第十二單元隨機事件與概率【一周一測基礎(chǔ)知識專項訓(xùn)練】單項選擇題1.[2025仙桃中學(xué)期末]已知P(A)=0.5,P(B)=0.4,且B?A,則P(AB)=()A.0.4 B.0.5 C.0.9 D.0.22.[2025河北衡水中學(xué)、衡水二中等校高一聯(lián)考]拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,設(shè)事件M=“點數(shù)不大于2”,事件N=“點數(shù)大于1”,則下列結(jié)論中正確的是()A.M是不可能事件 B.N是必然事件C.M∩N是不可能事件 D.M∪N是必然事件3.[2025邯鄲一中高一期末]某學(xué)校實驗室培育紅豆與綠豆種子各三顆,若每顆種子是否發(fā)芽是隨機的,則下列各組事件中,是互斥事件的是()A.“恰有一顆紅豆種子不發(fā)芽”與“至多有兩顆紅豆種子不發(fā)芽”B.“恰有四顆種子發(fā)芽”與“至少有兩顆紅豆種子、兩顆綠豆種子發(fā)芽”C.“至少有五顆種子發(fā)芽”與“至多有一顆綠豆種子發(fā)芽”D.“恰有兩顆紅豆種子發(fā)芽”與“恰有一顆綠豆種子發(fā)芽”4.[2025山西名校聯(lián)考]在山西的某個旅游景點內(nèi)有刀削面、油炸糕、糖火燒、炕饃、莜面這5種傳統(tǒng)小吃.某游客從中隨機選擇3種品嘗,則該游客選擇了油炸糕和莜面的概率為()A.35 B.13 C.25 5.[2025安徽省黃山市模擬]已知A,B,C是三種電子信息傳遞元件,第一次由A元件將信息傳出,每次傳遞時,傳遞元件都等可能地將信息傳遞給另外兩個元件中的任何一個,則第三次傳遞后,信息在A元件中的概率是()A.14 B.12 C.38 6.[2025西南大學(xué)附中高一期末]用3,4,5這3個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)m,記事件A=“m能被5整除”,事件B=“m為奇數(shù)”,則事件A與事件B至少有一個發(fā)生的概率為()A.23 B.13 C.127.[2024全國甲卷文]甲、乙、丙、丁四人排成一列,則丙不在排頭,且甲或乙在排尾的概率是()A.14 B.13 C.12 8.【情境創(chuàng)新】[2025山西省實驗中學(xué)高一期末]冒險棋是一種多人參與的休閑益智類棋類游戲,其核心玩法如下:玩家從起點出發(fā),通過擲骰子決定棋子移動步數(shù),并結(jié)合陷阱等特殊路徑機制行進,先到達終點者獲勝(擲到幾點,棋子就前進幾步,若棋子停止的格子上有冒險文字,則玩家需按照冒險文字指示完成相應(yīng)操作).如圖,已知甲執(zhí)紅棋、乙執(zhí)藍棋來到了同一個位置,甲先擲一次骰子,乙再擲一次骰子,則紅棋比藍棋更靠近終點的概率為()A.1336 B.49 C.512 多項選擇題9.【教材變式】[2025駐馬店高級中學(xué)高一月考]某同學(xué)參加3次不同測試,用事件Ji(i=1,2,3)表示隨機事件“第i(i=1,2,3)次測試成績及格”,則下列說法正確的是()A.J1∪J2表示前兩次測試成績中有且僅有一次及格

B.J2C.J1∩J2∩J3表示三次測試成績均及格D.J1∩J2∩10.[2025石家莊一中高一期末]已知事件A,B,C兩兩互斥,若P(B)=14,P(A∪B)=712,P(A∪C)=A.P(A)=13 B.P(C)=C.P(B∪C)=1320 D.P(A∪B∪C)=11.[2024荊州中學(xué)高一月考]有兩個信封,第一個信封內(nèi)的四張卡片上分別寫有1,2,3,4,第二個信封內(nèi)的四張卡片上分別寫有5,6,7,8,甲、乙兩人商定了一個游戲,規(guī)則是:從這兩個信封中各隨機抽取一張卡片,得到兩個數(shù).為了游戲?qū)﹄p方都公平,下列獲勝規(guī)則正確的是()A.第一個信封內(nèi)取出的數(shù)作為橫坐標,第二個信封內(nèi)取出的數(shù)作為縱坐標,所確定的點在直線y=x+4上時甲獲勝,所確定的點在直線y=-x+8上時乙獲勝B.取出的兩個數(shù)乘積不大于15時甲獲勝,否則乙獲勝C.取出的兩個數(shù)乘積不小于20時甲得5分,否則乙得3分,游戲結(jié)束后,累計得分高的人獲勝D.取出的兩個數(shù)相加,如果得到的和為奇數(shù),則甲獲勝,否則乙獲勝填空題12.[2025大慶實驗中學(xué)開學(xué)考試]已知隨機事件A和B互斥,A和C對立,且P(C)=0.8,P(B)=0.3,則P(A∪B)=.

13.[2025宣城中學(xué)高一期末]二進制是以2為基數(shù)代表系統(tǒng)的二進位制,通常用0和1表示.二進制011(2)化為十進制的計算公式如下:011(2)=0×22+1×21+1×20=3.若從二進制數(shù)000(2),001(2),010(2),110(2),101(2),111(2)中任選一個,則二進制數(shù)所對應(yīng)的十進制數(shù)大于3的概率為.

14.[2025青島二中模擬]七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具,它是由如圖所示的七塊板組成的,即五塊等腰直角三角形板(兩塊小型三角形板、一塊中型三角形板和兩塊大型三角形板)、一塊正方形板和一塊平行四邊形板.現(xiàn)從這七塊板中任取兩塊,則這兩塊板面積相等的概率為.

解答題15.(13分)【開放創(chuàng)新】[2025湖北省仙桃市期中]從①命中8環(huán)的概率為0.22;②命中6環(huán)以下(含6環(huán))的概率為0.12這兩個條件中任選一個補充到下面題目中的橫線處,并解答.已知射手甲射擊一次,命中9環(huán)以上(含9環(huán))的概率為0.56,命中7環(huán)的概率為0.12,.

(1)求甲射擊一次,命中不足8環(huán)的概率;(2)求甲射擊一次,至少命中7環(huán)的概率.注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.16.(15分)[2025黃岡中學(xué)月考]某次聯(lián)歡會上設(shè)有一個抽獎游戲,抽獎箱中共有16個四種不同顏色且形狀大小完全相同的小球,分別代表一等獎、二等獎、三等獎、無獎.其中紅球代表一等獎且只有1個,黃球代表三等獎.從中任取一個小球,中二等獎或三等獎的概率為716.小華同學(xué)獲得一次抽獎機會(1)求他不能中獎的概率;(2)若該同學(xué)中一等獎或二等獎的概率是14,試計算黃球的個數(shù)17.(15分)[2025廣東實驗中學(xué)高一期末]一個盒子中裝有標號為1,2,3,5的4張標簽,依次隨機選取兩張標簽,用數(shù)組(m,n)表示可能的結(jié)果,其中m表示第一次取出的標簽上的數(shù)字,n表示第二次取出的標簽上的數(shù)字.(1)若標簽的選取是不放回的,寫出樣本空間Ω1,并求m+n>5的概率;(2)若標簽的選取是有放回的,寫出樣本空間Ω2,并求m<n的概率.18.(17分)【模塊綜合】[2025濮陽油田一中高一期末]為了測試不同抗干擾手段對無人機抗干擾性能的影響,某科研機構(gòu)對100架某型號的無人機設(shè)置不同的參數(shù),在相同的干擾環(huán)境下試飛,發(fā)現(xiàn)這些無人機的正常飛行時長(單位:分)均分布在區(qū)間[5,65]內(nèi),現(xiàn)將這100個飛行時長數(shù)據(jù)按[5,15),[15,25),[25,35),[35,45),[45,55),[55,65]分成6組并整理,得到如下頻率分布直方圖.(1)求圖中a的值;(2)該科研機構(gòu)計劃按正常飛行時長從長到短的順序,檢測分析前30%的無人機的相關(guān)參數(shù),若某架無人機的正常飛行時長為42分鐘,判斷該無人機能否被檢測到;(3)若該科研機構(gòu)從正常飛行時長在[45,65]內(nèi)的無人機中,按比例用分層隨機抽樣的方法抽取6架,再從這6架中隨機抽取2架進一步研究,求在[45,55)和[55,65]內(nèi)各抽取一架的概率.19.(17分)[2025復(fù)旦附中期末]A,B兩人在玩一個商業(yè)模擬游戲,現(xiàn)在游戲進行到了最后一輪,A暫時領(lǐng)先3分.接下來B可以擲兩顆骰子,如果兩顆骰子的點數(shù)都是偶數(shù),則B“投資”失敗,“投資”的分值記為0分,游戲結(jié)束;否則,B可以進行“投資”,他可以選擇其中一個點數(shù)為奇數(shù)的骰子,將其點數(shù)作為“投資”的分值.B“投資”結(jié)束后,該游戲結(jié)束.A,B兩人中分值較高者獲勝,若分值相同,則兩人打平.(1)求A獲勝的概率.(2)若A在B擲骰子之前可以對B的“投資”行為進行干擾,他可以選擇以下兩種方式之一:①讓B的分值直接減1;②當B擲出骰子后,將點數(shù)較大的骰子變?yōu)?點,另一個不變(如果B擲出的兩顆骰子點數(shù)相同,則將其中一個變?yōu)?點).則A為了使自己獲勝的概率更大,會選擇哪種方式進行干擾?說明理由.參考答案1.A因為B?A,所以P(AB)=P(B)=0.4.2.D事件M是點數(shù)為1或2,事件N是點數(shù)為2,3,4,5或6,它們都是可能發(fā)生的,但不一定發(fā)生,故不是必然事件;M∩N是點數(shù)為2,是可能發(fā)生的;M∪N是點數(shù)為1,2,3,4,5或6,一定會發(fā)生,是必然事件.3.CA(?)可以同時發(fā)生“有一顆紅豆種子不發(fā)芽”,故不是互斥事件.B(?)可以同時發(fā)生“兩顆紅豆種子、兩顆綠豆種子發(fā)芽”,故不是互斥事件.C(√)“至少有五顆種子發(fā)芽”,則至少有兩顆綠豆種子發(fā)芽,與“至多有一顆綠豆種子發(fā)芽”不會同時發(fā)生,則是互斥事件.D(?)可以同時發(fā)生“兩顆紅豆種子發(fā)芽,一顆綠豆種子發(fā)芽”,故不是互斥事件.4.D將刀削面、油炸糕、糖火燒、炕饃、莜面這5種傳統(tǒng)小吃分別設(shè)為A,B,C,D,E,根據(jù)題意,該游客從中隨機選擇3種品嘗的所有情況有(A,B,C),(A,B,D),(A,B,E),(A,C,D),(A,C,E),(A,D,E),(B,C,D),(B,C,E),(B,D,E),(C,D,E),共10種,其中該游客選擇了油炸糕和莜面的有(A,B,E),(B,C,E),(B,D,E),共3種,故所求概率為3105.A利用列舉法求出所有的傳遞方法種數(shù),找出第三次傳遞后信息恰好在A元件中的情況,再由古典概型的概率公式計算.依題意三次傳遞所有的傳遞方法有:A→B→A→B;A→B→A→C;A→B→C→A;A→B→C→B;A→C→A→B;A→C→A→C;A→C→B→A;A→C→B→C.則共有8種傳遞方法.第三次傳遞后,信息在A元件中的情況有兩種,所以第三次傳遞后,信息在A元件中的概率P=28=16.A根據(jù)題意先求P(A),P(B),P(AB),由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)即可求解.由題意:用3,4,5這3個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù),則樣本空間Ω={345,354,435,453,543,534},共有6個樣本點,A={345,435},共有2個樣本點,B={345,435,453,543},共有4個樣本點,所以P(A)=26=13,P(B)=46=23,P(AB)=P(A)=13,所以事件A與B至少有一個發(fā)生的概率為P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(7.B畫出樹狀圖:甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24種排法,其中丙不在排頭,且甲或乙在排尾的排法共有8種,所以所求概率為824=138.D根據(jù)題意,紅棋、藍棋與終點的距離相等的情況有點數(shù)相同以及甲擲到4、乙擲到6或甲擲到6、乙擲到4,利用古典概型、對立事件的概率關(guān)系求解.當甲、乙各自擲骰子得到的點數(shù)相同以及甲擲到4、乙擲到6或甲擲到6、乙擲到4時,最后都會停留在同一個位置,則紅棋、藍棋與終點的距離相等有6+2=8種情況,又甲、乙各自擲一次骰子共有36種情況,故所求概率為1?8369.BCDA(?)J1∪J2表示前兩次測試成績中至少有一次及格.B(√)因為J2∪J3表示第二次和第三次測試成績中至少有一次及格,所以J2?C(√)J1∩J2∩J3表示J1,J2,J3同時發(fā)生,即表示三次測試成績均及格.D(√)Ji表示第i次測試成績不及格,所以J1∩J2∩10.BCA(?)因為事件A,B,C兩兩互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=14+P(A)=712,則P(A)=13,所以P(A)B(√)P(A∪C)=P(A)+P(C)=13+P(C)=1115,則P(C)=C(√)P(B∪C)=P(B)+P(C)=14+25=D(?)P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=13+14+2511.BCD畫樹狀圖如下:

A(?)由樹狀圖可知,共有16種等可能的結(jié)果,其中所確定的點在直線y=x+4上的有(1,5),(2,6),(3,7),(4,8),共4個樣本點,所確定的點在直線y=-x+8上的點有(1,7),(2,6),(3,5),共3個樣本點,故兩種情況下的樣本點個數(shù)不一樣,即兩種情況下概率不一樣.B(√)由樹狀圖可知,共有16種等可能的結(jié)果,其中兩個數(shù)乘積大于15的有(2,8),(3,6),(3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),共8種,則兩個數(shù)乘積不大于15的也有8種,故兩種情況下的樣本點個數(shù)一樣,即兩種情況下概率一樣.C(√)由樹狀圖可知,共有16種等可能的結(jié)果,其中取出的兩個數(shù)乘積不小于20的有(3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),共6種,則取出的兩個數(shù)乘積小于20的有10種,5×6=3×10=30.D(√)由樹狀圖可知,共有16種等可能的結(jié)果,其中取出的兩個數(shù)相加和為奇數(shù)的有(1,6),(1,8),(2,5),(2,7),(3,6),(3,8),(4,5),(4,7),共8種,則取出的兩個數(shù)相加和為偶數(shù)的有8種,故兩種情況下的樣本點個數(shù)一樣,即兩種情況下概率一樣.12.0.5由A和C對立,P(C)=0.8,可得P(A)=1-P(C)=1-0.8=0.2,又由隨機事件A和B互斥可知P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.2+0.3=0.5.13.12將二進制轉(zhuǎn)化為十進制,再利用古典概型概率公式計算概率即可.00(2)=0×22+0×21+0×20=0,001(2)=0×22+0×21+1×20=1,01(2)=0×22+1×21+0×20=2,11(2)=1×22+1×21+0×20=6,101(2)=1×22+0×21+1×20=5,111(2)=1×22+1×21+1×20=7,可得二進制數(shù)所對應(yīng)的十進制數(shù)大于3的有3個,所以二進制數(shù)所對應(yīng)的十進制數(shù)大于3的概率為36=14.521如圖1,將七塊板編號,

所以從七塊板中任意取出兩塊的樣本點為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(4,5),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7),(6,7),共21個.將七巧板劃分如下,△ABC被分成8個全等的三角形,如圖2,設(shè)正方形ABCD的面積為2S,則編號1,2的面積為S2,則編號4,6的面積為S8,編號3,5,7的面積為S4,任取兩塊板面積相等的樣本點為(1,2),(4,6),(3,5),(3,7),(5,7),共5個.從這七塊板中任取兩塊,則這兩塊板面積相等的概率為15.【解析】選擇①.記“甲射擊一次,命中不足7環(huán)”為事件A,“甲射擊一次,命中7環(huán)”為事件B,則P(B)=0.12,P(A)=1-0.56-0.22-0.12=0.1,由于在一次射擊中,A與B不可能同時發(fā)生,故A與B是互斥事件.(1)易知“甲射擊一次,命中不足8環(huán)”為事件A∪B,(3分)由互斥事件的概率加法公式,得P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.12=0.22.所以甲射擊一次,命中不足8環(huán)的概率是0.22.(6分)(2)方法一記“甲射擊一次,命中8環(huán)”為事件C,“甲射擊一次,命中9環(huán)以上(含9環(huán))”為事件D,則“甲射擊一次,至少命中7環(huán)”為事件B∪C∪D,(8分)又事件B,C,D兩兩互斥,所以P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.12+0.22+0.56=0.9.所以甲射擊一次,至少命中7環(huán)的概率為0.9.(13分)方法二因為“甲射擊一次,至少命中7環(huán)”為事件A,所以P(A)=1-P(A)=1-0.1=0.9.所以甲射擊一次,至少命中7環(huán)的概率為0.9.(13分)選擇②.記“甲射擊一次,命中7環(huán)”為事件A,“甲射擊一次,命中6環(huán)以下(含6環(huán))”為事件B,“甲射擊一次,至少命中7環(huán)”為事件C.(1)“甲射擊一次,命中不足8環(huán)”為事件A∪B,(3分)由于事件A與事件B為互斥事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.12+0.12=0.24,所以甲射擊一次,命中不足8環(huán)的概率為0.24.(6分)

(2)事件B與事件C為對立事件,(8分)所以P(C)=1-P(B)=1-0.12=0.88.所以甲射擊一次,至少命中7環(huán)的概率為0.88.(13分)16.【解析】(1)設(shè)小華同學(xué)任取一個小球,抽得一等獎、二等獎、三等獎、無獎的事件分別為A,B,C,D,它們是彼此互斥的事件.(2分)由題意得P(A)=116,P(B∪C)=P(B)+P(C)=716由對立事件的概率公式得P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-P(A)-P(B)-P(C)=1-116-716=∴小華不能中獎的概率為12.(2)∵P(A∪B)=P(A)+P(B)=14,P(A)=1∴P(B)=14-116=3又P(B∪C)=P(B)+P(C)=716∴P(C)=716-316=1∴該同學(xué)中三等獎的概率為14,因此黃球的個數(shù)為16×14=417.【解析】(1)若標簽的選取是不放回的,則樣本空間Ω1={(1,2),(1,3),(1,5),(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,2),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3)},(3分)共12個樣本點,滿足m+n>5的有{(1,5),(2,5),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3)},共6個樣本點,所以滿足m+n>5的概率為P1=612=12(2)若標簽的選取是有放回的,則樣本空間Ω2={(1,1),(1,2),(1,3),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,5)},(10分)共16個樣本點,滿足m<n的有{(1,2),(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,5)},共6個樣本點,所以滿足m<n的概率為P2=616=3818.【解析】(1)由題意知(a+0.025+0.020+0.035+0.010+a)×10=1,解得a=0.005.(4分)(2)按正常飛行時長從長到短的順序,檢測分析前30%的無人機,即求70%分位數(shù).在頻率分布直方圖中,前3組的頻率之和為(0.005+0.025+0.020)×10=0.5,前4組的頻率之和為0.5+0.035×10=0.85>0.7,所以70%分位數(shù)位于[35,45)內(nèi).(6分)設(shè)70%分位數(shù)為x,則0.5+x?3510×0.35=0.7,解得x=35+0.2因為42>40.7,所以該無人機的正常飛行時長屬于前30%,故能被檢測到.(10分)(3)先根據(jù)分層隨機抽樣確定抽取6架時,[45,55),[55,65]內(nèi)的應(yīng)分別抽取的架數(shù),列舉出所有的情況,根據(jù)古典概型的概率公式求解即可.正常飛行時長在[45,55),[55,65]內(nèi)的頻率分別為0.1,0.05,則抽取6架時,[45,55),[55,65]內(nèi)的應(yīng)分別抽取4架、2架.(12分)設(shè)在[45,55)內(nèi)的4架分別為a1,a2,a3,a4,在[55,65]內(nèi)的2架分別為b1,b2,在[45,55)和[55,65]內(nèi)各抽取一架為事件A,則從這6架中隨機抽取2架的樣本空間為Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2)},n(Ω)=15,A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2)},n(A)=8,(15分)所以P(A)=n(A)n19.【解析】(1)B擲兩顆骰子,擲第一顆骰子有6種點數(shù),擲第二顆骰子有6種點數(shù),對應(yīng)的樣本空間為Ω=(則Ω包含36個樣本點.(3分)記事件“A獲勝”,即事件“B輸”為事件D,事件“B輸”包含事件:“B擲的兩顆骰子的點數(shù)都是偶數(shù)”“兩顆骰子的點數(shù)都是奇數(shù)且兩個奇數(shù)均為1”“兩顆骰子的點數(shù)是一個奇數(shù)和一個偶數(shù),且奇數(shù)為1”,且它們兩兩互斥.又“B擲的兩顆骰子的點數(shù)都是偶數(shù)”包含樣本點:(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6),共9個樣本點,事件發(fā)生的概率為936=1“兩顆骰子的點數(shù)都是奇數(shù)且兩個奇數(shù)均為1”,包含樣本點(1,1),共1個樣本點,事件發(fā)生的概率為136“兩顆骰子的點數(shù)是一個奇數(shù)和一個偶