第3章圓錐曲線與方程全章十三大壓軸題型歸納（舉一反三講義·培優(yōu)篇）【蘇教版】題型1題型1橢圓中的焦點三角形問題1．（2025·廣西柳州·模擬預(yù)測）已知橢圓E:x216+y212=1的左右焦點分別為F1,F2，上頂點為A，過F1A．12 B．16 C．20 D．24【答案】B【解題思路】根據(jù)條件可得AB=【解答過程】由橢圓E:x216過F1且垂直于AF2的直線與橢圓C交于B所以BC為線段AF的垂直平分線，得AB=則△ABC的周長為AB+故選：B.

2．（2025·廣東深圳·模擬預(yù)測）設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C:x236+y220=1的兩個焦點，A．315 B．12 C．415 【答案】C【解題思路】由橢圓標準方程可得a=6，b=25，c=4，根據(jù)題意得MF1=F【解答過程】由橢圓C：x236+y220=1因M為C上一點且在第一象限，則M由△MF1F2為等腰三角形，則可得當MF1=此時△MF1F當MF2=綜上，可得△MF1F故選：C．

3．（2425高二上·河北石家莊·期中）設(shè)點P為橢圓C:x2a2+y24=1(a>2)上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2【答案】4【解題思路】利用給定條件，利用橢圓的定義及余弦定理求出F1【解答過程】依題意，橢圓C的半焦距c=a在△PF1F2中，∠F1P由余弦定理得F1即F1則F1PP故答案為：434．（2425高二上·河北衡水·期末）已知點P是橢圓x2a2+y2b2=1(1)求橢圓的標準方程；(2)若∠F1P【答案】(1)x(2)16【解題思路】（1）求出a、c的值，可得出b的值，由此可得出橢圓的標準方程；（2）利用橢圓定義結(jié)合余弦定理可求得PF1?【解答過程】（1）因為橢圓的焦距為2c=6，得c=3，又2a=PF1+P因此，橢圓的標準方程為x2（2）因為點P是橢圓x225+可得PF又由∠F1P①?②可得3PF1則△F1P5．（2425高二上·廣東廣州·期中）設(shè)橢圓x2a2+y2(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)P為橢圓上一點，且∠F1P【答案】(1)x2(2)C△PF1【解題思路】（1）由橢圓的上頂點坐標求得b,由離心率及橢圓中a,b,c的關(guān)系可求得b，從而得橢圓的方程；（2）根據(jù)橢圓的定義得PF1+PF2=2a及焦距長F1F【解答過程】（1）由題意知b=6a2∴橢圓的方程為x2（2）由（1）知c=a2又∵P為橢圓x29+∴焦點三角形F1PF在△F1P即PF由PF1+②①，整理得PF所以三角形F1PF題型2題型2橢圓中的最值問題1．（2425高二上·吉林長春·期末）已知B是橢圓x23+y2=1的上頂點，點A．2 B．22 C．322【答案】C【解題思路】設(shè)出M點坐標，利用坐標表示出MB并進行化簡，再根據(jù)橢圓的有界性結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解出MB的最大值.【解答過程】設(shè)Mx0,y0所以MB=?2又因為y0∈?1,1所以MBmax故選：C.2．（2425高二上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知橢圓C：x24+y23=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為C上任意一點，NA．213?1 B．42?5 C．【答案】B【解題思路】利用橢圓的定義，將MF1轉(zhuǎn)化為【解答過程】如圖，M為橢圓C上任意一點，則MF又因為N為圓E：(x?5)2|MN|?M當且僅當M、N、E、F2共線且M、N在E、F由題意知，F(xiàn)2(1,0)，E(5,4)，則所以|MN|?MF1故選：B．

3．（2025·寧夏銀川·二模）已知A(3,0),B(?3,0)，P是橢圓x225+y216=1【答案】25【解題思路】先根據(jù)條件得|PA|+|PB|=10，再利用基本不等式求最值.【解答過程】由已知可得A(3,0),B(?3,0)為橢圓x2根據(jù)橢圓定義知|PA|+|PB|=10，所以|PA|?|PB|≤|PA|+|PB|當且僅當|PA|=|PB|=5時等號成立，故|PA|?|PB|的最大值為25.故答案為：25.4．（2425高二·全國·課后作業(yè)）已知P是橢圓x24+y2【答案】最小值為144【解題思路】設(shè)點P的坐標為x0,y0，則x0【解答過程】因為P是橢圓x2所以a=6,b=2,c=42，且橢圓焦點在y點P是橢圓上任意一點，設(shè)點P的坐標為x0則x0所以PA==8=8因為458當y0=45所以PA當y0=?6時，5．（2425高二·全國·課后作業(yè)）（1）已知F1，F(xiàn)2是橢圓x2100+（2）已知A(1,1)，F(xiàn)1是橢圓5x2+9y【答案】（1）100；（2）|PA|+|PF1|的最大值為6+【解題思路】（1）利用橢圓定義和基本不等式求|PF1|?|PF2|的最值；（2）求【解答過程】（1）∵a=10，20=|PF∴|PF1∴|P（2）設(shè)F2為橢圓的右焦點，5x2由已知，得|PF1|+|P∴|PA①當|PA|>|PF2|時，有0<|PA|?|PF2|≤|AF2|，等號成立時，|PA|+|P②當|PA|<|PF2|時，有0<|PF2|?|PA|≤|AF2|，等號成立時，|PA|+|P綜上，可知|PA|+|PF1|的最大值為6+題型3題型3雙曲線中的焦點三角形問題1．（2526高二上·全國·單元測試）已知雙曲線C:y24?x2=1的上、下焦點分別為F1,F2，過F1的直線l與雙曲線A．14 B．12 C．10 D．8【答案】B【解題思路】利用雙曲線的定義可求得△ABF【解答過程】如圖，由題意可得a2=4?2a=4，△ABF由雙曲線的定義可得AF2?AF1=所以AF2+所以△ABF故選：B.

2．（2025·江西·二模）過雙曲線C:x22?y2=1的中心作直線l與雙曲線C交于P、Q兩點，設(shè)雙曲線C的右焦點為FA．33 B．1 C．2 D．【答案】D【解題思路】設(shè)雙曲線的左焦點為F′，連接PF′、QF′，根據(jù)雙曲線的對稱性得到S△PFQ=【解答過程】設(shè)雙曲線的左焦點為F′，連接PF′、Q由∠PFQ=2π3不妨設(shè)P在雙曲線的右支上，設(shè)PF′=m，PF由雙曲線的定義可得PF在△FPF′中由余弦定理可得，即12=m2+所以S△PFQ故選：D.3．（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線x22?y22=1的右焦點為F2，P為其左支上任意一點，點【答案】3【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義得到焦點坐標和PF2?PF1=22，通過分析當A，P，【解答過程】如圖，△APF2的周長l=PA+因為PF2?當A，P，F(xiàn)1三點共線（點P在圖中點P1處）時，周長AF1=此時lmin所以答案為：324．（2526高二上·全國·單元測試）已知雙曲線C:x2a(1)若雙曲線C與橢圓x24+y2(2)若b=1，點P在雙曲線右支上，且∠F1P【答案】(1)x2(2)3.【解題思路】（1）求出橢圓的焦點坐標，再利用待定法求出雙曲線方程.（2）利用雙曲線定義，結(jié)合余弦定理、三角形面積公式求解.【解答過程】（1）橢圓x24+y2依題意，4a2?1b2=1（2）設(shè)|PF1|=m，|P在△PF1F則mn=4c所以△F1P5．（2425高一上·上海·期末）已知雙曲線Γ:x2(1)若Γ的實軸長為2，焦距為4，求Γ的漸近線方程；(2)已知P是雙曲線Γ:x2?y28【答案】(1)y=±(2)S【解題思路】（1）利用實軸長，和焦距求出漸近線.（2）利用雙曲線定義，及兩點之間線段最短，得到點P在線段AF1上，得到直線【解答過程】（1）令雙曲線的半焦距為c，依題意，a=1,c=2，由c2=a2+b2，得b=（2）由雙曲線的定義可得|PF所以△APF2的周長為由于2a+|AF2|為定值，要使△APF2即點P在線段AF∵F1(?3,0),A(0,即x=y26?3，將其代入x2因此點P(?2,26題型4雙曲線中的最值問題題型4雙曲線中的最值問題1．（2526高二上·全國·課后作業(yè)）已知A7,3，雙曲線C:x24?y25=1A．?1 B．2 C．3 D．1【答案】D【解題思路】由雙曲線的定義得PF?PF【解答過程】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點為F′3,0，連接PF因為AF而AF′≥PA?當P,F′,A三點共線且F′在故選：D．2．（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知F是雙曲線y24?x212=1的下焦點，AA．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【解題思路】求出上焦點F1的坐標，由雙曲線的定義可得PF+PA【解答過程】由y24?x2∴c=a所以下焦點F0,?4，上焦點為F由雙曲線的定義得PF+當A，P，F(xiàn)1三點共線時，PF故選：A．3．（2025·貴州安順·模擬預(yù)測）已知F是雙曲線C:x22?y24=1的右焦點，P是C左支上一點，【答案】4【解題思路】利用雙曲線定義，將|MP|+|PF|轉(zhuǎn)化為|MP|+|PF【解答過程】設(shè)雙曲線C的左焦點為F1，連接PF1由題知，實軸長2a=22由雙曲線定義知，PF=2a+則|MP|+|PF|≥|PD|+|PF|?2=|PD|?2當P，D，F(xiàn)1三點共線時，|MP|+|PF|且最小值為DF故答案為：424．（2425高二上·吉林長春·階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0(1)求雙曲線C的方程;(2)若點A12,0，點P為雙曲線C左支上一點，求PA【答案】(1)x(2)23【解題思路】（1）利用點到直線的距離公式和離心率列方程求出a，b，c，即可得到雙曲線的方程；（2）根據(jù)雙曲線的定義將PA+PF的最小值轉(zhuǎn)化為【解答過程】（1）由題意知ca=5則b=c所以雙曲線C的方程為x2（2）設(shè)雙曲線C的左焦點為F0，則F由雙曲線的定義知：PF?PF可得PA+當P，F(xiàn)0，A三點共線時，PA+P故PA+PF的最小值為5．（2425高二上·湖北武漢·期中）已知雙曲線x2(1)求雙曲線的方程；(2)已知定點A1，4，若雙曲線的左焦點為F1，【答案】(1)x(2)9【解題思路】（1）利用待定系數(shù)法求雙曲線方程；（2）首先利用雙曲線的定義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合，求距離和的最小值.【解答過程】（1）由條件可知，2a=4，ca=2，得a=2,c=4，所以雙曲線方程為：x2（2）∵F1是雙曲線x∴a=2，b=23，c=4，F(xiàn)設(shè)雙曲線的右焦點為F2，則F由雙曲線的定義可得PF1?所以PF1+PA=4+PF

當且僅當A、P、F因此，PF1題型5題型5與拋物線有關(guān)的最值問題1．（2425高二下·云南昆明·階段練習(xí)）已知P是拋物線y2=4x上的一個動點，那么點P到直線y=x+3的距離與到該拋物線準線距離之和的最小值為（A．2 B．22 C．32 【答案】B【解題思路】根據(jù)拋物線的定義把點P到l的距離轉(zhuǎn)化到點P到焦點F的距離，就是求點F到直線x?y+3=0的距離.【解答過程】設(shè)過點P分別向準線l和x?y+3=0作垂線，垂足分別為P1因為拋物線y2=4x的焦點F1,0所以只需要求PF+當且僅當F,P,P2三點共線時PF+PP2最小，且最小值為點故選：B.2．（2025·北京大興·三模）已知點P(x,y)是準線為l的拋物線x2=4y上一動點，PM⊥l于點M，點Q(22,0)，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解題思路】由拋物線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義求解即可．【解答過程】由題意拋物線x2=4y的焦點為由拋物線的定義可得：|PM|=|PF|，則|PM|+|PQ|=|PF|+|PQ|≥|QF|=(2當且僅當F、P、Q三點共線時取等號．即|PM|+|PQ|的最小值是3．故選：C.3．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知點Q22,0及拋物線y=x24上一動點Px,y，則y+【答案】2【解題思路】根據(jù)拋物線的定義將點P到焦點F的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，再根據(jù)三點共線時距離和最短求出結(jié)果即可.【解答過程】∵y=x24∴焦點為F(0,1)，準線為：y=?1，由拋物線的定義，點P到焦點F的距離等于到準線的距離，即|PF|=y+1，∴y+|PQ|=|PF|+|PQ|?1，∵當F,P,Q三點共線時，|PF|+|PQ|最小，此時(|PF|+|PQ|)min∴(y+|PQ|)min故答案為：2.4．（2025高三·全國·專題練習(xí)）求拋物線v2=2u上一點M到【答案】2【解題思路】數(shù)形結(jié)合，根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合兩點間線段最短進行求解即可.【解答過程】由拋物線v2=2u的標準方程可知，點Q是該拋物線的焦點，準線方程為過M作直線u=?12的垂線，垂足為由拋物線的定義可知：MP=于是MQ+所以當M,P,N三點共線時，M到Q12,05．（2425高二·上海·隨堂練習(xí)）在兩個條件①點B3,2；②點B3,4中任選一個，補充在下面的問題中．已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線為(1)點P到點F與它到________的距離之和的最小值；(2)點P到點A?1,1與它到準線l(3)點P到直線y=?4x?5與它到準線l的距離之和的最小值．【答案】(1)答案見解析(2)5(3)9【解題思路】（1）選①：因點B3,2在拋物線的內(nèi)部，由拋物線的定義，點P到點F與它到點B的距離之和的最小值就是點B到準線l的距離，即可求出；選②：因點B3,4在拋物線外部，所以最小值就是點B到點（2）點P到點A?1,1與它到準線l的距離之和的最小值即為|PA|+|PF∣的最小值，即為|AF|（3）點P到直線y=?4x?5與它到準線l的距離之和的最小值，即為點F到直線y=?4x?5的距離，由點到直線距離公式即可求得.【解答過程】（1）因為拋物線y2=4x的焦點F的坐標1,0,準線l的方程為選①：因點B3,2根據(jù)拋物線的定義，點P到焦點F的距離即為點P到準線l的距離,所以最小值就是點B到準線l的距離，故最小值是3+?1選②：因點B3,4在拋物線外部，所以最小值就是點B到點F故最小值是BF=（2）因為點A?1,1在準線l點P到準線l的距離即為點P到焦點F的距離，所以點P到點A?1,1與它到準線l的距離之和的最小值即為|PA|+|PF∣則最小值為|AF|=?1?1（3）點P到準線l的距離即為點P到焦點F的距離，所以點P到直線y=?4x?5與它到準線l的距離之和的最小值，即為點F到直線y=?4x?5的距離，由點到直線距離公式得?4?5?4題型6題型6橢圓的弦長與“中點弦”問題1．（2425高二上·重慶·期末）已知橢圓C:y29+x2=1的一個焦點是F，過原點的直線與C相交于點A，B，△ABFA．355 B．655 C．【答案】D【解題思路】設(shè)直線AB方程y=kx,Ax1,y1【解答過程】如圖：由題，不妨設(shè)F0,22，直線設(shè)直線AB方程y=kx,Ax聯(lián)立y2x1S△ABF解得k=±6，故|AB|=1+故選：D.2．（2425高二上·河北廊坊·期末）已知橢圓x29+y23=1，過點P1,1的直線交橢圓于A，B兩點，且A．x+3y?4=0 B．3x+y?4=0 C．x?3y+2=0 D．3x?y?2=0【答案】A【解題思路】判斷點P在橢圓內(nèi)，利用點差法求出直線AB的斜率即可得其方程.【解答過程】橢圓x29+y23=1則x129而x1+x2=2,y1所以直線AB的方程為y?1=?13(x?1)故選：A.3．（2425高二上·甘肅·期末）已知橢圓C:x24+y28=1內(nèi)一點M1,?2，直線l與橢圓【答案】4【解題思路】利用“點差法”求得直線的斜率，寫出直線方程，聯(lián)立方程組結(jié)合弦長公式即可求解.【解答過程】設(shè)Ax則x124因為M1,?2為線段AB則y1所以直線l的方程為y?2=?1×x?1聯(lián)立x+y?3=0x24所以AB=故答案為：434．（2526高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C:y2a2+(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點0,2的直線l被橢圓C截得的弦長為322，求直線【答案】(1)y(2)1413+122【解題思路】（1）根據(jù)離心率和過點列方程組求解即可；（2）分直線l斜率存在和不存在時討論，當直線l斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式求出弦長，列方程求解即可．【解答過程】（1）由題意得a2=b2+∴橢圓C的標準方程為y2（2）分直線l斜率是否存在討論：當斜率不存在時，直線方程為x=0，此時截得的弦長為22當斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，聯(lián)立y＝kx＋設(shè)直線l與橢圓C的交點為Ax1,則Δ=16k2?8k則AB=1+k2x化簡得7k解得k=±14∴直線l的方程為y=±14綜上，1413+122x?7y+14=05．（2425高二上·貴州黔南·階段練習(xí)）已知動點M到點5,0的距離比它到直線x+7=0的距離小2，記動點M的軌跡為C.(1)求C的方程；(2)直線l與C交于A，B兩點，若線段AB的中點坐標為4,?2，求直線l的方程.【答案】(1)y(2)5x+y?18=0【解題思路】（1）設(shè)Mx,y，根據(jù)條件得出x?5（2）設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，得出x1+x【解答過程】（1）設(shè)Mx,y，則由題意可得x?5化簡得y2=20x，故C的方程為（2）由題意可知，直線AB的斜率不為0，故設(shè)直線AB:x=my+n，Axx=my+ny2=20x則y1則x1因線段AB的中點坐標為4,?2，則y1+y解得m=?15,n=則直線l的方程為5x+y?18=0.題型7題型7雙曲線的弦長與“中點弦”問題1．（2425高二上·海南省直轄縣級單位·期末）過雙曲線x23?y2=1的右焦點作與x軸垂直的直線，交雙曲線于A、A．23 B．233 C．3【答案】B【解題思路】求出直線AB的方程，將直線AB的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，求出交點坐標，即可求得AB的值.【解答過程】在雙曲線x23?y2=1中，所以，雙曲線x23?由題意可知，直線AB的方程為x=2，聯(lián)立x=2x23可取A2,33、B故選：B.2．（2425高二上·黑龍江雞西·期中）若雙曲線x2?y2=1A．3x?4y?2=0 B．x+2y?4=0 C．3x+2y?8=0 D．2x?y?3=0【答案】D【解題思路】利用點差法可得直線斜率，進而可得直線方程.【解答過程】設(shè)弦AB端點Ax1,由A，B在雙曲線上，則x1兩式做差可得x1即x1又弦AB被點2,1平分，則x1+x則kAB即直線方程為y?1=2x?2，化簡可得2x?y?3=0故選：D.3．（2425高二上·重慶沙坪壩·期末）設(shè)A,B是雙曲線x2?y24=1上的兩點，且線段AB的中點是M(1,4)，則直線【答案】1【解題思路】設(shè)Ax【解答過程】設(shè)Ax1,y∵A,B在雙曲線上，∴x12則kAB?k此時B:y?4=x?1，即y=x+3，聯(lián)立方程y=x+3x2?y2此時△=(?6)2+4×3×13>0故答案為：1.4．（2425高二上·甘肅臨夏·期末）已知雙曲線C:x2a2?(1)求C的方程；(2)過點A6,1作直線與雙曲線C相交于M,N兩點，且A為線段MN【答案】(1)x(2)3x?2y?16=0【解題思路】（1）由題意可得2c=45（2）分直線斜率不存在和存在兩種情況，結(jié)合點差法求解即可.【解答過程】（1）由題意知，2c=45解得a2=16,b2=4,（2）①當過點A的直線斜率不存在時，若點A為MN的中點，則點A必在x軸上，這與A6,1②當過點A的直線斜率存在時，設(shè)斜率為kk≠0，則直線方程為y?1=k設(shè)Mx1,y1所以x1因為M,N在雙曲線x216?則x1所以k=y則所求直線方程為y?1=32x?65．（2425高二上·四川達州·期末）已知中心在坐標原點的雙曲線的右焦點坐標5,0，且離心率e=5(1)求雙曲線的標準方程和漸近線方程；(2)過雙曲線右焦點且傾斜角為π4的直線與雙曲線交于A、B兩點，求AB【答案】(1)x29(2)192【解題思路】（1）由題意可得c的值，再由離心率，可得a的值，進而求出b的值，由此可求出雙曲線的方程以及漸近線方程；（2）由題意得到直線方程y=x?5，與雙曲線方程聯(lián)立，利用弦長公式計算即可.【解答過程】（1）由題意可得c=5,e=ca=53所以b2所以雙曲線的方程為：x29?（2）過雙曲線右焦點且傾斜角為π4的直線方程為：y=x?5聯(lián)立雙曲線方程可得：7x所以x1則AB=題型8題型8拋物線的弦長與焦點弦問題1．（2425高二上·河南南陽·期末）過拋物線C:y2=4x的焦點F的直線l交C于A,B兩點，其中點A在第一象限，且AF=4，則A．163 B．6 C．203【答案】A【解題思路】根據(jù)拋物線焦半徑公式先確定點A坐標，從而可得直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立求弦長.【解答過程】易知l的斜率存在，設(shè)Ax則AF=x1因為點A3,y1在C又點A在第一象限，故y1=23又F1,0，所以k所以直線l的方程為y?0=3x?1，即聯(lián)立y=3x?1，y2由拋物線的定義，得AB=故選：A.2．（2425高二上·廣東廣州·期末）斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y=14x2的焦點，且與拋物線交于A，B兩點，則線段A．8 B．132 C．112 【答案】A【解題思路】利用直線過拋物線焦點以及斜率為1，表示出直線方程，然后聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達定理和焦點弦性質(zhì)，即可求出線段長度.【解答過程】由題知，拋物線方程為x2所以拋物線焦點為0,1，所以該直線方程為y?1=1×x?0即x?y+1=0，聯(lián)立x2=4yx?y+1=0設(shè)Ax1,所以AB=故選：A.3．（2425高二上·湖南郴州·期末）已知拋物線y2=2pxp>0，過拋物線焦點的直線y=?2x+4與拋物線交于A,B兩點，則AB=【答案】10【解題思路】首先求出直線與x軸的交點坐標，即可得到拋物線方程，再設(shè)Ax1,【解答過程】直線y=?2x+4過點2,0，又拋物線y2=2pxp>0所以p2=2，解得p=4，所以拋物線y2=8x，設(shè)由y2=8xy=?2x+4，消去y可得x所以x1+x故答案為：10.4．（2425高二上·重慶沙坪壩·期末）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，Px0,y(1)求p的值；(2)設(shè)點P在第一象限，過點(?2,0)的直線交C于M,N兩點，直線PM,PN分別與y軸相交于兩點A,B，求線段AB的中點坐標．【答案】(1)p=4(2)(0,2)【解題思路】（1）根據(jù)拋物線定義表示|PF|，可得x0=p2，（2）設(shè)過點(?2,0)的直線方程為x=my?2，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理表示兩根和與積，表示直線PM方程，計算點A,B縱坐標，求和可得結(jié)果.【解答過程】（1）由題意得，F(xiàn)p2,0，|PF|=∴y02=2p∴△OFP的面積S=12|OF|?（2）由（1）得，C:y2=8x設(shè)過點(?2,0)的直線方程為x=my?2，Mx由y2=8xx=my?2由Δ=64m2?64>0，得m<?1或∵點P(2,4)，∴設(shè)直線PM的方程為y?4=y令x=0，得y=4?2×y∴A0,4y∴yA故線段AB的中點坐標為(0,2).5．（2425高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）在平面直角坐標系xOy中，過點T2,0的直線l與拋物線C:y2=2x相交于點(1)若直線l的斜率為1，求AB；(2)求證：OA⊥OB.【答案】(1)2(2)證明見解析【解題思路】（1）直線l的方程為y=x?2，聯(lián)立C:y2=2x（2）當直線l的斜率為0時，不合要求，設(shè)直線l的方程為x=2+ty，與C:y2=2x聯(lián)立得y2?2ty?4=0【解答過程】（1）直線l的方程為y=x?2，聯(lián)立C:y2=2x得x設(shè)Ax1,則AB=（2）當直線l的斜率為0時，與拋物線只有1個交點，不合要求，舍去，設(shè)直線l的方程為x=2+ty，與C:y2=2x聯(lián)立得y設(shè)Ax1,則x1故OA?OB=x1題型9題型9圓錐曲線中的面積問題1．（2425高二上·甘肅蘭州·期末）已知F是雙曲線x24?y212=1的左焦點，過F傾斜角為30°的直線與雙曲線漸近線相交于A、A．83 B．63 C．43【答案】D【解題思路】不妨設(shè)點A在直線y=?3x上，點B在直線y=3x上，將直線AB的方程與兩漸近線方程聯(lián)立，求出點A、B的坐標，分析可知，OA⊥AB，求出OA、【解答過程】在雙曲線x24?y212=1則F?4,0，雙曲線的漸近線方程為y=±不妨設(shè)點A在直線y=?3x上，點B在直線由題意可知，直線AB的方程為y=3聯(lián)立y=33x+4y=?3聯(lián)立y=33x+4y=3AB=因為kAB=33，kOA且OA=?12故選：D.2．（2425高二下·湖北荊門·期末）已知橢圓C:x23+y2=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線y=x+m與C交于點A，BA．?32 B．?23或?32 C．【答案】C【解題思路】根據(jù)面積公式結(jié)合定義計算求解得出m=?23或【解答過程】設(shè)直線y=x+m與x軸的交點為M，則M?m,0所以SF1AB因為SF1AB由x23+y2=1得c=2所以?2+m=22+m因為y=x+m與C有兩個交點，聯(lián)立y=x+mx23+y則Δ=36m2?16故選：C.3．（2425高二上·山西太原·期末）已知過拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點F且斜率為3的直線與C相交于A，B兩個不同點，若AB=8，則△OAB（O【答案】1【解題思路】設(shè)直線AB方程為y=3x+p2，設(shè)A(x1,【解答過程】由題意F(0,p2)，直線AB方程為y=由y=3x+p所以x1又AB=所以8=212p2+4p2，解得所以O(shè)到直線AB的距離為d=0?0+S△OAB故答案為：1.4．（2425高二上·江蘇南通·期末）設(shè)橢圓Γ:x24+y23=1的右焦點為F(1)求△ABF的周長；(2)設(shè)點C在Γ上，求△ABC的面積的最大值.【答案】(1)4+(2)2【解題思路】（1）根據(jù)題干的條件求出A1,32（2）由（1）知AB=13，設(shè)出與直線AB平行的直線l1【解答過程】（1）已知橢圓Γ:x24+所以F1,0,因為AF⊥x軸，把x=1代入橢圓方程Γ:x不妨設(shè)A1,32，因為A,B所以AB=由橢圓的對稱性可知：AF=BF所以△ABF的周長為AB+（2）由（1）得AB=由A1,32，B?1,?3當△ABC的面積的最大值時，就是橢圓上的點到直線AB的距離最大時，即與直線AB平行且與橢圓相切時，如上圖，設(shè)l1聯(lián)立3x?2y+m=0x24因為直線與橢圓相切，所以判別式Δ=6m2?4×12×m2?12則兩平行線的距離d=4故△ABC的面積的最大值S=15．（2025·黑龍江·一模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2(1)求C的方程；(2)設(shè)x軸上方的點A，B分別在C的左支與右支上，若F2B=3【答案】(1)x2(2)1615【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，求出漸近線方程，進而求出a,b即得C的方程.（2）設(shè)A(x0,y0【解答過程】（1）雙曲線C:x2a2?y2而a2+b所以C的方程為x2（2）設(shè)A(x0,y0),y依題意，x024?y|F1A|=4,|等腰△F2F1A又四邊形AF1F所以四邊形AF1F題型10圓錐曲線題型10圓錐曲線中的參數(shù)范圍及最值問題1．（2425高二上·遼寧沈陽·期中）已知橢圓C:x272+y2b2=10<b<62，過點P(2,?1)且斜率為?1的直線與C相交于A,A．6 B．62?6 C．6?23【答案】B【解題思路】由點差法結(jié)合已知可得b，進而求出c，根據(jù)橢圓C上一點M到焦點F的距離的最小值為a?c求得結(jié)果.【解答過程】設(shè)A(x1,兩式作差得x12?x2因為點P(2,?1)恰好是AB的中點，所以又因為直線AB的斜率為y1將它們代入①式得24×(?1)=?b又a2=72,a=62所以橢圓C上一點M到焦點F的距離的最小值為a?c=62故選：B．2．（2425高二上·浙江金華·期末）已知直線l:y=kx+mk≠±1與雙曲線x2?y2=1有唯一公共點M，過點M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于Ax,0,B0,yA．51?4 B．51+4 C．51?2【答案】A【解題思路】由題意首先得點P在雙曲線x2【解答過程】聯(lián)立y=kx+mx2?由題意Δ=2km2解得xM所以過點M且與l垂直的直線方程為y=?1在該直線方程中分別令y=0,x=0，依次解得A?2mk所以xP即點P在雙曲線x24?

若P在右支上面，可以發(fā)現(xiàn)點C22,0為x所以PC+等號成立當且僅當點P與點E重合，其中點E為線段QD與雙曲線右支的焦點，若P在左支上面，如圖所示：

所以PC+等號成立當且僅當點P與點F重合，其中點F為線段QD與雙曲線左支的焦點，綜上所述，點Px,y到C22故選：A.3．（2025·全國·模擬預(yù)測）已知A1、A2兩點是雙曲線E:x2?y23=1的左、右頂點，點F是E的右焦點，點T【答案】3【解題思路】分兩種情況討論，①當點T與點E重合時，直接求出cos∠A1TA2的值；②當點T不與點E重合時，不妨設(shè)點T為第一象限內(nèi)的一點，設(shè)點T2,t【解答過程】當點T與點E重合時，∠A1T當點T不與點E重合時，不妨設(shè)點T為第一象限內(nèi)的一點，如下圖所示：在雙曲線E中，a=1，b=3，c=設(shè)點T2,tt>0，則tan∠E所以，tan=2t+3t≤因為tan∠A1TA所以，cos∠A1TA故答案為：324．（2425高二上·浙江杭州·期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0，F(xiàn)1、F2分別是橢圓C(1)求C的方程；(2)設(shè)點M4,0，過F2的直線l與橢圓C交于A、B兩點，記直線MA、MB的斜率分別為k1、k【答案】(1)x(2)?【解題思路】（1）根據(jù)橢圓的定義個焦半徑公式可得出關(guān)于a、c的方程組，解出這兩個量的值，可得出b的值，由此可得出橢圓C的方程；（2）分兩種情況討論，①直線l與x軸重合，求出k1k2的值；②直線l不與x軸重合時，設(shè)直線l的方程為x=my+1，設(shè)點Ax1【解答過程】（1）因為P是橢圓C上任意一點，且△PF1F2的周長為6，則設(shè)點Px,y，則x2a2+易知F1?c,0=c所以，PF1的最小值為a?c=1，所以，a+c=3a?c=1，解得a=2因此，橢圓的方程為x2（2）如下圖所示：若直線l與x軸重合時，此時，k1=k若直線l不與x軸重合時，設(shè)直線l的方程為x=my+1，設(shè)點Ax1,聯(lián)立x=my+13x2則Δ=36由韋達定理可得y1+y所以，k=?綜上所述，k1k25．（2025·四川瀘州·二模）設(shè)F為拋物線H:y2=2pxp>0的焦點，點P在H上，點M(1)求H的方程；(2)過點F作直線l交H于A、B兩點，過點B作x軸的平行線與H的準線交于點C，過點A作直線CF的垂線與H的另一交點為D，直線CB與AD交于點G，求|GB||GC|【答案】(1)y(2)1【解題思路】（1）先由PF=PM得點（2）聯(lián)立直線l與拋物線H的方程，得到y(tǒng)1+y2,y1y2【解答過程】（1）依題意，點F的坐標為p2又M7p2,0，PF=PM由拋物線的定義得PF=2p+p2所以拋物線H的方程為y2（2）由（1）知點F的坐標為(1,0)，設(shè)直線l的方程為x=my+1，聯(lián)立x=my+1y2=4x，消去x，得y設(shè)Ax1,y1因為H的準線為x=?1，因為直線BC平行于x所以點C的坐標為C?1,y2，則直線CF所以直線AD的斜率為2y2，其方程為因為點G的縱坐標為y2所以點G的橫坐標為xG所以|GB|=x因為x1>0，則0<1即|GB||GC|的取值范圍是1題型11題型11圓錐曲線中的定點、定值問題1．（2025·安徽馬鞍山·一模）已知橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓C的標準方程；(2)若A，B為橢圓C上的兩點，且滿足AP⊥BP，求證：直線AB過定點．【答案】(1)x(2)證明見解析【解題思路】（1）首先根據(jù)橢圓的離心率和橢圓上一點的坐標求出橢圓的標準方程；（2）分直線AB斜率不存在和存在兩種情況進行討論，利用向量垂直的性質(zhì)得到關(guān)于參數(shù)的方程，進而求出直線AB所過的定點.【解答過程】（1）因為橢圓C離心率為12，所以e=c又因為點P1,32在橢圓C上，所以1a2+橢圓C的標準方程為：x（2）①當AB斜率不存在時，設(shè)AB的方程為x=m，則Am,n，Bm,?n，PA=因為PA⊥PB，所以PA?PB因為m24+n所以7m24?2m+14②當AB斜率存在時，設(shè)AB的方程為y=kx+t，聯(lián)立x24+y23Δ=64k2設(shè)Ax1,y1，By1+y2因為PA⊥PB，所以PA?即x1x代入化簡得28t即2k+2t?32k+14t+3=0當2k+2t?3=0時，t=32?k，此時AB方程為y=kx?1當2k+14t+3=0時，t=?17k?314，此時AB方程為綜上，直線AB過定點17

2．（2425高二上·浙江杭州·期末）已知點A，B分別是雙曲線C:y24?x(1)求點P的軌跡方程；(2)是否存在點P，使得過點P的動直線l交雙曲線C于M，N兩點，且BM與BN的斜率之和為定值？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)x2(2)存在，(433【解題思路】（1）表示頂點坐標，設(shè)P(x,y)，利用條件建立方程，即可得到結(jié)果.（2）設(shè)動直線l方程以及直線BM,BN斜率k1,k2，聯(lián)立直線與雙曲線方程表示點M,N坐標，代入直線【解答過程】（1）由題意得，A(0,2),B(0,?2)，設(shè)P(x,y)，由|PB|=2|PA|，得x2+(y+2)所以點P的軌跡方程為x2（2）存在，理由如下：設(shè)動直線l方程為y=kx+m(m≠±2)，直線BM斜率為k1，直線BN斜率為k則直線BM:y=k1x?2，直線BN:y=由y=k1x?2y2?4x2=4由點M在動直線l上，得2k整理得(m?2)k12因此k1,k2是方程則4k2?m為定值，令4k2?m=t，則k=y=t(2?m)4x+m=m(1?t4代入動直線l方程得，y=2，即P(4點P(4t,2)代入（1）中軌跡方程得，(所以點P的坐標為(4333．（2425高二上·云南昆明·期末）已知橢圓Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為22，點A2,1在Γ上，過B3,0作直線l(1)求Γ的標準方程；(2)判斷k1【答案】(1)x(2)是定值，2【解題思路】（1）由題意列方程組，求出a,b的值，即得答案；（2）設(shè)直線l的方程并聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，求出k1【解答過程】（1）由題意可得ca=2故Γ的標準方程為x2（2）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx?3，設(shè)C聯(lián)立得y=kx?3x26+則x1則k===?4即k1+4．（2526高二上·全國·單元測試）在平面直角坐標系xOy中，拋物線C:y2=4x的焦點為F，過F的直線交C于M,N兩點，2MF=MO?(1)判斷直線MN的斜率與直線AB的斜率之比是否為定值．若為定值，求出該定值；若不為定值，說明理由．(2)證明：直線AB經(jīng)過定點．【答案】(1)是，2(2)證明見解析【解題思路】（1）設(shè)直線MN，AB斜率分別為k1,k（2）結(jié)合（1）設(shè)直線AB:x=ny+b，利用已知條件求出設(shè)直線b即可.【解答過程】（1）設(shè)直線MN，AB斜率分別為k1,k理由如下：如圖，易知F1,0，設(shè)My1聯(lián)立y2=4x,x=my+1,Δ1k1因為2MF=MO所以點F為線段OD的中點，因為F(1,0)，所以D(2,0)，故直線MD:x=y代入拋物線方程可得：y2則Δ2聯(lián)立①②得y3=2y所以k2所以k1（2）由（1）知y1DB=因為N，B，D三點共線，所以y2化簡得y2所以y1y2所以y3設(shè)直線AB:x=ny+b，由x=ny+by2=4xΔ3解得b=4，所以直線AB方程為：x=ny+4，當y=0?x=4，所以直線AB過定點(4,0)．5．（2425高二上·貴州畢節(jié)·期末）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(1)求雙曲線C的方程；(2)已知D是C的右頂點，M、N是C上與D不重合的兩點，且DM⊥DN，證明：直線MN過定點，并求出定點的坐標．【答案】(1)x(2)?【解題思路】（1）根據(jù)點到直線的距離可求c，再根據(jù)a,b,c的關(guān)系及ba=2可求（2）先討論直線MN無斜率時，求出直線MN過點?53,0，當直線MN有斜率時，設(shè)直線MN：y=kx+n，與雙曲線方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達定理可得x1+x2，x1x【解答過程】（1）雙曲線的右焦點Fc,0，到直線2x?y=0所以2c22+1=2?c=5，又b所以雙曲線C：x2（2）如圖：易知D1,0當直線MN的斜率不存在時，設(shè)直線MN：x=x不防取Mx0,2由DM⊥DN，所以DM?DN=0?x0?1所以x0=?5所以直線MN過點?5當直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN：y=kx+n.由y=kx+nx2?y24=1由Δ>0?2nk2+44?k設(shè)Mx1,則x1+x所以y1y2=kx1由DM⊥DN，所以DM?DN=0?即x1所以?n2+44?k所以5k?3nk+n=0?5k=3n或由k=?n得y=kx+n=kx?1，所以直線MN過定點1,0由5k=3n得y=kx+n=kx+53，所以直線MN綜上可得：直線MN過定點?5題型12題型12圓錐曲線中的定直線問題1．（2425高二上·山西運城·期末）已知橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓C的標準方程；(2)若過點P?8,?0的直線與橢圓C交于A,【答案】(1)x(2)證明見解析【解題思路】（1）由題意可得a2=b2+4（2）設(shè)直線AB的方程為x=my?8，聯(lián)立方程組，由韋達定理可得y1+y2=48m3【解答過程】（1）因為橢圓兩個焦點為F1?2,0,F2又點M23,3在橢圓C上，所以兩式聯(lián)立，解得a2=16,b2=12（2）由題意可知直線AB的斜率存在，且不為0，設(shè)直線AB的方程為x=my?8，聯(lián)立x=my?8x216則Δ=(?48m)2設(shè)Ax1,設(shè)直線AF1,B所以k1因為y1所以k1+k2=0恒成立，則直線A所以△ABF1的內(nèi)心在定直線2．（2425高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左、右頂點分別為A1?4,0，(1)求雙曲線C的方程；(2)過點R6,0的直線l與C的右支交于M，N兩點，若直線A1M與A2N【答案】(1)x(2)證明見解析【解題思路】（1）由a,b直接求出雙曲線方程即可；（2）設(shè)直線MN方程和設(shè)Mx1,y1【解答過程】（1）設(shè)雙曲線的標準方程為x2依題意有a=4,2b=6,∴b=3，所以雙曲線方程為x2（2）(i)證明:設(shè)直線MN方程為:x=my+6，設(shè)Mx聯(lián)立方程x=my+6x216?yΔ=∵m≠±4∵Mx1,∴x直線A1M:y=y聯(lián)立方程得y=16解得x=83，故點P在定直線3．（2425高三上·黑龍江黑河·期末）已知橢圓C:x2a2+(1)求C的方程；(2)若直線l:y=k(x?4)(k≠0)與C交于M，N兩點，直線A1M與A2N相交于點【答案】(1)x2(2)證明見解析，x=1.【解題思路】（1）由橢圓的長軸長及所過的點列方程組求參數(shù)，即可得橢圓方程.（2）設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則lA1M:y=y【解答過程】（1）因為|A1A2|=4因為C過點(2,62)所以C的方程為x2（2）由題意，設(shè)M(x1,y1由y=k(x?4)x24+y解得?12<k<12且k≠0由y=y1x1+2所以點G在定直線x=1上．4．（2425高二上·湖北·期末）已知拋物線C:x2=4y的焦點為F，設(shè)動點P(1)若m=2,n=1，求過點P與拋物線有且只有一個公共點的直線方程；(2)設(shè)過動點P的兩條直線l1,l2均與C相切，且l1,l【答案】(1)x=2或x?y?1=0；(2)證明見解析【解題思路】（1）分別討論直線斜率是否存在，利用判別式為0即可得直線方程；（2）設(shè)出直線方程并利用韋達定理可得k2?km+n=0，結(jié)合k1?1k【解答過程】（1）當經(jīng)過點P的直線不存在斜率時，直線方程即為x=2，與拋物線拋物線C：x2=4y有且只有一個公共點當經(jīng)過點P的直線存在斜率時，不妨設(shè)直線方程為y?1=kx?2代入拋物線方程化簡得：x2Δ=?4k2?4因此所求直線方程為x=2或x?y?1=0；（2）證明：設(shè)過點P與拋物線C的相切的切線方程為l:y?n=kx?m由y?n=kx?mx2=4y，消去因為l與拋物線C相切，所以Δ=即k2又因為k1，k2是方程k2由k1?1k2從而動點Pm,n在直線x?y+3=0