇題（每題3分，共24分）1．（3分）如圖是物理學(xué)中經(jīng)常使用的U型磁鐵示意圖，其俯視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：U型磁鐵從上面看的示意圖是一個大矩形，且中間有2條實線段符合．故選：D．2．（3分）將一元二次方程2x2+4＝3x化為一般形式為（）A．2x2+4﹣3x＝0 B．2x2﹣3x﹣4＝0 C．2x2﹣3x+4＝0 D．2x2+3x+4＝0【解答】解：方程2x2+3＝3x可化為2x8﹣3x+4＝5，A、方程未按x2項、x項，不符合一般形式規(guī)范；B、常數(shù)項應(yīng)為+4，移項時符號錯誤；C、方程4x2﹣3x+8＝0符合一般形式定義，符合題意；D、x項應(yīng)為﹣3x，移項時符號錯誤，故選：C．3．（3分）下列四個命題中，錯誤的命題是（）A．四條邊都相等的四邊形是菱形 B．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形 C．一條線段一定有兩個黃金分割點 D．一組對邊平行且相等，對角線垂直且相等的四邊形是正方形【解答】解：A、四條邊都相等的四邊形是菱形，不符合題意；B、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，錯誤；C、一條線段有兩個黃金分割點，不符合題意；D、一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，正確；故選：B．4．（3分）如圖，一條線段AB在平面Q內(nèi)的正投影為A'B'，AB＝2，則AB與A'B'的夾角為（）A．45° B．30° C．60° D．以上都不對【解答】解：過A作AC⊥BB′，交BB′于C點，∵AB在平面Q內(nèi)的正投影為A′B′，∴∠AA′B′＝∠BB′A′＝90°，∴AC∥A′B′，且AC＝A′B′＝，∵cos∠BAC＝＝，∴∠BAC＝30°，∴AB與A'B'的夾角為30°．故選：B．5．（3分）生物學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，人體許多特征都是由基因決定的．如人的卷舌性狀由常染色體上的一對基因決定，決定能卷舌的基因R是顯性的，因此決定能否卷舌的一對基因有RR，Rr，其中基因為RR和Rr的人能卷舌，基因為rr的人不能卷舌，則他們的子女可以卷舌的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有4種等可能的結(jié)果，其中他們的子女可以卷舌的結(jié)果有3種，∴他們的子女可以卷舌的概率為，故選：D．6．（3分）深圳前海某工地有一塊長方形空地，長比寬多10米．施工隊在這塊空地的四周鋪設(shè)了一條寬度為2米的硬化路面，路面的面積恰好是216平方米．設(shè)這塊空地的寬為x米（）A．（x+4）（x+14）﹣x（x+10）＝216 B．（x+2）（x+12）﹣x（x+10）＝216 C．（x+4）（x+12）﹣x（x+10）＝216 D．（x+2）（x+14）﹣x（x+10）＝216【解答】解：空地的寬為x米，則長為（x+10）米，整個區(qū)域的寬和長各增加4米（因路面寬2米，故整個區(qū)域?qū)挒椋▁+4）米，根據(jù)題意，得（x+4）（x+14）﹣x（x+10）＝216．故選：A．7．（3分）如圖1，將邊長為2的正方形剪成四塊，將這四塊圖形恰好無縫隙無重疊地拼成如圖2所示的圖形（點D，G，H，C在同一直線上，點D，F(xiàn)，B在同一直線上）（）A． B． C． D．【解答】解：∵將邊長為2的正方形剪成四塊，將這四塊圖形恰好無縫隙無重疊地拼成如圖2所示的圖形（點D，G，H，點D，F(xiàn)，∴GF＝AH，EF＝AB＝7設(shè)GF＝AH＝r，則FB＝2﹣r＝BH，∴DB＝DF+FB＝4﹣r，∵∠DFG＝∠B＝90°，∠D＝∠D，∴△DGF∽△DHB，∴，即，解得（舍去），，故選：C．8．（3分）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，E為AB的中點，F(xiàn)為EC上一動點，連接PB，則PB的最小值是（）A． B．3 C． D．4【解答】解：如圖，分別取AE，DE的中點G，H，I，BI，PI，HI，∵矩形ABCD中，AB＝6，E為AB的中點，∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝6，，在直角三角形BCE中，由勾股定理得：，∵點H為CD的中點，∴，在直角三角形BCH中，由勾股定理得：，∵點G是AE的中點，點I是DE的中點，∴，，IG∥AD，∴∠IGE＝∠A＝90°，，∴，∵點H為CD的中點，點I是DE的中點，∴，又∵點I是DE的中點，P為DF的中點，∴PI∥EF，同理可得：PH∥CF，∴點P，H，I在同一條直線上，點P在HI上運(yùn)動，由垂線段最短可知，當(dāng)PB⊥HI時，設(shè)PH＝x（x＞2），則，由勾股定理得：BH6﹣PH2＝PB2＝BI4﹣PI2，∴，解得，∴，∴，即PB的最小值是，故選：A．二.填空題（每題3分，共15分）9．（3分）如圖，已知面積為20的正方形二維碼，為估算二維碼中黑色部分的面積，若有65個點在黑色部分，則二維碼中黑色部分的面積約為13．【解答】解：∵在正方形區(qū)域內(nèi)任取100個點，若有65個點在黑色部分，∴估計黑色部分占這個區(qū)域的＝，∴黑色部分的面積為20×＝13．故答案為：13．10．（3分）已知關(guān)于x的方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是a＜2且a≠1．【解答】解：根據(jù)題意得a﹣1≠0且Δ＝42﹣4（a﹣7）＞0，解得a＜2且a≠7，即a的取值范圍為a＜2且a≠1．故答案為：a＜7且a≠1．11．（3分）開封鐵塔，又稱“開寶寺塔”，是北宋時期（公元960﹣1127年），被譽(yù)為“天下第一塔”．某小組用自制的菱形測高儀ABCD測量塔高，其邊長為0.5m，OB＝0.4m，當(dāng)測角儀的頂點D，系在頂點A處的鉛垂線恰好過點O和頂點C．經(jīng)測量點B到EF的距離為63.2m，點B到地面的距離為1.2m49.2米．【解答】解：延長DB交EF于G，則BG＝72m，由題意得DG⊥EF，AC⊥BD，∵在菱形ABCD中，AB＝0.5m，∴AC⊥BD，∴AO2＝AB2﹣OB2＝6.52﹣3.42＝4.32，∴AO＝3.3（m），∴在Rt△ABO中，tan∠ABD＝，∴tan∠ADB＝tan∠ABD＝，∵BO＝3.4m，∴BD＝0.2m，∴DG＝BD+BG＝0.8+63.4＝64（m），∵在Rt△EDG中，，∴，解得EG＝48（m），∵GF＝2.2m，∴EF＝EG+GF＝48+1.3＝49.2（m），答：開封鐵塔EF的高度為49.2m．故答案為：49.7．12．（3分）已知四邊形ABCD，∠ABC＝90°，∠ACB+∠BCD＝90°，若AB＝1，BD＝5．【解答】解：作CE⊥BC，DE⊥CE．∵∠BCA+∠BCD＝90°，∠DCE+∠BCD＝∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠BCA．在△ABC和△DCE中，，∴△ABC≌△DCE（ASA），∴BC＝CE，DE＝AB＝1．延長ED交BA的延長線于點F，則四邊形BCEF是正方形，∴BF＝EF．設(shè)BF＝EF＝a，則DF＝a﹣1，在Rt△BDF中，a7+（a﹣1）2＝72，解得a＝4（負(fù)值舍去），∴AF＝DF＝6﹣1＝3，∴．故答案為：．13．（3分）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個直角三角形，在剩下的紙片中再沿一條直線剪掉一個直角三角形（剪掉的兩個直角三角形相似），其中∠A＝90°，AB＝9，CD＝6，AD＝2；或10；15或6；7．【解答】解：如圖所示矩形ABEF，設(shè)DF＝x，CE＝y(tǒng)，∵∠FED+∠BEC＝∠FED+∠EDF＝90°，∴∠BEC＝∠EDF，∵∠EBC≠90°，∴∠ECB＝90°＝∠F，△DEF∽△EBC，∴，即，∴，∴，∴，如圖所示矩形ABEF，設(shè)FC＝x，DF＝y(tǒng)，∵∠DFC+∠BFE＝∠DFC+∠FDC＝90°，∴∠BFE＝∠FDC，∵∠DFC≠90°，∴∠FCD＝90°＝∠E，△DCF∽△FEB，∴，∴，∴FD＝10，BF＝FC+BC＝15；如圖所示矩形ABFE，則斜邊長為CD＝6，BC＝7；∴綜上：可能是；或10；7．故答案為：；或10；7．三.解答題（共61分，14題8分，15題6分，16題9分，17題8分，18題8分，19題10分，20題12分）14．（8分）解下列方程：（1）x2﹣4x+2＝0；（2）3x（x﹣1）＝2x﹣2．【解答】解：（1）x2﹣4x+4＝0，∴Δ＝（﹣4）7﹣4×2＝16﹣4＝8＞0，∴，∴．（2）8x（x﹣1）＝2x﹣4，3x（x﹣1）＝6（x﹣1），3x（x﹣2）﹣2（x﹣1）＝5，（x﹣1）（3x﹣3）＝0，x﹣1＝8或3x﹣2＝2，∴．15．（6分）如圖，△ABC三個頂點坐標(biāo)分別為A（﹣4，0）、B（0，2）（﹣2，4）．（1）如圖，△A1B1C1三個頂點坐標(biāo)分別為A1（2，0）、B1（0，﹣1）、C1（1，﹣2），△A1B1C1是△ABC通過位似變換得到的，請寫出位似中心點O（0，0）；△A1B1C1和△ABC位似比為1：2；（2）作圖：請在線段AB上找一點M使得AM：BM＝2：3．【解答】解：（1）連接AA1、BB1、CC7交于點O，則位似中心為點O（0，由勾股定理得：，，∵△A4B1C1和△ABC位似，∴位似比為對應(yīng)邊長之比，即，∴位似比為：，故答案為：點O（8，0）；（2）使得AM：BM＝2：4的點M，如圖2即為所求．16．（9分）某校為了解學(xué)生身體健康狀況，從全校1000名學(xué)生的體質(zhì)健康測試結(jié)果登記表中，隨機(jī)選取了部分學(xué)生的測試數(shù)據(jù)進(jìn)行初步整理（如表）（如圖）．學(xué)生體質(zhì)健康統(tǒng)計表成績頻數(shù)百分比不及格3a及格b20%良好45c優(yōu)秀3232%（1）a＝3%、b＝20、c＝45%；（2）估計該校學(xué)生體質(zhì)健康測試結(jié)果為“不及格”的總?cè)藬?shù)；（3）為聽取測試建議，學(xué)校選出了3名“良好”和1名“優(yōu)秀”學(xué)生，再從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參加學(xué)校體質(zhì)健康測試交流會．請用列表或畫樹狀圖的方法，一名“優(yōu)秀”的概率．【解答】解：（1）由題意得，選取的學(xué)生人數(shù)為32÷32%＝100（人），∴a＝3÷100×100%＝3%，b＝100×20%＝20．故答案為：2%；20．（2）1000×3%＝30（人），∴估計該校學(xué)生體質(zhì)健康測試結(jié)果為“不及格”的總?cè)藬?shù)約30人．（3）將3名“良好”分別記為A，B，C，將3名“優(yōu)秀”學(xué)生記為D，列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩人是一名“良好”，D），D），D），A），B），C），∴抽取的兩人是一名“良好”，一名“優(yōu)秀”的概率為．17．（8分）芯片目前是全球緊缺資源，某市政府通過招商引進(jìn)“芯屏汽合、集終生智”等優(yōu)勢產(chǎn)業(yè)，發(fā)展新興產(chǎn)業(yè)，開工第一季度生產(chǎn)200萬個，第三季度生產(chǎn)288萬個．試回答下列問題：（1）已知每季度生產(chǎn)量的平均增長率相等，求前三季度生產(chǎn)量的平均增長率；（2）經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，1條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是600萬個/季度，若每增加1條生產(chǎn)線，現(xiàn)該公司要保證每季度生產(chǎn)內(nèi)存芯片2600萬個，在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入成本的條件下（生產(chǎn)線越多，投入成本越大）【解答】解：（1）設(shè)前三季度生產(chǎn)量的平均增長率為x，依題意得：200（1+x）2＝288，解得：x2＝0.2＝20%，x4＝﹣2.2（不符合題意，舍去）．答：前三季度生產(chǎn)量的平均增長率為20%．（2）設(shè)應(yīng)該再增加m條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（600﹣20m）萬個/季度，依題意得：（m+3）（600﹣20m）＝2600，整理得：m2﹣29m+100＝0，解得：m3＝4，m2＝25，又∵在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入成本，∴m＝3．答：應(yīng)該再增加4條生產(chǎn)線．18．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是AD和BC的中點，連接OG，使得．（1）求證：四邊形AFCE為菱形；（2）若AC＝8，EF＝6，求OG的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵E，F(xiàn)是AD和BC的中點，∴AE＝DE＝ADBC，∴AE＝CF＝BF，∵AE∥CF，AE＝CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∵AF＝BF，∴AE＝AF，∴四邊形AFCE是菱形．（2）解：∵四邊形AFCE是菱形，∴CE＝CF，CA⊥EF，∴∠ACE＝∠ACF，∴∠G＝∠ACE＝，∴∠ACF＝8∠G＝∠G+∠COG，∴∠G＝∠COG，∵∠COF＝90°，AC＝8，∴GC＝OC＝OA＝AC＝4EF＝3，∴CF＝＝＝5，作OH⊥BC于點H，則∠OHG＝90°，∵S△COF＝×5OH＝，∴OH＝，∴CH＝＝＝，∴GH＝GC+CH＝4+＝，∴OG＝＝＝，∴OG的長是．19．（10分）【閱讀理解】在不等式領(lǐng)域中有一個重要結(jié)論叫“均值不等式”，表述如下：對于任意的正數(shù)a，b，都有a+b≥2，等號成立，這個結(jié)論是解決最值問題的有力工具．例如：若x＞0時，即x+≥2”，即x＝1時，等號成立有最小值為2．【類比求值】（1）填空：若x＞0，則x+6，此時x＝3；【拓展應(yīng)用】（2）若x＞0，求代數(shù)式；【問題解決】（3）現(xiàn)有一個面積為1.5的銳角三角形ABC，按照如圖所示的方式裁剪正方形DEFG設(shè)DE＝x，AC＝a，AC邊上的高BH＝h．①請你補(bǔ)充該小組的推導(dǎo)過程；②該小組發(fā)現(xiàn)要使得內(nèi)接正方形面積S最大，也就是求x的最大值，只需使分母a+h最小即可．由S△ABC為定值，即ah＝3，可得h＝，則底邊長a為時，內(nèi)接正方形面積S最大，最大值為．【解答】解：（1）∵對于任意的正數(shù)a、b，都有，∴x為正數(shù)，則的最小值為，此時，解得：x＝5或x＝﹣3（不符合題意，舍去）；故答案為：6，5；（2）∵，要使，∴最小即可．∵x＞0時，∴，∴的最小值是，即的最小值是.；（3）①∵四邊形DGFE是正方形，∴DG＝GF＝FE＝DE，DE∥GF，設(shè)DE＝x，AC＝a，則MH＝DE＝x，∵銳角三角形ABC的面積為1.5，xx﹣∴，∴ah＝6，∵DE∥GF，∴△BDE∽△BAC，∴，∴，∴；